Fungsi kuadrat - Teknik Industri UMS

Fungsi kuadrat
Hafidh munawir
Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Bentuk umum atau Bentuk Baku persamaan kuadrat adalah:
ax2 + bx + c
= 0
Dengan a,b,c  R dan a  0 serta x adalah peubah (variabel)
a merupakan koefisien x2
b merupakan koefisien x
c adalah suku tetapan atau konstanta
Contoh 1:
Tentukan nilai a, b, dan c dari persamaan kuadrat berikut:
a. x2 – 3 = 0
c. 10 + x2 - 6x = 0
b. 5x2 + 2x = 0
d. 12x – 5 + 3x2 = 0
Jawab:
a. x2 – 3 = 0
Jadi a = 1 , b = 0 , dan c = -3
b. 5x2 + 2x = 0
Jadi a = 5 , b = 2 , dan c = 0
c. 10 + x2 - 6x = 0
Jadi a = 1 , b = -6 , dan c = 10
d. 12x – 5 + 3x2 = 0
Jadi a = 3 , b = 12 , dan c = -5
Contoh 2:
Nyatakan dalam bentuk baku, kemudian tentukan
nilai a, b dan c dari persamaan :
a. 2x2 = 3x - 8
C. 2x - 3 =
b. x2 = 2(x2 – 3x + 1)
Jawab:
a. 2x2 = 3x – 8
Kedua ruas ditambah dengan –3x + 8
2x2 – 3x + 8 = 3x – 8
– 3x + 8
2x2 – 3x + 8 = 0
Jadi, a = 2 , b = -3 dan c = 8
5
x
Jawab:
b. x2 = 2(x2 – 3x + 1)
x2 = 2x2 – 6x + 2
x2 - x2
Kedua ruas dikurangi dengan x2
= 2x2 – 6x + 2 - x2
0 = x2 – 6x + 2
x2 – 6x + 2 = 0
Jadi a = 1 , b = -6 , dan c = 2
c. 2x - 3 =
5
x
Kedua ruas dikalikan dengan x
(2x – 3)x = 5
2x2 – 3x = 5
2x2 – 3x – 5 = 0
Jadi a = 2 , b = -3, dan c = -5
REMEMB
ER .…
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
(a + b)(p + q) = ap + bp + aq + bq
(a + b)(a - b) = a2 - b2
Cara mencari akar persamaan
kuadrat ?
1. Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Cara Memfaktorkan
ax 2  bx  c  0
P
a.c
Q
P (ax…..)
Q =0
(ax……)
a
b
+
Contoh: Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat berikut
1. x2 ─ x ─ 6 = 0
(x ─ 3) (x + 2 ) = 0
+2
─6
x = 3 atau x = ─2
2. 2x2 ─ 3x ─ 5 = 0
(2x ─ 5 ) (2x + 2 ) = 0
2
(2x ─ 5) (x +1 ) = 0
5
X=
2
Atau x = ─ 1
─ 3+
─1
─5
─ 10
+ 2+
─3
3. ─ 3x2 ─ 4x + 4 = 0
─ 12
(– 3x + 2 ) (– 3x – 6 ) = 0
–3
(– 3x + 2) (x +2 ) = 0
x= 2
X= – 2
3
x 9  0
( x  3)( x  3)  0
4.
2
x  3
atau
x3
+
–4
2. Menentukan akar-akar Persamaan Kuadrat Dengan Melengkapkan Kuadrat
Jika persamaan kuadrat koefisien dari x2 belum = 1 , maka ubahlah menjadi 1
Sehingga persamaan kuadratnya menjadi bentuk
x2 + px + q = 0
x2 + px + q = 0
(x  ( p2 ) ) 2  ( p2 ) 2  q  0
Contoh:
1.
x 2  2 x  8  0 dengan
p = 2, q = -8
 ( x   22 ) 2   22   (8)  0
2
x 1  3
 ( x  1) 2  1  8  0
 x  1  3
atau
 ( x  1) 2  9  0
 x  3  1
atau
x  3 1
 x  4
atau
x2
 ( x  1) 2  9
 ( x  1)   9
 ( x  1)   3
x2 + px + q = 0
(x  ( p2 ) ) 2  ( p2 ) 2  q  0
2.
2 belum = 1 maka kita bagi 2
Karena
koefisien
dari
x
2x2 –6x –5 = 0
(supaya menjadi satu)
x2 –3x – 5/2 = 0 dengan p = -3, q = -5/2
( x  ( ))  ( )  ( 52 )  0 ( x  32 )  
3 2
2
2
3
2
19
4
19
2
(x  )  ( )   0
( x  32 )  
( x  )  ( 94 )  104  0
x
( x  )  194  0
x1  
19
2
 32
(x  )   0
x2  
19
2
 32 
3 2
2
9
4
5
2
3 2
2
3 2
2
3 2
2
19
4
(x  ) 
3 2
2
19
4
19
2
 32

19  3
2
 19  3
2
3. Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat Dengan Rumus Kuadrat
Jika diketahui suatu persamaan kuadrat ax 2  bx  c  0
, maka akar-akarnya adalah:
x1.2
 b  b 2  4ac

2a
Contoh:
x 2  2x  8  0
x1.2
, jadi a=1, b=2, c=-8
 2  2 2  4(1)(8)

2(1)
26
x1 
2
atau
 2  4  32
2
x1  4
atau
x1.2 
x1.2
26

2
x2 
26
2
x2  2
DISKRIMINAN
Diskriminan (D) adalah:
D  b 2  4ac
Diskriminan dapat menentukan jenis-jenis akar kuadrat, yaitu:
1.Jika D>0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan.
a. Jika D berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya rasional
b. Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya irasional
Contoh:
x 2  2x  3  0
D  b 2  4ac
D  (2) 2  4(1)(3)
 4  12
 16
Karena D=16>0 dan berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua
akarnya berlainan dan rasional
x  2x  3  0
 ( x  3)( x  1)  0
 x  3 atau x  1
2
Contoh:
x  2x  5  0
2
D  b  4ac
2
 2  4(1)(5)
 4  20  24
2
Karena D=24>0 tidak berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya irasional
x  2x  5  0
2
 2  (2) 2  4.1(5)
x1.2 
2.1
 2  4  20
x1.2 
2
 2  24
x1.2 
2
22 6
x1.2 
2
2(1  6 )
x1.2 
2
x1.2  1  6
Jadi akar-akarnya adalah:
x  1 6
atau
x  1 6
2. Jika D=0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama ( akar kembar )
Contoh:
1 2
x  2x  4  0
4
1
D  b  4ac  2  4( )(4)  4  4  0
4
2
.
2
Karena D=0, maka kedua akarnya kembar
1 2
x  2x  4  0
4
4
x  8 x  16  0
( x  4)( x  4)  0
2
Jadi akar akarnya adalah:
x  4
atau
x  4
3. Jika D<0, maka kedua akarnya tidak real ( imaginer ).
Contoh:
2x2  4x  3  0
D  b 2  4ac  4 2  4(2)(3)  16  24  8
Karena D=-8<0, maka persamaan kuadrat tersebut tidak mempunyai
akar-akar real (akar-akarnya imaginer).
2x2  4x  3  0
 4  4 2  4.2(3)
x1.2 
2.2
 4  16  24
x1.2 
4
 4 8
x1.2 
4
 4 8
x1.2 
4
Jadi akar akarnya adalah:
 4  8
x
4
atau
 4 8
x
4
Pengertian Bilangan Imaginer
Akar pangkat dua dari bilangan negatif adalah bilangan imaginer.
Satuan imaginer didefinisikan sebagai
i  1
maka setiap bilangan imaginer dapat dinyatakan dalam satuan imaginer i
Contoh:
 4  (1)(4)  (1)  4  2i
 27  (1)(27)  (1)  27  3 3i
Menghitung Koefisien Persamaan Kuadrat dg Akar-akarnya
Memiliki Ciri-ciri Sifat Tertentu
Contoh:
Diketahui persamaan kuadrat
x 2  2 px  (2 p  3)  0
a.Carilah diskriminan persamaan kuadrat tersebut!
b. Tentukan nilai atau batas nilai p agar persamaan kuadrat tesebut:
•Mempunyai dua akar yang berbeda
 Mempunyai dua akar sama (akar kembar)
Tidak mempunyai akar-akar real
Jawab
a.
D  b 2  4ac
2
 (2 p ) 2  4(1)(2 p  3)  4 p  8 p  12
b. nilai p agar persamaan kuadrat tesebut:
•Mempunyai dua akar yang berbeda
 Mempunyai dua akar sama (akar kembar)
D0
D0
4 p 2  8 p  12  0
4 p 2  8 p  12  0
p2  2 p  3  0
p2  2 p  3  0
( p  1)( p  3)  0
( p  1)( p  3)  0
p  1
p  1
atau
p3
Tidak mempunyai akar-akar real
D0
4 p 2  8 p  12  0
p2  2 p  3  0
( p  1)( p  3)  0
1  p  3
atau
p3
JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat
ax 2  bx  c  0
maka
b
x1  x 2  
a
dan
Contoh:
x1 .x 2
c

a
x  2x  8  0
2
x  2x  8  0
2
x1  x 2  
b
2

 2
a
1
c
x1 . x 2 
a
8

 8
1
( x  4)( x  2)  0
x1  4
atau
x2  2
x1  x2  4  2  2
x 1 . x 2  (  4 ). 2   8
Menghitung Bentuk Simetri Akar-Akar Persmaan Kuadrat
Sebuah bentuk aljabar yang terdiri dari dua variabel disebut simetri atau setangkup,
jika letak variabel tersebut ditukar,
maka nilai dari bentuk aljabar tersebut tidak berubah.
Contoh:
Bentuk-bentuk tidak simetri
Bentuk-bentuk simetri
ab
, karena
ab ba
a  b , karena a  b  b  a
2
1 1

a b
2
a b
2
2
2
, karena 1  1  1  1
a b b a
2
, karena
a b  ba
a 2  b 2 , karena a 2  b 2  b 2  a 2
1 1

a b
, karena
1 1 1 1
  
a b b a
Bentuk-bentuk simetri dari akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan
tanpa menghitung akar-akarnya terlebih dahulu.
Contoh:
Akar-akar persamaan kuadrat
x 2  2x  8  0
Tanpa menentukan akar-akarnya, tentukanlah:
a.
x1  x 2
b.
x1 .x 2
c. x 2  x 2
1
2
d.
1
1

x1 x 2
Jawab:
a.
b.
b
2
x1  x 2  
   2
1
a
c
x1 .x 2 
a
8

 8
1
adalah x1 dan x2.
c.
x1  x 2  ( x1  x 2 ) 2  2 x1 .x 2
2
2
 (2) 2  2(8)
 4  16
d.
1
1

x1 x 2
 20
x2  x1

x1 x2
2
1


8
4
Menghitung Koefisien Persamaan Kuadrat yang Akar-akarnya Memiliki Cri-ciri Tertentu
Contoh:
Diketahui persamaan kuadrat
x 2  10 x  (k  3)  0
Jika salah satu akarnya empat kali akar yang lain, hitunglah nilai k
Jawab:
Salah satu akarnya empat kali akar yang lain.
Jadi
x1  4x2
Rumus jumlah akar-akar:
b
 10
x1  x 2    
 10
a
1
4 x 2  x 2  10
5 x 2  10
x2  2
Dari
x1  4x2
, maka
x1  4.2  8
Rumus hasil kali akar-akar:
c
x1 .x 2 
a
k 3

 k 3
1
2.8  k  3
16  k  3
16  3  k
k  13
Sifat : Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat
1.Akar-akarnya berlawanan
ax 2  bx  c  0
( x1   x2 )  b  0
1
) ac
2. Akar-akarnya berkebalikan ( x1 
x2
3. Sebuah akarnya sama dengan 0
4. Kedua akarnya bertanda sama
5. Kedua akarnya berlainan tanda
( x1  0)  c  0
c

0
a
c
 0
a
dan
b
x2  
a
Contoh:
Tentukan nilai p dalam persamaan kuadrat x 2  (2 p  1) x  ( p 2  3 p  4)  0
agar salah satu akarnya sama dengan nol.
Supaya salah satu akarnya sama dengan nol haruslah
Jadi:
p2  3p  4  0
( p  1)( p  4)  0
p  1
atau
p4
c0
Membuat grafik fungsi kuadrat
(cara 1)
Untuk menggambar grafik Fungsi kuadrat, cara
yg paling sederhana dengan memilih
sembarang nilai x (absis) dan menghitung
nilai f(x) yang adalah nilai ordinat (y)
Kumpulkan pasangan bilangan (x,y) dan
gambarlah titik pada bidang Cartesius
Kelemahan cara ini: titik titik penting, seperti
titik potong grafik dgn sumbu x, dgn sumbu
y dan koordinat titik puncak mungkin tak
ditemukan, sehingga gambar grafik menjadi
tak sempurna.
Contoh
dik: y= f(x) = x2 – 10x + 24
untuk { 3≤x≤7, x € bulat }
3
4
5
f(3)=… f(4)=… dst
6
7
Diperoleh 5 titik




{(3,3), (4,0), (5, -1), (6,0), (7,3)}
Gambarlah pada bidang koordinat x-y !
Hubungkan kelima titik sehingga
diperoleh kurva mulus (tak patah)
Gambarlah pada selembar kertas lalu
jawab pertanyaan berikut:
Isilah/pilihlah







a=…
Kurva terbuka ke
D=b2 – 4ac = …
Memotong sumbu x
pada berapa titik?
Koordinat titik
potong grafik dgn
sumbu x
Koord.titik balik
Koordinat titik
potong grafik dg sb







a<0 a>0
Atas Bawah
Positif Nol
Negatif
2 1 tidak
memotong
(… ,0) dan (…,0)
(…,…)
(0,…)
Kurva Fungsi Kuadrat
a menentukan terbuka keatas/bawah

a>0

a<0
a >>>0
a>0

a <<< 0
a <0
Letak grafik fungsi kuadrat
terhadap sumbu x
ditentukan oleh nilai D = b2-4ac


D<0
Grafik fungsi kuadrat tidak berpotongan
dengan sumbu x


D =0
Grafik fungsi kuadrat berpotongan
dengan sumbu x pada satu titik
(bersinggungan dg sumbu x)


D>0
Grafik f.k. berpotongan dg sumbu x
pada dua titik.


b=0
Grafik f.k. mempunyai sumbu simetri
yaitu sumbu y
Pengaruh a pada grafik
y=ax2+bx+c
x
y=x^2
y=3x^
2
30
y=0.5x^2
25
-3
9
27
4.5
20
-2
4
12
2
-1
1
3
0.5
0
0
0
0
10
1
1
3
0.5
5
2
4
12
2
0
9
27
4.5
y=3x^2
y=0.5x^2
-4
3
y=x^2
15
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Bila a<0, grafik terbuka kebawah
0
x
y=-x^2
y=-3x^2
y=-0.5x^2
-4
-3
-9
-27
-4.5
-2
-4
-12
-2
-1
-1
-3
-0.5
0
0
0
0
1
-1
-3
-0.5
2
-4
-12
-2
3
-9
-27
-4.5
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-5
-10
y=-x^2
-15
y=-3x^2
y=-0.5x^2
-20
-25
-30
Bila x ditambah/dikurangi
maka grafik akanbergeser ke kiri/kanan
x
y=x^2
y=(x-3)^2
y=(x+3)^2
-6
9
-5
4
-4
1
-3
9
0
-2
4
1
-1
1
4
0
0
9
1
1
4
2
4
1
3
9
0
4
1
5
4
6
9
10
8
9
6
y=x^2
4
y=(x-3)^2
y=(x+3)^2
2
0
-10
-5
0
5
10
Bila y ditambah/dikurangi
maka grafik akan bergeser ke bawah/atas
14
x
-3
y=x^2 y+5=x^2 y - 3=x^2
9
4
12
10
12
8
-2
-1
0
4
1
0
-1
-4
-5
7
6
y=x^2
4
4
y+5=x^2
y - 3=x^2
2
3
0
1
1
-4
4
2
4
-1
7
3
9
4
12
-4
-3
-2
-1
0
-2
-4
-6
1
2
3
4
Grafik biru → ungu ↑ kuning
x-3
y-15
x
y=x^2
y=(x-3)^2
y -15=(x-3)^2
60
-6
36
-5
25
-4
16
-3
9
36
51
-2
4
25
40
-1
1
16
31
0
0
9
24
1
1
4
19
2
4
1
16
3
9
0
15
4
16
1
16
5
25
4
19
6
36
9
24
7
16
31
8
25
40
9
36
51
50
40
y=x^2
30
y=(x-3)^2
y -15=(x-3)^2
20
10
0
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Perubahan tanda y, berarti grafik
dicerminkan terhadap sumbu x
x
y = 3x^2
30
- y = 3x^2
atau
20
y = - 3x^2
10
-3
27
-27
y = 3x^2
-2
12
-12
-1
3
-3
0
0
0
1
3
-3
2
12
-12
3
27
-27
0
-4
-2
0
-10
-20
-30
2
4
- y = 3x^2 atau y =
- 3x^2
y=f(x) grafik biru dan –y=f(x) grafik ungu
5
x
y = ½(x-2)(x+4)
y = -½(x-2)(x+4)
4
-5
3.5
-3.5
3
-4
0
0
2
-3
-2.5
2.5
1
-2
-4
4
0
-1
-4.5
4.5
-1
0
-4
4
-2
1
-2.5
2.5
-3
2
0
0
-4
3
3.5
-3.5
-5
-6
-4
-2
y = ½(x-2)(x+4)
0
2
4
y = -½(x-2)(x+4)
SELAMAT MENGERJAKAN
DAN BERDISKUSI