Metode Numerik Roosenberg

Metode Numerik Roosenberg
Rukmono Budi Utomo, M.Sc.
Prodi S1 Pendikan Matematika UMT
email: [email protected]
May 4, 2016
Metode Numerik Roosenberg
Metode Numerik Roosenberg
Algoritma Roosenberg
Contoh Penyelesaian Masalah Optimisasi dengan Roosenberg
Penyelesaian Dengan Analitik
Biografi Author
Metode Numerik Roosenberg
Metode Numerik Roosenberg merupakan salah satu metode
numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah
optimisasi, yakni menentukan nilai X = {x1 , x2 } ∈ R 2 yang
meminimalkan atau memaksimalkan Z = F (X )
Metode Numerik Roosenberg
Metode Numerik Roosenberg merupakan salah satu metode
numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah
optimisasi, yakni menentukan nilai X = {x1 , x2 } ∈ R 2 yang
meminimalkan atau memaksimalkan Z = F (X )
I
Metode untuk menyelesaikan masalah optimisasi ini juga
dapat menggunakan metode aksial ,Stepest Descent,Hook
and Jeeve, Arah Konjugasi atau atau Newton 2
Metode Numerik Roosenberg
Metode Numerik Roosenberg merupakan salah satu metode
numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah
optimisasi, yakni menentukan nilai X = {x1 , x2 } ∈ R 2 yang
meminimalkan atau memaksimalkan Z = F (X )
I
Metode untuk menyelesaikan masalah optimisasi ini juga
dapat menggunakan metode aksial ,Stepest Descent,Hook
and Jeeve, Arah Konjugasi atau atau Newton 2
I
Tentu saja setiap metode numerik memilki algoritma yang
berbeda dengan kecepatan tingkat efektivitas pencarian O
(Big Oh)yang berbeda serta tingkat kesalahan yang berbeda
pula
Algoritma Roosenberg
Algoritma Algoritma Roosenberg dapat dijelaskan sebagai berikut:
I
Diberikan fungsi Z = F (x1 , x2 ) dan akan ditentukan nilai
X = {x1 .x2 } yang meminimalkan atau memaksimumkan nilai
Z = F (x1 , x2 ) tersebut
Algoritma Roosenberg
Algoritma Algoritma Roosenberg dapat dijelaskan sebagai berikut:
I
Diberikan fungsi Z = F (x1 , x2 ) dan akan ditentukan nilai
X = {x1 .x2 } yang meminimalkan atau memaksimumkan nilai
Z = F (x1 , x2 ) tersebut
Algoritma Roosenberg
Algoritma Algoritma Roosenberg dapat dijelaskan sebagai berikut:
I
Diberikan fungsi Z = F (x1 , x2 ) dan akan ditentukan nilai
X = {x1 .x2 } yang meminimalkan atau memaksimumkan nilai
Z = F (x1 , x2 ) tersebut
I
Ambil sembarang titik awal X1 = {x1 , x2 } ∈ R 2
Algoritma Roosenberg
Algoritma Algoritma Roosenberg dapat dijelaskan sebagai berikut:
I
Diberikan fungsi Z = F (x1 , x2 ) dan akan ditentukan nilai
X = {x1 .x2 } yang meminimalkan atau memaksimumkan nilai
Z = F (x1 , x2 ) tersebut
I
Ambil sembarang titik awal X1 = {x1 , x2 } ∈ R 2
I
Tetapkan > 0 suatu konstanta postif yang menunjukkan
kesalahan yang ditoleransi
Algoritma Roosenberg
Algoritma Algoritma Roosenberg dapat dijelaskan sebagai berikut:
I
Diberikan fungsi Z = F (x1 , x2 ) dan akan ditentukan nilai
X = {x1 .x2 } yang meminimalkan atau memaksimumkan nilai
Z = F (x1 , x2 ) tersebut
I
Ambil sembarang titik awal X1 = {x1 , x2 } ∈ R 2
I
Tetapkan > 0 suatu konstanta postif yang menunjukkan
kesalahan yang ditoleransi
I
Tentukan arah pencarian direction d1 = (1, 0) dan d2 = (0, 1)
Algoritma Roosenberg
Algoritma Algoritma Roosenberg dapat dijelaskan sebagai berikut:
I
Diberikan fungsi Z = F (x1 , x2 ) dan akan ditentukan nilai
X = {x1 .x2 } yang meminimalkan atau memaksimumkan nilai
Z = F (x1 , x2 ) tersebut
I
Ambil sembarang titik awal X1 = {x1 , x2 } ∈ R 2
I
Tetapkan > 0 suatu konstanta postif yang menunjukkan
kesalahan yang ditoleransi
I
Tentukan arah pencarian direction d1 = (1, 0) dan d2 = (0, 1)
I
Cari λk dengan cara λk = minZ (Xk + λk dk )
Algoritma Roosenberg
Algoritma Algoritma Roosenberg dapat dijelaskan sebagai berikut:
I
Diberikan fungsi Z = F (x1 , x2 ) dan akan ditentukan nilai
X = {x1 .x2 } yang meminimalkan atau memaksimumkan nilai
Z = F (x1 , x2 ) tersebut
I
Ambil sembarang titik awal X1 = {x1 , x2 } ∈ R 2
I
Tetapkan > 0 suatu konstanta postif yang menunjukkan
kesalahan yang ditoleransi
I
Tentukan arah pencarian direction d1 = (1, 0) dan d2 = (0, 1)
I
Cari λk dengan cara λk = minZ (Xk + λk dk )
I
nilai Xk+1 ditentukan dengan Xk+1 = Xk + dk
Algoritma Roosenberg
Algoritma Algoritma Roosenberg dapat dijelaskan sebagai berikut:
I
Diberikan fungsi Z = F (x1 , x2 ) dan akan ditentukan nilai
X = {x1 .x2 } yang meminimalkan atau memaksimumkan nilai
Z = F (x1 , x2 ) tersebut
I
Ambil sembarang titik awal X1 = {x1 , x2 } ∈ R 2
I
Tetapkan > 0 suatu konstanta postif yang menunjukkan
kesalahan yang ditoleransi
I
Tentukan arah pencarian direction d1 = (1, 0) dan d2 = (0, 1)
I
Cari λk dengan cara λk = minZ (Xk + λk dk )
I
nilai Xk+1 ditentukan dengan Xk+1 = Xk + dk
I
Iterasi stop ketika norm ||Xk+1 − Xk || < lanjutan
I
Perlu diperhatikan bahwa tidak seperti metode aksial
dengan dk = (1, 0) untuk arah ganjil dan d2k = (0, 1) untuk
arah genap, dalam metode Roosenberg ini d2k+1 = ||bbkk ||
untuk k ganjil dan d2k =
bk
||bk ||
untuk k genap
lanjutan
I
Perlu diperhatikan bahwa tidak seperti metode aksial
dengan dk = (1, 0) untuk arah ganjil dan d2k = (0, 1) untuk
arah genap, dalam metode Roosenberg ini d2k+1 = ||bbkk ||
untuk k ganjil dan d2k =
I
bk
||bk ||
untuk k genap
Dengan bk = λk dk + λk+1 dk+1
Contoh Penggunaan Roosenberg
Tentukan nilai X = {x1 , x2 } yang meminimalkan
Z (x1 , x2 ) = 2x12 + x22 − 3x1 − x2 dengan menggunakan metode
Roosenberg dengan toleransi kesalahan = 0.01
Solusi
I
Ambil sembarang titik awal X1 = {0, 1} ∈ R 2
Contoh Penggunaan Roosenberg
Tentukan nilai X = {x1 , x2 } yang meminimalkan
Z (x1 , x2 ) = 2x12 + x22 − 3x1 − x2 dengan menggunakan metode
Roosenberg dengan toleransi kesalahan = 0.01
Solusi
I
Ambil sembarang titik awal X1 = {0, 1} ∈ R 2
I
Arah pencarian d1 = (1, 0) dan d2 = (0, 1) serta = 0.01
Contoh Penggunaan Roosenberg
Tentukan nilai X = {x1 , x2 } yang meminimalkan
Z (x1 , x2 ) = 2x12 + x22 − 3x1 − x2 dengan menggunakan metode
Roosenberg dengan toleransi kesalahan = 0.01
Solusi
I
Ambil sembarang titik awal X1 = {0, 1} ∈ R 2
I
Arah pencarian d1 = (1, 0) dan d2 = (0, 1) serta = 0.01
I
nilai λ1 dapat dicari sebagai berikut
λ1 = min Z X1 + λ1 d1
= min Z ((0, 1) + λ1 (1, 0))
= min Z (λ1 , 1)
lanjutan
I
Derivatifkan Z (0, 1) dan sama dengankan nol, sehingga
diperoleh λ1 = 34 . Berdasarkan hal tersebut
3
,1
X2 = X1 + λ1 d1 =
4
lanjutan
I
Derivatifkan Z (0, 1) dan sama dengankan nol, sehingga
diperoleh λ1 = 34 . Berdasarkan hal tersebut
3
,1
X2 = X1 + λ1 d1 =
4
I
karena norm ||X2 − X1 || =
dilanjutkan
3
4
> 0.01 = ,maka iterasi
lanjutan
I
Derivatifkan Z (0, 1) dan sama dengankan nol, sehingga
diperoleh λ1 = 34 . Berdasarkan hal tersebut
3
,1
X2 = X1 + λ1 d1 =
4
I
karena norm ||X2 − X1 || =
dilanjutkan
I
Dengan cara serupa diperoleh λ2 = − 12 dan X3 = { 43 , 12 }
dengan norm ||X3 − X2 || = 21 > 0.01 = , jadi iterasi
dilanjutkan
3
4
> 0.01 = ,maka iterasi
lanjutan
I
Untuk mencari X4 , diperlukan d3 dan nilai d3 disini adalah 0
(Dapat dicek dengan d2k+1 = ||bbkk || ) dan apabila dicari nilai d4
diperoleh nilai d4 = ( √213 , √313 ) . Hal ini dapat dicek dengan
d2k =
bk
||bk ||
lanjutan
I
Untuk mencari X4 , diperlukan d3 dan nilai d3 disini adalah 0
(Dapat dicek dengan d2k+1 = ||bbkk || ) dan apabila dicari nilai d4
diperoleh nilai d4 = ( √213 , √313 ) . Hal ini dapat dicek dengan
d2k =
I
bk
||bk ||
Dengan demikian nilai X4 adalah X4 = ( 43 , 12 )
lanjutan
I
Untuk mencari X4 , diperlukan d3 dan nilai d3 disini adalah 0
(Dapat dicek dengan d2k+1 = ||bbkk || ) dan apabila dicari nilai d4
diperoleh nilai d4 = ( √213 , √313 ) . Hal ini dapat dicek dengan
d2k =
bk
||bk ||
I
Dengan demikian nilai X4 adalah X4 = ( 43 , 12 )
I
Dengan norm ||X4 − X3 || = 0 < 0.01 = , iterasi stop.
lanjutan
I
Untuk mencari X4 , diperlukan d3 dan nilai d3 disini adalah 0
(Dapat dicek dengan d2k+1 = ||bbkk || ) dan apabila dicari nilai d4
diperoleh nilai d4 = ( √213 , √313 ) . Hal ini dapat dicek dengan
d2k =
bk
||bk ||
I
Dengan demikian nilai X4 adalah X4 = ( 43 , 12 )
I
Dengan norm ||X4 − X3 || = 0 < 0.01 = , iterasi stop.
I
Dengan demikian iterasi berhenti, sehingga nilai X yang
meminimalkan fungsi Z dalam soal ini adalah X4 = { 34 , 12 }
lanjutan
I
Untuk mencari X4 , diperlukan d3 dan nilai d3 disini adalah 0
(Dapat dicek dengan d2k+1 = ||bbkk || ) dan apabila dicari nilai d4
diperoleh nilai d4 = ( √213 , √313 ) . Hal ini dapat dicek dengan
d2k =
bk
||bk ||
I
Dengan demikian nilai X4 adalah X4 = ( 43 , 12 )
I
Dengan norm ||X4 − X3 || = 0 < 0.01 = , iterasi stop.
I
Dengan demikian iterasi berhenti, sehingga nilai X yang
meminimalkan fungsi Z dalam soal ini adalah X4 = { 34 , 12 }
I
Catatan
Perlu diperhatikan bahwa, karena norm
||X4 − X3 || = 0 < 0.01 = hal ini mengindikasikan kesalahan
perhitungan numerik eror = 0 yang mengindikasikan bahwa
solusi numerik juga merupakan solusi analitiknya.
Penyelesaian Dengan Analitik
Diketahu Z (x1 , x2 ) = 2x12 + x22 − 3x1 − x2 dan akan ditentukan nilai
X = {x1 , x2 } yang meminimumkan fungsi Z = F (x1 , x2 ) tersebut
Penyelesaian Dengan Analitik
Diketahu Z (x1 , x2 ) = 2x12 + x22 − 3x1 − x2 dan akan ditentukan nilai
X = {x1 , x2 } yang meminimumkan fungsi Z = F (x1 , x2 ) tersebut
Solusi
∂Z
∂Z
= 4x1 − 3;
= 2x2 − 1
∂x1
∂x2
Penyelesaian Dengan Analitik
Diketahu Z (x1 , x2 ) = 2x12 + x22 − 3x1 − x2 dan akan ditentukan nilai
X = {x1 , x2 } yang meminimumkan fungsi Z = F (x1 , x2 ) tersebut
Solusi
∂Z
∂Z
= 4x1 − 3;
= 2x2 − 1
∂x1
∂x2
Karena ∂Z
X1 = 0 dan juga kerena
dan x2 = 12
∂Z
X2
= 0, maka diperoleh x1 =
3
4
Penyelesaian Dengan Analitik
Diketahu Z (x1 , x2 ) = 2x12 + x22 − 3x1 − x2 dan akan ditentukan nilai
X = {x1 , x2 } yang meminimumkan fungsi Z = F (x1 , x2 ) tersebut
Solusi
∂Z
∂Z
= 4x1 − 3;
= 2x2 − 1
∂x1
∂x2
Karena ∂Z
X1 = 0 dan juga kerena
dan x2 = 12
lebih lanjut
∂Z
X2
= 0, maka diperoleh x1 =
∂2Z
∂2Z
=
4;
=2
∂x1 2
∂x2 2
3
4
Penyelesaian Dengan Analitik
Diketahu Z (x1 , x2 ) = 2x12 + x22 − 3x1 − x2 dan akan ditentukan nilai
X = {x1 , x2 } yang meminimumkan fungsi Z = F (x1 , x2 ) tersebut
Solusi
∂Z
∂Z
= 4x1 − 3;
= 2x2 − 1
∂x1
∂x2
Karena ∂Z
X1 = 0 dan juga kerena
dan x2 = 12
lebih lanjut
∂Z
X2
= 0, maka diperoleh x1 =
∂2Z
∂2Z
=
4;
=2
∂x1 2
∂x2 2
3
4
lanjutan
2
karena ∂∂xZ2 = 4 > 0 dan
1
2Z
∂2Z ∂2Z
)2 = 8 > 0, maka
(
) − ( ∂x∂1 ∂x
∂x12 ∂x12
2
{ 34 , 21 } merupakan titik yang meminimumkan
terbukti bahwa titik
fungsi Z = {x1 , x2 } dalam soal ini. Q.E.D
Sekilas Tentang Penulis
Rukmono Budi Utomo lahir di Tangerang, 26 September 1991 dan
merupakan anak ke-2 dari 2 bersaudara. Penulis menamatkan
sekolah antara lain:
I
S1 Matematika Undip (2013)
I
S2 Matematika UGM (2015)
Saat ini penulis merupakan dosen di prodi pendidikan matematika
Universitas Muhammadiyah Tangerang (UMT) sekaligus
mahasiswa program Doktoral Matematika ITB. Kontak :
085741511571, email:[email protected]