BAB 3 STRUKTUR ALJABAR DAN CONTOH

BAB 3
STRUKTUR ALJABAR DAN CONTOH
Pada bab sebelumnya kita telah membicarakan definisi dari struktur
aljabar, dan grupoid merupakan salah satu contohnya. Pada permulaan bab ini
akan dibahas beberapa struktur aljabar lain seperti semigrup, monoid, grup
beserta beberapa contohnya, kemudian pada bagian akhir bab ini akan
diperkenalkan inverse semigroup, yaitu suatu kelas dari semigrup yang sifatnya
tidak jauh berbeda dengan grup.
3.1 SEMIGRUP
Studi formal mengenai struktur semigrup dimulai pada awal abad ke-20,
istilah “semigrup” sendiri pertama kali muncul pada halaman 8, yakni di dalam
buku literatur matematika karangan J.-A de Séguier yang berjudul Éléments de la
Théorie des Groupes Abstraits (Paris, 1904), dan makalah pertama mengenai
semigrup dibuat pada tahun 1905 oleh L. E. Dickson.
Sebelumnya telah dibahas bahwa semigrup adalah suatu grupoid (S, · )
dimana operasi biner
·
pada grupoid tersebut bersifat asosiatif. Semigrup
berbeda dengan grup dalam hal semigrup tidak harus mempunyai elemen
identitas dan elemen invers seperti halnya pada grup.
Misalkan S adalah suatu semigrup, elemen a dari S disebut reguler jika
terdapat x∈S sehingga a = axa. Semigrup S dikatakan reguler jika setiap elemen
dari S adalah reguler. Konsep reguler ini adalah perluasan dari konsep elemen
identitas dan elemen invers pada grup.
10
1
LEMMA 3.1 Elemen a dari semigrup S adalah reguler jika dan hanya
jika prinsipal ideal kanan [kiri] dari S dibangun oleh a memiliki pembangun
idempotent e, yaitu aS1 = eS1 [S1a = S1e].
BUKTI. Jika a reguler. maka axa = a untuk suatu x di S, dan e = ax adalah
elemen idempotent dari S dimana ea = a. Jelas bahwa aS1 = eS1. Misalkan
kebalikanya, yaitu aS1 = eS1 dengn e2 = e, maka a = ex dengan x di S1, kemudian
ea = e2x = ex = a, dan a = aaa. Sehingga, a∈aSa, dan a adalah reguler.
Contoh umum dari semigrup adalah himpunan seluruh matriks bilangan
real berukuran n × n (n∈Z+) dengan operasi multiplikasi. Tidak masalah ketika
perkalian matriks AB tidak sama dengan BA, karena semigrup tidak harus bersifat
komutatif. berikut akan dibuktikan bahwa operasi perkalian pada matriks persegi
bersifat asosiatif. Misalkan A,B, dan C adalah matriks berukuran n × n, dan
aij,bij,cij∈R, maka:
!
)* + +
(
+
(
(
!
(
(* + +
' +
"
"
! #$ $ !
"
* + + .
- &
+
- !
!
-
- &
* + + ,
+
) * & * %
/
+ +/
(
+
/
(
(
!
(
(* &/ * + +/ %
'/
+
"
&
! #% !
&
"
"
&
! #
&
&
! #
&
* &/ * + +/ % .
+
/
!
* &/ * + +/ %,
+
/
1
A. H Clifford and G. B. Preston, ‘The Algebraic Theory of Semigroups’ vol.1, Amer. Math.
Soc., Rhode Island, 1961. p. 27
11
) * * & %
/
/+ +
(
+
/
(
(
!
(
(* / * /+ &+ %
'/
+
!
"
"
)* &
+ +
( +
! # ((
!
( (* + &+
' +
* / * /+ &+ % .
+
/
!
* / * /+ &+ %,
/
+
"
* + &+ .
+
!
- * + &+ ,
+
Contoh sederhana lain dari semigrup, yakni semigrup yang tidak memiliki
elemen identitas dan elemen invers adalah himpunan bilangan bulat positif
dengan operasi penjumlahan (Z+, +).
Setiap grup adalah semigrup, karena itu setiap contoh dari grup juga
merupakan contoh dari semigrup.
3.2 MONOID
Semigrup (M, · ) dikatakan monoid apabila terdapat e ∈ M , dimana untuk
setiap x ∈ M berlaku :
e · x = x = x · e.
Elemen e disebut juga sebagai elemen identitas dari M.
Contoh dari monoid adalah himpunan bilangan asli N = { 0, 1, 2, 3, …}
dan penjumlahan, yaitu monoid dengan elemen identitas yaitu 0. Perlu diketahui
bahwa monoid (N , +) dapat kita bentuk dengan menambahkan elemen identitas 0
pada semigrup (Z+,+).
Contoh lain dari monoid adalah himpunan bilangan asli N = {0, 1, 2,…}
dan multiplikasi (elemen identitas = 1).
12
3.3 GRUP
Monoid (M, · , e) disebut sebagai grup apabila untuk setiap x∈M terdapat
x
−1
∈ M yang memenuhi:
x · x − 1 = e = x− 1 · x
x − 1 disebut juga sebagai elemen invers bagi x. Setiap elemen x∈M mempunyai
invers yang unik, karena jika y juga merupakan invers dari x, maka y = ye = y(x
x − 1) = (y`x) x − 1 = e x − 1 = x − 1.
H. Weber (Lehrbuch der Algebra, vol. 2 (1896), pp. 3-4) dengan efektif
mendefinisikan grup sebagai suatu semigrup G, dimana ∀a,b∈G, terdapat elemen
x dan y yang unik sehingga menyebabkan ax = b dan ya = b.
Grup adalah topik dari struktur aljabar yang sudah sangat umum, dalam
artian banyak sekali obyek yang dipelajari dalam matematika ternyata berupa
grup, yaitu mencakup sistem bilangan seperti : bilangan bulat, bilangan rasional,
bilangan real, dan bilangan kompleks terhadap operasi penjumlahan atau
bilangan rasional, bilangan real, bilangan kompleks yang tak-nol terhadap operasi
perkalian.
3.4 INVERSE SEMIGROUP
Inverse semigroup diperkenalkan secara terpisah yaitu pada tahun 1952
oleh Viktor Vladimirovich Wagner (Uni Soviet) dan Gordon Preston (Inggris
Raya) pada tahun 1954, keduanya sampai pada inverse semigroup melalui
penelitian transformasi parsial satu-satu pada suatu himpunan.
Dua elemen anggota semigrup S, sebut a dan b, dikatakan saling invers
jika aba = a dan bab = b, konsep ini diperkenalkan oleh Vagner [1952] dengan
nama generelaized inverse atau inverse yang diperluas. Inverse semigroup adalah
semigrup reguler dimana setiap elemennya masing – masing memiliki inverse
yang unik. Elemen invers (unik) dari elemen x pada inverse semigroup S
dilambangkan dengan x-1, sehingga aa-1a = a dan a-1aa-1=a-1.
13
Dapat dilihat bahwa jika axa = a maka e = ax adalah elemen idempotent
dari S dimana ea = a, e2= (ax)(ax) = (axa)x = ax = e dan ea = axa = a. Dengan
cara serupa, f = xa adalah idempotent dimana af = a.
2
LEMMA 3.2 Jika e,f,ef, dan fe adalah seluruh elemen idempotent dari
semigrup S. maka ef dan fe merupakan invers satu sama lain.
BUKTI. (ef)(fe)(ef) = (ef2e2f) = efef = (ef)2 = ef, dan secara simetris kita
peroleh (fe)(ef)(fe) = fe.
3
TEOREMA 3.1 Tiga kondisi berikut pada semigrup S, adalah ekivalen:
(i) S reguler, dan dua idempotent sembarang pada S komutatif satu sama lain;
(ii) Setiap prinsipal ideal kanan dan setiap prinsipal ideal kiri dari S memiliki
pembangun idempotent yang unik;
(iii) S adalah inverse semigroup.
BUKTI. (i) → (ii). Melalui Lemma 3.1 setiap prinsipal ideal kanan dari S
memiliki setidaknya satu pembangun idempotent. Misalkan e dan f adalah elemen
idempotent yang membangun prinsipal ideal kanan yang sama, yaitu eS = fS.
Maka ef = f dan fe = e. Tetapi, (i) menyebabkan ef = fe, sehingga e = f.
(ii) → (iii). Melalui Lemma 3.1, S reguler dan yang perlu kita lakukan
sekarang adalah menunjukkan bahwa setiap inversnya unik. Misalkan b dan c
adalah invers dari a, sehingga aba = a, bab = b, aca = a, dan cac = c. Maka abS =
aS = acS dan Sba = Sa = Sca, sehingga ab = ac dan ba = ca adalah akibat dari
(ii). Sehingga b = bab = bac = cac = c.
(iii) → (i). Invers semigroup adalah reguler, jadi kita hanya perlu
menunjukkan bahwa dua element idempotent sembarang dari S komutatif satu
sama lain. Pertama-tama kita tunjukkan bahwa produk ef dari dua elemen
idempotent e, f ∈ S juga adalah idempotent. Jika a adalah invers (unik) dari ef,
dimana (ef)a(ef) = ef, a(ef)a = a. Jika b = ae. Maka (ef)b(ef) = efae2f = efaef = ef,
b(ef)b = ae2fae = aefae = ae = b. Sehingga didapat bahwa b juga merupakan
2
3
Clifford, ‘The Algebraic Theory of Semigroups’. p. 28
Clifford, ‘The Algebraic Theory of Semigroups’. p. 28
14
invers dari ef. Melalui (iii), maka ae = b = a. Kemudian dengan cara yang sama
dapat kita tunjukkan bahwa fa = a. Sehingga a2 = (ae)(fa) = a(ef)a = a. Tetapi
suatu idempotent adalah invers terhadap dirinya sendiri, dan sekali lagi, melalui
(iii), kita simpulkan bahwa a = ef. Sehingga ef adalah idempotent.
Jika e dan f merupakan dua idempotent dari S. Dari yang telah dibahas
sebelumnya, diketahui bahwa ef dan fe juga merupakan suatu idempotent dari S.
Kemudian melalui Lemma 3.2, ef dan fe adalah invers satu sama lain. Sehingga ef
dan fe keduanya adalah invers dari ef, dan oleh karena itu maka ef = fe.
Berikut ini adalah definisi formal dari inverse semigroup.
4
DEFINISI. Semigrup S dikatakan sebagai inverse semigroup jika operasi
x ↦ x terdefinisi pada S, dan memenuhi :
-1
∀x,y ∈ S, (x−1)−1 = x, xx−1x = x, xx−1yy−1 = yy−1xx−1.
Tidak ada aturan invers pada inverse semigroup S. Semigrup S adalah
inverse semigroup jika untuk setiap x terdapat y unik sehingga xyx = x dan yxy =
y. Pada grup, operasi dari suatu elemen dengan invers dari elemen tersebut
bersifat komutatif dalam artian x · x −1 = x −1 · x = e ,∀x,x−1, e ∈ G. Hal yang
sama belum tentu berlaku pada inverse semigroup, suatu elemen x dari inverse
semigroup S belum tentu komutatif dengan inversnya x-1. tetapi jelas bahwa dua
idempotent sembarang pada inverse semigroup komutatif satu dengan yang lain.
5
LEMMA 3.3 Untuk setiap a dan b elemen inverse semigroup S, berlaku
(a-1)-1 = a
dan
(ab)-1 = b-1a-1.
BUKTI. Untuk bukti yang pertama sudah jelas, untuk bukti bagian kedua,
(ab)(b-1a-1)(ab) = a(bb-1)(a-1a)b = a(a-1a)(bb-1)b = ab,
(b-1a-1)(ab)(b-1a-1) = b-1(a-1a)(bb-1)a-1 = b-1(bb-1)(a-1a)a-1 = b-1a-1.
sehingga b-1a-1 adalah invers dari ab.
4
Carlos Carvalho, ‘Presentations of Semigroups and Inverse Semigroups’, Ph.D. Thesis,
University of St. Andrews, 2003. p. 1
5
Clifford, ‘The Algebraic Theory of Semigroups’. p. 30
15
Berikut adalah contoh dari inverse semigroup, misalkan X suatu
himpunan, dan S = {γ ; γ ⊆ X , | γ |≤ ∞} yaitu himpunan yang terdiri atas semua
subset hingga dari X. Himpunan S dan operasi penggabungan adalah inverse
semigroup, dan elemen invers dari suatu γ pada S adalah elemen γ itu sendiri.
Setiap grup adalah inverse semigroup, oleh karena itu setiap contoh dari
grup juga merupakan contoh dari inverse semigruop.
...
16