Untai Elektrik I
advertisement
Untai 1 I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum Untai Elektrik I Metode Analisis Dr. Iwan Setyawan Fakultas Teknik Universitas Kristen Satya Wacana Untai 1 Metode Arus Cabang (1) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum • Pada Metode Arus Cabang (Branch Current), setiap cabang pada untai diberi arus. • Kemudian, kita terapkan Kirchhoff’s Current Law (KCL) pada principal node dan tegangan diantara masing-masing node untuk mencari hubungan antara arus-arus tersebut. • Prosedur ini akan menghasilkan satu set persamaan yang kemudian diselesaikan untuk mencari besar masing-masing arus. Untai 1 Metode Arus Cabang (2) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Contoh soal 1: Matriks dan Determinan Carilah nilai arus untuk tiap cabang pada untai berikut. Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum Untai 1 Metode Arus Cabang (3) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Jawab: Dengan menerapkan KCL pada node a, kita peroleh I1 = I2 + I3 Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum (1) Tegangan antara titik a dan b dapat dituliskan berdasarkan elemen-elemen yang ada pada tiap cabang: Vab = 20 − 5I1 , Vab = 10I3 Vab = 2I2 + 8 Untai 1 Metode Arus Cabang (4) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Jawab (cont.): Dari sini kita dapat menulis 20 − 5I1 = 10I3 (2) 20 − 5I1 = 2I2 + 8 (3) Dengan mensubstitusikan (2) ke (3) kita peroleh Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum 10I3 = 2I2 + 8 5I3 = I2 + 4 (4) Untai 1 Metode Arus Cabang (5) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Jawab (cont.): Kemudian dengan mengalikan (1) dengan 5 dan memasukkan (4) kita peroleh 5I1 = 5I2 + I2 + 4 5I1 = 6I2 + 4 (5) Dari (5) dan (3) kita peroleh Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum 20 − 6I2 − 4 = 2I2 + 8 8 = 8I2 I2 = 1 A (6) Untai 1 Metode Arus Cabang (6) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Jawab (cont.): Dengan memasukkan nilai I2 ke (5) kita peroleh 5I1 = 6 + 4 I1 = 2 A (7) Selain itu dengan memasukkan nilai I2 ke (4) kita peroleh Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum 5I3 = 1 + 4 I3 = 1 A (8) Untai 1 Metode Arus Cabang (7) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum • Arah arus yang berbeda juga dapat digunakan, dengan penyesuaian tanda. • Metode arus cabang ini tidak tepat digunakan untuk untai yang kompleks. Untai 1 Metode Arus Mesh (1) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance • Pada metode ini, setiap “window” pada untai diberi sebuah arus sedemikian sehingga tiap arus merupakan sebuah loop tertutup (“loop currents”). • Jika sebuah elemen atau cabang dilewati lebih dari satu arus, maka arus yang sebenarnya mengalir adalah jumlahan arus-arus tadi. • Semua arus bisa dibuat searah atau berlawanan arah jarum Network Reduction jam. Biasanya semua arus dibuat searah jarum jam. Superposisi • Setelah semua arus ditetapkan, digunakan KVL untuk Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum memperoleh persamaan- persamaan yang harus diselesaikan. Untai 1 Metode Arus Mesh (2) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum Contoh soal 2: Carilah arus disetiap percabangan untai berikut (untai ini identik dengan contoh sebelumnya). Untai 1 Metode Arus Mesh (3) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Jawab: Matriks dan Determinan Dengan menerapkan KVL pada “window” kiri (dimulai dari titik α), kita peroleh: Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output −20 + 5I1 + 10(I1 − I2 ) = 0 15I1 − 10I2 = 20 (9) Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum dan untuk “window” kanan (dimulai dari titik β): 8 + 10(I2 − I1 ) + 2I2 = 0 −10I1 + 12I2 = −8 (10) Untai 1 Metode Arus Mesh (4) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum Jawab (cont.): Dengan mengalikan (10) dengan 1.5 kita peroleh −15I1 + 18I2 = −12 15I1 = 18I2 + 12 Jika kita substitusikan persamaan terakhir ke (9), kita peroleh 18I2 + 12 − 10I2 = 20 8I2 = 8 I2 = 1 Dengan memasukkan hasil ini ke (9) kita peroleh I1 = 2. Untai 1 Metode Arus Mesh (5) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum Jawab (cont.): Arus yang melalui R = 10 ohm adalah I1 − I2 = 1 ampere. Pada contoh sebelumnya, arus ini adalah I3 . Untai 1 Metode Arus Mesh (6) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum • Arus yang diberikan tidak harus terbatas pada satu “window” seperti pada contoh diatas. • Pada metode ini, setiap elemen untai harus dilewati sebuah arus atau kombinasi arus-arus yang ada pada untai. • Pada metode ini, tidak boleh ada 2 elemen pada cabang yang berbeda yang dilewati arus atau kombinasi arus yang sama. Untai 1 Matriks dan Determinan (1) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum Penyelesaian analisis untai dengan metode arus mesh dapat dilakukan menggunakan matriks. Contoh soal 3: Tuliskan persamaan-persamaan untai berikut dalam bentuk matriks. Untai 1 Matriks dan Determinan (2) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Jawab: Dengan menerapkan KVL pada tiap-tiap “window”, kita peroleh Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum (RA + RB )I1 −RB I2 = Va −RB I1 +(RB + RC + RD )I2 −RD I3 = 0 −RD I2 +(RD + RE )I3 = −Vb Untai 1 Matriks dan Determinan (3) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum Jawab (cont.): Persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut: RA + RB −RB 0 I1 Va −RB RB + RC + RD −RD I2 = 0 0 −RD RD + RE I3 −Vb Untai 1 Matriks dan Determinan (4) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum • Matriks pada contoh diatas dapat ditulis dalam bentuk umum sebagai berikut R11 R12 R13 R21 R22 R23 R31 R32 R33 • Pada persamaan diatas, elemen R11 adalah jumlahan semua resistor yang dilewati arus I1 . Untuk kasus ini nilainya adalah RA + RB . • R22 dan R33 masing-masing adalah jumlahan semua resistor yang dilewati I2 dan I3 . (11) Untai 1 Matriks dan Determinan (5) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum • Elemen R12 adalah jumlahan semua resistor yang dilewati arus I1 dan I2 . Tanda elemen ini positif jika kedua arus memiliki arah yang sama, dan negatif jika arus berlawanan arah. • Pada kasus diatas, RB adalah satu-satunya resistor yang dilewati I1 dan I2 . Karena arah kedua arus ini berlawanan, tanda RB negatif. • Hal yang sama berlaku untuk R13 , R21 , R23 dan R31 . • Perhatikan bahwa Rij = Rji , ∀ i, j. Jadi, matrix ini simetris terhadap diagonal utamanya. Untai 1 Matriks dan Determinan (6) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum • Matriks kedua berisi arus-arus yang ada pada untai. • Matriks ketiga berisi sumber-sumber tegangan pada untai. Elemen V1 berisi jumlahan semua sumber yang menimbulkan arus pada “window” pertama dan seterusnya. • Elemen matriks ini bernilai positif jika arus mengalir dari terminal − ke terminal +. Jika tidak, nilainya negatif. • Pada kasus diatas, “window” pertama memiliki sumber Va dengan I1 masuk dari terminal negatif. “Window” kedua tidak memiliki sumber, dan “window” ketiga memiliki sumber yang masuk dari terminal positif. Untai 1 Matriks dan Determinan (7) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum • Matriks yang dihasilkan dari proses analisis untai seperti diatas dapat diselesaikan dengan banyak cara. • Cara yang akan dibahas berikut ini adalah metode determinan atau disebut juga dengan aturan Cramer (Cramer’s rule). • Penyelesaian dengan aturan Cramer tidak terlalu efisien jika untai yang dianalisis sangat kompleks. Untai 1 Matriks dan Determinan (8) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum Contoh soal 4: Selesaikan persamaan matriks pada contoh yang lalu (Persamaan (11)) dengan menggunakan metode determinan. Untai 1 Matriks dan Determinan (9) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum Jawab: Untuk mencari I1 kita gunakan pembagian 2 determinan. Determinan yang menjadi penyebut adalah determinan matriks resistansi, dengan simbol ∆R . Determinan yang menjadi pembilang sama dengan ∆R , tetapi kolom pertama diganti dengan matriks tegangan atau V1 R12 R13 V2 R22 R23 V1 R12 R13 V3 R32 R33 1 ≡ V2 R22 R23 I1 = R11 R12 R13 ∆R V3 R32 R33 R21 R22 R23 R31 R32 R33 Untai 1 Matriks dan Determinan (10) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum Jawab (cont.): Menggunakan analisis yang sama, R 1 11 R21 I2 = ∆R R31 R 1 11 R21 I3 = ∆R R31 dapat diperoleh: V1 R13 V2 R23 V3 R33 R12 V1 R22 V2 R32 V3 Untai 1 Matriks dan Determinan (11) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum Ekspansi determinan pembilang menggunakan kofaktor akan menghasilkan satu set persamaan yang berguna dalam menganalisis untai. Untuk kasus diatas diperoleh: ∆21 ∆31 ∆11 + V2 + V3 (12) I1 = V1 ∆R ∆R ∆R ∆12 ∆22 ∆32 I2 = V1 + V2 + V3 (13) ∆R ∆R ∆R ∆23 ∆33 ∆13 I3 = V1 + V2 + V3 (14) ∆R ∆R ∆R Dengan ∆ij adalah kofaktor Rij dalam ∆R . Untai 1 Metode Tegangan Node (1) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Perhatikan gambar untai berikut. Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum Untai ini memiliki 5 node (node 1, 2 dan 3 adalah principal node sedangkan node 4 dan 5 adalah simple node). Untai 1 Metode Tegangan Node (2) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum • Dalam metode ini, salah satu principal node dipilih menjadi referensi. • Kemudian persamaan-persamaan dibuat berdasarkan KCL pada principal node lainnya. • Masing-masing principal node (yang bukan referensi) diberi tegangan. Tegangan ini relatif terhadap node referensi. • Tegangan-tegangan ini adalah besaran yang dicari untuk mendapatkan solusi untai. Untai 1 Metode Tegangan Node (3) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum Untai diatas dapat digambar ulang sebagai berikut, dengan node 3 dijadikan node referensi untuk V1 dan V2 . Untai 1 Metode Tegangan Node (4) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node • Menurut KCL, jumlahan arus yang keluar dari node 1 harus nol. Sehingga diperoleh V1 V1 − V2 V1 − Va + + =0 RA RB RC Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum • Hal yang sama dapat diperoleh untuk node 2 sebagai berikut. V2 − V1 V2 V2 − Vb + + =0 RC RD RE Untai 1 Metode Tegangan Node (5) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum • Persamaan-persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut. " 1 1 1 − R1C RA + RB + RC 1 1 − R1C RC + RD + # 1 RE V1 Va /RA = V2 Vb /RE • Perhatikan bahwa matrik koefisien simetris terhadap diagonal utamanya. Untai 1 Metode Tegangan Node (6) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum • Elemen (1, 1) matriks koefisien berisi jumlahan reciprocal semua resistor yang terhubung ke node 1. • Elemen (2, 2) matriks koefisien berisi jumlahan reciprocal semua resistor yang terhubung ke node 2. • Elemen (1, 2) dan (2, 1) berisi negatif jumlahan reciprocal semua resistor pada cabang yang menghubungkan node 1 dan node 2. • Sisi kanan persamaan berisi arus-arus yang men-drive masing-masing node. Untai 1 Metode Tegangan Node (7) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum Contoh soal 5: Selesaikan contoh soal 2 menggunakan metode tegangan node. Untai 1 Metode Tegangan Node (8) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Jawab: Matriks dan Determinan Untai yang dianalisis dapat digambar ulang sebagai berikut. Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum Untai 1 Metode Tegangan Node (9) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum Jawab (cont.): Karena hanya ada 2 principal node, maka kita hanya membutuhkan 1 persamaan. Jika diasumsikan arus mengalir dari node 1 ke node referensi, maka kita peroleh V1 − 20 V1 V1 − 8 + + =0 5 10 2 2(V1 − 20) + V1 + 5(V1 − 8) = 0 8V1 − 80 = 0 V1 = 10 Untai 1 Metode Tegangan Node (10) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum Jawab (cont.): Dari hasil diatas dapat diperoleh I1 = (10 − 20)/5 = −2 I2 = (10 − 8)/2 =1 I3 = 10/10 =1 Tanda negatif pada I1 menunjukkan bahwa arah arus yang diasumsikan salah. Besar dan arah arus yang diperoleh pada penyelesaian ini cocok dengan hasil sebelumnya. Untai 1 Tahanan Input dan Output (1) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum • Pada jaringan dengan 1 sumber, kita sering perlu mengetahui tahanan input (input resistance atau driving point resistance). • Jaringan seperti ini ditunjukkan pada gambar berikut. Untai 1 Tahanan Input dan Output (2) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output • Pada jaringan diatas, terdapat satu sumber tegangan, V1 , dengan driving current I1 . • Karena hanya terdapat 1 sumber tegangan, persamaan untuk I1 adalah I1 = V1 Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum ∆11 ∆R • Tahanan input adalah perbandingan V1 terhadap I1 , atau Rin,1 = ∆R ∆11 Untai 1 Tahanan Input dan Output (3) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum • Sebuah sumber tegangan yang dipasang pada sebuah jaringan pasif menghasilkan beda tegangan antar semua node dalam jaringan. • Jika sebuah resistor luar dipasang diantara 2 node jaringan, resistor tersebut akan menarik arus dari jaringan dan pada umumnya menurunkan tegangan antar node tersebut. • Hal ini disebabkan oleh tegangan pada tahanan output. • Tahanan output dicari dengan membagi tegangan open-circuit dengan arus short-circuit pada node yang dianalisis. Untai 1 Transfer Resistance (1) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum • Sebuah sumber tegangan pada satu bagian sebuah jaringan menghasilkan arus pada semua cabang jaringan. • Misalnya, sumber tegangan yang dipasang pada suatu jaringan pasif menghasilkan arus output pada bagian tempat sebuah beban dipasang. • Dalam kasus seperti diatas, jaringan dikatakan memiliki suatu transfer resistance. Untai 1 Transfer Resistance (2) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh • Perhatikan jaringan pasif berikut ini Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum • Pada jaringan ini, tegangan sumber adalah Vr dan arus keluaran adalah Is . • Persamaan arus mesh untuk Is hanya berisi satu suku, sebagai berikut ∆ ∆ 1s rs Is = (0) + · · · + 0 + Vr + 0 + ··· ∆R ∆R Untai 1 Transfer Resistance (3) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum • Transfer resistance jaringan adalah perbandingan Vr dan Is , atau Rtrf ,rs = ∆R ∆rs • Karena matriks tahanan simetris, ∆rs = ∆sr , maka Rtrf ,rs = Rtrf ,sr • Persamaan terakhir menunjukkan sifat penting jaringan linear: Jika tegangan tertentu pada mesh r mengakibatkan arus tertentu pada mesh s, tegangan yang sama pada mesh s akan mengakibatkan arus yang sama pada mesh r . Untai 1 Transfer Resistance (4) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum • Misalkan kasus yang lebih umum, yaitu sebuah jaringan dengan n buah mesh dan banyak sumber tegangan. • Arus pada mesh ke-k dapat dicari sebagai berikut Ik = V1 Vk−1 Vk + ··· + + + Rtrf ,1k Rtrf ,(k−1)k Rin,k Vk+1 Vn + ··· + Rtrf ,(k+1)k Rtrf ,nk • Persamaan terakhir menunjukkan bahwa sumber yang jauh dari mesh k memiliki tahanan yang besar sehingga hanya memberi sedikit kontribusi terhadap Ik . Semakin dekat sebuah sumber, semakin besar kontribusinya terhadap Ik . Untai 1 Network Reduction (1) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum • Metode arus mesh dan tegangan node merupakan alat utama analisis untai. • Metode lain yang dapat digunakan adalah dengan memanfaatkan tahanan ekuivalen (seri dan paralel) serta aturan pembagian arus dan tegangan. • Metode ini sangat merepotkan jika untai yang dianalisis kompleks. Untai 1 Network Reduction (2) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Contoh soal 6: Matriks dan Determinan Carilah daya total yang dikeluarkan sumber tegangan dan daya yang diserap masing-masing resistor pada untai berikut ini: Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum Untai 1 Network Reduction (3) I. Setyawan Metode Arus Cabang Jawab: Metode Arus Mesh Menggunakan metode network reduction, pertama-tama kita hitung tahanan ekuivalen sebagai berikut: Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum Rab = 7 + 5 = 12 Ω 12 × 6 =4Ω Rcd = 12 + 6 Kedua tahanan ekuivalen tersebut paralel, sebagai berikut: Untai 1 Network Reduction (3) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum Jawab (cont.): Dari gambar diatas dapat kita hitung tahanan ekuivalen sebagai berikut: 4 × 12 =3Ω Ref = 4 + 12 Jadi untai sekarang menjadi sebagai berikut: Untai 1 Network Reduction (4) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Jawab (cont.): Dari gambar diatas dapat kita hitung tahanan total untai sebagai berikut: Req = 7 + 3 = 10 Ω Jadi daya total yang dikeluarkan sumber tegangan dapat dihitung sebagai berikut: Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum PT = (60)2 V2 = = 360 W Req 10 Untai 1 Network Reduction (5) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Jawab (cont.): Daya total ini dibagi antara Rge dan Ref sebagai berikut: 7 × 360 = 252 W 7+3 3 = × 360 = 108 W 7+3 Metode Tegangan Node Pge = Tahanan Input dan Output Pef Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum Pef dibagi lagi antara Rcd dan Rab sebagai berikut: 12 × 108 = 81 W 4 + 12 4 = × 108 = 27 W 4 + 12 Pcd = Pab Untai 1 Network Reduction (6) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum Jawab (cont.): Pcd dibagi antara tahanan 12 dan 6 Ohm sebagai berikut: 6 × 81 = 27 W 12 + 6 12 P6 = × 81 = 54 W 12 + 6 P12 = Pab dibagi lagi antara tahanan 7 dan 5 Ohm sebagai berikut: 7 × 27 = 15.75 W 7+5 5 P5 = × 27 = 11.25 W 7+5 P7 = Untai 1 Superposisi (1) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance • Sebuah jaringan linear yang memiliki dua atau lebih sumber bebas dapat dianalisis dengan cara memasang sumber-sumber tersebut secara bergantian. • Jika sumber-sumber adalah sumber tak bebas, superposisi hanya bisa dilakukan jika fungsi pengendali sumber tak bebas ada diluar jaringan. • Sumber tegangan yang dimatikan diganti hubung pendek. Network Reduction Sumber arus yang dimatikan diganti hubung buka. Superposisi • Superposisi tidak dapat digunakan untuk menghitung Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum daya, karena perhitungan daya tidak linear terhadap arus dan tegangan. Untai 1 Superposisi (2) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum Contoh soal 7: Hitung arus yang mengalir pada resistor 23 ohm pada untai berikut. Untai 1 Superposisi (3) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum Jawab: Jika sumber arus dimatikan, maka untai menjadi sebagai berikut. Untai 1 Superposisi (4) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Jawab (cont.): Dari untai tersebut, dapat dihitung tahanan ekuivalen untai sebagai berikut: Req = 47 + 27 × (4 + 23) = 60.5 Ω 54 dan arus total sebagai berikut: IT = 200 = 3.31 A 60.5 Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum sehingga arus pada resistor 23 ohm adalah: 0 I23 = 27 × 3.31 = 1.65 A 54 Untai 1 Superposisi (5) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum Jawab (cont.): Jika sumber tegangan dimatikan, maka untai menjadi sebagai berikut. Untai 1 Superposisi (6) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Jawab (cont.): Tahanan ekuivalen yang ada di sebelah kiri sumber arus dapat dihitung sebagai berikut: Req = 4 + Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum 27 × (47) = 21.15 Ω 74 sehingga arus pada resistor 23 ohm adalah: 00 I23 = 21.15 × 20 = 9.58 A 21.15 + 23 Jadi arus total yang mengalir pada resistor 23 ohm adalah 0 00 I23 = I23 + I23 = 11.23 A Untai 1 Teorema Thevenin dan Norton (1) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum • Sebuah untai resistif linear aktif yang mengandung satu atau lebih sumber tegangan atau arus dapat digantikan oleh sebuah sumber tegangan dan sebuah resistor seri (teorema Thevenin), atau sebuah sumber arus dan resistor paralel (teorema Norton). • Tegangan tersebut disebut tegangan equivalent Thevenin (Thevenin equivalent voltage, V’) dan arus tersebut disebut arus equivalent Norton (Norton equivalent current, I’). • Kedua resistor tersebut bernilai sama R’ Untai 1 Teorema Thevenin dan Norton (2) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum • Ketika terminal ab pada gambar (a) terhubung buka, suatu tegangan akan muncul di antara titik-titik tersebut. • Dari gambar (b) terlihat bahwa tegangan ini merupakan V’ dari untai equivalen Thevenin • Bila suatu untai yang terhubung singkat diaplikasikan pada terminal seperti yang diusulkan oleh garis putus-putus pada gambar (a), suatu arus akan dihasilkan. • Dari gambar (c) terlihat bahwa arus tersebut merupakan I’ dari untai equivalen Norton. Untai 1 Teorema Thevenin dan Norton (3) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node • Jika untai (b) dan (c) equivalent dari untai aktif yang sama, untai-untai tersebut saling equivalent. Tahanan Input dan Output • Sehingga I’ = V’/R’. Transfer Resistance • Bila baik V’ dan I’ telah ditentukan dari untai aktif, maka Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum R’ = V’/I’ Untai 1 Teorema Thevenin dan Norton (4) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum Contoh Soal 8: Tentukan untai equivalen Thevenin dan Norton dari untai aktif pada gambar berikut: Untai 1 Teorema Thevenin dan Norton (5) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum Jawab: Dengan melihat bahwa terminal ab terhubung buka, kedua sumber menghasilkan arus searah jarum jam melalui resistor 3 Ω dan 6 Ω. Untai 1 Teorema Thevenin dan Norton (6) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Jawab (cont.): 20 + 10 30 = A 3+9 9 Karena tidak ada arus yang melalui resistor 3 Ω bagian atas, tegangan Thevenin dapat diambil dari cabang aktif. I = Transfer Resistance Vab = V 0 = 20 − Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum atau Vab = V 0 = 30 × 3 = 10 V 9 30 × 6 − 10 = 10 V 9 Untai 1 Teorema Thevenin dan Norton (7) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Jawab: Matriks dan Determinan Hambatan/resistans R’ dapat diperoleh dengan menghubung-singkatkan sumber tegangan dan kemudian menghitung hambatan equivalen dari untai ini pada terminal ab Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum Untai 1 Teorema Thevenin dan Norton (8) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Jawab (cont.): Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum (3)(6) =5Ω 9 Ketika suatu untai hubung singkat diterapkan pada terminal, arus Isc dihasilkan dari dua sumber. Dengan mengasumsikan bahwa arus tersebut melalui hubung singkat dari a ke b, kita dapatkan dengan menggunakan superposisi: R0 = 3 + Isc = I 0 = 6 20 3 10 × − × =2A 3+6 6+3 3+ 9 3 + 3 6 + 3+3 6 Untai 1 Teorema Thevenin dan Norton (9) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum Jawab(cont): Gambar berikut menunjukkan dua buah untai yang equivalen. Pada kasus ini kita mendapatkan V’, R’, dan I’ secara independen. Untai 1 Teorema Thevenin dan Norton (10) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum • Kegunaan dari untai ekuivalen Thevenin dan Norton menjadi jelas apabila suatu untai aktif ditinjau di bawah suatu kondisi dengan sejumlah beban yang direpresentasikan dengan sejumlah resistor. • Hal ini digambarkan sebagai berikut, dengan resistor R1 , R2 , ... ,Rn dapat disambungkan secara bersamaan dan arus serta daya yang dihasilkan dapat dihitung. Bila hal ini dicoba dihitung dari untai aslinya, tugas ini menjadi berat dan menghabiskan waktu. Untai 1 Teorema Transfer Daya Maksimum (1) I. Setyawan Metode Arus Cabang Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum Saat dibutuhkan untuk mendapat transfer daya maksimum dari suatu untai aktif ke resistor beban eksternal RL . Dengan mengasumsikan bahwa untai tersebut linear, untai dapat direduksi menjadi suatu untai ekuivalen seperti gambar berikut. Untai 1 Teorema Transfer Daya Maksimum (2) I. Setyawan Metode Arus Cabang Maka, Metode Arus Mesh Matriks dan Determinan Metode Tegangan Node Tahanan Input dan Output Transfer Resistance Network Reduction Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum I = V0 R 0 + RL dan daya yang diserap oleh beban adalah PL = V 02 RL V 02 R 0 − RL 2 ) ) = × (1 − ( (R 0 + RL )2 4R 0 R 0 + RL Terlihat bahwa PL mencapai nilai maksimunya V 02 /4R 0 saat RL = R 0 , dalam kasus ini daya pada R 0 juga V 02 /4R 0 . Sehingga daya yang tertransfer menjadi maksimal dengan efisiensi 50%. Note : kondisi transfer daya maksimal pada beban tidak sama dengan kondisi pemberian daya maksimal oleh sumber. Kondisi yang kedua terjadi bila RL = 0, sehingga daya yang diberikan pada beban adalah 0 (minimum).