operasi dasar pada vektor

OPERASI DASAR
PADA VEKTOR
A. Kesamaan 2 vektor
Dua buah vektor a dan b dikatakan sama jika keduanya
memiliki besar dan arah yang sama, dan ditulis a = b.
a
b
•
a
-a
Sebuah vektor yang arahnya berlawanan dengan vektor
a, tetapi memiliki besar yang sama dengan besar vektor
a disebut negasi dari a, ditulis - a
B. Penjumlahan vektor
Jumlah atau resultan dari dua vektor a dan b adalah
sebuah vektor c yang dibentuk dengan menempatkan
titik awal dari b pada titik terminal dari a dan kemudian
menghubungkan titik awal dari a dengan titik terminal
dari b
Jumlah ini ditulis a + b = c
a
b
b
a
a+b=c
Jika a  x1 i  y1 j  z1 k dan b  x 2 i  y 2 j  z 2 k maka
a  b  (x 1  x 2 )i  (y1  y 2 ) j  (z 1  z 2 )k
Sifat-sifat penjumlahan pada vektor.
1. Sifat komutatif, a + b = b + a
a
b
b
a
a+b
b+a
b
a
2. Sifaf asosiatif. (a + b) + c = a + (b + c)
a
b
c
b
a
a+b
b+c
(a + b) + c
a + (b + c)
c
C. Pengurangan vektor
Selisih dari dua vektor a dan b ditulis a – b adalah vektor c
yang apabila ditambahkan pada b menghasilkan vektor a.
Secara ekuivalen dapat ditulis a – b = a + (-b)
Pengurangan vektor tidak bersifat komutatif dan asosiatif
b
a
a–b
-b
Jika a  x 1 i  y1 j  z1 k dan b  x 2 i  y 2 j  z 2 k maka
a  b  (x 1  x 2 )i  (y 1  y 2 ) j  (z 1  z 2 )k
D. Perkalian vektor
Hasil kali vektor a dengan skalar m adalah sebuah
vektor ma yang besarnya |m| kali besar vektor a
dan arahnya
 searah dengan a jika m > 0
 berlawanan arah dengan a jika m < 0
 tak tentu jika m = 0
Jika a dan b vektor, sedangkan m dan n skalar, maka
berlaku
a. ma = am
b. m (na) = (mn) a
c. (m + n ) a = ma + na
d. m (a + b) = ma + mb
Contoh soal.
1. Ditentukan a = 3i -2j + k,
b = 2i -4j -3k,
c = i +2j + 2k
a, hitunglah p = 2a + 3b -5c
b. tentukan | p |
c. tentukan besar cosinus arah dari | p |
Jawab .
a. p = 2a + 3b -5c
= 2 (3i -2j + k ) + 3 (2i -4j -3k ) – 5 (i +2j + 2k )
= (6i – 4j + 2k) + (6i – 12j – 9k ) – (5i + 10j +10k)
= 7i -26j – 17k
b. | p |  7 2  (26) 2  (17) 2
 49 676  289
 1014
7
 26
 17
c. cos  
, cos  
, cos  
1014
1014
1014
2. Dari soal no. 1, tentukan vektor satuan yang searah
dengan d = 2a – b + 2c
3. Dari soal no. 1, jika e = 3i + 2j + 5k, maka tentukan
konstanta p, q, dan r sehingga 2e = pa + qb + rc