K. Matriks Transpose (At)

FISIKA MATEMATIKA I
MATRIKS
Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Fisika Matematika I
Anggota Kelompok :
ANIQ RIF’ATUN NAJIHAH (1101135001)
NUR FAISIL NADHIROH (1101135017)
ROHIMATUL JANNAH (1101136018)
SANTIKA DEWI PURNAMA (1101135019)
TIKA SURYANI (1101135022)
PENDIDIKAN FISIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF.DR.HAMKA
2013
MATRIKS
A. DEFINISI DAN NOTASI
Definisi matriks yang lebih pasti dan umum adalah sebagai berikut
Definisi
Sebuah matriks A berukuran (m x n) adalah suatu susunan petak
bilanganyang memiliki m baris dan n kolom, dengan elemen pada
baris ke-I dan kolom ke-j, atau petak (i, j), dilambangkan dengan aij,
yakni:
Kolom j
A=
baris i
Matriks adalah suatu kumpulan besaran (variabel dan konstanta) yang
dapat dirujuk melalui indeknya, yang menyatakan posisinya dalam
representasi
umum
yang
digunakan,
yaitu
sebuah
tabel
persegipanjang. Matriks merupakan suatu cara
Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun secara baris dan
kolom dan ditempatkan pada kurung biasa atau kurung siku.
Penulisan matriks:
atau
Ordo suatu matriks adalah bilangan yang menunjukkan banyaknya
baris (m) dan banyaknya kolom (n).
Matriks di atas berordo 3x2
Indeks i berjalan dari i= 1 hingga m; sedangkan j dari 1 hingga n.
Bila banyaknya baris dan kolom sebuah matriks adalah sama, n
misalnya, matriks tersebut disebut matriks bujur sangkar berukuran n x
n, atau berorde n. matriks yang hanya terdiri dari satu baris, berukuran
(1 x n), disebut matriks baris; sedangkan yang terdiri dari hanya satu
kolom, berukuran (n x 1) disebut matriks kolom
Sebuah matriks A berukuran m x n dengan elemen aij seringkali
diringkas sebagai berikut: A= (aij). Untuk matriks bujur sangkar,
elemen-elemen aij, dengan (I = j), disebut elemen diagonal. Berikut
adalah beberapa matriks istimewa.
Matriks bujur sangkar A yang semua elemen takdiagonalnya nol, jadi
aij = 0, untuk i≠ j, disebut matriks diagonal. Matriks diagonal ini,
seringkali diringkas penulisannya dengan pernyataan: A = diag [ a11
a22…. a33].
Matriks diagonal istimewa yang semua elemen diagonalnya bernilai
satu, disebut matriks satuan, yang lazimnya dinotasikan dengan I. jadi
I = diag [1 1 … 1]. Terakhir, matriks yang semua elemennya nol, aij =
0, untuk semua I dan j, disebut matriks nol, dan dilambangkan dengan
O. ukuran matriks nol O disesuaikan, misalnya dalam suatu hubungan
aljabar, agar taat asas dengan pernyataan aljabarnya
Contoh 1.1
A=
= diag (2 -1 3),
i=
Berturut-turut matriks diagonal, dan satuan berorde-3
B. ALJABAR MATRIKS
a. Kesamaan Matriks
2 matriks dikatakan sama jika ordonya sama dan elemen yang seletak
sama.
Contoh:
Tentukan nilai 2x-y+5z!
Jawab:
maka
maka
maka
Dua buah matriks adalah sama, jika dan hanya jika mereka memiliki
ukuran yang sama dan setiap elemennya yang bersangkutan adalah
sama pula, jadi, jika A = (aij), dan B = (bij) adalah dua buah matriks
dengan ukuran sama, maka A = B, jika dan hanya jika aij = b ij , untuk
semua i dan j.
Contoh 2.1
=
Jika dan hanya jika
a11 = 1,
a12 = 2,
a13 = -1
a21 = 3,
a22 = 1,
a23 = 0
b. Penjumlahan / pengurangan matriks
Dua buah matriks A dan B berukuran sama dapat dijumlahkan /
dikurangkan dengan hasil sebuah matriks baru C berukuran sama pula,
yang elemennya merupakan hasil jumlah/selisih elemen matriks A dan
B yang bersesuaian. Jadi, misalkan A = (aij), dan B = (bij) bersamasama berukuran (m x n). maka, A ± B = C, dengan cij = aij + bij
Contoh 2.2
+
=
Penjumlahan dan pengurangan matriks dapat dilakukan dengan
mengoperasikan komponen matriks pada letak yang sama, atau
dilambangkan dengan
atau dalam representasi dekoratfinya
c. Perkalian dengan sebuah bilangan
Perkalian sebuah matriks A dengan sebuah bilangan c, menghasilkan
sebuah matriks baru B dengan ukuran yang sama dan elemennya sama
denga hasilkali elemen matriks A dengan c.
Misalkan A = (aij) berukuran (m x n), maka cA = B. matriks B = (bij)
juga berukuran (m x n) dengan bij = caij
Contoh 2.3
(5)
=
=
d. Perkalian Matriks
Sebuah matriks A (m x n) dapat mengalikan sebuah matriks B (n x p)
dari kiri, yang member hasil sebuah matriks C = AB berukuran (m x
p). elemen dalam baris ke-i dan kolom ke-j dari C adalah jumlah :
cij = ailbij + ai2bnj + . . . .ainbnj =
. . . . . . . . . . . . . . . . . (1)
Perhatian: definisi perkalian matriks (1) mensyaratkan jumlah elemen
beris matriks pertama (A) haruslah sama banyak dengan jumlah
elemen kolom matriks kedua (B). Dalam kalimat, persamaan (1)
mengatakan “elemen i dan j dari matriks hasil kali AB = C, diberikan
oleh jumlah hasilkali setiap elemen A dalam baris i, satu per satu,
secara berurutan dari kiri ke kanan, dengan elemen bersesuaian B
dalam kolom j, dari atas ke bawah”. Kita dapat pula mengatakan
bahwa matriks B mengalikan A dari kanan.
Contoh 2.4 , misalkan
A=
, dan B =
, maka AB = C, dengan
C=
=
Perhatian : berbeda dari aljabar bilangan biasa, hasilkali dua buah
matriks, pada umumnya, tidaklah komut, yakni AB ≠ BA
e. Operasi Transpos
Dalam berbagai penerapan matriks, seringkali kita ingin memperoleh
sebuah matriks baru dari matriks A dengan cara mempertukarkan baris
dan kolomnya. Operasi pertukaran baris dan matriks transposisinya
disebut matriks transpose dari S, atau A transpose, yang lazim
dilambangkan dengan A. jadi, jika
maka AT = (aji)
A = (aij),
Dengan demikian, jika matriks A berukuran (m x n), maka A T
berukuran (n x m).
Contoh 2.5
A=
, berukuran (2 x 3)
Maka
AT =
, berukuran (3 x 2)
Jadi, transpose sebuah matriks baris adalah matriks kolom, dan
sebaliknya
TEOREMA
1) (AT) = A
Jika A dan B adalah matriks berorde sama, maka
2) (A+B)T = AT + BT
3) (AB)T = BTAT
C. MATRIKS SIMETRIS, ANTISIMETRIS, DAN ORTOGONAL
Sebuah matriks bujur sangkar A disenut:
1) Simetris, jika dipenuhi sifat: AT = A.
2) Antisimetris, jika dipenuhi sifat: AT = -A
3) Ortogonal, jika dipenuhi sifat: ATA = AAT = I
Dengan demikian, untuk sebarang matriks bujur sangkar B, matriks
jumlah (B + BT) simetris; sedangkan (B – BT) antisimetris
D. MATRIKS KOMPLEKS
Misalkan C adalah suatu matriks ukuran (m x n) yang elemenelemen cij nya adalah kompleks. Sebagai contoh,
C=
. . . . . . . . . . . . . . . (2)
sebuah matriks komplek berukuran (2x3)
Pada himpunan matriks kompleks berlaku semua aturan aljabar
matriks seperti pada matriks real. Khusus bagi matriks kompleks,
jika kita dfinisikan pula dua operasi tambahan berikut
1) Konyugat Kompleks
Operasi konyugat kompleks pada sebuah matriks kompleks C,
yang dilambangkan dengan (C)*, menghasilkan suatu matriks
baru D, yang semua elemennya adalah konyugat kompleks dari
matriks semula C, jadi D = (dij) = (c*ij). Matriks D ini kita tulis
C* yang disebut matriks konyugat kompleks dari C.
2) Konyugat Hermit
Operasi konyugar hermit pada sebuah matriks kompleks C,
adalah gabungan operasi konyugat kompleks dan transpose,
yang menghasilkan suatu matriks baru D, yakni D = (C*).
Elemen-elemennya, dinyatakan dalam elemen matriks C,
adalah: (dij) = (c*ij). Matriks D ini ditulis C+ yang disebut
matriks konyugat Hermit dari C
Contoh
Tinjau
kembali
matriks
kompleks
C
per
(2).
Operasi konyugat kompleks padanya
menghasilkan matriks:
C* =
Sedangkan operasi konyugat Hermit menghasilkan matriks
C=
TEOREMA
1) (A+)+ = A
Jika A dan B adalah matriks berorde sama, maka:
2) (A+B)+ = A+ + B+
3) (AB)+ = B+A+
E. MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR. REDUKSI
BARIS
Tinjau system persamaan linear dalam variable x,y,z berikut
2x + y – z = 2
X–y+z=7
2x + 2y + z = 4
System persamaan ini dapat ditulis ulang dalam bentuk matriks
sebagai berikut:
AX = B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(3)
Dengan
A=
;
= y ; dan B =
. . . . . . . . . . . . . (4)
Matriks A sering kali disebut matriks koefesien. Berikut kita akan
bahas langkah pemecahan system persamaan linear, yaitu dengan
mengalihkannya, langkah demi langkah, ke suatu system
persamaan setara sederhana berbentuk:
x =3
y = -2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(5)
z =2
yang darinya terbaca langsung pemecahannya. Untuk itu kita akan
menerapkan
metode
reduksi
baris
(RB)
pada
matriksnya, pers (3), mengikuti langkah-langkah berikut.
persamaan
Langkah 4. Jumlahkan baris 3 dengan (-2) kali baris 1.
Langkah 5. Jumlahkan baris 3 (langkah 4) dengan -3 kali baris 2
(langkah 2 dan 3). Hasil langkah 4 dan 5 adalah:
Langkah 6. Kalikan baris 3 dengan (-1/9):
Matriks perluasan terakhir ini telah berada dalam bentuk eselon
baris, yaitu bentuk matriks dengan elemen taknol pertama pada
setiap baris terletak pada kolom berikut dari elemen taknolm
pertama baris sebelumnya.
Kita dapat menyederhanakan lebih lanjut, ke bentuk yang semua
suku matriks koefesiennya setelah elemen taknol, 1 dalam hal ini,
sama dengan nol. Untuk itu kita terapkan operasi RB berikut.
Langkah 7. Jumlahkan baris 1 dengan baris 2, kemudian
Langkah 8. Jumlahkan baris 1 dengan -3 kali baris 3
Ini menggambarkan system persamaan linear (5), yang memiliki
pemecahan x = 3, y = -2, dan z = 2.
CATATAN: untuk menghemat ruang, dan memprjelas operasi
reduksi baris ini, disarankan menggunakan notasi aljabar berikut di
atas tanda panah ( ) antara metrics semula dan matriks hasil.
Yaitu,
(dibaca: baris p dikalikan dengan a kemudian dijumlahkan
atau dikurangkan dengan b kali baris q), seperti diperlihatkan pada
contoh 3.1 (R singkatan dari row, istilah inggris untuk baris).
F. RANK MATRIKS
Penerapan matriks pada pemecahan persamaan linear seringkali
memerlukan pengertian rank matriks. Definisinya sebagai berikut
Definisi : sebuah matriks A (m x n) dikatakan memiliki rank r ≤ m,
jika matriks hasil reduksi baris ke bentuk eselon baris memiliki
paling sedikit r buah yang taknol.
Contoh 3.1 selidiki rank dari matriks
M=
Pemecahan: untuk mengalihkan matriks M ke bentuk eselon baris,
kita lakukan operasi reduksi beris berikut:
Karena dalam bentuk eselon ini terdapat dua baris yang taknol,
maka rank matriks M adalah r = 2
G. DETERMINAN
Matriks ordo 2x2
Misalkan:
maka Determinan A (ditulis
) adalah:
Matriks ordo 3x3
Cara Sarrus
Misalkan:
Jika
maka tentukan
!
Penghitungan matriks dilakukan dengan cara menambahkan
elemen dari kiri atas ke kanan bawah (mulai dari a → e → i, b → f
→ g, dan c → d → h) lalu dikurangi dengan elemen dari kanan atas
ke kiri bawah (mulai dari c → e → g, a → f → h, dan b → d → i)
sehingga menjadi:
Contoh:
maka tentukan
!
Untuk setiap matriks bujur sangkar A berorde n kita kaitkan sebuah
bilangan det(A) atau ∣aij∣ yang disebut determinan A, yang dihitung
dari elemen matriks A sebagai berikut.
Untuk n = 1 dan n = 2, kita definisikan:
Det a11] = a11 …………………………(4.1)
Det
=
= a11a22 - a12a21……. (4.2)
Sedangkan untuk matriks berukuran n = 3, kita definisikan:
Det
=
(a11a22a33
a12a23a31+A13A21A32)
+
-
(a31a22a13+a32a23a11+a33a21a12) …………… (4.3)
Dengan menyusun kembali suku-sukunya, ruas kanan pers (4.3)
dapat ditulis sebagi berikut:
a11(a22a33 _ a32a23) –a12(a21a33 – a31a23) + a13(a21a32 –
a31a22) atau
a11
- a12
+ a13
…….. (4.4)
ketiga determinan pada pers (4.5) dapat diperoleh dari determinan
semula dengan mengabaikan baris dan kolom tertentu. Definisi
(4.4) untuk determinan matriks berorde 3 ini memperlihatkan suatu
pola perhitungan determinan yang diturunkan dari definisi umum
determinan matriks berorde n > 3. Untuk memahami rumusan pola
umumnya, kita perlu menelaah terlebih dahulu kedua besaran
berikut.
H. MINOR
Determinan orde dua pada pers (4.4) disebut minor (determinan
minor) dari elemen bersangkutan yang dikalikan. Jadi,
adalah minor dari a11
adalah minor dari a12 dan sterusnya
Secara umum, minor dari elemen aij sebuah matriks A didefinisikan
sebagai determinan matriks yang tertinggal setelah baris ke-I dan
kolom ke-j mengandung elemen aij dihapus.
I. KOFAKTOR
Kofaktor dari elemen aij adalah determinan Kij, yaitu
Kij = (-1)i+j x (minor dari aij)
Jadi, untuk matriks (3 x 3) pada pers (4.3) :
K11 = (-1)1+1
=
K12 = (-1)1+2
=-
Jadi, pers (4.4) dapat dituliskan sebagai
Det (A) = a11k11 + a12k12 + a13k13
Secara umum, determinan matriks A diberikan oleh definisi
sebagai berikut:
Definisi (4.1) determinan suatu matriks A sama dengan jumlah
hasilkali setiap elemen sebarang baris atau kolom dengan
kofaktornya
Contoh 4.1 : hitunglah determinan matriks berikut
A=
Dengan menggunakan kofaktor dari elemen-elemen kolom ketiga
Pemecahan : kofaktor dari elemen ketiga, -1, 1 dan 1, berturut-turut
dinyatakan dalam
a13k13 + a23k23 + a33k33
K13 = (-1)1+3
= (-1) (2 – 2) = 4
K23 = (-1)2+3
K33 = (-1)3+3
= (-1) (4 – 2) = -2
= (1) (-2 –1 ) = - 3
= (-1)(4) + (1)(-2) + (1)(-3) = -9
J. Matriks Identitas (I)
Matriks identitas (I)adalah matriks yang nilai-nilai elemen pada
diagonal utama selalu 1.
K. Matriks Transpose (At)
Matriks transpose adalah matriks yang mengalami pertukaran
elemen dari baris menjadi kolom dan sebaliknya. Contoh:
maka matriks transposenya (At) adalah
L. NILAI EIGEN dan FAKTOR EIGEN
Misalkan : tentukan sebuah titik (x,y), kemudian ditarik dengan kondisi
sumbu (x,y) tetap dan arah
dijaga sama dengan arah
sehingga titik
(x,y) berubah letak menjadi titik (x,y).
= M …….(5.1) dimana M=nmatriks deformasi (matriks dari SPL)
……..(5.2)
=
(vector eigen) nilainya sama dengan
Jadi:
=M
atau
=M
M
M
(M Ket :
=
-
=0
(M -
=0
= disebut nilai eigen atau nilai karakteristik
dan =vektor eigen atau vector karakteristik
Secara umum
dinyatakan
Contoh 5.1
Carilah nilai eigen dan vector eigen dari persamaan linear
X=X+Y
Y = 4X + Y
Jawab :
a.
=
M=
=0
(1 –λ) – 4.1 = 0
- 2λ – 3 = 0
(λ – 3) = 0
Jadi nilai eigen λ1 = -1 λ2 = 3
b.
=λ
x + y = λx
4x + y = λy
Untuk λ1 = -1
x + y = -x
Y = -x-x = -2x
4x + y = -y
4x + (-2x) = - (-2x)
2x = 2x
X=1
Untuk λ2 = 3
x + y = 3y
y = 3x – x = 2x
4x + y = 3y
4x + (2x) = 3(2x)
6x = 6x
x=1
Vektor Eigen :
λ1 = -1
x = 1 & y = -2
λ2 = 3
x=1&y=2
LATIHAN 1
1. 4x + 4y = x
4x – 2 y = y
carilah nilai dan vector eigen
Jawab:
=
M=
=0
(4 – λ) (- 2 – λ) – 4.4 = 0 12 x 2, 8x4 6 x 4
λ² - 2λ – 24 = 0
(λ + 4) (λ – 6) = 0
λ1 = -4
λ2 = 6
vektor eigen
=
4x + 4y = λx
4x – 2y = λy
Untuk λ1 = -4
4x + 4y = -4x
4y = -4x – 4x
4x – 2y = -4y
y=
4x –2y = -
4y
Y = -2x
4x-(-2x)=-4(-2x)
6x = 8x
x=
Untuk λ2 = 6
4x + 4y = 6x
4x – 2y = 6y
4y = 6x – 4x
y=
Y= x
4x –2y = 6y
4x-( x)=6( x)
x = 3x
x=
vector eigen λ1 = -4 x = 4/3, y = -2
λ2 = 6
x= ½, y = 6/7,
=
=
M. Nilai Eigen Matriks
Diberikan sebuah matriks A, untuk menentukan sebuah skalar
dan
matriks kolom tak nol x yang secara simultan memenuhi persamaan Ax =
x (1.1) disebut sebagai persamaan nilai eigen (eigen dalam bahasa
Jerman yang berarti proper- Inggris atau sebenarnya). Solusi dari
persamaan ini berkaitan erat dengan pertanyaan apakah matriks tersebut
dapat ditransformasikan dalam bentuk diagonal.
Persamaan nilai eigen banyak sekali dijumpai dalam aplikasi di bidang
teknik seperti vibrasi mekanik, arus bolak-balik, dan dinamika benda
tegar. Hal ini juga sangat penting dalam_sika modern. Semua struktur
dalam mekanika kuantum berdasarkan pada diagonalisasi dari beberapa
jenis matriks.
1.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
1.1.1
Persamaan Sekular
Dalam persamaan nilai eigen, nilai
disebut sebagai nilai eigen (nilai
karakteristik) dan matriks kolom x yang berkaitan dengan ini disebut
sebagai vektor eigen (vector karakteristik).
Jika A adalah matriks n x n (1.1) diberikan oleh
dengan I adalah matriks satuan, kita dapat menuliskan (1.1) sebagai
Persamaan ini memiliki solusi nontrivial jika dan hanya jika determinan
dari matriks koefsien hilang (bernilai nol):
Ekspansi dari determinan ini menghasilkan polinomial
berderajat n,
yang disebut sebagai polinomial karakteristik P( ). Persamaan
Disebut sebagai persamaan karakteristik (persamaan sekular). Akarakarnya sejumlah n adalah nilai eigen dan akan dinyatakan dengan
1,
2, …
n. Nilainya dapat berupa bilangan riil dan juga kompleks. Ketika
salah satu nilai eigen dimasukkan ulang pada (1.2), vector eigen
x(x1,x2… xn) dapat dicari. Perhatikan bahwa vektor eigen dapat
dikalikan dengan konstanta dan akan tetap menjadi solusi dari
persamaan.
Kita akan menuliskan xi sebagai vektor eigen untuk nilai eigen _i. Yaitu,
jika
Jika semua nilai eigen yang berjumlah n berbeda, maka kita akan
memiliki n vektor eigen yang berbeda. Jika dua atau lebih nilai eigen
sama, kita menyebutnya berdegenerasi. Dalam persoalan yang sama,
sebuah nilai eigen yang berdegenerasi bisa memiliki satu buah vector
eigen. Di lain pihak, sebuah nilai eigen yang berdegenerasi juga bisa
memiliki vektor eigen yang berbeda.
Contoh 1.1.1. Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari A, jika
Solusi 1.1.1. Polinomial karakteristik dari A adalah
dan persamaan sekularnya
Sehingga nilai eigennya adalah
Jika kita pilih vektor eigen x1 berkaitan dengan nilai eigen
1 = -1
adalah
, maka x1 haruslah memenuhi:
Sehingga bisa direduksi menjadi
Sehingga vektor eigennya x11 = -x12, yaitu x11 : x12 = -1 : 1. Sehingga
vektor eigennya dapat dituliskan
Sebuah konstanta, baik positif atau negatif, yang dikalikan dengan vektor
eigen ini akan tetap merupakan solusi, namun kita tidak akan
menganggapnya sebagai vektor eigen yang berbeda.
Dengan prosedur yang serupa, kita bisa menghitung vektor eigen untuk
2 = 3 yaitu
Contoh 1.1.2. Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari A, jika
Solusi 1.1.2. Polinomial karakteristik dari A adalah
dan persamaan sekularnya
Nilai eigennya adalah
Jika 1 = 1 + i dan vektor eigennya x1 adalah
memenuhi
yang memberikan
Persamaan pertama memberikan
, maka x1 harus
yang juga merupakan hasil yang sama dari persamaan kedua, seperti
sudah seharusnya.
Sehingga x1 dapat ditulis sebagai
Dengan cara yang sama, untuk = 2 = 1 - i vektor eigen x2 diberikan
oleh
Sehingga kita telah memiliki sebuah contoh untuk matriks riil dengan
nilai eigen dan vector eigen kompleks.
Contoh 1.1.3. Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari A, jika
Solusi 1.1.3. Polinomial karakteristik dari A adalah
dan persamaan sekularnya
Persamaan ini memiliki sebuah akar 5 dan dua akar yang sama -3
Vektor eigen yang dimiliki oleh nilai eigen 1 haruslah memenuhi
persamaan
Dengan metode eliminasi Gauss, persamaan ini dapat dituliskan
yang berarti
Dengan memilih x13 = 1 maka x12 = -2 dan x11 = -1. Sehingga untuk
nilai eigen 1 = 5, vektor eigennya x1 adalah
Karena nilai eigen -3 berdegenerasi sebanyak 2, maka vektor eigen yang
kita punyai bisa atau dua buah. Marilah kita nyatakan vektor eigennya
sebagai
Vektor eigen ini haruslah memenuhi persamaan
Dengan metode eliminasi Gauss, persamaan ini dapat dituliskan
yang berarti
Kita dapat menyatakan x1 dalam x2 dan x3 dan tidak terdapat batasan
untuk x2 dan x3. Ambil x2 = c2 dan x3 = c3 sehingga x1 = -2c2 + 3x3,
sehingga kita dapat menuliskan
Karena c2 dan c3 sebarang, pertama kita bisa memilih c3 = 0 dan
mendapatkan satu vector eigen, kemudian yang kedus, kita memilih c2 =
0 untuk memperoleh vektor eigen yang lain. Sehingga berkaitan dengan
nilai eigen = -3 yang berdegenerasi ini, terdapat dua buah vektor eigen
Dalam contoh ini, kita hanya memiliki dua buah nilai eigen berbeda,
tetapi kita tetap memiliki tiga buah vektor eigen yang berbeda.
Contoh 1.1.4. Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari A, jika
Solusi 1.1.4. Polinomial karakteristik dari A adalah
dan persamaan sekularnya
Tiga buah nilai eigennya
Dari persamaan untuk vektor eigen x1 yang dimiliki oleh nilai eigen 1
kita memperoleh solusi
Vektor eigen
berdegenerasi,
yang dimiliki oleh dua buah nilai eigen
memenuhi persamaan
Dengan menggunakan metode eliminasi Gauss, kita dapat menunjukkan
bahwa persamaan ini ekivalen dengan
yang berarti
Jika kita memilih x3 = -2, maka x2 = 1 dan x1 = 3, sehingga
Dua buah persamaan di atas tidak mengijinkan adanya vektor eigen yang
merupakan perkalian dengan sebuah konstanta dikalikan x2. Sehingga
untuk matriks 3 x 3 ini, hanya terdapat dua buah vektor eigen yang
berbeda.
1.1.2 Sifat-sifat dari Polinomial Karakteristik
Polinomial karakteristik memiliki banyak sifat yang berguna. Untuk
mengelaborasinya, pertama kita perhatikan kasus n = 3.
Sekarang jika
=
0. Karena P ( λ ) adalah polinomial orde 3 maka,
P( )
-
)=0
Dengan mengekspansikan polinomial karakteristik
P(λ)=
Bandingkan dengan (1.5 )
A
Hal ini berarti jumlah nilai eigen sama dengan trace dari A. Hubungan ini
sangat berguna untuk mengecek apakah nilai eigen yang kita hitung
benar. Selanjutnya
yang merupakan jumlah dari minor utama (principal minor) atau minor
dari elemen diagonal,dan
=
Hal ini berarti perkalian semua nilai eigen tidak lain adalah determinan
dari A yang juga
merupakan hubungan yang sangat berguna. Jika A adalah matriks
singular
= 0 maka
paling tidak salah satu nilai eigen adalah nol. Dari sini berarti jika
matriks tersebut memiliki invers, maka tidak ada nilai eigen yang nol.
Perhitungan yang sama bisa digunakan untuk mengeneralisasi hubunganhubungan ini untuk matriks dengan orde yang lebih tinggi
Contoh 1.1.5. Carilah nilai eigen dan matriks eigen dari matriks A jika
A=
Solusi 1.1.5.
P
-
Sehingga tiga buah nilai eigennya adalah
Sebagai pengecekan, jumlah nilai eigen
=1+2+3=6
yang sama dengan trace A
A=5+4-3=6
Selanjutnya hasil kali nilai eigen
=6
yang juga determinan dari A
=6
Misalkan
adalah
vektor eigen berkaitan dengan nilai eigen
maka
=
=0
Dengan menggunakan metode eliminasi Gauss, dengan mudah dapat
ditunjukkan
Hanya satu dari tiga buah bilangan yang tak diketahui dapat kita pilih
sebarang. Sebagai
contoh, pilih
eigen
= 3 maka
= 1 dan
= 2. Sehingga untuk nilai
= 1, vector eigennya
Dengan cara yang sama, untuk
bersesuaian adalah
= 2 dan
= 3, vektor eigen yang
1.1.3 Sifat-sifat Nilai Eigen
Terdapat beberapa sifat nilai eigen yang sangat berguna dalam aplikasi
matriks. Sifat-sifat ini berdiri sendiri tetapi bisa digunakan secara
bersamaan
• Matriks transpos
atau (
Nilai eigen A dan
adalah solusi dari
Karena
) memiliki nilai eigen yang sama dengan A.
dan
(
dan determinan sebuah matriks sama dengan determinan transposnya..
persamaan sekular untuk A dan (A
identik. Maka A dan (A
memiliki
nilai eigen yang sama.
• Jika A adalah matriks segitiga baik yang atas maupun bawah, maka
nilai eigennya adalah elemen diagonal. Jika
adalah
=(
jelas bahwa ⋋=
• Jika
⋋=
, ⋋=
.
adalah nilai eigen dari matriks A, maka nilai eigen dari
matriks
invers
dari kiri
dengan
adalah 1/
1/
1/
Kalikan persamaan Ax = ⋋x
dan menggunakan
• Jika
dari matriks
kita memiliki
Maka
adalah nilai eigen dari matriks A, maka nilai eigen
Karena Ax = ⋋x, maka
adalah
Dengan cara yang sama
1.2. Beberapa terminology
Tekah kita lihat untuk matriks persegi n x n, nilai eigennya dapat berupa
bilangan riil maupun imajiner. Jika nilai eigennya berdegenerasi, kita
bias memiliki atau tidak sejumlah n vector eigen yang berbeda.
Bagaimanapun, terdapat jenis matriks yang disebut sebagai matriks
hermitan, nilai eigennya selalu riil. Sebuah matriks hermitan n x n akan
selalu memiliki n buah vector eigen yang berbeda.
Untuk memfasilitasi pembahasan kita tentang matriks ini dan juga sifatsifatnya. Pertama marilah kita perkenalkan beberapa terminology berikut
1.2.1. Konjugasi Hermitan
Konjugasi kompleks
Jika A = (aij)mxn merupakan sebuah matriks sebarang, yang elemennya
dapat berupa bilangan kompleks, konjugasi matriks tersebut dinotasikan
dengan A* juga berupa sebuah matriks dengan orde m x n dengan tiap
elemennya adalah kompleks konjugat dari elemen pada matriks A dalam
artian
(A*)ij = a*ij.
Jelaslah bahwa
(cA*) = c*A*.
Konjugasi Hermitan
Ketika dua buah operasi dari konjugasi kompleks dan transpose
dikerjakan berurutan satu dengan yang lainnya pada sebuah matriks, hasil
matriksnya disebut sebagai konjugasi hermitian dari matriks asalnya dan
dinotasikan sebagai Aϯ, dinamakan A dagger. Orang metematik
menyebut Aϯ sebagai matriks adjoin. Urutan operasi tidak penting. Yaitu
Aϯ = (A*)T = ( )*.
(1.6)
Sebagai contoh, jika
A=
(1.7)
Maka
Aϯ = (A*)T =
T
=
(1.8)
Aϯ = ( )* =
=
(1.9)
Konjugasi Hermitan dari Perkalian Matriks
Seperti yang telah dipelajari sebelumnya bahwa transpose dari hasil kali
dua matriks adalah sama dengan perkalian dua buah transpose matriks
dengan urutan yang dibalik. Dari sini kita bias memperoleh
(AB)ϯ = BϯAϯ,
Karena
(AB)ϯ = (A*B*)T =
* *
= BϯAϯ.
(1.10)
1.2.2 Ortogonalitas
Inner Product
Jika a dan b merupakan vektor kolom dengan orde yang sama n, inner
product atau perkalian
skalar didefinisikan
. Konjugasi hermitian sebuah vektor kolom
adalah vektor baris
=
=(
),
sehingga hasil inner product adalah sebuah bilangan
=(
)
=
Terdapat dua buah lagi notasi yang biasa digunakan untuk inner product.
Notasi yang
paling sering digunakan dalam mekanika kuantum adalah notasi bracket
yang diperkenalkan
Dirac. Vektor baris dinyatakan sebagai bra, sedangkan vektor kolom
dinyatakan sebagi ket.
Kita dapat menuliskan vektor kolom sebagai
,
sebagai vektor ket dan vektor baris
= <a|
sebagai vektor bra. Inner product dari dua vektor ini biasanya dinyatakan
sebagai
<a|b =
Perhatikan untuk sebarang skalar, c,
‹a|cb⟩ = c ‹a|b⟩,
Sedangkan
‹ca|b⟩ =
‹a|b⟩
Notasi lain yang digunakan adalah tanda kurung:
(a,b) =
= ‹a|b⟩
Jika A adalah sebuah matriks
(a,Ab) = (
a,b)
merupakan sebuah identitas, karena
(
a,b) = (
a
b=
(
b=
Ab = (a,Ab).
Sehingga jika (a,Ab) = (Aa,b) ,
maka A hermitian. Orang matematika menyebut hubungan
=A
sebagai self-adjoint.
Ortogonalitas
Dua buah vektor a dan b dikatakan ortogonal jika dan hanya jika
=0
Perhatikan bahwa dalam ruang 3 dimensi riil
hanyalah perkalian dot (titik) dari a dan b. Dalam analisis vektor, jika
perkalian dot dari dua buah vektor sama dengan nol, maka dua vektor
tersebut tegak lurus.
Panjang sebuah Vektor Kompleks
Jika kita mengadopsi definisi ini untuk perkalian skalar dua buah vektor
kompleks, maka
kita mempunyai definisi alami panjang sebuah vektor kompleks dalam
ruang berdimensi-n.
Panjang sebuah vektor kompleks ||x|| dari sebuah vektor x adalah
1.2.3 Proses Gram Schmidt
Bebas Linier
Himpunan vektor x1; x2; : : : ; xn dikatakan bebas linier jika dan hanya
jika
aixi = 0
yang mengimplikasikan ai = 0. Jika tidak maka himpunan tersebut saling
bergantung linier.
Pertama marilah kita uji tiga buah vektor
untuk bebas linier. Pertanyaannya apakah kita dapat mencari himpunan ai
yang tidak nol
semua sehingga
Jelas ini mensyaratkan a1 = 0, a2 = 0 dan a3 = 0. Sehingga tiga buah
vektor ini bebas linier.
Perhatikan bahwa bebas atau bergantung linier adalah sifat dari semua
anggota, bukan
hanya masing-masing vektor.
Jelas jika x1; x2; x3 merepresentasikan vektor tiga dimensi yang
noncoplannar (tak sebidang),maka vektor tersebut bebas linier.
Proses Gram-Schmidt
Diberikan sejumlah n vektor bebas linier, kita dapat membangun dari
kombinasi liniernya
sebuah himpunan dari n buah vektor satuan yang saling ortogonal.
Misalkan vektor yang bebas linier x1; x2; : : : ; xn. Definikan :
sebagai vektor satuan pertama. Sekarang definisikan
Perkalian skalar u’2 dan u2 sama dengan 0
Karena (u1,u1) = 1. Hal ini menunjukan u’2 ortogonal terhadap u1 .
Kita dapat melanjutkan proses ini secara berulang dengan mendefinisikan
Dan
Ketika semua xk telah digunakan, kita memiliki sejumlah n vektor satuan
u1,u 2,......uk yang saling ortogonal. Himpunan ini dinamakan himpunan
ortonormal. Prosedur ini disebut sebagai proses Gram-Schmidt.
LATIHAN DAN PEMBAHASAN