Trigonometri - e-learning SMAN 5 Mataram

BAB
7
TRIGONOMETRI
A. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku
Gambar disamping menunjukkan segitiga dengan besar sudut αo
c
α
a 


Sisi di hadapan sudut siku-siku yaitu sisi c disebut sisi miring
Sisi di hadapan sudut α yaitu sisi a disebut sisi tegak
Sisi di Smping yaitu sisi b disebut sisi datar
b
Perbandingan trigonometri sudut αo seperti berikut:
Sin αo = a/c
Cos αo = b/c
Tan αo = a/b
B. Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi
1. Perbandingan trigonometri sudut di kuadran pertama
Relasi antara sudut αo dengan sudut (90 – α)o adalah saling berpenyiku
Rumus perbandingan trigonometri sudut αo dengan (90 – α)o
Sin (90 –α)o = cos αo cotan (90 – α)o = tan αo
Cos (90 – α)o = sin αo sec (90 – α)o = cosec αo
Tan (90 – α)o = cotan αo cosec (90 – α)o = sec αo
2. Perbandingan trigonometri sudut di kuadran kedua
Relasi antara sudut αo dengan sudut (180 – α)o adalah saling berpelurus
Rumus perbandingan trigonometri sudut αo dengan (180 – α)o
Sin (180 –α)o = sin αo cotan (180 – α)o = -cotan αo
Cos (180 – α)o = -cos αo sec (180 – α)o = -sec αo
Tan (180 – α)o = -tan αo cosec (180 – α)o = cosec αo
3. Perbandingan trigonometri sudut di kuadran ketiga
Rumus perbandingan trigonometri sudut αo dengan (180 + α)o
Sin (180 + α)o = -sin αo cotan (180 + α)o = cotan αo
Cos (180 + α)o = -cos αo sec (180 + α)o = -sec αo
Tan (180 + α)o = tan αo cosec (180 + α)o = -cosec αo
Matematika | Trigonometri
1
4. Perbandingan trigonometri sudut di kuadran keempat
Rumus perbandingan trigonometri sudut αo dengan (360 – α)o
Sin (360 –α)o = -sin αo cotan (360 – α)o = -cotan αo
Cos (360 – α)o = cos αo sec (360 – α)o = sec αo
Tan (360 – α)o = -tan αo cosec (360 – α)o = -cosec αo
Atau
Sin ( –α)o = -sin αo cotan ( – α)o = -cotan αo
Cos ( – α)o = cos αo sec ( – α)o = sec αo
Tan ( – α)o = -tan αo cosec ( – α)o = -cosec αo
5. Perbandingan trigonometri untuk sudut yang lebih dari 360o
Besar sudut satu putaran sama dengan 360o. sehingga besar sudut yang lebih dari 360o, missal
(360 + α)o akan sama dengan αo
Rumus perbandingan trigonometri sudut αo dan sudut (αo + n. 360)o
Sin (αo + n. 360)o = sin αo
cosec (αo + n. 360)o = cosec αo
o
o
o
Cos (α + n. 360) = cos α
sec (αo + n. 360)o = sec αo
Tan (αo + n. 360)o = tan αo
cotan (αo + n. 360)o = cotan αo
C. Hubungan Perbandingan Trigonometri
1. Hubungan antara perbandingan-perbandingan trigonometri
Sin αo = 1/cosec αo
tan αo = sin αo/cos αo
Cos αo = 1/sec αo
cotan αo = cos αo/sin αo
Tan αo = 1/cotan αo
2. Identitas trigonometri
Cos2 αo + sin2 αo = 1
1 + tan2 αo = sec2 αo
1 + cotan2 αo = cosec αo
Matematika | Trigonometri
2
Contoh Soal:
1. Nilai dari sin 150o + sin 120o adalah…..
Jawab:
Sin 150o = sin (180 – 30)o = sin 30o = ½
Sin 200o = sin (180 + 60)o = sin 60o = (1/2)√3
sin 150o + sin 120o = ½ + (1/2)√3 = ½ (1 + √3)
jadi nilai dari sin 150o + sin 120o adalah ½ (1 + √3)
2. Nilai dari cos 300o + cos 210o adalah…
Jawab:
Cos 300o = cos (360 – 60)o = cos 60o = ½
Cos 210o = cos (180 + 30)o = -cos 30o = -(1/2)√3
cos 300o + cos 210o = ½ - (1/2)√3 = ½ (1 - √3)
jadi nilai dari cos 300o + cos 210o adalah ½ (1 - √3)
3. Nilai dari cos 1200o adalah…
Jawab:
Cos 1200o = cos (120 + 3. 360)o
= cos 120o
= -cos 60o
= -1/2
D. Satuan Ukuran Sudut
Satuan yang biasa digunakan untuk mengukur sudut adalah derajat dan radian
Sudut setengah putaran sama dengan 180o = π radian
Sudut satu putaran = 360o = 2π radian
Nilai pendekatan π ≈3, 14 atau π = 22/7
1o ≈ 2π/360 radian ≈ 6, 28/360 radian ≈ 0, 017 radian
1 radian = 180o/ π ≈ 180o/3, 14 ≈ 57, 3o atau 57o18’
Rumus untuk mengubah satuan derajat ke radian dan sebaliknya adalah sebagai berikutL:
αo = (α x (π/180)) radian dan p radian = (p x (180/ π))o
Matematika | Trigonometri
3
E. Rumus-Rumus Segitiga dalam Trigonometri
1. Aturan Sinus dan Cosinus
a. Aturan sinus
C
b
a
Pada segitiga ABC di samping berlaku aturan sinus
A
c
B
(a/sin A ) = (b/sin B) = (c/sin C)
b. Aturan cosines
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
b2 = a2 + c2 – 2ac cos B
c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
A
2. Luas Segitiga
a. Luas segitiga jika diketahui alas dan tingginya
L = (1/2)x a x t
b. Luas segitiga jika diketahuidua sisi dan sudut apit dua sisi tersebut (sisi-sudut-sisi)
L = (1/2)ab sin C
L = (1/2)ac sin B
L = (1/2)bc sin A
c. Luas segitiga jika diketahui dua sudut dan satu sisi
L = (a2sinB sinC)/(2sin A)
L = (b2sinA sinC)/(2sin B)
L = (c2sinA sinB)/(2sin C)
d. Luas segitiga jika diketahui panjang ketiga sisinya
L = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)
Dengan s = (1/2)x (keliling segitiga)
S = (1/2) x( a + b +c)
e. Luas segi banyak (segi – n) beraturan
Lsegi-n = n x (1/2) R2 sin(360/n)o
Dengan
n = banyak sisi pada segi banyak beraturan
R= panjang kaki segitiga sama kaki pembentuk segi –n beraturan
Matematika | Trigonometri
4
F. Rumus-Rumus Trigonometri
1. Rumus Trigonometri untuk Jumlah Dua Sudut dan Selisih Dua Sudut
Cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
Cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
Sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β
Tan (α + β) = (tan α + tan β)/(1 - tan α tan β)
Tan (α – β) = (tan α – tan β)/(1 + tan α tan β)
2. Rumus Trigonometri untuk Sudut Rangkap
Sin 2α = 2 sinα cos α
Cos 2α = cos2 α – sin2 α
= 2 cos2 α – 1
= 1 - 2 sin2
Tan 2α = (2tan α)/(1 – tan2 α)
Sin 3α = 3 sin α – 4 sin3 α
Cos 3α = 4 cos3 α – 3 cos α
3. Rumus Perkalian Sinus dan Cosinus
Sin α cos β = ½( Sin (α + β) + Sin (α - β))
cos α sin β = ½( Sin (α + β) - Sin (α - β))
cos α cos β = ½( cos (α + β) + cos (α - β))
Sin α sin β = -½( cos (α + β) - cos (α - β))
4. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Cosinus
Sin α + sin β = 2 sin ½( α + β) cos ½( α – β)
Sin α - sin β = 2 cos ½( α + β) sin ½( α – β)
cos α + cos β = 2 cos ½( α + β) cos ½( α – β)
cos α + cos β = -2 sin ½( α + β) sin ½( α – β)
Matematika | Trigonometri
5
Contoh Soal:
1. Jika sudut α dan β lancip, sin α = 3/5 dan sin β = 7/25, maka cos (α + β) adalah..
Jawab:
Cos2 αo + sin2 αo = 1
Cos2 αo + (3/5)2 = 1
Cos2 αo = 1 – 9/25
Cos2 αo = 16/25
Cos αo = 4/5
Cos2 βo + sin2 βo = 1
Cos2 βo + (7/25)2 = 1
Cos2 βo = 1 – 49/625
Cos2 βo = 576/625
Cos βo = 24/25
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
= 4/5 x 24/25 – 3/5 x 7/25
= 96/125 – 21/125
= 75/125
= 3/5
2. Sin (α – β)/ tan α – tan β =……
Jawab:
Sin (α – β)/ tan α – tan β = (sin α cos β - cos α sin β)/ ((sin α/cos α) – (sin β/cos β))
= (sin α cos β - cos α sin β)/( (sin α cos β - cos α sin β)/cos α
cos β)
= cos α cos β
E. Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri
Rumus-Rumus Dasar Persamaan Trigonometri
1. Sin x = sin α
X1 = α + k. 360o atau x2 = (180 – α) + k. 360o
2. Cos x = cos α
X = ± α + k. 360o
3. Tan x = tanα
X = α + k. 180o
Dengan k 𝜖 bilangan bulat
Matematika | Trigonometri
6
LATIHAN SOAL
1. (Sin x . cos x)/tan x =…..
A. Sin2x
B. Cos2x
C. 1/sin x
D. Sin x
E. Cos x
(UMPTN 1989)
2. Diketahui tan A = ¾ dengan sudut A
lancip. Nilai 2 cos A =…
A. 6/5
B. 8/5
C. 5/4
D. 4/5
E. 5/3
(EBTANAS 1997)
3. Cos230o – sin2135o + 8 sin45o cos
135o=…
A. -17/4
B. -15/4
C. 17/4
D. 4/5
E. 1
(UMPTN 2000)
4. Nilai sin 240o + sin 225o + cos 315o
adalah….
A. -√3
B. -√3 /2
C. -1/2
D. √3 /2
E. √3 /3
(UN 2004 SMK)
5. Diketahui ∆ABC dengan panjang sisi AB
= 3 cm, AC = 4 cm dan ∠CAB = 60o. CD
adalah tinggi ∆ABC. Panjang CD = ….
Matematika | Trigonometri
A.
2
√3
3
cm
B. √3 cm
C. 2 cm
D.
3
√3
2
cm
E. 2√3 cm
(UAN 2002 IPA P2)
6. Jika panjang sisi-sisi ∆ABC berturutturut adalah AB = 4cm, BC = 6 cm, dan
AC = 5 cm, sedang ∠BAC = α, ∠ABC = β
dan ∠𝐵𝐶𝐴 = 𝛾, maka sin α : sin β : sin 𝛾
= ….
A. 4 : 5 : 6
B. 5 : 6 : 4
C. 6 : 5 : 4
D. 4 : 6 : 5
E. 6 : 4 : 5
(UAN 2002)
7. Diketahui segitiga ABC dengan AC = 5
cm, AB = 7 cm, dan ∠BCA = 120o.
keliling segitiga ABC = ….
A. 14 cm
B. 15 cm
C. 16 cm
D. 17 cm
E. 18 cm
(UAN 2003)
8. Pada segitiga ABC diketahui a + b = 10,
sudut A = 30o dan sudut B = 45o, maka
panjang sisi b = ….
A. 5(√2 - 1)
B. 5(2 - √2)
C. 10(2 - √2)
D. 10(√2 + 2)
E. 10(√2 + 1)
7
(UMPTN 2001)
9. (1 – sin2A). tan 2 A = ….
A. 2 sin2 A – 1
B. Cos2 A – sin2 A
C. 1 – cos2 A
D. 1 – sin2 A
E. 2 + cos2 A
(UMPTN 1998)
Matematika | Trigonometri
10. Bentuk (sin 5x + sin 3x)/cos 5x + cos 3x
senilai dengan……
A. Tan 2x
B. Tan 4x
C. Tan 8x
D. Cotan 4x
E. Cotan 8x
(UAN IPA P2)
8