KONSEP DASAR ROBABILITAS

KONSEP DASAR
PROBABILITAS
Pertemuan 4
1
Pengantar :
Banyak kejadian dalam kehidupan sehari-hari
yang sulit diketahui dengan pasti, terutama
kejadian yang akan datang.
 Meskipun kejadian-kejadian tersebut tidak pasti,
tetapi kita bisa melihat fakta-fakta yang ada
untuk menuju derajat kepastian atau derajat
keyakinan bahwa sesuatu akan terjadi.
 Derajat / tingkat kepastian atau keyakinan dari
munculnya hasil percobaan statistik disebut
Probabilitas (Peluang), yang dinyatakan dengan P.

2
Konsep dan definisi dasar
Eksperimen/percobaan probabilitas adalah
segala kegiatan dimana suatu hasil (outcome)
diperoleh.
 Ruang sampel adalah himpunan seluruh
kemungkinan outcome dari suatu
eksperimen/percobaan. Biasanya dinyatakan
dengan S. Banyaknya outcome dinyatakan
dengan n(S).
 Peristiwa/kejadian adalah himpunan bagian dari
outcome dalam suatu ruang sampel.

3
Contoh :
Dilakukan eksperimen, yaitu diperiksa 3 buah
sikring satu persatu secara berurutan dan
mencatat kondisi sikring tersebut dengan
memberi notasi B untuk sikring yang baik dan R
untuk sikring yang rusak.
 Maka ruang sampel pada eksperimen probabilitas
pemeriksaan tersebut adalah S = {BBB, BBR, BRB,
RBB, BRR, RBR, RRB, RRR}. Jumlah outcome
dalam ruang sampel S adalah n(S) = 23 = 8.
 Jika A menyatakan peristiwa diperoleh satu
sikring yang rusak, maka A = {BBR, BRB, RBB}.
Jumlah outcome dalam ruang peristiwa adalah
n(A) = 3.

4
Definisi probabilitas

Bila kejadian A terjadi dalam m cara dari seluruh n cara
yang mungkin terjadi dan masing-masing n cara itu
mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul, maka
probabilitas kejadian A, ditulis P(A), dapat dituliskan :
n( A) m
P( A) 

n( S ) n
5
Sifat-sifat probabilitas kejadian A :
0  P(A)  1 , artinya nilai probabilitas kejadian
A selalu terletak antara 0 dan 1
 P(A) = 0, artinya dalam hal kejadian A tidak
terjadi (himpunan kosong), maka probabilitas
kejadian A adalah 0. Dapat dikatakan bahwa
kejadian A mustahil untuk terjadi.
 P(A) = 1, artinya dalam hal kejadian A, maka
probabilitas kejadian A adalah 1. Dapat
dikatakan bahwa kejadian A pasti terjadi.

6
Contoh (1):
Pelemparan dua buah coin. Berapakah probabilitas
bahwa paling sedikit muncul satu Muka?
Jawab :
 Misal M = Muka , B = Belakang
 Ruang sampel untuk percobaan ini adalah S = {MM, MB,
BM, BB}
 Kejadian A = muncul paling sedikit satu Muka adalah
A = {MM, MB, BM}
Jadi,
 Probabilitas bahwa paling sedikit muncul satu Muka
adalah

n( A) 3
P( A) 

n( S ) 4
7
Contoh (2):
Contoh :
Hitung probabilitas memperoleh kartu hati bila sebuah
kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu
bridge yang lengkap!
Jawab:
Jumlah seluruh kartu = 52
Jumlah kartu hati = 13
Misal A adalah kejadian munculnya kartu hati, maka :
n( A) 13
P( A) 

n( S ) 52
8
Contoh (3):
Suatu campuran kembang gula berisi 6 mint, 4 coffee,
dan 3 coklat. Bila seseorang membuat suatu pemilihan
acak dari salah satu kembang gula ini, carilah probabilitas
untuk mendapatkan : (a) mint, dan (b) coffee atau coklat.
Jawab :
 Misal, M = mint , C = coffee , T = coklat
(a). Probabilitas mendapatkan mint =
n( M ) 6

P( M ) 
n( S )

13
(b). Probabilitas mendapatkan coffee atau coklat =
P(C  T ) 
n(C  T ) n(C )  n(T )  n(C  T ) 4  3  0 7



n( S )
n( S )
13
13
9
Contoh (4):
Latihan :
Pada pelemparan dua buah dadu :
a. Tentukan ruang sampelnya!
b. Bila A menyatakan kejadian munculnya dua dadu
dengan muka sama, tentukan P(A)!
c. Bila B menyatakan kejadian munculnya jumlah muka
dua dadu kurang dari 5, tentukan P(B)!
d. Bila C menyatakan kejadian munculnya jumlah muka
dua dadu lebih dari sama dengan 7, tentukan P(C)!
10
Probabilitas kejadian majemuk (1):

Bila A dan B kejadian sembarang pada
ruang sampel S, maka probabilitas
gabungan kejadian A dan B adalah
kumpulan semua titik sampel yang ada
pada A atau B atau pada keduanya.
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)
11
Probabilitas kejadian majemuk (2):

Bila A, B, dan C kejadian sembarang
pada ruang sampel S, maka probabilitas
gabungan kejadian A, B, dan C adalah :
P( A  B  C )  P( A)  P( B)  P(C )  P( A  B)
 P( A  C )  P( B  C )  P( A  B  C )
12
Contoh (1) :
Kemungkinan bahwa Ari lulus ujian matematika adalah
2/3 dan kemungkinan ia lulus bahasa inggris adalah 4/9.
Bila probabilitas lulus keduanya adalah 1/4, berapakah
probabilitas Ari dapat paling tidak lulus salah satu dari
kedua pelajaran tersebut?
Jawab :
 Bila M adalah kejadian lulus matematika, dan B adalah
kejadian lulus bahasa inggris, maka :
Probabilitas Ari lulus salah satu pelajaran tersebut
adalah :
P(M  B) = P(M) + P(B) – P(M  B)
= 2/3 + 4/9 – 1/4
= 31/36

13
Contoh (2):
Contoh 1 :
Diambil satu kartu acak dari satu set kartu bridge yang
lengkap. Bila A adalah kejadian terpilihnya kartu As dan
B adalah kejadian terpilihnya kartu wajik, maka
hitunglah P(AB)
Jawab :
PA  
4
13
1
, PB 
, PA  B 
(kartu As wajik)
52
52
52
Maka PA  B  PA   PB  PA  B

4 13 1 16 4
 


52 52 52 52 13
14
Dua kejadian saling lepas (disjoint
events atau mutually exclusive):
Bila A dan B dua kejadian saling lepas, maka
berlaku :

P( A  B)  P( A)  P( B)

Bila A, B, dan C tiga kejadian saling lepas,
maka berlaku :
P( A  B  C )  P( A)  P( B)  P(C )
15
Contoh :
Berapakah probabilitas mendapatkan total 7 atau
11 bila sepasang dadu dilemparkan?
Jawab :
 Bila A adalah kejadian diperoleh total 7, maka A =
{(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)}
 Bila B adalah kejadian diperoleh total 11, maka B =
{(5,6), (6,5)}
 Sehingga probabilitas mendapatkan total 7 atau 11
adalah :
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)
= 6/36 + 2/36 – 0
= 8/36

16
Dua kejadian saling komplementer:

Bila A dan A’ dua kejadian dalam S yang saling
komplementer, maka berlaku :
P( A' )  1  P( A)
17
Contoh:
Pada pelemparan dua dadu, jika A adalah kejadian munculnya
muka dadu sama, hitunglah probabilitas munculnya muka dua
dadu yang tidak sama.
Jawab :
 Misal A
= kejadian munculnya muka dua dadu yang sama
= {(1,1), (2,2) , (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}
maka P(A) = 6/36
 Sehingga,
Probabilitas munculnya muka dua dadu yang tidak sama =
P(A’) adalah:
P(A’) = 1 – P(A)
= 1 – 6/36
= 30/36

18
Dua kejadian saling bebas
(independent):



Dikatakan saling bebas artinya kejadian itu tidak saling
mempengaruhi.
Dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S dikatakan
saling bebas, jika kejadian A tidak mempengaruhi
probabilitas terjadinya kejadian B dan sebaliknya
kejadian B tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya
kejadian A.
Bila A dan B dua kejadian saling bebas, berlaku :
P( A  B)  P( A) . P( B)
19
Contoh (1):

Pada pelemparan dua uang logam secara sekaligus, apakah kejadian munculnya
muka dari uang logam pertama dan uang logam kedua saling bebas?
Jawab :

Ruang sampel S = {(m,m), (m,b), (b,m), (b,b)}

Misalkan, A
= kejadian muncul muka dari uang logam 1  P(A) = 2/4 = ½
= {(m,m), (m,b)}
B
= kejadian muncul muka dari uang logam 2  P(B) = 2/4 = ½
= {(m,m), (b,m)}
A  B = kejadian muncul dua muka dari uang logam 1 dan 2
= {(m,m)}  P(A  B) = ¼

Bila A dan B saling bebas berlaku :
P(A  B)
= P(A). P(B)
¼
= ½ . ½
¼
=
¼
Jadi, A dan B saling bebas.
20
Contoh (2):
Contoh :
Pada pelemparan dua buah dadu, apakah kejadian munculnya muka X  3 dadu I dan kejadian
munculnya muka Y  5 dadu II saling bebas?
Jawab :
A= kejadian munculnya muka X  3 dadu I
B= kejadian munculnya muka Y  5 dadu II
Dari ruang sampel diperoleh :
A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),
(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)}
B={(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(1,6),(2,6),(3,6),
(4,6),(5,6),(6,6)}
Maka diperoleh
A  B  {(1,5), (2,5), (3,5)(1,6) , (2,6), (3,6)}
P(A) = 18/36 = ½ dan P(B) = 12/36 = 1/3
Tetapi juga berlaku
PA  B 
maka A dan B saling bebas.
PA  B 
6 1

36 6
1 1 1
 .  PA .PB
6 2 3
21
Probabilitas bersyarat (conditional
probability):
Adalah probabilitas suatu kejadian B
terjadi dengan syarat kejadian A lebih
dulu terjadi atau akan terjadi atau
diketahui terjadi.
 Ditunjukkan dengan P(BA) yang dibaca
“probabilitas dimana B terjadi karena A
terjadi”

P( A  B)
P( B A) 
,
P( A)
jika P( A)  0
22
Contoh (1) :





Berdasarkan hasil 100 angket yang dilakukan untuk mengetahui
respon konsumen terhadap pasta gigi rasa jeruk (J) dan pasta gigi
rasa strawbery (S), diperoleh informasi sebagai berikut : 20 pria
menyukai rasa jeruk, 30 wanita menyukai rasa jeruk, 40 pria
menyukai rasa strawbery, dan 10 wanita menyukai rasa strawbery.
Apabila kita bertemu dengan seorang pria, berapa probabilitas ia
menyukai pasta gigi rasa strawbery?
Apabila kita bertemu dengan seorang wanita, berapa probabilitas ia
menyukai pasta gigi rasa jeruk?
Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa
jeruk, berapa probabilitas ia adalah pria?
Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa
strawbery, berapa probabilitas ia adalah wanita?
23
Jawab:
Responsen
J
S
Jumlah
R
20
40
60
W
30
10
40
Jumlah
50
50
100
Misal W = Wanita, R = Pria, S = pasta gigi rasa Strawbery, dan J = pasta gigi rasa jeruk.


Jadi,
Apabila kita bertemu dengan seorang pria, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi
rasa strawbery adalah
40
P( S  R)
40
P( S R) 


60
P( J  W )
30
 100 
 0.75
40
P(W )
40
100
Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa jeruk, berapa
probabilitas ia adalah pria adalah
20
P( R  J )
20
P( R J ) 

100 
 0.67
60
100
Apabila kita bertemu dengan seorang wanita, berapa probabilitas ia menyukai pasta
gigi rasa jeruk adalah
30
P( J W ) 

P( R)
P( J )

50
100 
 0.40
50
100
Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa strawbery,
10
berapa probabilitas ia adalah wanita adalah
P(W  S )
100 10
P(W S ) 
P( S )

50

100
50
 0.20
24
Contoh (2) :
Contoh :
Diberikan populasi sarjana disuatu kota yang dibagi menurut
jenis kelamin dan status pekerjaan sebagai berikut :
Bekerja
Menganggur
Jumlah
Laki-laki
Wanita
460
140
40
260
500
400
Jumlah
600
300
900
Akan diambil seorang dari mereka untuk ditugaskan
melakukan promosi barang. Ternyata yang terpilih adalah dalam
status bekerja, berapakah probabilitasnya bahwa dia :
a. Laki-laki b. wanita
25
Aturan Bayes :
Misalkan A1, A2, dan A3 adalah tiga
kejadian saling lepas dalam ruang sampel S.
 B adalah kejadian sembarang lainnya dalam
S.

S
B
A1
A2
A3
26
probabilitas kejadian B adalah :
P(B)
= P(BA1). P(A1) + P(BA2). P(A2) + P(BA3). P(A3)
=
3
 P( B A ).P( A )
i 1
i
i
disebut Hukum Probabilitas Total
27

Secara umum, bila A1, A2, A3, …, An kejadian
saling lepas dalam ruang sampel S dan B
kejadian lain yang sembarang dalam S, maka
probabilitas kejadian bersyarat AiB
dirumuskan sebagai berikut :
P ( B  Ai )
P ( Ai B ) 

P( B)
P ( B Ai ).P ( Ai )
n
 P( B A ).P( A )
i 1
i
i
disebut Rumus Bayes (Aturan Bayes).
28
Contoh:



Misalkan ada tiga kotak masing-masing berisi 2 bola.
Kotak 1 berisi 2 bola merah, kotak 2 berisi 1 bola merah
dan 1 bola putih, dan kotak 3 berisi 2 bola putih. Dengan
mata tertutup Anda diminta mengambil satu kotak
secara acak dan kemudian mengambil 1 bola secara acak
dari kotak yang terambil itu..
Berapakah peluang bola yang terambil berwarna merah?
Berapakah peluang bola tersebut terambil dari kotak 2?
29
Jawab

P(bola yang terambil berwarna merah) =
P(M )  P(1).P(M 1)  P(2).P(M 2)  P(3).P(M 3)
1 2 1 1 1
2 1 3
 .  .  .0 
  0.5
3 2 3 2 3
6
6

P(bola merah tersebut terambil dari kotak
2) =
P(2).P( M 2) 13 . 1 2 16 1
P(2 M ) 
P( M )

3

6
3

6
3
 0.33
30
Latihan (1):
3 anggota koperasi dicalonkan menjadi ketua. Peluang Pak Ali terpilih
menjadi ketua adalah 0.3. Peluang Pak Badu terpilih menjadi ketua
adalah 0.5. Sedangkan peluang Pak Cokro terpilih adalah 0.2. Jika Pak
Ali terpilih, maka peluang/probabilitas kenaikan iuran koperasi adalah
0.8. Jika Pak Badu terpilih, maka maka peluang kenaikan iuran koperasi
adalah 0.1. Dan jika Pak Cokro yang terpilih, maka peluang kenaikan
iuran koperasi adalah 0.4.
a.
Hitung peluang iuran akan naik !
b.
Berapa probabilitas iuran tidak naik
c.
Jika seseorang merencanakan masuk jadi anggota koperasi tsb,
tetapi menundanya beberapa minggu, dan kemudian mengetahui
bahwa iuran telah naik, berapakah peluang Pak Cokro terpilih
menjadi ketua koperasi
d.
Jika seseorang mendaftar dan ternyata iuran tidak naik, berapa
probabilitas Pak Badu yang menjadi ketua?
31
Latihan (2):
Seorang pegawai mempunyai dua mobil, satu
sedan dan satu lagi Toyota Kijang. Untuk pergi
bekerja dia menggunakan sedang 75% dan Kijang
25%. Bila dia menggunakan sedan biasanya dia tiba
kembali di rumah 17.30 sebanyak 75% (75 dari
100 kali) sedangkan bila menggunakan Kijang dia
tiba pukul 17.30 kira-kira 60% (tapi dia merasa
lebih tenang memakai Kijang karena tidak terlalu
khawatir diserempet mobil lain). Bila dia tiba di
rumah pukul 17.30, berapakah peluangnya dia
memakai sedan? Dan berapakah peluang dia tidak
tiba di rumah pukul 17.30?
32
Latihan (3):
Peluang bahwa seorang pria akan hidup selama 25
tahun adalah 3/5 dan peluang bahwa istrinya akan
hidup selama 25 tahun adalah 2/3. Tentukan
peluang bahwa:
a. Keduanya akan hidup selama 25 tahun
b. Paling sedikit salah satu dari mereka
(suami/istri) yang hidup selama 25 tahun
33
Latihan (4):
Ada 3 kotak, yaitu 1,2, dan 3 yang masing-masing berisi bola merah dan
putih sbb:
Kotak 1
Kotak 2
Kotak 3
Jumlah
Bola Merah
5
7
8
20
Bola Putih
4
3
6
13
Jumlah
9
10
14
33
Mula-mula satu kotak dipilih secara acak, kemudian dari kotak yang
terpilih diambil satu bola juga secara acak. Tiap kotak mempunyai
kesempatan yang sama untuk terpilih.
a.
Berapa peluang bahwa bola itu merah
b.
Berapa peluang bahwa bola itu putih
c.
Bola terpilih merah, berapa peluang bahwa bola tersebut dari kotak
1?
d.
Bola terpilih putih, berapa peluang bahwa bola tersebut dari kotak 2?
34