Kalkulus BAB II – Fungsi

BAB II
FUNGSI
2.1 Definisi
Jika nilai dari suatu besaran, misal y, bergantung pada nilai besaran lainnya,
misal x, maka kita dapat mengatakan bahwa y adalah fungsi dari x. Cara lain
untuk menyatakan ketergantungan y terhadap x adalah dengan cara simbolik
yaitu y = f(x) (dibaca “y adalah fungsi dari x”). Lambang-lambang lain untuk
menyatakan fungsi diantaranya adalah : h, F, G, f dll. Selanjutnya fungsi dapat
D
K
(a)
D
(b)
Gambar 2.1
D
K
K
Gambar 2.2
didefinisikan sebagai aturan yang menetapkan bahwa setiap satu anggota
himpunan D berpasangan dengan tepat satu anggota himpunan K (lihat Gambar
2.1). Anggota-anggota himpunan D yang mempunyai tepat satu pasangan pada
himpunan K disebut daerah definisi atau daerah asal (domain). Sedangkan
anggota-anggota pada himpunan K yang merupakan pasangan anggota-anggota
himpunan D disebut daerah nilai (range). Sedangkan semua anggota himpunan
K baik yang merupakan pasangan dari anggota himpunan D maupun yang
bukan disebut kodomain. Jika terdapat suatu hubungan yang tidak memenuhi
1
definisi diatas maka hubungan tersebut bukan suatu fungsi tetapi disebut relasi
(lihat Gambar 2.2). Jadi fungsi sama seperti sebuah proses yang menghasilkan
tepat satu keluaran untuk setiap masukan tertentu. Sedangkan relasi dapat
dimisalkan seperti sebuah proses yang menghasilkan dua keluaran untuk setiap
masukan tertentu.
2.2. Jenis-jenis fungsi
Secara garis besar fungsi dapat dikelompokkan menjadi dua bagian utama, yaitu
fungsi ril dan fungsi kompleks. Pembahasan mengenai fungsi pada materi kuliah
ini hanya mencakup fungsi ril saja.
2.2.1 Menurut jumlah peubah bebas
2.2.1.1 Fungsi peubah bebas tunggal
Fungsi peubah bebas tunggal
mempunyai satu peubah bebas.
Contoh 2.1 : a) y = 2x + 3
c) y = sin x
adalah
fungsi
yang
hanya
b) y = x 2
d) x 2 + y 2 =r 2
2.2.1.2 Fungsi peubah bebas banyak
Fungsi peubah bebas banyak adalah fungsi yang mempunyai
lebih dari satu peubah bebas.
Contoh 2.2 : a) w = xy
b) u = sin (x+y)
c) v = cos xy
d) t = xy+ z
2.2.2 Menurut cara penyajiannya
2.2.2.1 Fungsi eksplisit
Fungsi eksplisit adalah fungsi dimana peubah bebasnya ditulis
atau disajikan pada ruas tersendiri; terpisah dari peubah tak
bebasnya.
b) y = x2 - 1
Contoh 2.3 : a) y = x-5
c) y = sin x
d) y = (x-1)2
Secara umum fungsi ekplisit ditulis dalam bentuk y = f(x)
2.2.2.2 Fungsi implisit
Fungsi implisit adalah fungsi dimana peubah bebas dan tak
bebasnya ditulis pada ruas yang sama.
Contoh 2.4 : a) x + y = 0
b) x2 + y2 = r2
Secara umum fungsi implisit ditulis dalam bentuk F(x,y) = 0
2.2.2.3 Fungsi parameter
Bentuk umum dari fungsi parameter adalah:x = f(t) ; y = g(t) ; t
adalah parameter.
ìïx = t2 - 1
Contoh 2.5: í
ïîy = t + 2
Jika kita tinjau dari operasi yang dilakukan terhadap peubah
bebasnya, maka fungsi ril dapat dibagi seperti yang ditunjukkan
pada Gambar 2.3 berikut.
2
Fungsi
Aljabar
Rasional
Bulat
Transenden
Irasional
Pecah
Eksponen
Hiperbolik
Invers
Trigonometri
Invers
Logaritma
Trigonometri
Hiperbolik
Gambar 2.3
2.2.3 Fungsi aljabar
Fungsi aljabar adalah fungsi yang mengandung sejumlah operasi aljabar yaitu
operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan operasi
pangkat rasional. Fungsi aljabar dapat dibagi menjadi fungsi rasional dan
irrasional. Selanjutnya fungsi rasional dapat dibagi menjadi fungsi bulat dan
fungsi pecah.
2.2.3.1 Fungsi rasional
Fungsi rasional adalah fungsi yang mempunyai bentuk P(x)/Q(x)
dengan P(x) dan Q(x) adalah polinomial-polinomial dan Q(x) ¹ 0.
Selanjutnya jika Q(x) ¹ konstan maka fungsi rasional disebut juga
fungsi pecah. Sedangkan jika Q(x) = konstan maka fungsi rasional
disebut fungsi bulat.
A. Fungsi bulat
Fungsi bulat adalah suatu fungsi rasional dengan Q(x) = konstan.
Sehingga fungsi bulat dapat disebut fungsi polinomial karena
bentuknya sama seperti bentuk polinomial. Suatu fungsi yang
mempunyai bentuk :
f (x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2+. . .+ a1x + a0
( 2.1 )
disebut fungsi polinomial derajad n. Koeffisien-koeffisien an, an-1,
an-2,. . ., a1, a0 adalah bilangan-bilangan ril, sedangkan masingmasing sukunya disebut monomial. Pangkat n pada fungsi
polinomial adalah bilangan bulat tak negatif. Fungsi polinomial
dapat dikelompokkan menurut jumlah suku dan menurut derajat
nya. Berikut diberikan beberapa contoh fungsi - fungsi polinomial.
3
Berdasarkan
Polinomial
Derajad
Jumlah suku
2
x –x–6
x3+ 2x2 - x + 5
x5
-5
x+2
x6-4x3- 7x + 5
Trinomial
Polinomial
Monomial
Monomial
Binomial
Polinomial
2
3
5
0
1
6
(fungsi kuadrat)
(fungsi kubik)
(fungsi konstan)
(fungsi linier)
a. Penjumlahan dan pengurangan fungsi polinomial
Untuk melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan dari
fungsi polinomial langkah-langkah yang harus kita lakukan
yang
mempunyai
adalah
mengelompokkan
suku-suku
faktor/faktor-faktor peubah yang sama. Sebagai contoh sukusuku 3xy dan -2xy adalah dua faktor yang sama sehingga pada
kedua suku tersebut dapat dilakukan operasi penjumlahan dan /
atau pengurangan. Contoh lain dapat dilihat pada tabel berikut :
Keterangan
Jenis suku
3
3
ax dan bx
ax2 dan bx2y
a dan b
Mempunyai faktor peubah yang sama
Mempunyai faktor peubah yang tidak sama
Sebetulnya mempunyai faktor peubah yang
sama, karena masing-masing suku dapat
ditulis dalam bentuk : ax0+ bx0
Contoh 2.6
Tentukan jumlah dan selisih dari fungsi-fungsi : -2x 2 +5x+7xy
dan -3x 3 -4x 2 +x-3x 2 y+3xy-2
Penyelesaian :
Penjumlahan
(-2x2+5x+7xy)+(-3x3 -4x2 +x-3x2y+3xy-2) =
-2x2 +5x+7xy-3x3 -4x2 +x-3x2y+3xy-2 =
-3x3 - 6x2 + 6x - 3x2y + 10xy – 2
Pengurangan
(-2x 2 +5x+7xy)-(-3x 3 -4x 2 +x-3x 2 y+3xy-2) =
-2x2 +5x+7xy+3x3 +4x2 –x+3x2y-3xy+2 =
3x3+2x2+3x2y+4xy+4x+2
b. Perkalian monomial
Untuk melakukan operasi perkalian fungsi monomial berikut
diberikan beberapa hukum yang berlaku yaitu :
Hukum I : am. an =am+n
Contoh 2.7
a
Selesaikan perkalian : 52.53 ; x .xb ; xy2 .x3y
4
( 2.2 )
Penyelesaian :
52.53 = 52+3 = 5 5 = 3125
a
= xa+b
x .xb
2
3
xy .x y = x.x3.y2 .y = x4 .y3
Hukum II :
[am]n= amn
( 2.3 )
Contoh 2.8
Selesaikan : [42]3 dan [x3]4
Penyelesaian :
[42 ]3 = 46 =4096
[x3 ]4 = x12
Hukum III :
[ambn]k= amk.bnk
( 2.4 )
Contoh 2.9
Selesaikan : [{7}{52}]3 dan [x3y2]2
Penyelesaian :
[{7}{52}]3 = 73 5 6 = 5359375
[x3y2]2 = x6 y4
c. Perkalian fungsi polinomial
Proses perkalian dus fungsi polinomial dapat dilakukan dengan
mengalikan masing-masing monomialnya dengan bantuan
hukum distributif.
Contoh 2.10
Selesaikan perkalian : 2x(x2 -5x+6)
Penyelesaian :
2x(x2 -5x+6) = 2x3 -10x2 +12x
Contoh 2.11
Selesaikan perkalian : (3x+2)(x2 -3x+2)
Penyelesaian :
(3x+2)(x2 -3x+2) = 3x3 -9x2 +6x+2x2 -6x+4=3x3 -7x2 +4
d. Perkalian istimewa polinomial
Dua buah polinomial disebut binomial-binomial konjugat jika
salah satu dari binomial tersebut merupakan penjumlahan,
sedangkan yang lainnya merupakan pengurangan dari dua buah
monomial. Sebagai contoh (axm+byn) dan (axm–byn) adalah
binomial-binomial konjugat. Hasil perkaliannya adalah :
(axm+byn)(axm - byn) = (axm)2 - (by)2
5
(2.5)
Contoh 2.12
Selesaikan perkalian (5x2+6) (5x2-6)
Penyelesaian :
(5x2+6) (5x2-6) = (5x2)2 -(6)2 = 25x4 - 36
e. Pemfaktoran polinomial
Memaktorkan polinomial berarti menulis polinomial menjadi
bentuk perkalian antara dua polinomial atau lebih. Langkahlangkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut tentukan
faktor yang sama dari masing-masing monomial dan selanjutnya
keluarkan dari kelompoknya. Sebagai contoh dapat dilihat pada
tabel berikut.
Langkah I
(tentukan faktor
yang sama)
a
x
b
Polinomial
ax2+ay2
3x3+2x+x
3a2b+5ab-4b2
Langkah II
(keluarkan faktor
yang sama)
a(x2+y2)
x(3x2+2x+1)
b(3a2+5a-4b)
f. Pembagian polinomial
Pembagian dua buah monomial dapat
mengikuti hukum-hukum berikut ini.
Hukum IV :
xm
xn
éx ù
ê ú
ëy û
Hukum V :
dilakukan
= xmx -n = xm -n
m
=
( 2.6 )
xm
( 2.7 )
ym
Hukum VI : ( Pangkat nol) a0=1 ; a / 0
Hukum VII (Pangkat negatif) :
Contoh 2.13
é x3 ù
Sederhanakan fungsi : ê ú
2
êë y úû
Penyelesaian :
é x3 ù
ê 2ú
ëê y ûú
-4
=
x -12
y -8
=
y8
x 12
6
-4
dengan
1
am
= a- m
( 2.8 )
( 2.9 )
Soal-soal
1. Selesaiakan :
a) (x+6y) – (2x2 -7x+12) à 1
b) (x2+2xy+y2) – (3x-x2y+y)
c) (x3+6x2+12x+8) + (2x2y+3xy-7)
d) (4y2-x2) + (2x2y-3xy2)
2. Selesaikan :
a) (3x-9)(-2x12)(-5x-2)
b) (x 3y)(xy3)(x2y2)
e) (4x4y5z6)
f ) (-2p5 q4 r3 )3
é - 2x - 3 ù
c) ê
ú
2
ëê 3y ûú
4
t
g) 3 (3
à1
d) (-3x2y3)2 (44 y4)3
1-t
2
)
h) a2k+1 a3-4k ak+5
3. Selesaikan perkalian polinomial berikut ini !
a) x(x-2) à(6)
e) (x 2 -5)(x 2 -3x+2)
b) -2xy(x 2 y-3xy 3 )
c) abc(2a-5b-2c+7)
f) (2s 2 -t 3 +4s 2 t)(s 2 -2st+t 2 )
g ) (x 4 +2x 2 )(x 4 -2x 2 ) à 6
d) 5xy 2 z 3 (2x 2 z-3yz 3 +4xy 2 )
h) (-2m+5n)(2m+5n)
4. Faktorkan fungsi-fungsi berikut !
a) 5s – 5t
b) 6ab – 12ac + 18ad
5. Selesaikan !
a) s-4 . s2
c) 9xy + 12y – 6xz – 8z
d) 8ax – 20a + 10 bx – 25b
d) (4x2y-3)-3
b) (r-4 . s3)( r5 . s-1)
é x -1 ù
e) ê
ú
-1
êë y úû
c) (x2y-2)-1(x-1) à1
f)
g) (-5a2 b-3)2 (3a-3 b-1)
-1
h)
(5x 2 ) -3 (3x 2 )3
(2x 3 ) - 5
48x 6 y -8
6x 4 y - 2
g. Fungsi konstan
Pada contoh terdahulu telah dijelaskan bahwa fungsi polinomial yang
mempunyai derajad nol disebut fungsi konstan dan dapat ditulis dalam
bentuk :
y = f(x) = a0 atau y = konstan
( 2.10 )
Grafik fungsi konstan dapat dilihat pada Gambar 2.4 berikut.
y
y = a0 ; a0 > 0
x
0
y = a0 ; a0 < 0
Gambar 2.4
Grafik fungsi konstan
7
h. Fungsi linier
Fungsi linier adalah fungsi polinomial yang derajad satu. Fungsi linier
disebut juga persamaan garis dan ditulis dalam bentuk :
y = f(x) = a1x + a0 atau y = mx + n
( 2.11 )
Persamaan 2.11 adalah persamaan garis yang memotong sumbu x pada
saat y = 0 dan memotong sumbu y pada saat x = 0. Perhatikan
persamaan 2.11. Jika x = 0 maka y = n dan jika y = 0 maka x = - n/m.
Jadi dapat disimpulkan bahwa persamaan 2.11 menunjukkan sebuah
garis yang melalui titik-titik (0,n) dan (-n/m,0). Biasanya persamaan
2.11 disebut persamaan “Perpotongan-Kemiringan sebuah Garis (SlopeIntercept Equation of a Line)”.Grafik persamaan 2.11 ditunjukkan pada
Gambar 2.5 dibawah ini.
y
(0,n)
(-n/m,0)
x
0
Gambar 2.5
Grafik fungsi linier
Jika persamaan garis pada persamaan 2.11 melalui titik (x1,y1) maka :
y1 = mx1 + n ® n = y1 - mx1
( 2.12 )
Dengan mensubstitusi harga n pada persamaan 2.12 ke persamaan 2.11
maka didapat :
y - y1 = m(x - x1) atau y = m(x - x1) + y1
( 2.13 )
Biasanya persamaan 2.13 disebut persamaan “Kemiringan-Titik sebuah
Garis (Point-Slope Equation of a Line)”. Grafik persamaan 2.13
ditunjukkan pada Gambar 2.6.
y
(x,y)
(x1,y1)
0
Gambar 2.6
Grafik persaman 2.13
8
x
Jika persamaan garis 2.11 melalui titik (x2,y2), maka :
y – y2 = m(x – x2) atau y = m(x – x2) + y2
( 2.14 )
Jika persmaan 2.14 dikurang persamaan 2.13 maka didapat :
y1 – y2
y2 – y 1
y1 – y2 = m(x1 – x2) atau m = ¾¾¾ = ¾¾¾
x1 – x2
x2 – x1
( 2.15 )
Dengan memasukkan harga m pada persmaan 2.15 ke persamaan 2.13
didapat :
y2 – y1
y2 – y1
y – y1 = ¾¾¾ (x – x1) atau y = ¾¾¾ (x – x1) + y1 (2.16)
x2 – x1
x2 – x1
Persamaan 2.16 adalah persamaan garis yang melalui titik (x1,y1) dan
(x2,y2) dan disebut persamaan “Dua titik dari suatu garis (two point
equation of a line)” seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.7.
y
(x2,y2)
(x1,y1)
x
0
Gambar 2.7
Grafik persaman 2.16
Kesimpulan :
Dari uraian diatas padat disimpulkan bahwa :
1. Jika kemiringan dan titik potong suatu garis dengan sumbu x atau
sumbu y diketahui maka gunakan adalah persamaan 2.11.
2. Jika kemiringan suatu garis diketahui dan garis tersebut melalui titik
tertentu, misal (x1,y1), maka gunakan persamaan 2.13.
3. Jika suatu garis melalui titik-titik (x1,y1) dan (x2,y2) maka gunakan
persaman 2.16.
Cara menggambar garis
Bentuk umum persamaan garis : y = mx + n
Buat tabel sebagai berikut :
1. Jika n ¹ 0
x
y
0
n
-n/m
0
2. Jika n = 0
x
y
0
0
a
m.a
dimana a adalah sembarang bilangan ril
9
Contoh 2.14
Sebuah garis mempunyai kemiringan (koeffisien arah) -1/3 dan
memotong sumbu x pada x = 1. Tentukan persamaan garis tersebut !
Penyelesaian : (gunakan persamaan 2.11)
Persamaan garis y = mx + n
Karena m = -1/3, maka persamaan garis menjadi : y = -1/3 x + n
Titik potong dengan sumbu x pada x = 1, maka y = 0. Dengan
mensubstitusikan harga x dan y ke persamaan 2.11 maka didapat :
n=1/3. Dengan demikian persamaan garis menjadi: y = -1/3 x+1/3
Cara menggambarkan garis lihat petunjuk.
x
y
0
1/3
0
1
Jadi titik-titik koordinat garis tersebut adalah (0,1/3) dan (1,0).
y
(0,1/3)
(1,0)
0
x
Gambar 2.8
Contoh 2.15
Sebuah garis mempunyai kemiringan (koeffisien arah) 2 dan memotong
sumbu y pada y = 3/2. Tentukan persamaan garis tersebut !
Penyelesaian : (gunakan persamaan 2.11)
Persamaan garis y = mx + n
Karena m = 2, maka persamaan garis menjadi : y = 2x + n
Titik potong dengan sumbu y pada y = 3/2, maka x = 0. Dengan
mensubstitusikan harga x dan y ke persamaan 2.11 maka didapat :
n=1. Dengan demikian persamaan garis menjadi: y = 2x+3/2
Cara menggambarkan garis lihat petunjuk.
x
y
0
3/2
0
-3/4
Jadi titik-titik koordinat garis tersebut adalah (0,3/2) dan (-3/4,0).
y
(0,3/2)
(-3/4,0)
x
0
Gambar 2.9
Contoh 2.16
Sebuah garis mempunyai kemiringan (koeffisien arah) -1 dan melalui
titik (-2,3). Tentukan persamaan garis tersebut !
10
Penyelesaian (gunakan persamaan 2.13) :
y = m(x - x1) + y1 ® m = -1 ; x1 = -2 ; y1 = 3
Persamaan garis yang dimaksud adalah :y = -1(x+2)+3= -x + 1
y
(0,1)
(1,0)
x
0
Gambar 2.10
Contoh 2.17
Sebuah garis melalui (-3,4) dan (5,2). Tentukan persamaan garis tsb !
Penyelesaian (gunakan persamaan 2.16) :
y - y1
1
é2 - 4 ù
y= 2
(x – x1) + y1 = ê
(x +3) + 4 = - (x+3) + 4
ú
x 2 - x1
4
ë5 + 3 û
y= -
1
13
1
x+
= - (x – 13)
4
4
4
y
(0,13/4)
(13,0)
0
x
Gambar 2.11
Soal-soal
1. Tentukan persamaan garis dan gambarkan grafiknya dari data berikut !
a) Kemiringan (koeffisien arah) = 2 . Memotong sumbu x pada x = -1
b) Kemiringan (koeffisien arah) = -3/4. Memotong sumbu x pada x = 3
c) Kemiringan (koeffisien arah) = 1/4. Memotong sumbu y pada y = 1
d) Kemiringan (koeffisien arah) = 1. Memotong sumbu y pada y = -2
2. Tentukan persamaan garis dan gambarkan grafiknya dari data berikut !
a) Kemiringan (koeffisien arah) = 2. Melalui titik (-2,-1)
b) Kemiringan (koeffisien arah) = 2/3. Melalui titik (3,0)
c) Kemiringan (koeffisien arah) = -4. Melalui titik (-1/2,3)
d) Kemiringan (koeffisien arah) = -1. Melalui titik (0,3/2)
3. Tentukan persamaan garis yang melalui titik-titik berikut dan gambarkan grafiknya !
c) (-1,-2) dan -2,2)
a) (0,1) dan (2,5)
d) ( 2,-1) dan (2,6)
b) (0,-1) dan (3,8)
11
i. Fungsi kuadrat
- Penyelesaian fungsi kuadrat dengan pemaktoran
Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial yang mempunyai derajad dua
dan mempunyai bentuk umum :
y= f(x) = a2x2 + a1x + a0 atau y= f(x) = ax2 + bx + c
(2.17)
dengan a, b dan c adalah bilangan-bilangan ril. Sedangkan x adalah
peubah bebas dan y peubah tak bebas. Grafik persamaan kuadrat
pada persamaan 2.17 memotong sumbu x jika y =0. Sehingga
persamaan 2.17 menjadi : ax2 + bx + c = 0. Untuk menentukan
titik potong persamaan kuadrat terhadap sumbu x pertama-tama
kita harus menentukan akar-akarnya. Pemaktoran adalah salah satu
cara untuk menentukan akar-akar tersebut. Untuk memaktorkan
persamaan kuadrat pertama-tama kita tulis dalam bentuk :
b
c
ax2 + bx + c= a(x2 + x + ) = a(x2+Bx+C), dimana B = b/a dan C =
a
a
b
c
c/a. Memaktorkan x2 + x +
berarti menuliskannya dalam bentuk :
a
a
(x + m)(x+n), dimana mn = C
dan m + n = B
( 2.18 )
Akar-akar dari persamaan 2.18 adalah : x1= -m dan x2 = -n
Contoh 2.18
Faktorkan persamaan kuadrat : x2 + x – 6 = 0
Penyelesaian :
B = 1 dan C = -6
mn = -6 dan m + n = 1. Didapat m = -2 dan n = 3
Jadi : x2 + x – 6 = (x - 2)(x + 3). Sehingga akar-akarmya
adalah : x1 = 2 dan x2 = -3
Contoh 2.19
Faktorkan persamaan kuadrat : x2 -4x – 12 = 0
Penyelesaian :
B = -4 dan C = -12
mn = -12 dan m + n = -4. Didapat m = -6 dan n = 2
Jadi : x2 + x – 6 = (x - 6)(x + 2). Sehingga akar-akarmya
adalah : x1 = 6 dan x2 = -2
- Penyelesaian fungsi kuadrat dengan menggunakan rumus
kuadrat.
Dari penjelasan sebelumnya telah diketahui bahwa persamaan kuadrat
yang memotong sumbu x mempunyai bentuk umum ax2 + bx + c = 0
dengan x Î bilangan ril, atau dapat ditulis dalam bentuk :
b2
b
b
b2
+c=0
a(x2 + x ) + c = a(x2 + x +
)4a
a
a
4a2
12
b2
b2
b 2
b 2
c
- c ® (x +
) =
) =
2
4a
2a
2a
a
4a
a(x +
x+
b
=±
2a
x= x1 =
b2
4a
2
-
c
= ±
a
b2
4a
2
-
4ac
4a
2
= ±
- b ± b 2 - 4ac
b
1
b 2 - 4ac =
±
2a
2a 2a
- b + b 2 - 4ac
2a
;
x2 =
1
b 2 - 4ac
2a
atau :
- b - b 2 - 4ac
2a
( 2.19)
Persamaan 2.19 adalah persamaan kuadrat. Persamaan
digunakan untuk menentukan akar-akar dari persamaan
Besaran b2 – 4ac disebut diskriminan atau disingkat D.
tersebut
kuadrat.
Contoh 2.20
Tentukan akar-akar dari persamaan : x2 + 4x - 21 = 0 dengan
menggunakan persamaan kuadrat !
Penyelesaian :
Dari persamaan diketahui bahwa : a = 1 ; b = 4 ; c = -21
x1 =
- 4 + 4 2 - 4(1)(-21)
- 4 + 10
- b + b 2 - 4ac
=
=3
=
2(1)
2
2a
x2 =
- 4 - 4 2 - 4(1)(-21)
- 4 - 10
- b - b 2 - 4ac
=
=
= -7
2(1)
2
2a
- Grafik fungsi kuadrat.
Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial yang mempunyai derajad dua
dan bentuknya adalah : y = ax2 + bx + c, dimana a, b dan c adalah
bilangan-bilangan ril, a ¹ 0, x adalah peubah bebas dan y peubah tak
bebas. Grafik persamaan kuadrat dapat membuka keatas atau kebawah
tergantung dari nilai a. Jika nilai a > 0 maka grafik akan membuka
keatas. Jika a < 0 maka grafik akan membuka kebawah. Pada grafik
persamaan kuadrat kita mengenal beberapa istilah penting yaitu :
i) Verteks
Verteks adalah titik ekstrim ( maksimum ataupun minimum ) dari
suatu parabola. Jika nilai a para persamaan kuadrat lebih kecil dari
nol (negatif) maka verteks merupakan titik maksimum. Jika a lebih
besar dari nol (positif) maka verteks merupakan titik minimum.
Titik koordinat verteks adalah V(h,k), dimana :
h= -
b
2a
dan
k=c-
b2
4a
( 2.20 )
ii) Sumbu simetri
Sumbu simetri adalah garis yang membagi parabola
menjadi dua bagian yang sama. Sumbu simetri adalah :
x=h= -
b
2a
(2.21 )
13
iii) Titik potong dengan sumbu x
Untuk menentukan apakah sebuah parabola memotong
sumbu x atau tidak, kita perlu memeriksa harga
diskriminan. Jika diskriminan (D) = 0 maka parabola tidak
memotong sumbu x tetapi verteksnya hanya menyinggung
sumbu x. Jika D < 0 parabola tidak memotong dan tidak
menyinggung sumbu x. Jika D > 0 maka parabola
memotong sumbu x pada x1 dan x2.
iv) Titik potong dengan sumbu y
Titik potong dengan sumbu y pada y = c
Contoh 2.21
Diketahui fungsi kuadrat y=f(x) = -x2 + 5x -6
Tentukan : verteks, sumbu simetri, titik potong dengan sumbu x dan y
Penyelesaian :
Dari soal siketahui : a = -1, b = 5 dan c = -6
5
5
25
1
b
b2
52
h= =; k=c= -6 = -6+
=
=
4
4
2a
4a
-2 2
4(-1)
5 1
5
Verteks = V(h,k) = V( , ). Sumbu simetri x = h =
2 4
2
Titik potong dengan sumbu x ® y = 0
-x2 + 5x -6 = -(x-3)(x-2) = 0 ® x1 = 3 dan x2 = 2
Jadi parabola memotong sumbu x pada x =2 dan x = 3
Titik potong dengan sumbu y ® x = 0. Didapat :y = -6
Jadi parabola memotong sumbu y pada y = -6.
Parabola membuka keatas karena a < 0
y
1/4
0
x = 5/2
2
3
-6
sumbu
simetri
Gambar 2.12
14
x
Soal-soal (12 Juli 2010)
Tentukan : verteks, sumbu simetri, titik potong dengan sumbu x dan y
dari fungsi kuadrat berikut ini !
2
1. y = -5x2
3. y = x2 – 2x
5. y = x2 – 3x -4
3
4 2
1
2. y= (x + 2 )2
4. y =2x2 + 4x + 5
6. y =
x –7
5
2
j. Fungsi pangkat tinggi
Fungsi pangkat tinggi yang dimaksud pada pasal ini adalah polinomial
derajad tiga atau lebih. Untuk menentukan akar-akar dan menggambarkan
grafik dari fungsi pangkat tinggi biasanya kita perlu untuk memaktorkan
fungsi pangkat tinggi tersebut.
- Pemaktoran fungsi pangkat tinggi
Misal f(x) sembarang polinomial. Selanjutnya x – c dikatakan salah satu
faktor dari f(x) Û f(c) = 0. Berarti c merupakan salah satu faktor dari
polinomial. Berikut adalah contoh pemaktoran fungsi pangkat tinggi.
Contoh 2.22
Tentukan faktor-faktor dan akar-akar dari fungsi pangkat tinggi :
F(x) = x3 - 3x2 - 10x + 24
Penyelesaian :
Pertama-tama tentukan salah satu akarnya secara trial & error.
Jika kita ambil x = 1, maka f(1) = 13 - 32 - 10 + 24 =12. Karena f(1) ¹
0, maka x = 1 bukan akar dari f(x).
Jika kita ambil x = 2, maka f(2) = 23 – 3(2)2 – 10(2) + 24 =0. Karena
f(1) = 0, maka x = 2 adalah salah satu akar dari f(x) dan x – 2 adalah
salah satu faktor terkecil dari f(x).
Untuk mencari faktor lainnya kita bagi f(x) dengan faktor yang sudah
didapat, yaitu x3 - 3x2 - 10x + 24 dibagi dengan x – 2.
x–2
x2 - x - 12
x3 - 3x2 - 10x + 24
x3 - 2x2
- x2 - 10x + 24
- x2 + 2x
- 12x + 24
- 12x + 24
0
Hasil bagi x3 - 3x2 - 10x + 24 dengan x – 2 adalah x2 - x - 12. Berarti
x2 - x – 12 adalah faktor lain dari x3 - 3x2 - 10x + 24 dan selanjutnya
x3 - 3x2 - 10x + 24 dapat ditulis dalam bentuk : (x – 2)(x2 - x – 12).
Akan tetapi faktor x2 - x – 12 masih mungkin untuk diuraikan lagi
karena mempunyai derajad dua, yaitu : x2 - x – 12 = (x – 4)(x + 3).
Sehingga secara keseluruhan : x3 - 3x2 - 10x + 24 dapat ditulis dalam
bentuk :x – 2)(x – 4)(x + 3). Jadi faktor-faktor dari :x3 - 3x2 - 10x + 24
15
adalah :(x – 2), (x – 4) dan (x + 3), sedangkan akar-akarnya adalah : x
= 4, 2 dan -3.
- Menggambar Grafik fungsi pangkat tinggi
Menggambar grafik fungsi pangkat tinggi dapat dibantu dengan bantuan
tanda dari faktor-faktornya (positif atau negatif) seperti yang
ditunjukkan pada contoh berikut.
Contoh 2.23
Gambarkan grafik fungsi f(x) = x3 – x
Penyelesaian :
Faktorkan f(x) ® x3 – x = x(x – 1)(x + 1).
x
: - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + ++ + + + ++
x–1
: ------------- -------0+++++
x+1
: - - - - - 0 + + + + + + + + + ++ + + + + +
x3 – x
: - - - - - -0 + + + ++0 - - - - - - -0 + + + + +
-1
0
1
Grafik dari fungsi f(x) = x3 – x adalah :
y
1
-1
0
Gambar 2.13
Soal-soal
Gambarkan grafik dari fungsi2 berikut ini!
1. y = x3 + 1
3. y = 1/4 + 2x3
4
4. y = x3 – 2x2 – 9
2. y= 1 – x
5. y = x3 + 4x2 + x – 9
B. Fungsi pecah
a. Daerah definisi (domain)
Fungsi pecah adalah fungsi yang mempunyai bentuk P(x)/Q(x); P(x)
dan Q(x) adalah fungsi-fungsi polinomial dan Q(x) ¹ 0. Dalam bentuk
formulasi fungsi pecah dapat ditulis menjadi :
f(x) =
P(x)
, Q(x) ¹ 0
Q(x)
( 2.22 )
Untuk menentukan daerah definisi dari fungsi pecah, pertama-tama
kita faktorkan penyebutnya. Dari faktor-faktor tersebut kita
16
dapatkan akar-akarnya. Daerah definisi fungsi pecah adalah pada
semua bilangan ril kecuali pada akar-akar penyebut dari fungsi
pecah.
Contoh 2.24
Tentukan daerah-daerah definisi dari fungsi-fungsi berikut !
2x - 1
x+3
b)
a) 2
3
x -x-2
4x + 4x 2 + x
Penyelesaian :
a) Perhatikan Q(x) : x2 – x – 2 = (x – 2)(x + 1)
2x - 1
adalah :
Himpunan daerah definisi fungsi : 2
x -x-2
{x½x semua bilangan ril, x ¹ 2 dan x ¹ -1}
b) Perhatikan Q(x) : 4x3 +4x2 + x = 4x(x + 1/2)2
x+3
adalah :
Himpunan daerah definisi fungsi :
3
4x + 4x 2 + x
{x½x semua bilangan ril, x ¹ 0 dan x ¹ - 1/2}
b. Grafik fungsi pecah
Untuk menggambarkan grafik fungsi pecah, kita perlu melakukan
langkah-langkah sebagai berikut :
i) Faktorkan fungsi pembilang P(x) dan penyebut Q(x).
ii) Tentukan daerah definisi atau domain dari f(x) dengan cara
menentukan Q(x) = 0. Harga x yang didapat bukan domain f(x).
iii) Periksa apakah terdapat faktor (x + a) yang merupakan faktor
dari P(x) dan Q(x). Jika ada maka titik x = -a merupakan titik tak
kontinu dari f(x).
iv) Tentukan titik potong f(x) dengan kedua sumbu, jika ada. Untuk
mencari titik potong f(x) dengan sumbu x tetapkan P(x) = 0.
Selanjutnya harga x yang didapat merupakan titik potong f(x)
dengan sumbu x. Untuk mencari titik potong dengan sumbu y
tetapkan x = 0. Harga f(x) yang didapat merupakan titik potong
f(x) dengan sumbu y.
v) Coret faktor/faktor-faktor yang sama antara pembilang dan
penyebut.
vi) Tentukan asimtot tegak, jika ada. Garis x = c merupakan asimtot
tegak jika x – c merupakan faktor dari Q(x) setelah langkah v.
vii) Misal fungsi pecah berbentuk :
f(x) =
an x n + an - 1 x n - 1 + ... + a1 x + a0
b m x m + b m - 1 x m - 1 + ... + b1 x + b 0
- Jika n < m maka garis y = 0 adalah asimtot datar.
- Jika n = m maka garis y = an/bm adalah asimtot datar.
- Jika n > m maka fungsi tidak mempunyai asimtot datar.
viii) Tentukan tanda-tanda dari f(x) pada selang-selang antara asimtot
tegak (positif atau negatif).
Contoh 2.24
17
Gambarkan grafik y = f(x) =
3x 2 - x - 2
2x 2 - x - 1
Penyelesaian :
(x - 1)(3x + 2)
3x 2 - x - 2
i)
=
2
(x - 1)(2x + 1)
2x - x - 1
ii) Q(x) = (x-1)(2x+1) = 0 ® x = 1 dan x = -1/2. Jadi daerah definisi
(domain) dari f(x) adalah semua bilangan ril kecuali 1 dan -1/2.
iii) Karena (x - 1) adalah faktor dari P(x) dan Q(x), maka f(x) tak
kontinu pada titik x = 1.
iv) Titik potong dengan sumbu x.
P(x) = 3x2 – x – 2 = 0 ® (x-1)(3x+2) ® x = 1 dan x = -2/3.
Jadi titik potong dengan sumbu x terjadi pada x = 1 dan x = -2/3.
Titik potong dengan sumbu y.
x = 0 ® y = 2. Jadi titik potong dengan sb. y terjadi pada y = 2.
v)
3x 2 - x - 2
2x
2
- x -1
=
(x - 1)(3x + 2)
3x + 2
=
(x - 1)(2x + 1)
2x + 1
vi) Karena (2x+1) adalah faktor dari Q(x), setelah dilakukan langkah v,
maka x= -1/2 adalah asimtot tegak.
vii) Karena n = m, maka y = 3/2 adalah asimtot datar
viii)
x–1: -------------------- 0+++++
3x + 2 : - - - - - 0+++++++++++++++++ + + + +
2x + 1 : - - - - - - - - - - - - -0+ + + + + + + + + + +
3x 2 - x - 2
:+++++ 0 - - - - - - ¥ + + + + + ? + + + + +
2x 2 - x - 1
-2/3
-1/2
1
y
x
-2/3
18
-1/2 0
Gambar 2.14
Soal-soal (12 Juli 2010)
Gambarkan grafik fungsi pecah berikut !
1
1
1. f(x) =
6. f(x) = x
4(x + 1) 4
1
x -1
7. f(x) =
2. f(x) = x
x +1
1
1
3. f(x) =
8. f(x) =
x -1
(x + 1)2
4. f(x) = 2 +
5. f(x) =
1
x
1
9. f(x) = -
2
-1
x3
10. f(x) =
x
2
x -9
2
x2 + 1
2.2.3.2 Fungsi irasional
Fungsi irasional adalah fungsi yang mempunyai bentuk :
f(x) =
n
( 2.23 )
g(x)
dengan g(x) adalah fungsi rasional. Daerah definisi fungsi irasional
(Df) dapat dijelaskan sebagai berikut :
bila n adalah bilangan ganjil
ìïD g
Df = í
ïî{x g(x) ³ 0} bila n adalah bilangan genap
( 2.24 )
Dimana Dg adalah daerah definisi dari g.
Contoh 2.25
Tentukan daerah definisi dan daerah nilai dari : y = 9x - x 2
Penyelesaian :
Karena n adalah bilangan genap (dalam hal ini 2) maka : 9x – x2 ³ 0
9x – x2 ³ 0 ® x(9-x) ³ 0
x
: - - - - - - 0++++++++++++++
9 - x :++++++++++++++0 - - - - - 9x-x2 : - - - - - - 0+++++++0 - - - - - [
0
]
9
Jadi daerah definisi atau domain dari
Daerah nilai dari
9x - x 2 adalah 0 £ x £ 9
9x - x 2 dicari dengan cara :
y = 9x - x 2 ® y2 = 9x - x 2 ® x2 – 9x + y2 = 0
Dari persamaan diatas kita dapatkan : a = 1, b = -9, c = y2
19
Selanjutnya kita cari diskriminan, yaitu :D = b2 -4ac
Selanjutnya kita cari harga diskriminannya, yaitu :D = b2 -4ac
Karena domain dari f(x) adalah ril, maka diskriminan juga
harus ril. Artinya D ³ 0. Secara otomatis b2 -4ac ³ 0. Jika kita
masukkan nilai a, b dan c maka didapat : (-9)2 -4(1)(y2) ³ 0.
4y2 £ 81 ® -9/2 £ y £ 9/2
Akhirnya didapat dua pertaksamaan, yaitu: y ³ -9/2 dan y £ 9/2.
Akan tetapi karena y harus lebih besar atau sama dengan nol,
maka pertaksamaan y ³ -9/2 diabaikan. Sehingga pertaksamaan
yang digunakan adalah y £ 9/2 dan y ³ 0. Jadi daerah nilai
untuk f(x) =
9x - x 2 adalah : 0 £ y £ 9/2.
Soal-soal
1. y =
x +1
2. y =
1-x
3. y =
x2 - 4
4. y =
x(x - 3)
2.2.4 Fungsi komposisi
Fungsi komposisi adalah fungsi yang merupakan kombinasi dari beberapa
fungsi. Misal terdapat dua buah fungsi, yaitu f dan g. Jika daerah nilai fungsi
g merupakan daerah definisi dari fungsi f, maka kombinasi f dan g kita tulis
dengan f o g (baca f circle g) dan didefinisikan sebagai :
(f
o
g)(x) = f(g(x))
( 2.25 )
Sebaliknya jika daerah nilai fungsi f merupakan daerah definisi dari g maka
kombinasinya kita tulis dengan gof (baca g circle f) dan didefinisikan sebagai :
(g
o
f)(x) = g(f(x))
( 2.26 )
Contoh 2.26
Jika diketahui : f(x) = x2 + 2x + 1 dan g(x) = x + 3
Tentukan a) (fog)(x)
dan
b) (gof)(x)
Penyelesaian :
a) (fog)(x) = f(g(x)) = f (x+3) = (x+3)2+2(x+3)+1 = x2 + 8x + 16
b) (gof)(x) = g(f(x)) = g (x2+2x+1) = (x2+2x+1)+3 = x2+2x+4
Soal-soal
Tentukan fog dan gof dari fungsi-fungsi :
1. f(x) = x2 – 4 ; g(x) = x + 1
2. f(x) = x – 3
x
x
x
4. f(x) =
x
3. f(x) =
; g(x) = x2 + x – 2
2.2.5 Fungsi satu ke satu
20
1
+1
; g(x) =
-1
x2
+2
x-2
; g(x) =
-2
x+2
Misal terdapat suatu fungsi f. Jika setiap satu daerah nilai (range) fungsi f
berasal dari satu daerah definisinya, maka fungsi tersebut dikatakan fungsi
satu ke satu. Sebagai contoh f(x) = x3 adalah suatu fungsi yang mempunyai
daerah definisi untuk semua x ril dan untuk setiap daerah definisi
menghasilkan satu daerah nilai. Sehingga dikatakan bahwa f(x) = x3 adalah
fungsi satu ke satu. Contoh lainnya, f(x) = x2 adalah suatu fungsi yang
mempunyai daerah definisi untuk semua x ril. Akan tetapi setiap satu daerah
definisi menghasilkan lebih dari satu daerah nilai (dalam hal ini dua).
Sehingga f(x) = x2 bukan fungsi satu ke satu.
2.2.6 Fungsi invers
Misal terdapat suatu fungsi f. Selanjutnya f dikatakan mempunyai invers jika
dan hanya jika terdapat suatu fungsi g sedemikian rupa sehingga :
i) daerah definisi fungsi g merupakan daerah nilai fingsi f
ii) pada semua daerah definisi f dan semua daerah nilai g berlaku :
f(x) = y Û g(y) = x
( 2.27 )
Pernyataan diatas menunjukkan bahwa g adalah invers dari f dan ditulis :
g = f-1 atau
x = f-1(y)
( 2.28 )
Contoh 2.27
Tentukan invers dari persamaan : y = x3 + 2
Penyelesaian :
y = x3 + 2 ® x3 = y – 2 ® x = ( y – 2 )1/3
f-1 (y) = ( y – 2 )1/3
f-1 (x) = ( x – 2 )1/3
Soal-soal
Tentukan invers fungsi-fungsi berikut serta gambarkan grafikf(x) dan f-1(x) !
x-4
1. f(x) = 3x – 2
3. f(x) = 4 – x3
5. f(x) =
x+4
- 2x 3 + 3
2. f(x) = -3(x+5)
4. f(x) = (7 – x)5
6. f(x) =
x3 + 8
2.2.7 Fungsi transenden
2.2.7.1 Fungsi eksponen
Misal terdapat bilangan a>0. Selanjutnya fungsi f yang didefinisikan
x
sebagai f(x) = a disebut fungsi eksponen dengan basis a. Sifat-sifat
x
a dapat dijelaskan sebagai berikut :
x
x
i) a > 0 untuk semua harga x dan daerah nilai dari a adalah
semua bilangan positif.
ii) Titik potong dengan sumbu y adalah y = 1
iii) Tidak ada titik potong dengan sumbu x
x
iv) Sumbu x adalah asimtot datar dari a
21
ìïa x < az untuk a > 1
v) Jika terdapat x < z, maka : í
ïîa x > az untuk 0 < a < 1
(2.29)
x
Dapat dijelaskan bahwa bila a > 1 maka grafik a akan menanjak
pada arah kanan (Gambar 2.15a). Sedangkan bila a < 1maka
grafiknya akan menurun kearah sebelah kanan (Gambar 2.15b).
y
y
x
0
(a)
x
0
(b)
Gambar 2.15
x
Fungsi eksponen e
x
Fungsi yang mempunyai bentuk e disebut fungsi eksponen natural
atau fungsi eksponen dengan basis e. Bilangan e adalah bilangan
irasional yang besarnya adalah 2,7182818…
Persamaan eksponensial
ìïa x = az maka x = z
Misal a > 0 dan a ¹ 0. Jika : í
ïîa x ¹ az maka x ¹ z
(2.30)
Contoh 2.28
2
x
Jika 27 = 3 x - 4 , tentukan harga x !
Penyelesaian :
2
2
2
x
x
3x
27 = 3 x - 4 ® (33) = 3 x - 4 ® 3 = 3 x - 4 ® 3x = x2 - 4
x2 - 3x – 4 = 0 ® (x-4)(x+1) = 0
Sehingga didapat : x1 = 4 dan x2 = -1
Contoh 2.29
x
Tentukan nilai basis a jika f(x) = a melalui titik (2,9) !
Penyelesaian :
x
f(x) = a ® 9 = a2 ® 32 = a2
Jadi a = 3
Soal-soal
x
Tentukan nilai basis a jika f(x) = a melalui titik :
1
1
i) (3,8)
ii) (5,
)
iii) (-8,
)
25
64
iv) (
1 1
)
,
4 81
2.2.7.2 Fungsi logaritma
Fungsi logaritma adalah fungsi yang didefinisikan sebagai invers dari
fungsi eksponensial. Misal terdapat sebuah bilangan a>0 dan a¹ 1.
22
Untuk setiap bilangan positif y maka logaritma y dengan basis a
x
(ditulis alog y) adalah bilangan unik x sedemikian rupa sehingga a =y.
Jadi :
a
log y = x Û y = a
x
( 2.31 )
dan dibaca “log y basis a sama dengan x jika dan hanya jika y sama
dengan a pangkat x”. Jika harga y pada persamaan 2.31 sama
dengan satu maka harga x = 0. Jika harga y = a maka harga x = 1.
Jadi :
a
log 1 = 0
( 2.32 )
a
( 2.33 )
log a = 1
Contoh 2.30
Ubahlah persamaan yang mengandung eksponen berikut ini menjadi
bentuk logaritma !
a) 103
b) 6251/4
Penyelesaian :
a) y = 103 Û 10log y = 3
b) y = 6251/4 Û
625
log y = 1/4
Contoh 2.31
b) 16log ¼
Hitung : a) 2log 32
Penyelesaian :
y
y
a) y= 2log 32 ® 2 = 32 ® 2 = 25. Jadi y = 5
y
4 y
4y
16
b) y= log 1/4 ® 16 = 1/4 ®((2) ) = 2-2 ® 2 =2-2. Jadi y = -1/2
Seperti yang telah dijelaskan diatas untuk a>0 dan a ¹ 1 fungsi
logaritma dengan basis a adalah fungsi yang didefinisikan sebagai :
a
a
a
f(x) = log x untuk x>0. Jika kita tulis log x = log x, maka dari
persamaan 2.31 didapat :
alog x
a
= x untuk x > 0
x
Jika kita tulis persamaan a
ditulis menjadi :
a
( 2.34 )
x
= a , maka dari persamaan 2.31 dapat
x
log a = x, untuk setiap bilangan x ril
( 2.35 )
Hukum-hukum logaritma :
a)
b
b
b
log PQ = log P + log Q
23
b
n
b
c) log P = n log P
b)
b
log
P
b
b
= log P - log Q
Q
b
d) log
n
1
n
P =
b
log P
Logaritma natural
Logaritma natural adalah logaritma
Logaritma natural ditulis sebagai :
e
yang mempunyai basis e.
log x = ln x
( 2.36 )
Soal-soal
6
1. log
mn
r2
e
2. log
a
b
a
3 4
3. log (x2y )
é x3y2 ù
b
4. log ê
ú
5
ëê z ûú
4
2.2.7.3 Fungsi trigonometri
A. Pengukuran sudut
Sebelum kita mendefinisikan fungsi-fungsi trigonometri terlebih
dahulu akan dibahas sudut dan pengukurannya. Sudut pada suatu
bidang dibentuk oleh perpotongan dua buah garis atau sisi yang
terdiri dari sisi awal dan sisi ujung sudut. Titik potong antara
kedua garis tersebut disebut verteks sudut. Sebelum membahas
y
sisi ujung
a
x
0
sisi awal
Gambar 2.16
pengukuran sudut terlebih dahulu kita gambarkan sudut yang
terletak pada koordinat Kartesius (lihat Gambar 2.16). Biasanya
verteks sudut diletakkan berimpit dengan titik asal (origin)
sedangkan sisi awal berimpit dengan sumbu x. Sudut yang
digambarkan dengan cara diatas disebut sudut dalam posisi
standar.
B. Sudut dalam satuan derajad
Satuan derajad adalah salah satu ukuran sudut. Bila kita
melakukan pengukuran satu putaran penuh yang dimulai dari
24
sumbu x positif dengan arah yang berlawanan jarum jam, maka
o
besarnya sudut yang diukur adalah 360 . Gambar 2.17 adalah
o
o
o
o
contoh pengukuran sudut-sudut 360 , 180 , 90 , -90 .
y
y
360
o
180
o
x
x
0
0
y
y
90
o
0
0
-90
o
Gambar 2.17
Contoh 2.32
Gambarkan sudut-sudut -2700 dan 1350
Penyelesaian :
y
y
135
o
x
0
-270
o
x
0
Gambar 2.18
C. Sudut dalam satuan radian
Perhatikan sebuah lingkaran yang mempunyai jari-jari r. Dua
buah sisi yang mengapit sudut tertentu akan memotong
lingkaran dan akan menghasilkan panjang busur tertentu pula
25
(lihat Gambar 2.19a). Jika panjang busur = t maka sudut yang
diapit oleh dua sisi yang memotong lingkaran adalah t/r radian.
y
t
radian
r
r
t
x
0
(a)
y
2p
r
x
(b)
Gambar 2.19
Selanjutnya perhatikan Gambar 2.19 b. Keliling
lingkaran adalah 2pr. Berarti sudutnya (satu putaran)
adalah 2p radian. Telah kita ketahui bahwa satu putaran
o
o
sama dengan 360 . Jadi 2p radian = 360 . Selanjutnya
didapat :
0
é180 ù
o
’
’’
1 radian = ê
ú = 57 17 45
ë p û
é 180
ù
t radian = ê
.t ú
ë p
û
0
( 2.37 )
( 2.38 )
é p ù
1o = ê
ú radian
ë180 o û
( 2.39 )
é p
ù
qo = ê
. qú radian
o
ë180
û
( 2.40 )
26
Contoh 2.33
Ubah sudut 20o kedalam satuan radian !
Penyelesaian :
ù
é p
20o = ê
. 20 ú radian (lihat persamaan 2.40)
o
û
ë180
p
=
radian.
9
Contoh 2.34
Ubah sudut p/6 radian kedalam satuan derajad !
Penyelesaian :
é180 p ù
p/6 = ê
.
6 úû
ë p
= 30o
0
(lihat persamaan 2.38)
Soal-soal
1. Ubah sudut-sudut berikut kedalam satuan radian !
b. 45o
c. 60o
d. 75o
a. 30o
2. Ubah sudut-sudut berikut kedalam satuan derajad !
p
p
p
p
a.
radian
b.
radian 45o
c.
radian
d.
radian
8
4
3
2
D. Fungsi trigonometri sudut lancip
Fungsi trigonometri adalah fungsi yang mencakup fungsi-fungsi
sinus, cosinus, tangent, cotangent, secant dan cosecant. Gambar
2.20 adalah sebuah segitiga siku-siku. Sisi a dan b adalah sisi
siku-siku sedangkan c adalah sisi miring. Sudut q dan g adalah
sudut-sudut lancipnya. Jika kita perhatikan Gambar 2.20 maka
kita dapat menyimpulkan bahwa sisi-sisi siku-siku selalu terletak
dihadapan sudut lancip. Sedangkan sisi miring selalu terletak
dihadapan sudut siku-siku. Jika kita tinjau salah satu sudut lancip
pada Gambar 2.20, dalam hal ini sudut q, maka sisi siku-siku b
disebut juga sebagai sisi pembatas sudut q. Begitu juga jika kita
tinjau sudut g maka a disebut juga sisi pembatas sudut g.
c
g
a
q
b
Gambar 2.20
27
Dengan mengacu pada penjelasan-penjelasan diatas selanjutnya
kita definisikan fungsi-fungsi trigonometri sebagai berikut :
sisi dihadapan sudut q a
sin q =
( 2.41a )
=
sisi miring
c
sisi pembatas sudut q b
cos q =
( 2.41b )
=
sisi miring
c
sisi dihadapan sudut q
a
=
tan q =
( 2.41c )
sisi pembatas sudut q
b
sisi pembatas sudut q
b
=
cot q =
( 2.41d )
sisi dihadapan sudut q
a
sisi miring
c
sec q =
( 2.41e )
=
sisi pembatas sudut q
b
sisi miring
c
csc q =
( 2.41f )
=
sisi dihadapan sudut q a
Dari persamaan 2.41a s/d 2.41b dapat dibuat hubungan sbb. :
sin q
tan q =
( 2.42a)
cos q
cos q
cot q =
( 2.42b)
tan q
1
sec q =
( 2.42c)
cos q
1
csc q =
( 2.42d)
sin q
Masih tetap mengacu pada Gambar 2.20 dan teorema
Pythagoras :
c2 = a 2 + b 2
(bagi semua ruas dengan c2)
c2
=
a2
c2
c2
Didapat :
+
b2
c2
é aù
®1 = ê ú
ëcû
2
2
éb ù
+ ê ú (subs. ke pers. 2.41a dan 2.41b)
ëcû
sin2q + cos2q = 1
( 2.43 )
Bagi persamaan 2.43 dengan cos2q didapat :
sin2 q
cos 2 q
1
+
=
2
2
cos q cos q
cos 2
tan2q + 1 = sec2q
Jika persamaan 2.43 dibagi dengan sin2q didapat :
sin 2 q cos 2 q
1
+
=
2
2
sin q
sin q
sin 2
28
( 2.44 )
1 + cot2q = csc2q
( 2.45 )
Persamaan 2.42 s/d 2.53 disebut identitas trigonometri
Contoh 2.35
Diketahui sebuah segitiga siku-siku terletak pada kuadran I. Jika
harga sin q = 4/5, tentukan nilai fungsi trigonometri lainnya !
Penyelesaian :
y
5
4
0
q
x
x=?
Gambar 2.21
Dari trorema Pythagoras : 52 = x2 + x2 ® x = 5 2 - 4 2 =3
Didapat :
cos q = 3/5 ; tan q = 4/3 ; cot q = ¾ ; sec q = 5/3 ; csc q = 5/4
Soal-soal
1. Jika sebuah segitiga siku-siku terletak terletak pada kuadran
pertama, lengkapilah tabel berikut.
Sudut
sin
a
1
2
cos
tan
cot
sec
csc
2
b
5
6
7
q
3
g
2
2. Jika sebuah segitiga siku-siku terletak terletak pada kuadran
kedua, lengkapilah tabel berikut.
Sudut
a
sin
cos
3
5
-1
b
5
29
tan
cot
sec
csc
2
q
- 3
-4
5
g
E. Fungsi trigonometri sudut-sudut 30o, 45o dan 60o.
Untuk menentukan harga fungsi-fungsi trigonometri sudut 30o, 45o
dan 60o pertama-tama kita gambarkan segitiga seperti yang
ditunjukkan pada Gambar 2.21. Misal terdapat sebuah segitiga
siku-siku yang mempunyai sudut-sudut lancip 30o dan 60o serta
panjang sisi miring 1 satuan (Gambar 2.21a).
300
1
300 300
b
600
600
a
600
a
a
(a)
(b)
Gambar 2.21
Jika terdapat satu segitiga lainnya yang sama dan sebangun
dengan segitiga pertama dan diletakkan secara berdampingan
maka akan terbentuk segitiga baru yang sama sisi (lihat Gambar
2.21b). Selanjutnya didapat 2a = 1 atau a = ½. Untuk menghitung
panjang sisi b kita gunakan teorema Pythagoras, yaitu :
3
1
3
=
12 = a 2 + b 2 ® b 2 = 1 – a 2 =
®b=
3
4
4
2
Jadi :
Sudut
sin
cos
300
1
2
1
3
2
600
1
3
2
1
2
tan
cot
sec
csc
1
3
3
3
2
3
3
2
2
2
3
3
1
3
3
3
Untuk menentukan harga fungsi trigonometri sudut 450 terlebih
dahulu kita gambarkan sebuah segitiga siku-siku yang mempunyai
450
1
450
30
b
a
Gambar 2.22
sudut lancil masing - masing 450. Untuk lebih jelasnya perhatikan
Gambar 2.22 berikut. Telah diketahui bahwa setiap segitiga siku–
siku yang mempunyai sudut lancip masing-masing 450 disebut
segitiga sama kaki. Dengan kata lain panjang kedua sisi yang
berhadapan dengan sudut 450 mempunyai panjang yang sama ( a
= b ). Dengan menggunakan teorema Pythagoras kita dapatkan
bahwa :
Sudut
sin
cos
tan
cot
sec
csc
450
1
2
1
2
1
1
2
2
Untuk sudut-sudut 00 dan 900 dapat dilihat pada tabel berikut.
Sudut
sin
cos
tan
cot
sec
csc
00
0
1
0
¥
1
¥
900
1
0
¥
0
¥
1
F. Fungsi trigonometri untuk penjumlahan dua sudut
Untuk membahas fungsi trigonometri jumlah dua sudut perhatikan
Gambar 2.22 berikut.
y
P
L sin A cos B
L sin A
L
Q
S
L cos A
L sin A sin B
L cos A sin B
A
0
B
R
Gambar 2.22
31
T
x
sin(A+B) =
PQ + QR
L sin A cos B + L cos A sin B
=
OP
L
sin(A+B) = sinA cosB + sinB cosA
cos(A+B) =
( 2.46 )
OT - RT
L cos A cos B - L sin A sin B
OR
=
=
L
L
OP
cos(A+B) = cosA cosB - sinA sinB
sin(A + B)
=
cos(A + B)
sin A cos B
+
cos
A cos B
tan(A+B) =
cos A cos B
cos A cos B
tan(A+B) =
tan(A+B) =
( 2.47 )
sin A cosB + sinBcosA
cosAcosB - sinAsinB
sin B cos A
cos A cos B
sin A sin B
cos A cos B
tan A + tan B
1 - tan A tan B
( 2.48 )
Untuk fungsi-fungsi trigonometri lainnya dapat dijabarkan
sendiri oleh mahasiswa. Fungsi trigonometri ini dapat
digunakan untuk mencari harga fungsi trigonometri sudut
tumpul seperti 900 + a atau sudut tumpul lainnya.
Contoh 2.36
Tentukan harga sin 1350.
Penyelesaian :
Sin 1350 = sin(900 +450) = sin 900 cos450 + sin450 cos900
1
1
1
= (1)(
2) + (
2 )(0) =
2
2
2
2
G. Grafik fungsi trigonometri
y
1
-2p
-3/2 p
-p/2
p
0
-p
-1
32
p/2
(3/2)p
2p
x
Gambar 2.23
Grafik fungsi sinus
y
1
-p
-3/2 p
-p
-p/2
0
p/2
3p/2
p
p
x
-1
Gambar 2.24
Grafik fungsi cosinus
y
-3p/2
-p
-p/2
0
p/2
p
3p/2
x
Gambar 2.25
Grafik fungsi tangent
y
-3p/2
-p
-p/2
0
33
p/2
p
3p/2
x
Gambar 2.26
Grafik fungsi cotangent
y
1
-3p/2
-p
-p/2
0
p/2
p
3p/2
x
-1
Gambar 2.27
Grafik fungsi secant
y
2p
-3p/2
-p
-p/2
0
p/2
p
3p/2
2p
1
-1
Gambar 2.28
Grafik fungsi cosecant
34
x
Soal-soal
1. Tentukan nilai fungsi trigonometri lainnya jika :
a. sin a = 3/5 ; p/2 < a < p
b. cos a = -4/5 ;
c. tan a = - 2 ;3p/2 < a < 2p
; p/2 < a < p
e. sec a = -6
d. cot a = 4/ 6 ;
f . csc a = 5/4 ;
p < a < 3p/2
p < a < 3p/2
0 < a < p/2
2. Gambarkan grafik fungsi trigonometri berikut :
a. sin a + ½
b. cos a - 1/2
c. sin (a - p/2)
d. cos (a + p/2)
H. Hukum sinus
Untuk membuktikan hukum sinus perhatikan Gambar 2.29 berikut.
C
g
E
a
b
k
h
a
A
b
D
B
c
Gambar 2.29
h
® h = a sin b
a
h
Perhatikan segitiga ADC ® sin a =
® h = b sin a
b
sin b
sin a
Dari (*) dan (**) didapat : a sin b = b sin a ®
=
a
b
k
Perhatikan segitiga AEC ® sin g =
® k = b sin g
b
k
Perhatikan segitiga AEB ® sin b =
® k = c sin b
c
sin g
sin b
Dari (#) dan (##) didapat : b sin g = c sin b ®
=
c
b
Dari (***) dan (###) didapat :
sin b sin g
sin a
=
=
a
b
c
Perhatikan segitiga BDC ® sin b =
Persamaan 2.49 disebut hukum Sinus.
Soal-soal
Soal-soal berikut mengacu pada Gambar 2.29.
35
(*)
( ** )
( *** )
(#)
( ## )
( ### )
(2.49)
1.
2.
3.
4.
5.
a=
a=
b=
b=
b=
60o ;
70o ;
30o ;
35o ;
25o ;
b = 50o dan b = 10
b = 45o dan c = 20
g = 115o dan c = 8
g = 125o dan c = 7
g = 40o dan a = 5
I. Hukum Cosinus
Untuk membuktikan hukum cosinushatikan Gambar 2.30 berikut.
C
g
E
a
b
k
h
a
A
b
D
B
c
Gambar 2.30
Perhatikan segitiga ADC ® h = b sin a
Perhatikan segitiga BDC ® (CD)2 = (BC)2 – (BD)2 = (BC)2 – (AB - AD)2
h2 = a2 – (c - b cos a)2
2
b sin2a = a2 – c2 + 2bc cos a - b2 cos2a
b2 sin2a + b2 cos2a = a2 – c2 + 2bc cos a
b2 (sin2a + cos2a) = a2 – c2 + 2bc cos a
b2 = a2 – c2 + 2bc cos a
b 2 + c 2 - a2
Sehingga : a2 = b2 + c2 - 2bc cos a atau cos a =
(2.50)
2bc
Perhatikan segitiga BDC ® h = a sin b
Perhatikan segitiga ADC ® (CD)2 = (AC)2 – (AD)2 = (AC)2 – (AB - BD)2
h2 = b2 – (c - a cos b)2
2
a sin2b = b2 – c2 + 2ac cos b - a2 cos2b
a2 sin2b + a2 cos2b = b2 – c2 + 2ac cos b
a2 (sin2b + cos2b ) = b2 – c2 + 2ac cos b
a2 = b2 – c2 + 2ac cos b
a2 + c 2 - b 2
Sehingga : b2 = a2 + c2 – 2ac cos b atau cos b =
(2.51)
2ac
Perhatikan segitiga AEC ® k = b sin g
Perhatikan segitiga AEB ® (AE)2 = (AB)2 – (BE)2 = (AB)2 – (BC - CE)2
k2 = c2 – (a - b cos g)2
36
b2
b2
b2
b2
sin2a = c2 – a2 + 2ab cosg - b2 cos2g
sin2g + b2 cos2g = c2 – a2 + 2ab cos g
(sin2g + cos2g ) = c2 – a2 + 2ab cos g
= c2 – a2 + 2ab cos g
Sehingga : c2 = a2 + b2 - 2ab cos g atau cos g =
a2 + b 2 - c 2
2ab
(2.52)
Persamaan 2.50 s/d s.52 adalah hukum Cosinus.
Soal-soal
1. Dengan mengacu pada Gambar 2.30, tentukan besar sudut a, b dan g
jika panjang sisinya adalah :
i) a = 5 ; b = 7 ; c = 8
iv) a = 7 ; b = 5 ; c = 4
ii) a = 4 ; b = 8 ; c = 9
v) a = 9 ; b = 4 ; c = 8
iii) a = 6 ; b = 9 ; c = 7
vi) a = 8 ; b = 6 ; c = 7
2. Dengan mengacu pada Gambar 2.30, tentukan luas segitiga jika
diketahui :
i) a = 45o ; b = 5 ; c = 4
iii) b = 120o ; a = 6 ; c = 9
o
ii) a = 60 ; b = 9 ; c = 10
iv) b = 90o ; a = 8 ; c = 4
2.2.7.4 Fungsi trigonometri invers
Kita telah mengetahui bahwa suatu fungsi akan mempunyai invers jika
fungsi tersebut adalah fungsi satu ke satu, yaitu fungsi yang mempunyai
nilai tunggal untuk setiap domain. Sebagai contoh f(x) = x3 + 1 adalah
fungsi satu ke satu untuk setiap harga x yang tunggal akan menghasilkan
f(x) yang tunggal pula. Sehingga dikatakan bahwa f(x) = x3 + 1 mempunyai
invers. Akan tetapi f(x) = x2 bukanlah fungsi satu ke satu karena untuk dua
harga x yang berbeda akan menghasilkan harga f(x) yang r=tunggal.
Sehingga dikatakan bahwa f(x) = x2 tidak mempunyai invers.
Fungsi-fungsi trigonometri adalah fungsi-fungsi yang tidak termasuk
dalam golongan fungsi satu ke satu. Sebagai contoh f(x) = sin x. Untuk
harga x = 0, x = p dan x = 2p akan menghasilkan harga yang sama yaitu 0.
Begitu juga dengan fungsi-fungsi trigonometri lainnya. Akan tetapi jika kita
batasi domain fungsi trigonometri maka kita dapat membuat fungsi
trigonometri menjadi fungsi satu ke satu. Jadi f(x) = sinx adalah fungsi satu
ke satu jika -p < x < p. Begitu juga dengan fungsi-fungsi trigonometri
lainnya.
Definisi-definisi :
i) Fungsi sinus invers (ditulis sin-1 atau arcsin) didefinisikan sebagai :
y = sin-1 x Û x = sin y , untuk -1 £ x £ 1 dan -p/2 £ y £ p/2.
ii) Fungsi sinus invers (ditulis cos-1 atau arccos) didefinisikan sebagai :
y = cos-1 x Û x = cos y , untuk -1 £ x £ 1 dan 0 £ y £ p.
iii) Fungsi tangent invers (ditulis tan-1 atau arctan) didefinisikan sebagai :
y = tan-1 x Û x = tan y , untuk setiap harga x dan -p/2 £ y £ p/2.
iv) Fungsi cotangent invers (ditulis cot-1 atau arccot) didefinisikan sebagai :
y = cot-1 x Û x = cot y , untuk setiap harga x dan 0 £ y £ p.
37
v) Fungsi secant invers (ditulis sec-1 atau arcsec) didefinisikan sebagai :
y = sec-1 x Û x = sec y , untuk setiap harga |x| ³ 1 dan 0 £ y £ p,
kecuali y = p/2.
vi) Fungsi cosecant invers (ditulis cosec-1 atau arccosec) didefinisikan
sebagai : y = cosec-1 x Û x = cosec y , untuk setiap harga |x| ³ 1 dan
0 £ |y| £ p/2.
y
y
-p/2
-1
1
p
0
1
p/2
x
p/2
-1
Grafik sin-1x
0
Grafik cos-1x
Gambar 2.31
Sifat-sifat fungsi trigonometri invers
i) arcsin(sinx) = x untuk -p/2 £ x £ p/2
sin(arcsinx) = x untuk 1 £ x £ 1
ii) arccos(cosx) = x untuk 0 £ x £ p
cos(arccosx) = x untuk -1 £ x £ 1
iii) arctan(tanx) = x untuk -p/2 £ x £ p/2
tan(arctanx) = x untuk semua harga x
Contoh 2.37
Tentukan harga y jika :
-1 1
a. y = sin (
2 ) untuk -p/2 £ y £ p/2
2
1
-1
b. y = sin (2 ) untuk -p/2 £ y £ p/2
2
Penyelesaian :
1
-1 1
a. y = sin (
2 ) Û sin y =
2 . Jadi y = p/4
2
2
1
1
-1
b. y = sin (2 ) Û sin y = 2 . Jadi y = - p/4
2
2
38
1
x
y
p/2
-1/ 2
p/4
1
0
-1
x
1/ 2
-p/4
-p/2
Gambar 2.31
Soal-soal
Tentukan harga dari :
1. arcsin 1
2. arcsin (-1)
3. arccos 0
4. arccos (-1)
5. arctan 0
6. arctan 1
7.
8.
9.
10.
11.
12.
arcsin (sin p/3)
arcsin (sin p/6)
arccos (cos p )
arccos (cos 2p/3 )
arctan (tan p/3 )
arctan (tan -5p/6 )
13.
14.
15.
16.
17.
18.
arcsin (cos p/3)
arccos (p/4)
arctan (p/2)
arctan (cos 4p)
sin (arcsin 1/2)
sin(arccos 1/2)
2.2.7.5 Fungsi hiperbolik
A. Definisi
Fungsi hiperbolik adalah fungsi yang mempunyai sifat yang serupa
dengan fungsi trigonometri. Keserupaan antara kedua fungsi tersebut
dapat dilihat dari definisi yang diberikan berikut ini.
sinh x =
ex - e - x
2
( 2.53a )
cosh x =
ex + e - x
2
( 2.53b )
tanh x =
coth x =
sech x =
ex - e - x
ex + e - x
x
e -e
-x
=
2
ex + e - x
cosech x =
sinh x
cosh x
=
ex + e - x
cosh x
sinh x
=
2
ex - e - x
1
cosh x
=
1
sinh x
B. Identitas hiperbolik
Dari persamaan 2.53a dan b didapat :
é ex - e - x ù
ú
2
êë
úû
sinh2 x = ê
2
=
e2x - 2 + e -2x
4
39
( 2.53c )
( 2.53d )
( 2.53e )
( 2.53f )
é ex + e - x ù
ú
2
êë
úû
cosh2 x = ê
2
e2x + 2 + e -2x
4
=
Sehingga : cosh2 x - sinh2 x =
e2x + 2 + e -2x
4
e2x - 2 + e -2x
4
cosh2 x - sinh2 x = 1
( 2.54 )
Dengan membagi persamaan 2.54 dengan cosh2 x didapat :
1 - tanh2 x = sech2 x
( 2.55 )
Selanjutnya jika persamaan 2.54 dibagi dengan sinh2 x didapat :
coth2x - 1 = cosech2 x
( 2.56 )
Persamaan 2.54 s/d 2.56 adalah Identitas hiperbolik. Selain
identitas tersebut diatas masih terdapat identitas hiperbolik lainnya
seperti yang terdapat pada soal-soal.
Soal-soal
Buktikan identitas hiperbolik berikut :
1. sinh x + cosh x = e
2. cosh x - sinh x = e
x
-x
3. sinh (-x) = - sinh x
4. cosh (-x) = cosh x
5. sinh 2x = 2 sinh x cosh x
6. cosh 2x = cosh2x + sinh2x
tanh x + tanh y
1 + tanh x tanh y
tanh x - tanh y
14. tanh (x-y) =
1 - tanh x tanh y
x
cosh x - 1
15. sinh2 =
2
2
cosh x + 1
2 x
16. cosh
=
2
2
2 tanh x
13. tanh (x+y) =
17. tanh 2x =
1 + tanh2 x
x
sinh x
18. tanh
=
2 1 + cosh x
7. sinh (x+y) = sinh x cosh y + sinh y cosh x
8. sinh (x-y) = sinh x cosh y - sinh y cosh x
9. cosh (x+y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y
10. cosh (x-y) = cosh x cosh y - sinh x sinh y
11. (sinh x + cosh x)n = sinh nx + cosh nx
12. (sinh x - cosh x)n = sinh nx - cosh nx
2.2.7.6 Fungsi hiperbolik invers
Pada definisi sebelumnya telah diketahui bahwa fungsi hiperbolik definisikan
dalam bentuk fungsi eksponen. Hal ini berarti bahwa fungsi hiperbolik invers
dapat ditulis dalam bentuk logaritma natural.
40
Teorema-teorema
-1
sinh x = ln (x + x2 + 1 )
( 2.57 )
Bukti :
-1
y = sinh x Û x = sinh y =
y
-y
ey - e -y
2
2x – e + e = 0. Selanjutnya kalikan semua ruas dengan ey didapat:
2y
y
2xey - e + 1 = 0 atau e2y - 2xe -1 = 0
Dengan menggunakan persamaan kuadrat :
2x ± 4x2 + 4
= x ± x2 + 1
2
y
e =
Berarti ey mempunyai dua harga yaitu x + x2 + 1 dan x - x2 + 1 . Perlu
diperhatikan bahwa :
y
- harga e dan
x2 + 1 selalu positif untuk sembarang harga x
x2 + 1 selalu lebih besar dari x untuk sembarang harga x
- harga
Dari dua fakta yang disebutkan diatas maka kita dapat menyimpulkan
y
bahwa : e = x + x2 + 1 . Sehingga : y = ln ( x + x2 + 1 )
( terbukti )
Gambar 2.32
Grafik sinh x dan arcsinh x
-1
cosh x = ± ln (x + x2 - 1 ) , x ³ 1 ; y ³ 0
( 2.58 )
Bukti :
-1
y = cosh x Û x = cosh y =
y
2x – e - e
-y
ey + e -y
2
= 0. Selanjutnya kalikan semua ruas dengan ey didapat:
41
2y
y
2xey - e - 1 = 0 atau e2y - 2xe +1 = 0
Dengan menggunakan persamaan kuadrat :
y
e =
2x ± 4x2 - 4
= x ± x2 - 1
2
Berarti ey mempunyai dua harga yaitu x + x2 - 1 dan x - x2 - 1 . Perlu
diperhatikan bahwa :
y
- harga e selalu positif untuk x ³ 1
-
x2 - 1 ³ 0 untuk x ³ 1
- harga
x2 - 1 selalu lebih kecil dari x untuk x ³ 1
Dari tiga fakta yang disebutkan diatas maka kita dapat menyimpulkan
y
y
bahwa : e = x + x2 - 1 atau e = x - x2 - 1 .
Selanjutnya perhatikan bahwa :
x - x2 - 1 = ( x - x2 - 1 )
x + x2 - 1
x + x2 - 1
=
x2 - x2 + 1
x + x2 - 1
=
1
x + x2 - 1
= ( x + x2 - 1 )-1
y
y
Jadi : e = x + x2 - 1 atau e = ( x + x2 - 1 )-1
y = ln ( x + x2 - 1 ) atau y = - ln ( x + x2 - 1 ).
Disini dapat kita lihat bahwa untuk setiap satu nilai x (peubah bebas)
berpasangan dengan dua nilai y (peubah tak bebas). Hal ini melanggar
definisi fungsi ; yaitu setiap satu nilai x tepat berpasangan dengan satu
nilai y. Berdasarkan hal tersebut diatas maka y diambil harga positifnya
saja, yaitu :
y = cosh-1 x= ln ( x + x2 - 1 ) , y ³ 0 dan x ³1 (terbukti)
Gambar 2.33
42
Grafik cosh x dan arccosh x
1
1+x
ln
, çxç< 1
2
1-x
-1
tanh x =
( 2.59 )
Bukti :
-1
y = tanh x Û x = tanh y =
y
xe + xe
xe
2y
-y
y
–e +e
+x–e
2y
-y
ey - e -y
ey + e - y
= 0 ® kalikan dengan e
+ 1 = 0 ® (x-1)e
2y
y
+ (x+1) = 0
1
e
2y
1+ x
y
é1 + x ù 2
1+x
=
®e =±
=± ê
ú untuk çxç< 1.
1-x
1-x
ë1 - x û
1
é1 + x ù 2
Karena e selalu positif , maka e = ê
ú , çxç< 1
ë1 - x û
y
y
é1 + x ù
1
ln ê
ú , çxç< 1 ( terbukti ).
2
ë1 - x û
atau y =
1
x +1
ln
, çxç>1
2
x -1
-1
coth x =
( 2.60 )
Bukti :
-1
y = coth x Û x = coth y =
y
xe - xe
xe
e
2y
2y
-y
y
–e -e
-x–e
2y
-y
ey + e -y
ey - e - y
= 0 ® kalikan dengan e
- 1 = 0 ® (x-1)e
y
x +1
=
®e =±
x -1
2y
y
- (x+1) = 0
1
x +1
é x + 1ù 2
=± ê
ú untuk çxç>1.
x -1
ë x - 1û
1
é x + 1ù 2
Karena e selalu positif, maka e = ê
ú , çxç>1
ë x - 1û
y
atau y =
y
é x + 1ù
1
ln ê
ú , çxç>1 ( terbukti ).
2
ë x - 1û
43
-1
sech x = ln
1 + 1 - x2
, 0>x³1
x
( 2.61 )
Bukti :
-1
y = sech x Û x = sech y
x=
1
-1 1
1
® cosh y =
® y = cosh
cosh y
x
x
-1
Jadi sech x = cosh
-1
-1 1
sech x = ± ln (
x
= ± ln ( 1 + 1
x
x
1 - x2 ) , 0 < x £ 1
1 + 1 - x2
).
x
-1
Karena sech x hanya mempunyai satu harga untuk srtiap satu harga x,
-1
maka : sech x = ln (
-1
cosech x = ln
1+
1 + 1 - x2
) , 0 < x £ 1 (terbukti)
x
x2 + 1
, x>0
x
( 2.62 )
Bukti :
-1
y = cosech x Û x = cosech y
x=
1
-1 1
1
® sinh y =
® y = sinh
sinh y
x
x
-1
Jadi cosech x = ln (
1 + x2 + 1
1
1
), x > 0
+
1 + x2 ) = ln (
x
x
x
( terbukti )
2.2.7.7 Fungsi genap dan ganjil
Suatu fungsi dikatakan fungsi genap jika memenuhi :
f(x) = f(-x)
2.63
dan dikatakan ganjil jika memenuhi :
f(-x) = -f(x)
2.64
Jika suatu fungsi tidak memenuhi persamaan 2.63 dan 2.64 maka
persamaan tersebut bukan merupakan fungsi genap atau ganjil.
Contoh 2.38
Diketahui
i) f(x) = x3
ii) f(x) = x2 + 3
iii) f(x) = x - 2
Tentukan apakah fungsi tersebut termasuk fungsi genap, ganjil atau tidak
keduanya ?
44
Penyelesaian
i) f(x) = x3
f(-x) =(-x)3 = -x3 =-f(x)
Karena f(-x) = -f(x), maka x3 adalah fungsi ganjil.
ii) f(x) = x2 + 3
f(-x) = (-x)2 + 3 = x2 + 3 = f(x)
Karena f(-x) = f(x), maka x2 + 3 adalah fungsi genap.
iii) f(x) = x - 2
f(-x) = -x - 2 = - (x+2)
Karena f(x) ¹ f(-x) ¹ -f(x), maka x – 2 bukan fungsi genap atau ganjil.
Misal terdapat sebuah fungsi f(x) sedemikian rupa sehingga :
f(x) = g(x) . h(x)
(*)
f(-x) = g(-x) . h(-x)
( ** )
atau
Jika g(x) dan h(x) adalah fungsi ganjil maka berlaku g(-x) = - g(x) dan h(-x)
= - h(x). Dengan melakukan substitusi ke (**) didapat :
f(-x) = {-g(x)}.{- h(x)}
f(-x) = g(x) . h(x)
(***)
Substitusi (*) ke (***) didapat : f(-x) = f(x)
Kesimpulan : Perkalian fungsi ganjil dengan fungsi
ganjil menghasilkan fungsi genap
Misal terdapat sebuah fungsi f(x) sedemikian rupa sehingga :
f(x) = g(x) . h(x)
(*)
f(-x) = g(-x) . h(-x)
( ** )
atau
Jika g(x) dan h(x) adalah fungsi genap maka berlaku g(-x) = g(x) dan h(-x)
= h(x). Dengan melakukan substitusi ke (**) didapat :
f(-x) = g(x) . h(x)
(***)
Substitusi (*) ke (***) didapat : f(-x) = f(x)
Kesimpulan : Perkalian fungsi genap dengan fungsi
genap menghasilkan fungsi genap
Misal terdapat sebuah fungsi f(x) sedemikian rupa sehingga :
45
f(x) = g(x) . h(x)
(*)
f(-x) = g(-x) . h(-x)
( ** )
atau
Jika g(x) adalah fungsi genap dan h(x) adalah fungsi ganjil atau sebaliknya
maka berlaku g(-x) = g(x) dan h(-x) = -h(x). Dengan melakukan substitusi
ke (**) didapat :f(-x) = g(x) .{-h(x)} = -{g(x) . h(x)}. Selanjutnya dengan
mensubstitusi (*) ke (***) didapat : f(-x) = - f(x).
Kesimpulan : Perkalian fungsi genap dengan fungsi ganjil
atau sebaliknya menghasilkan fungsi ganjil
Soal-soal :
Gambarkan grafik dari fungsi-fungsi berikut dan tentukan fungsi-fungsi
apakah genap, ganjil atau tidak keduanya !
1. f(x) = x3
4. f(x) = x3 + x
7. f(x) =
1+ x
2
1-x
4
2. f(x) = x x
3. f(x) = x4 – 2x2 + 1
5. f(x) = sinh x
6. f(x) = cosh x
8. f(x) =
2
x +1
x +1
9. f(x) = sin(cos x)
10. f(x) = cos x3
2.2.9 Fungsi Periodik
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi eriodik jika fungsi tersebut terdefinisi untuk
semua harga x dan terdapat bilangan positif sedemikian rupa sehingga :
f( x + p ) = f ( x )
( 2.64 )
dimana p adalah periode positif terkecil dari fungsi f(x). Fungsi-fungsi yang
termasuk fungsi periodik diantaranya fungsi sinus dan cosinus. Sedangkan
fungsi-fungsi x, x2, x3, ex dan ln x tidak termasuk fungsi periodik karena tidak
memenuhi persamaan 2.64. Dengan mengacu pada persamaan 2.64 kita
dapatkan bahwa :
f(x+2p) = f{(x+p)+p} = f(x+p) = f(x)
f(x+3p) = f{(x+2p)+p} = f(x+2p) = f(x)
..............................
f(x+np) = f(x)
;
n = 1, 2, 3, . . . . . . .
( 2.65 )
Contoh grafik dari fungsi periodik dapat dilihat pada Gambar 2.34 dibawah
ini.
46
p
Gambar 2.34
Grafik fungsi priodik
Misal terdapat dua buah fungsi g(x) dan h(x). Jika fungsi f(x) adalah fungsi
yang didefinisikan oleh : f(x) = ag(x) + bh(x), dimana a dan b adalah
konstanta, maka berlaku :
f(x+p) = ag(x+p) + bh(x+p)
( 2.66 )
Jadi dapat disimpulkan ; jika g(x) + h(x) mempunyai periode p, makaf(x)
juga mempunyai periode p.
Contoh 2.39
Tentukan periode dari f(x) = sin x
Penyelesaian :
sin (x+p) = sin x
sin x cos p + cos x sin p = sin x ® didapat p = 2p
47