611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II

Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Bab 1: Distribusi Sampling
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Statistika FMIPA
Universitas Islam Indonesia
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan
Statistik
Distribusi Sampling
Pendahuluan
Parameter adalah karakteristik dari populasi (misal θ)
Statistik adalah karakteristik dari sampel
Akan dibahas konsep statistik dan distribusi sampling
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan
Statistik
Distribusi Sampling
Parameter
Misalkan sebuah kotak terdiri atas n bola yang identik dan diberi
nomor berurutan. Percobaan dilakukan untuk memilih bola secara
acak dan dicatat nomornya. Misalkan X menyatakan nomor bola
yang terpilih, maka
P(X = x) =
1
, untuk x = 1, 2, . . . , n
n
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan
Statistik
Distribusi Sampling
Pandang masalah di mana banyaknya bola n tidak diketahui. Maka
dalam hal ini, parameter θ = n. Untuk mendapatkan informasi
tentang θ, kita mengambil sampel m bola yang kita nyatakan
dengan X̃ = (X1 , X2 , . . . , Xm ), Xi menyatakan nomor bola ke-i.
Pengambilan sampel dapat dilakukan dengan 2 cara:
1
Sampling dengan pengembalian
2
Sampling tanpa pengembalian
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan
Statistik
Distribusi Sampling
Statistik
Definisi
Misalkan {X1 , X2 , . . . , Xn } adalah sebuah himpunan peubah acak
yang teramati dari suatu populasi tertentu. T = t(X1 , X2 , . . . , Xn )
adalah sebuah fungsi dari peubah acak yang teramati yang tidak
bergantung pada sembarang parameter yang tidak diketahui, fungsi
tersebut disebut statistik. Distribusi dari suatu statistik disebut
distribusi sampling.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan
Statistik
Distribusi Sampling
Misalkan X1 , X2 , . . . , Xn adalah sampel acak dari suatu populasi
dengan mean µ dan variansi σ 2 > 0. Mean sampel adalah sebuah
n)
,
contoh statistik dengan fungsi t(x1 , x2 , . . . , xn ) = (x1 +x2 +...+x
n
dinotasikan dengan
n
X
Xi
X̄ =
n
i=1
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan
Statistik
Distribusi Sampling
Mean sampel tersebut memiliki karakteristik sebagai berikut
1
E (X̄ ) = µ
2
Var (X̄ ) =
σ2
n
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
1
Pendahuluan
Statistik
Distribusi Sampling
Ekspektasi dari mean sampel
P

n
X
 i=1 i  1

E (X̄ ) = E 
 n = nE
n
X
!
Xi
i=1
n
1
1 X
E (Xi ) = · n · µ = µ
=
n
n
i=1
2
Variansi dari mean sampel
P

n
Xi
 i=1 
1

Var (X̄ ) = Var 
 n  = n2 Var
=
n
X
!
Xi
i=1
n
1 X
1
σ2
2
Var
(X
)
=
·
n
·
σ
=
i
n2
n2
n
i=1
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan
Statistik
Distribusi Sampling
Misalkan X1 , X2 , . . . , Xn adalah sampel acak berukuran n dari
distribusi Bernoulli, Xi ∼ Bin(1, p) dengan mean µ = p dan
variansi σ 2 = pq. Mean sampel pada kasus ini adalah X̄ = Yn , di
n
P
Xi ),
mana Y adalah peubah acak berdistribusi Binomial (Y =
i=1
Y
n
dan biasa disebut proporsi sampel dinotasikan dengan p̂ =
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
.
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan
Statistik
Distribusi Sampling
Karakteristik dari proporsi sampel tersebut adalah
1
E (p̂) = p
2
Var (p̂) =
pq
n
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan
Statistik
Distribusi Sampling
Bukti:
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan
Statistik
Distribusi Sampling
Misalkan X1 , X2 , . . . , Xn adalah sampel acak berukuran n dengan
mean E (X ) = µ dan variansi Var (X ) = σ 2 . Fungsi
2
2
n −x̄)
t(x1 , x2 , . . . , xn ) = (x1 −x̄) +...+(x
ketika diaplikasikan pada
n−1
data berkaitan dengan variansi sampel. Secara spesifik, variansi
sampel diberikan
n
P
(Xi − X̄ )2
S 2 = i=1
n−1
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan
Statistik
Distribusi Sampling
Karakteristik dari variansi sampel adalah
1
E (S 2 ) = σ 2
2
Var (S 2 ) =
µ4 − n−3
σ4
n−1
,
n
n>1
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan
Statistik
Distribusi Sampling
Bukti:
1. Ekspektasi dari variansi sampel
P

n
(Xi − X̄ )2
 i=1

= 1 E
E (S 2 ) = E 

 n−1
n−1
1
=
E
n−1
1
=
n−1
n
X
n
X
(Xi − X̄ )2
i=1
!
Xi2 − nX̄ 2
i=1
n
X
!
E (Xi2 ) − nE (X̄ 2 )
i=1
1
σ2
2
2
2
=
n(µ + σ ) − n µ +
n−1
n
1
=
[(n − 1)σ 2 ] = σ 2
n−1
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
!
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan
Statistik
Distribusi Sampling
2. Variansi dari variansi sampel
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan
Statistik
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling
Sebuah statistik juga merupakan peubah acak, sehingga kita bisa
menentukan distribusi dari statistik tersebut (disebut sebagai
distribusi sampling).
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan
Statistik
Distribusi Sampling
Kombinasi Linier dari Peubah Normal
Jika Xi ∼ N(µi , σi2 ); i = 1, 2, . . . , n merupakan peubah acak
Normal yang saling bebas, maka
!
n
n
n
X
X
X
Y =
αi Xi ∼ N
α i µi ,
αi2 σi2
i=1
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
i=1
i=1
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Pendahuluan
Statistik
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Bukti:
MY (t) = E (e tY ) = E (e t(α1 X1 +α2 X2 +...+αn Xn ) )
= E (e tα1 X1 ) E (e tα2 X2 ) . . . E (e tαn Xn )
= MX1 (α1 t) MX2 (α2 t) . . . MXn (αn t)
n
Y
=
MXi (αi t)
=
i=1
n
Y
2 2 σ 2 /2
i
e αi µi t+αi t
i=1
"
= exp t
n
X
αi µi + t
i=1
∴Y ∼N
n
P
i=1
αi µi ,
n
P
i=1
αi2 σi2
2
n
X
#
αi2 σi2 /2
i=1
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan
Statistik
Distribusi Sampling
Jika X1 , X2 , . . . , Xn merupakan peubah
acak yang
acak-peubah
σ2
2
berdistribusi N(µ, σ ), maka X̄ ∼ N µ, n .
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan
Statistik
Distribusi Sampling
Contoh 1
Misalkan X merupakan peubah acak yang menyatakan umur
baterai, akan diuji klaim bahwa X ∼ N(60, 36). 25 baterai diuji
masa hidupnya dan rata-rata kelangsungan hidupnya (survival
times) dihitung. Jika klaim tersebut benar, rata-rata umur 25
baterai harus melebihi nilai berapa agar peluangnya 0.95?
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan
Statistik
Distribusi Sampling
Diketahui E (X̄ ) = 60 dan Var (X̄ ) = 36/25.
P(X̄ > c) = 1 − P(X̄ ≤ c)
c − 60
=1−Φ
6/5
= 0.95
Jadi,
c−60
6/5
= z0.05 = −1.645, maka c = 58.026 bulan.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan
Statistik
Distribusi Sampling
Misalkan X1 , X2 , . . . , Xn1 dan Y1 , Y2 , . . . , Yn2 adalah
acak yang saling bebas masing-masing berukuran n1
Xi ∼ N(µ1 , σ12 ) dan Yj ∼ N(µ2 , σ22 ),
i = 1, 2, . . . , n2
j = 1, 2, . . . , n2 , maka X̄ − Ȳ ∼ N µ1 − µ2 ,
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
σ12
n1
+
σ22
n2
dua sampel
dan n2 . Jika
dan
.
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan
Statistik
Distribusi Sampling
Bukti:
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan
Statistik
Distribusi Sampling
Distribusi Chi-Square
Pandang sebuah distribusi Gamma khusus dengan α = n/2 dan
β = 2. Peubah acak Y dikatakan berdistribusi Chi-Square dengan
derajat bebas n jika Y ∼ Gamma(n/2, 2). Notasi khususnya adalah
Y ∼ χ2 (n)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan
Statistik
Distribusi Sampling
Jika Y ∼ χ2 (n), maka
n
MY (t) = (1 − 2t)− 2
(1)
E (Y ) = n
(2)
Var (Y ) = 2n
(3)
n
Γ
r
+
2
E (Y r ) = 2r
Γ n2
(4)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan
Statistik
Distribusi Sampling
Ingat kembali:
Jika X ∼ Gamma(α, β), maka
1
−x
x α−1 e β
α
Γ(α)β
E (X ) = αβ
fX (x) =
Var (X ) = αβ 2
MX (t) = (1 − βt)−α , t <
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
1
β
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan
Statistik
Distribusi Sampling
Bukti:
Jika Y ∼ Gamma(n/2, 2), maka
n
MY (t) = (1 − 2t)− 2
n
E (Y ) = · 2 = n
2
n 2
Var (Y ) = · 2 = 2n
2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Pendahuluan
Statistik
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
E (Y r ) =
Z∞
yr
0
=
Γ
1
n
2
1
n
2
Γ
=
=
Γ
2
2
n
2
Γ
n
2
n
22
y
n
y r + 2 −1 e − 2 dy
y
1
maka du = dy
2
2
Z∞
n
(2u)r + 2 −1 e −u 2 du
0
u
y
y 2 −1 e − 2 dy
0
Z∞
2r
2
Z∞
misalkan u =
1
n
n
n
2
r + n2 −1 −u
0
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
e
Γ r + n2
du = 2
Γ n2
r
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan
Statistik
Distribusi Sampling
Jika X ∼ Gamma(α, β), maka Y =
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
2X
β
∼ χ2 (2α).
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan
Statistik
Distribusi Sampling
Bukti:
2X t
MY (t) = E (e tY ) = E e β
2t
= MX
β
2t −α
= 1−β·
β
= (1 − 2t)−
Jadi, Y =
2X
β
2α
2
∼ χ2 (2α)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan
Statistik
Distribusi Sampling
CDF dari distribusi Gamma dapat dinyatakan dalam notasi
chi-square. Jika X ∼ Gamma(α, β) dan jika H(y ; ν) menyatakan
CDF dari distribusi chi-square dengan derajat bebas ν, maka
2x
; 2α
FX (x) = H
β
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan
Statistik
Distribusi Sampling
Contoh 2
Waktu sampai rusak (dalam tahun) dari suatu jenis komponen
berdistribusi Gamma dengan α = 3 dan β = 2. Akan ditentukan
masa garansi di mana 90% komponen akan bertahan, yaitu
P(X ≤ x) = 0.10.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Pendahuluan
Statistik
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
P(X ≤ x) = H
2x
; 2α
β
= 0.10
Kemudian diperoleh
2x
= χ20.10 (2α)
β
β χ20.10 (2α)
x=
2
Untuk α = 2 dan β = 3,
x=
3 χ20.10 (4)
(3)(1.06)
=
= 1.59 tahun
2
2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan
Statistik
Distribusi Sampling
Secara umum, persentil ke-p dari distribusi Gamma dapat
dinyatakan dengan
βχ2p (2α)
xp =
2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan
Statistik
Distribusi Sampling
Jika Yi ∼ χ2 (ni ); i = 1, 2, . . . , m adalah peubah acak-peubah acak
chi-square yang saling bebas, maka
!
m
m
X
X
2
V =
Yi ∼ χ
ni
i=1
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
i=1
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Pendahuluan
Statistik
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Bukti:
t(
MV (t) = E (e tV ) = E
=
m
Y
e
m
P
Yi )
!
i=1
n1
MYi (t) = (1 − 2t)− 2 . . . (1 − 2t)−
nm
2
i=1
m
P
− i=12
ni
= (1 − 2t)
Jadi, V ∼
χ2
m
P
ni .
i=1
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan
Statistik
Distribusi Sampling
Jika Z ∼ N(0, 1), maka Z 2 ∼ χ2 (1).
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan
Statistik
Distribusi Sampling
Bukti:
2
MZ 2 (t) = E (e tZ )
Z∞
1
2 z2
√ e tz − 2 dz
=
2π
−∞
1
=√
1 − 2t
Z∞ √
1 − 2t −z 2 (1−2t)
2
√
e
dz
2π
−∞
− 21
= (1 − 2t)
Jadi, Z 2 ∼ χ2 (1).
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Distribusi t
Distribusi F
Distribusi t
Kita tahu bahwa S 2 dapat digunakan untuk melakukan inferensi
tentang parameter σ 2 dalam suatu distribusi Normal. Demikian
juga X̄ bermanfaat bagi inferensi parameter µ; tetapi distribusi X̄
juga bergantung pada parameter σ 2 ini menyebabkan tidak
dimungkinkannya kita menggunakan X̄ untuk melakukan inferensi
bagi µ, jika σ 2 tidak diketahui.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Distribusi t
Distribusi F
Oleh
karena itu perlu
prosedur lain, yaitu dengan mengganti
√
√
n(X̄ −µ)
n(X̄ −µ)
menjadi
. Kuantitas terakhir ini tidak
σ
S
berdistribusi Normal Standar tetapi tidak lagi bergantung σ.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Distribusi t
Distribusi F
Teorema
Jika Z berdistribusi Normal Standar, Z ∼ N(0, 1), dan W ∼ χ2 (ν),
serta Z dan W saling bebas, maka distribusi peubah acak
Z
T =q
W
ν
dikenal dengan distribusi t dengan derajat bebas ν, T ∼ t(ν).
Fungsi peluangnya adalah
− ν+1
2
Γ ν+1
t2
2
fT (t) = √
1
+
ν
πν Γ ν2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Distribusi t
Distribusi F
Bukti:
Oleh karena Z dan W saling bebas, maka fungsi peluang bersama
Z dan W adalah
f (z, w ) = g (z) · h(w )
ν
w
z2
1
1
= √ e − 2 · ν ν w 2 −1 e − 2 , 0 < w < ∞; −∞ < z < ∞
2π
22Γ 2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Distribusi t
Distribusi F
Fungsi distribusi kumulatif dari T adalah


Z
FT (t) = P(T ≤ t) = P  q ≤ t 
W
ν
r
w
t
ν
=P Z ≤
√w
Z∞ Z ν t
=
f (z, w )dzdw
0 −∞
=√
1
πΓ
Z∞
ν
2
0

√
w
Z ν t − z2

e 2 

 ν2 −1 e − w2 dw
ν+1 dz  w

2 2
−∞
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Distribusi t
Distribusi F
Fungsi kepadatan peluang dari T dapat diperoleh dari turunan
FT (t) dengan menggunakan teorema fundamental kalkulus pada
integral bagian dalam dan diperoleh
1
fT (t) = √
πΓ
1
=√
πν Γ
Z∞
ν
2
e
−( w2 )
2
0
t2
ν
r
ν+1
2
Z∞ ( ν+1 )−1
w 2
ν
2
2
0
ν+1
2
e
w ν −1 − w
w 2 e 2 dw
ν
2
−( w2 ) 1+ tν
dw
Misalkan
y=
t2
1+
ν
1
!
dw =
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
1+
t2
ν
w
dy
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Distribusi t
Distribusi F
Maka diperoleh
1
fT (t) = √
πν Γ
y
2
1+ tν
( ν+1 )−1
2
− y2
ν
!
1
ν+1 e
1+
Γ ν+1
2 2
2
0


ν+1
Z∞
Γ ν+1
1
y ( 2 )−1


− y2
2
=√
dy
ν+1 
ν+1 e
ν 
ν+1
πν Γ 2
2
2
Γ
2
t2
2
1+
ν
2
Γ
ν+1
2
Z∞
t2
ν
0
Integral bagian terakhir bernilai satu, sehingga
ν+1
2 − 2
Γ ν+1
t
2
1+
fT (t) = √
ν
πν Γ ν2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
dy
Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Khusus
Distribusi t
Distribusi F
Distribusi F
Jika W1 ∼ χ2 (ν1 ) saling bebas dengan W2 ∼ χ2 (ν2 ), maka peubah
acak
W1 /ν1
X =
W2 /ν2
berdistribusi F dengan derajat bebas pembilang ν1 dan derajat
penyebut ν2 , ditulis X ∼ F(ν1 ;ν2 ) , dan fungsi kepadatan peluangnya
adalah
ν1
− ν1 +ν2
2
2
Γ ν1 +ν
ν1 2 ( ν1 )−1
ν1
2
g (x) =
x 2
x
1+
ν1
ν2
ν2
ν2
Γ 2 Γ 2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II