Proses Stokastik

Proses Stokastik
Semester Ganjil 2013/2014
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Proses Stokastik

Suatu keluarga dari peubah acak {X(t) | t ∊ T}



T adalah indeks dari himpunan, yang bisa diskrit maupun kontinyu
T = {1, 2, 3, …} untuk t diskret dan T = {0,} untuk t kontinyu
Contoh:



Nilai-nilai yang mungkin untuk X(t) disebut states.



Waktu: menit, jam, hari, minggu
Jarak dari suatu titik 0 (origin)
Diskrit atau kontinyu
State space (I): himpunan seluruh kemungkinan state
Contoh:
 X(t): jumlah kelahiran di suatu tempat pada hari T = {1,2, ... 365}
(dalam satu tahun)
 X(t): jumlah kerusakan pada jalan tol dalam interval (0,t], t adalah
jarak dari pintu tol dalam km.
 Data deret waktu
Beberapa Proses Stokastik yang akan
dipelajari



Rantai Markov
Proses Poisson
Rantai Markov dalam waktu kontinyu





Proses kelahiran
Proses kematian
Proses kelahiran dan kematian
Proses Pembaharuan
Sistem Antrian
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Review Peluang

Dari percobaan dengan hasil yang tidak diketahui:




Ruang Sampel: Himpunan seluruh kejadian yang mungin
Kejadian: Himpunan bagian dari ruang sampel.
Peluang biasanya dinyatakan dalam pasangan berikut (W ,,
Pr) di mana W adalah ruang sampel  adalah seluruh
kejadian yang mungkin di dalam ruang sampel dan Pr
adalah peluang untuk setiap kejadian di dalam .
Untuk kejadian A dan B berlaku berikut ini:




Pr(W) = 1
Pr(A)  0
Pr(AC) = 1 – Pr(A)
Pr(A  B) = Pr(A) + Pr(B), if A  B = .
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Jika A dan B adalah kejadian di dalam  dengan Pr(B)  0,
peluang A dengan syarat B adalah:
Pr  A B  
Pr  A  B 
Pr  B 
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Peubah Acak











Fungsi yang memetakan setiap elemen dari ruang sampel (hasil
percobaan) menjadi bilangan real
Peubah acak adalah angka yang belum diketahui nilainya sebelum
percobaan dilakukan
Diskrit vs. Kontinyu
Fungsi sebaran Kumulatif
Fungsi kepekatan peluang (kontinyu)
Fungsi massa (frekuensi) peluang (diskrit)
Fungsi peluang gabungan
Peluang bersyarat
Fungsi dari peubah acak
Fungsi pembangkit momen
Fungsi transformsi
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Fungsi sebaran Kumulatif, Fungsi Kepekatan
Peluang dan Fungsi Frekuensi Peluang

Fungsi sebaran kumulatif peubah acak X :


FX(x) = F(x) = Pr(Xx).
Fungsi p(xi) = pX(xi) = ai untuk i = 1, 2, … fungsi massa
peluang untuk peubah acak X.
 Fungsi sebaran kumulatif:
F ( x)   p( xi )
xi  x

Jika f(x) sebagai fungsi kepekatan peluang untuk peubah acak X:
Fungsi sebaran kumulatif
x
F ( x) 
 f ( x)dx

f ( x) 
d
F ( x)  F ' ( x)
dx
dF x  f ( x)dx
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Fungsi sebaran Kumulatif, Fungsi Kepekatan
Peluang dan Fungsi Frekuensi Peluang

Peluang kejadian di antara dua nilai dapat dinyatakan
dalam bentuk sebaran kumulatif:
Pra  X  b  F (b)  F a

Bentuk tersebut dimanfaatkan untuk memperoleh bentuk
berikut ini:
Prx  X  x  dx  F ( x  dx)  F x
 dF x 
 f x dx
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Momen dan Nilai Harapan

Momen ke-m dari X peubah acak diskrit:
 
E X m   xim Pr( X  xi )
i

Momen ke-m dari X peubah acak kontinyu:

  x
E Xm 
m
i
f ( x)dx


Momen ke-1 dari peubah acak X:
 Nilai harapan X atau mean μ

Momen pusat ke-m dari peubah acak X:

E X  x 
m

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Momen dan nilai harapan
Momen central ke-1: nol
Momen central ke-2: ragam dari X



  
Var X   E  X   x   E X 2   2   X2

2
Nilai harapan dari suatu fungsi untuk peubah acak diskrit:
Eg  X    g xi  Pr( X  xi )
i

Nilai harapan dari suatu fungsi untuk peubah acak
kontinyu:


E g  X  
 g x  f ( x)dx   g x dF x 
x


Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Fungsi Peluang Gabungan


Jika dalam suatu percobaan terdapat dua peubah acak
yang diamati.
Fungsi sebaran bersama bagi X dan Y:

FXY(x,y) = P(X  x,Y  y)
x y
FXY ( x, y ) 
f
XY
( x, y )dydx
  

Fungsi kepekatan marjinal:

f X ( x) 
f

XY
( x, y )dy

f Y ( y) 
f
XY
( x, y )dx

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Fungsi Peluang Gabungan

Kebebasan dua peubah:

fXY(x,y) = fX(x) fY(y)

Nilai harapan: E[X+Y] = E[X] + E[Y]

Cov(X,Y):
 XY = E[(X - X) (Y - Y)] = E[XY] - XY.
X dan Y dikatakan tidak berkorelasi bila memiliki
kovarian nol.
Koefisien korelasi =XY/XY di mana -1    1.


Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Sebaran Peluang Bersyarat

Fungsi peluang jika salah satu peubah menjadi syarat:
f  x, y 
f x y  
f y y

Dapat digunakan untuk menghitung peluang bersyarat:
PrX  A Y  y 
 f x y dx
xA

Dengan hukum peluang total:
PrX  A 


 PrX  A Y  y f  y dy  xAf x y fY  y dxdy
Y

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Jumlah dan Konvolusi


Jika X dan Y adalah peubah acak yang bebas dengan fungsi
sebaran masing – masing FX dan FY maka fungsi sebaran
penjumlahan Z = X + Y adalah konvolusi dari FX dan FY
Diperoleh dengan memanfaatkan sifat peluang bersyarat:
PrZ  z Y  y  PrX  Y  z Y  y
 PrX  z  y Y  y
z y

 f x y dx

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Jumlah dan Konvolusi

Dengan memanfaatkan hukum peluang total:
PrX  A 

 PrX  AY  yf  y dy
Y


FZ z   PrZ  z   PrZ  z Y  yfY  y dy


  PrX  z  y Y  yfY  y dy

 z y


    f x y dx  fY  y dy    f x y  fY  y dxdy


 
   


FZ  z  
z y
 z y
  f x y f  y dxdy
Y
 
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Jumlah dan Konvolusi

Apabila X dan Y saling bebas, maka peluang bersyarat akan
sama dengan peluang tanpa syarat.
f X x  f x y 
FZ  z  
 z y
  f x y f  y dxdy
Y
 

FZ  z  
 z y
  f x  f  y dxdy
X
Y
 
Dengan definisi sebaran peluang kumulatif:
FX  x   PrX  x 

 z y

FZ  z      f X  x dx  fY  y dy   FX  z  y  fY  y dy



   


Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
x
 f x dx
X

Jumlah dan Konvolusi

Dengan hubungan antara fungsi sebaran kumulatif dan
fungsi kepekatan peluang:
dF  y   fY ( y)dy
FZ  z  


 F z  y  f  y dy   F z  y dF  y 
X
Y
X


Y

Untuk memperoleh kepekatan peluang, turunan pertama
dari sebaran kumulatif:

d
d
f Z z  
FZ z  
FX  z  y dFY  y 

dz
dz 


d


   FX  z  y dFY  y    f X  z  y dFY  y 
dz

 



 f z  y  f  y d y
X

Y
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Jumlah dan Konvolusi

Untuk X dan Y yang non negatif, batas integrasi berubah:

f Z z  
z
 f z  y  f  y d y   f z  y  f  y d y
X
Y
X

0

z
f Z z  
Y
 f z  x f xdx   f z  x f xd x
Y

X
Y
X
0
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Peubah sebagai Fungsi Dari Peubah Lain

Jika X peubah acak dengan fungsi kepekatan peluang fX
dan Y adalah peubah acak yang merupakan fungsi dari X
Y  gX 
X  g Y 
1

g(X) fungsi naik dan
dapat diturunkan
(differentiable)
Maka fungsi sebaran kumulatif bagi Y:
FY  y   PrY  y  PrX  g 1  y 
 FX g 1  y 
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Peubah sebagai Fungsi Dari Peubah Lain

Untuk menentukan fungsi kepekatan peluang:
d
d
fY  y  
FY  y  
FX g 1  y 
dy
dy
1

d
dg
y
1
 1 FX g  y 
dg  y 
dy



Dari Kalkulus berlaku:


y  g x 
x  g 1  y 
dg 1  y  dx
1
1



dy
dy dy / dx g x 
Sehingga:
1
fY  y   f X  x 
g x 
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc