MENYELESAIKAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINIER

Pembahasan MATEMATIKA SMP/MTs. Kelas VII
Disusun oleh: Awan Winanto, S.Pd
MENYELESAIKAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINIER SATU VARIABEL
1. Pengertian Persamaan dan Bukan Persamaan
Persamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan relasi “sama dengan”
(dilambangkan dengan tanda =). Persamaaan dapat dinyatakan pula sebagai dua bentuk
aljabar yang dihubungkan dengan tanda “=”.
Secara umum persamaan berbentuk A1  A 2 (dengan A merupakan bentuk aljabar).
Dalam hal ini A1 disebut ruas kiri dan A2 disebut ruas kanan. Jika A1 dan A2 keduanya
ekuivalen dan tidak memuat variabel, maka persamaan itu disebut kesamaan.
2. Pengertian Pertidaksamaan
Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan relasi <, >, ≤, ≥ atau ≠. Dalam
pelajaran aljabar biasanya hanya terkait dengan relasi <, >, ≤, atau ≥ saja.
Contoh: perbedaan bukan persamaan, persamaan dan pertidaksamaan
Bukan persamaan Persamaan Pertidaksamaan
2x  3
2x  3
2x  3
2
2
2 x  3x  5
2 x  3x  5 2 x 2  3x  5
Dst.
Dst.
Dst.
3. Pengertian Penyelesaian Kalimat Terbuka
Penyelesaian kalimat terbuka dengan satu variabel adalah konstanta (atau konstantakonstanta) anggota daerah definisinya, yang jika digantikan (disubstitusikan) pada variabel
dalam kalimat itu, kalimat terbuka semula menjadi pernyataan yang bernilai benar.
Penyelesaian persamaan disebut juga akar persamaan.
Pada pertidaksamaan, selain berupa bilangan tunggal, penyelesaiannya dapat berupa
sejumlah bilangan dalam interval tertentu.
4. Pengertian Persamaan dan Pertidaksamaan yang Ekuivalen
Dua persamaan atau pertidaksamaan dikatakan ekuivalen, jika keduanya mempunyai
himpunan penyelesaian yang sama sehingga apabila anggota himpunan penyelesaian
tersebut disubtitusikan ke persamaan atau pertidaksamaan hasilnya bernilai benar.
Suatu persamaan atau pertidaksamaan dapat dinyatakan ke dalam bentuk ekuivalen
dengan cara sebagai berikut:
a) Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama.
b) Mengali atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama.
5. Penyelesaian Persamaan Linier Satu Variabel
Perhatikan uraian berikut:
Tentukan penyelesaian dari bentuk aljabar di bawah ini:
a. x  6  19
b. 2 x  4  22
c. 3x  4  4 x  20
2
5
x   20  4 x
d.
3
6
Penyelesaian:
a. x  6  19 lawan
Untuk menyelesaikan persamaan di atas, tujuan kita adalah mencari berapa nilai x
yang tepat sehingga x  6  19 akan bernilai benar untuk x tertentu.
Perhatikan ruas yang mempunyai suku ber variabel dari persamaan itu!
Untuk mendapatkan nilai x , nilai  6 harus di nol kan, caranya tambahkan kedua
ruas dengan lawan dari suku (-6), seperti di bawah ini:
 x  6  19 --------------------------- tambahkan kedua ruas dengan lawan (-6)
 x  6  6  19  6 ------------------ kedua ruas ditambah (+6)
 x  0  25 --------------------------- hasilnya
 x  25 -------------------------------- diperoleh hasil x  25
persamaan x  6  19  x  25 --- (dibaca: persamaan x  6  19 ekuivalen dengan
persamaan x  25 )
1
Pembahasan MATEMATIKA SMP/MTs. Kelas VII
Disusun oleh: Awan Winanto, S.Pd
Penyelesaian dari x  6  19 adalah x  25 . Himpunan penyelesaiannya = {25}
b. 2 x  4  22
Sama halnya dengan soal butir a di atas, tujuan kita adalah untuk menentukan nilai
x sehingga persamaan 2 x  4  22 bernilai benar untuk x tertentu.
Penyelesaian :
Perhatikan ruas yang mempunyai suku ber variabel dari persamaan itu!
2 x  4  22 -----------------tambahkan kedua ruas dengan lawan dari suku  4
 2 x  4  4  22  4 ----kedua ruas ditambah dengan -4
 2 x  0  18 --------------hasilnya
 2 x  18 -------------------sekarang kalikan kedua ruas dengan kebalikan faktor 2 (2
1
kebalikannya adalah )
2
1
1
 2 x   18 
2
2
 x  9 ----------------------dihasilkan 2 x  4  22  x  9
Jadi, Himpunan penyelesaian dari 2 x  4  22 adalah {9}.
c. 3x  4  4 x  20
Perhatikan ruas yang mempunyai suku ber variabel dari persamaan itu!
Kedua ruas mempunyai suku yang ber variabel, cari suku dengan koefisien yang
bernilai lebih positif, kemudian tambahkan kedua ruas dengan lawan dari suku yang
koefisiennya bernilai lebih negatif, seperti contoh di bawah ini:
3x  4  4 x  20 ---------------------- tambahkan kedua ruas dengan lawan dari suku
3x .
 3x  4  3x  4 x  20  3x ----- kedua ruas ditambah dengan  3x
 3x  3x  4  4 x  3x  20
  4  x  20 ----------------------- hasilnya, tambahkan lagi dengan lawan suku +20.
  4  20  x  20  20 ---------- kedua ruas ditambah dengan -20.
  24  x --------------------------- hasilnya, atau
 x  24 ---------------------------- dihasilkan 3x  4  4 x  20  x  24
Jadi, himpunan penyelesaian dari 3x  4  4 x  20 adalah {-24}
2
5
d.
x   20  4 x
3
6
Perhatikan ruas yang mempunyai suku ber variabel dari persamaan itu!
2
5
x   20  4 x -------------------- tambahkan kedua ruas dengan lawan dari suku 3
6
4x.
2
5
 x   4 x  20  4 x  4 x --- kedua ruas ditambah dengan  4 x .
3
6
2
5
 x  4 x   20 ---------------- kumpulkan suku-suku yang sejenis.
3
6
5
2

   4  x   20 --------------- Lakukan penjumlahan pada pecahan campuran.
6
3

14
5
5
x   20 --------------------- tambahkan kedua ruas dengan lawan dari  .

3
6
6
14
5 5
5
5
x    20  ----------- kedua ruas ditambah dengan  .

3
6 6
6
6
14
115
x

------------------------ hasilnya, kemudian kalikan kedua ruas dengan
3
6
14
3
kebalikan dari
, yaitu
3
14
2
Pembahasan MATEMATIKA SMP/MTs. Kelas VII
Disusun oleh: Awan Winanto, S.Pd
14
3 115 3
3
x 
 ------------ kedua ruas dikali dengan
3
14
6 14
14
115
 x
---------------------------- hasilnya.
28
2
5
115
2
5
Jadi,
, himpunan penyelesaian dari x   20  4 x
x   20  4 x  x 
3
6
28
3
6
115   3 
adalah 
 = 4  .
 28   28 
6. Evaluasi (Refleksi) Mandiri tentang Persamaan Linier Satu Variabel.
Untuk mengetahui kompetensi kalian dalam menentukan penyelesaian dari persamaan
linier satu variabel, selesaikanlah soal-soal di bawah ini!
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan linier di bawah ini!
1. 12  3a  5  2a
1
1
6. x  1  2
2. 7q  5q  12
2
3
3. 6  5 y  9  4 y
x  2 2x  1
7.

4. 7n  4  4n  17
3
2
1
1
5 x  2 3x  2
5. 5 y   4 y 
8.

1
4
2
3
4
7. Penyelesaian Pertidaksamaan Linier Satu Variabel
Suatu pertidaksamaan dapat dinyatakan kedalam bentuk pertidaksamaan yang ekuivalen
dengan cara sebagai berikut:
a) Tambahkan kedua ruas dengan lawan dari suku salah satu ruas. Penambahan ini tidak
mengubah tanda ketaksamaan. (artinya tanda ketaksamaan tetap).
b) Kalikan atau bagi kedua ruas dengan bilangan positif yang sama. Perkalian dengan
bilangan positif tidak mengubah tanda ketaksamaan. (artinya tanda ketaksamaan
tetap).
c) Kalikan atau bagi kedua ruas dengan bilangan negatif yang sama. Perkalian dengan
bilangan negatif akan mengubah tanda ketaksamaan menjadi kebalikannya.
1) < menjadi >
3) ≥ menjadi ≤
2) > menjadi <
4) ≤ menjadi ≥
Perhatikan uraian berikut:
Tentukan penyelesaian dari bentuk aljabar di bawah ini:
a. x  6  19
2
5
d.
x   20  4 x
b. 2 x  4  22
3
6
c. 3x  4  4 x  20
Penyelesaian:
a. x  6  19
 x  6  19 ---------------------- tambahkan kedua ruas dengan +6
 x  6  6  19  6
 x  25 -------------------------- hasilnya, x  6  19  x  25 .
Jadi, himpunan penyelesaian dari x  6  19 adalah x | x  25atau ...,20,21,22,23,24
b. 2 x  4  22
 2 x  4  22 -------------------- kurangkan kedua ruas dengan 4 (tambahkan kedua ruas
dengan -4).
 2 x  4  4  22  4
 2 x  18 ------------------------- bagi kedua ruas dengan 2 (kalikan kedua ruas dengan
kebalikan 2).
2 x 18


2
2
 x  9 ---------------------------- hasilnya 2 x  4  22  x  9 .
Jadi, himpunan penyelesaian dari 2 x  4  22 adalah x | x  9 atau ...,5,6,7,8,9

3
Pembahasan MATEMATIKA SMP/MTs. Kelas VII
Disusun oleh: Awan Winanto, S.Pd
c. 3x  4  4 x  20
 3x  4  4 x  20 ---------------- tambahkan kedua ruas dengan 4
 3x  4  4  4 x  20  4
 3x  4 x  24 -------------------- kurangkan kedua ruas dengan 3x (tambahkan kedua
ruas dengan lawan dari 3x).
 3x  3x  4 x  24  3x
 0  x  24 ------------------------ kurangi kedua ruas dengan 24
 0  24  x  24  24
  24  x
 x  24 -------------------------- hasilnya, 3x  4  4 x  20  x  24
Jadi, himpunan penyelesaian dari 3x  4  4 x  20 adalah x | x  24atau
...,26,25,24.
2
5
d.
x   20  4 x
3
6
2
5
 x   20  4 x ---------------- tambahkan kedua ruas dengan 4 x
3
6
2
5

x  4 x   20  4 x  4 x
3
6
5
2

   4  x   20
6
3

14
5
5

x   20 --------------------- kurangi kedua ruas dengan
3
6
6
14
5 5
5

x    20 
3
6 6
6
14
115
14
3

------------------------- kalikan kedua ruas dengan kebalikan
yaitu
.
x
3
6
3
14
14
3 115 3

x 

3
14
6 14
115
2
5
 x
---------------------------- hasilnya, x   20  4 x 
28
3
6
2
5
115 

Jadi, himpunan penyelesaian dari x   20  4 x adalah  x | x 

3
6
28 

8. Evaluasi (Refleksi) Mandiri tentang Persamaan Linier Satu Variabel.
Tentukan himpunan penyelesaian untuk setiap pertidaksamaan linier di bawah ini!
1) 2 x  7  1
m
m
1  3 
6)
2) p  5  9
3
3
3) 4 x  2  2 x  5
7) 12  6 y  6
4)  2n  3n  5
8) 2x  30  4x  2
6 x  3 2x  3

5)
5
2
4