Matriks - materi78

MAT 3
materi78.co.nr
Matriks
A.
b. Matriks segitiga bawah
a 0 0
A = ( d e 0)
g h i
PENDAHULUAN
Matriks adalah kelompok bilangan yang disusun
dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau
persegi panjang.
Contoh:
4 5
6 2
A=(
)
B=(
3 -1
0 9
Komponen-komponen matriks:
c.
Matriks diagonal
a 0 0
A = ( 0 e 0)
0 0 i
d. Matriks identitas
-4
)
10
1) Elemen
Elemen adalah bilangan-bilangan yang
menyusun suatu matriks, ditulis dalam tanda
kurung.
I=(
C.
Baris adalah susunan elemen yang ditulis
mendatar/horizontal.
0
0)
1
KESAMAAN DAN TRANSPOS MATRIKS
jika
Contoh:
(
a
c
e
b
) = (
g
d
f
) , maka
h
b=f
c=g
d=h
4 5 b1
)
3 -1 b2
k1 k2
A=(
Kesamaan dua buah matriks dapat digunakan
untuk menentukan elemen yang tidak diketahui.
3) Ordo
Contoh:
Ordo menyatakan banyak baris (m) diikuti
banyak kolom (n).
7 5
4a-1 2b+6
)
B=(
)
3 8
3
a+3c
Jika A = B, tentukan nilai a, b, dan c!
A=(
Ordo matriks = m x n
Jawab:
4) Diagonal
Diagonal matriks terdapat pada matriks
persegi, yaitu diagonal utama dan diagonal
samping.
a
c
a
A3x3 = (d
g
Matriks segitiga atas
a
A = (0
0
b
e
0
c
f)
i
3c = 8 – 2
1
b = - /2
c=2
b
e
h
a
c
t
a
b
) =(
b
d
c
)
d
Contoh:
1 7 3
H = ( 5 8 1), tentukan transposnya!
-4 2 3
Jawab:
1 5 -4
H’ = (7 8 2 )
2 1 3
Matriks yang matriks asalnya sama dengan
transposnya disebut matriks simetris/setangkup.
c)
b
)
d
2b = -1
(
2) Matriks kolom/lajur
a
A = ( b)
c
3) Matriks persegi
A2x2 = (
4a = 8
Transpos matriks mengubah kolom matriks asli
menjadi barisnya.
1) Matriks baris
b
a + 3c = 8
Transpos matriks (A’ atau A ) adalah putaran
matriks dari ordo m x n menjadi n x m.
Matriks berdasarkan ukuran dibagi menjadi:
A = (a
2b + 6 = 5
t
9 d. samping
0)
6 d.utama
-2
1
5
4a – 1 = 7
a=2
JENIS-JENIS MATRIKS
a.
0
1
0
a=e
Kolom adalah susunan elemen yang ditulis
menurun/vertikal.
B.
1
I = (0
0
0
)
1
Kesamaan dua buah matriks adalah dimana
kedua matriks berordo sama dan elemen
seletaknya bernilai sama.
2) Baris dan kolom
3
(4
1
1
0
c
f)
i
D.
OPERASI HITUNG MATRIKS
Penjumlahan dan pengurangan matriks dapat
dilakukan pada matriks berordo sama.
MATRIKS
1
MAT 3
materi78.co.nr
Penjumlahan dan pengurangan matriks dilakukan
dengan menjumlah atau mengurang elemenelemen seletak matriks yang dioperasikan.
(
e
b
)±(
g
d
a
c
f
a±e
)=(
h
c±g
Contoh:
1
A=(
-4
Jawab:
1
A2 = (
-4
b±f
)
d±h
A+B=B+A
z
1
2y-3
8
-1
Jika (
)+(
)=(
-2
y+5
a
-1
4z+1
Tentukan nilai a, x, y dan z!
x
)
0
E.
a = -3
x=9
2y – 3 + z = -1
4z + 1 + y + 5 = 0
(
4(-2) + y + 6 = 0
y = -6 + 8
y =2
a
k(
c
b
k.a
)=(
d
k.c
suatu
bilangan
k.b
)
k.d
Perkalian matriks dapat dilakukan pada matriks
berordo m x n dengan ordo n x p (jumlah kolom
matriks 1 = jumlah baris matriks 2).
a
c
ae+bh
b e f g
)(
)=(
ce+dh
d h i j
mxn
nxp
af+bi
cf+di
A.I = I.A = A
Tidak
komutatif
A.B ≠ B.A
Distributif
Pangkat
A2 = A.A
Transpos
(A.B)t = Bt.At
b
e
h
+d -c
C=(
)
-b +a
Ordo 3x3
e f
|
h i
C = - | b c|
h i
b c
(+ | e f |
+|
A3 = A2.A = I
minor d = a
Ordo 2x2
mxp
(B ± C).A = B.A ± C.A
minor b = c
Kofaktor elemen pada matriks persegi:
ag+bj
)
cg+dj
A.(B ± C) = A.B ± A.C
minor c = b
2) Jika nomor baris + nomor kolom genap,
maka kofaktor bernilai positif.
Sifat-sifat perkalian matriks:
Identitas
minor a = d
1) Jika nomor baris + nomor kolom ganjil, maka
kofaktor bernilai negatif.
Perkalian matriks berordo m x n dengan ordo n
x p menghasilkan matriks berordo m x p.
(
b
)
d
e f| minor b = |d f|
c minor a = |
g i
h i
f)
i minor c = |d e| minor d = |b c|
g h
h i
a c
a b
minor e = |g i | minor f = |
|
g h
a c
b c
minor g = |
| minor h = |
|
d f
e f
a b
minor i = |
|
d e
Kofaktor elemen ditentukan dari minor.
a
(d
g
= -1
Perkalian matriks dengan
dioperasikan dengan:
a
c
Ordo 3x3
4z + y + 6 = 0
z = -2
MINOR, KOFAKTOR DAN ADJOINT MATRIKS
Ordo 2x2
x=8+1
–7z – 15 = -1
8
)
1
Minor elemen pada matriks persegi:
a = -1 + (-2)
8z + 12 + 2y = 0 +
2
), maka A2.B adalah?
-2
Minor adalah nilai dari elemen lain yang tidak
sebaris dan tidak sekolom dengan suatu elemen.
Jawab:
2y + z – 3
-1
0
2
1 2
1-8
2+6
-7
). (
) =(
) =(
3 -4 3
-4-12 -8+9
-16
-7 8 1 -1 2
A2.B = (
). (
)
-16 1 3 0 -2
-7+24 7+0 16+(-16)
=(
)
-16-48 16+0 -32+32
17 7 0
A2.B = (
)
-64 16 0
Sifat penjumlahan dan pengurangan matriks
adalah komutatif.
Contoh:
2
1
), B = (
3
3
F.
d
g
a
+ |g
a
-|
d
-|
f
|
i
c
i|
c
|
f
d e
|
g h
a b
-|
|
g h
a b
+|
|
d e)
+|
DETERMINAN MATRIKS
Determinan matriks (|A|) adalah hasil
penjumlahan elemen matriks yang dikalikan
dengan kofaktornya.
Determinan matriks hanya berlaku pada matriks
persegi, dan ditulis dalam tanda mutlak.
MATRIKS
2
MAT 3
materi78.co.nr
4 5 11
det A = 5. |-1 1 0 | (k3 + k2)
1 1 0
maka, determinan A adalah,
Determinan matriks menurut aturan Sarrus:
Ordo 2x2
|A| = |
a
c
b
|
d
|A| = a.d – b.c
4
det A = 5. |-1
1
det A = -110
Ordo 3x3
a
|A| = |d
g
b
e
h
c a
f| d
i g
b
e
h
11 4
0 | -1
0 1
5
1 = 5. (-11-11)
1
Determinan matriks berordo 3x3 atau lebih
dapat dihitung dengan mudah menggunakan
ekspansi matriks.
|A| = (aei + bfg + cdh) – (ceg+ afh + bdi)
Determinan matriks menurut ekspansi matriks:
Berdasarkan determinannya, matriks persegi
dibagi menjadi:
1) Pilih satu baris atau satu kolom matriks.
2) Jumlahkan seluruh elemen dalam baris atau
kolom tersebut yang dikalikan kofaktornya
masing-masing.
1) Matriks singular, determinannya bernilai
nol, dan tidak mempunyai invers.
2) Matriks
non-singular,
determinannya
bernilai bukan nol, dan mempunyai invers.
Contoh:
3 6
|Z| = |1 3
0 2
kan dengan
sama!
Sifat-sifat determinan matriks:
1) Determinan A sama dengan determinan A’.
|A| = |A’|
2
1| mempunyai determinan 4. Bukti2
cara ekspansi bahwa determinannya
Jawab:
2) Jika salah satu baris atau kolom matriks dikali
dengan k, maka determinannya menjadi:
Pertama, sederhanakan matriks dengan operasi
hitung antar baris dan kolom.
1 0 0
|Z| = |1 1 -1| (b1 – 2b2 dan b2 – b3)
0 2 2
Lalu, pilih baris 1 agar mempermudah hitungan.
Jumlahkan seluruh elemen dalam baris tersebut
yang dikalikan kofaktornya masing-masing.
1 -1
1 -1
1 1
|Z| = +1. |
| – 0. |
| + 0. |
|
0 2
0 2
2 2
1 -1
|Z| = |
| = 2.1 – (-1).2 = 4
2 2
det A baru = k.|A|
3) Jika seluruh elemen matriks dikali dengan k,
maka determinannya menjadi:
det An x n baru = kn.|A|
4) Jika dua buah baris atau dua buah kolom
saling bertukar posisi dalam matriks, maka
determinannya menjadi:
det A baru = -|A|
5
1
1
G.
ADJOINT DAN INVERS MATRIKS
Operasi hitung antar baris atau kolom pada
matriks tidak mengubah nilai determinan.
Adjoint (Adj A) adalah transpos matriks dari
kofaktor suatu matriks persegi.
Apabila baris ke i ditambah dengan k kali baris
ke j atau kolom ke m ditambah dengan k kali
kolom n, nilai determinan tidak berubah.
Adjoint matriks pada matriks persegi:
Contoh:
Adj A = (
20 25 30
det A = |23 31 35| dapat disederhanakan
24 36 41
untuk mempermudah perhitungan dengan:
4
5
6
det A = 5. |23 31 35| (k = 5 dari baris 1)
24 36 41
4 5 6
det A = 5. |-1 1 -1| (b2 – 6.b1 dan b3 – 7.b1)
1 1 -1
agar makin mempermudah hitungan, buat
matriks mengandung banyak bilangan 0.
d e
d f
e f
| -|
| +|
|
g i
g h
h i
a c
a b
Adj A - |b c| + |
g i | - |g h |
h i
a c
b c
a b
(+ | e f | - | d f | + | d e | )
Transpos dari kofaktor matriks berordo 3x3
sebaiknya dilakukan setelah kofaktor tiap elemen
dihitung agar tidak ada kekeliruan.
Ordo 2x2
t
d -c
d
) =(
-b a
-c
Ordo 3x3
+|
MATRIKS
-b
)
a
t
3
MAT 3
materi78.co.nr
Invers matriks (A-1) adalah kebalikan dari suatu
matriks persegi.
Invers matriks pada matriks persegi:
1
|A|
Bentuk sistem persamaan linear dalam matriks
(ordo matriks koefisien variabel mengikuti jumlah
variabel):
.Adj A
Ordo 2x2
A-1 =
1
|A|
SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA
VARIABEL DAN TIGA VARIABEL
Sistem persamaan linear dapat diselesaikan
menggunakan matriks.
Rumus umum
A-1 =
H.
a1x + b1y = c1
.(
d
-c
a2x + b2y = c2
-b
)
a
Penyelesaian
sistem
persamaan
linear
menggunakan matriks dapat dihitung dengan
determinan.
Ordo 3x3
d
-|
g
a
+ |g
a
-|
d
e f
+|
|
h i
1
A-1 =
. - | b c|
|A|
h i
b c
(+ | e f |
f
|
i
c
i|
c
|
f
d e
+|
|
g h
a b
-|
|
g h
a b
+|
|
d e)
Involusi
(A-1)-1 = A
Identitas
A.A-1 = A-1.A = I
Transpos
(At)-1 = (A-1)t
Penyelesaian SPLDV dapat ditentukan:
Determinan matriks
Dx
x=
D
c1
c2
y=
b1
|
b2
Dy
D=|
D
a1
a2
a1
Dy = |a
2
b1
|
b2
c1
c2 |
D = determinan matriks koefisien variabel
Dx = D dengan mengganti koefisien x menjadi
konstantanya
Dy = D dengan mengganti koefisien y menjadi
konstantanya
Invers matriks
1
Determinan |A-1| = |A|
x
(y ) =
(AB)-1 = B-1A-1
B = A-1
Jika AB = C, maka:
A = C.B-1
Jika ABC = D, maka:
B = A-1DC-1
Jawab:
2 -3
| = 2.2 – (-3).1 = 7
1 2
1 -3
Dx = |
| = 1.2 – (-3).4 = 14
4 2
2 1
Dy = |
| = 2.4 – 1.1 = 7
1 4
x=
-1
C = (AB) D
y=
Contoh:
Tentukan invers dari A = (
5
4
-b1 c1
)( )
a 1 c2
D=|
B = A-1.B
A = D(BC)-1
b2
a1 .b2 -b1 .a2 -a2
.(
Tentukan himpunan penyelesaian dari 2x – 3y = 1
dan x + 2y = 4.
Jika AB = I, maka:
A = B-1
1
Contoh:
(ABC)-1 = C-1B-1A-1
Lain-lain
t
Dx = |
Sifat-sifat invers matriks:
Invers
perkalian
c
a1 b1 x
) ( ) = (c1 )
2
a2 b2 y
(
14
7
7
7
=2
=1
2
)!
2
Jawab:
|A| = 5.2 – 2.4 = 2
A-1 = 1/2 x (
2
-4
-2
)
5
2 -2
)
-4 5
1 -1
5 )
A-1 = (
-2
Adj A = (
2
MATRIKS
4