6-matematika i

S1-MATEMATIKA I (MATEMATIKA EKONOMI)
S1- MATEMATIKA I
BAHAN 6
 LIMIT FUNGSI (LIMITS OF FUNCTIONS)
 KONTINUITAS FUNGSI (FUNCTION CONTINUITY
OR CONTINUOUS FUNCTIONS)
1/9
S1-MATEMATIKA I (MATEMATIKA EKONOMI)
Bahan 6.1.
LIMIT FUNGSI (LIMITS OF FINCTIONS)
A. BARISAN (SEQUENCES) VS.
LIMIT FUNGSI (LIMITS OF FUNCTIONS)
Contoh :
Sequence :
f(n) = 2 + 1/10n → 2,1, 2,01, 2,001, 2,0001, …, 2 + 1/10n
maka :
Limit dari fungsi f(x) = x2,
dimana variabel x bergerak diatas sequence itu menuju 2 atau x→2,
sehingga f(x) = x2 menuju 4, yaitu :
4,41, 4,0401, 4,004001, …, {(2 + 1/10n)2 = 4} pada x menjadi 2
untuk x = 2 + 1/10n dengan n→∞
jadi lim x 2  4
x 2
B. LIMIT FUNGSI (LIMITS OF FUNCTIONS) :
DEFINISI & PEMBUKTIANNYA,
1. Definisi
lim f ( x)
 A → apabila untuk setiap bilangan positif  sekecil apapun,
x a
maka dapat diperoleh bilangan positif  (besarnya tergantung  )
sehingga f ( x)  A   jika 0 < x  a <  , berarti :
|
a 
| |
a X0
|
a 
|
A
| |
|
0
A f(x )
A
Jadi x→a (variabel x bergerak menuju dan hanya dekat ke titik atau angka
a di atas sequence), maka fungsi f(x) menuju dan hanya dekat ke nilai atau
angka A.
2/9
S1-MATEMATIKA I (MATEMATIKA EKONOMI)
2. Pembuktian Definisi Limit Fungsi
Contoh :
f ( x) 

x 2 jika x  2
0 jika x  2
sehingga jika x→2, maka f(x) →4, jadi
lim x
2
4
x 2
Bukti
Pilih   1 , maka
0 < x  a <  menjadi 0 < x  2 < 1 yang berarti 1< x < 3 untuk x ≠ 2
Karena x 2  4  ( x  2)( x  2)  x  2 x  2   x  2  5 .
Dengan pilih   1 atau  / 5 atau mana yang terkecil, sehingga
f ( x)  A   menjadi x 2  4   jika 0 < x  2 <  (=1), jadi terbukti.
Misal, ingin x 2  4   (=0,05), jadi  =  5 = 0,01, jadi jika
0 < x  2 <  (=0,01), maka 1,99 < x < 2,01 (x ≠ 2), sehingga
3,9601 < x2 < 4,0401 atau ─ 0,0399 < x2 ─ 4 < 0,0401
berarti |x2 ─ 4| < 0,05 dimana (x2 ≠ 4)
Misal, ingin x 2  4   (=6) dan pilih   1 , juga terbukti, coba!
3. Limit Fungsi Unik
Pada
lim f ( x)
x a
lim
x a 
Maka
 A , variable x menuju titik atau angka a bisa dari kiri
atau x→a─, atau dari kanan yaitu x→a+, sehingga
f ( x)  A1 (left hand limit) dan
lim f ( x)
lim
x a 
f ( x)  A2 (right hand limit)
 A (unik atau hanya satu-satunya)
x a
hanya apabila benar2 (if and only if)
{ lim f ( x)  A1 } = { lim f ( x)  A2 }
x a 
x a 
Bukti :
Untuk   0 , maka bisa diperoleh   0 , sehingga
f ( x)  A1   / 2 jika 0 < x  a <  dan f ( x)  A2   / 2 jika 0 < x  a < 
A1  A2 = A1  f ( x)  f ( x)  A2 < A1  f ( x) + f ( x)  A2 <  / 2   / 2  
Karena  sangat kecil dan bahkan menjadi 0, maka A1=A2, jadi terbukti.
3/9
S1-MATEMATIKA I (MATEMATIKA EKONOMI)
4. Infinity
 Infinite limits
  (infinite) :
lim f ( x)
x a
apabila untuk bilangan positif M (apapun besarnya), terdapat
bilangan positif  sehingga f ( x)  M jika 0 < x  a <  .
Juga, lim f ( x)    (infinite) :
x a
apabila untuk bilangan positif M (apapun besarnya), terdapat
bilangan positif  sehingga f ( x)  M jika 0 < x  a <  .
Juga berlaku untuk notasi dengan x→a+ dan x→a─.
 x→∞
lim f ( x)
 A → apabila untuk setiap bilangan positif  sekecil
x 
lim
apapun, maka dapat diperoleh bilangan positif 
(besarnya tergantung  ) sehingga f ( x)  A  
jika x > M → bandingkan dengan definisi di atas.
f ( x)   (infinite) :
x 
apabila untuk bilangan positif M (apapun besarnya), terdapat
bilangan positif P sehingga f ( x)  M jika x > P.
5. Teori Limit Fungsi
Dengan
lim f ( x)
 A dan
x a
1).
lim f ( x)
lim f ( x)
B
x a
 A (konstan) → apabila f ( x)  A (konstan)
x a
2).
lim k. f ( x)
 k. A
x a
3).
lim
n
f ( x) 
x a
4).
lim f ( x)
x a
n
lim f ( x) =
n
A
→ (bilangan riil)
x a
 g ( x) 
lim f ( x)  lim g ( x)
x a
 A  B
x a
4/9
S1-MATEMATIKA I (MATEMATIKA EKONOMI)
5).
g ( x) 
lim f ( x) .
x a
6).
lim f ( x) . lim g ( x)
lim f ( x)
lim gf ((xx))  lim g ( x)  BA
xa
 A.B
x a
x a
dan B  0
xa
xa
Catatan :
Konsep dari limit (the concept of limit) → Lihat C&W (Book 1) Ch. 6
hal. 129-135).
Teori limit (limit theorems) → Lihat C&W (Book 1) Ch.6 hal. 139-141).
6. Contoh
1).
x
lim 1  x  
x 1
2).
1
lim 1  x
x 1
3).
lim ( x
2
2

 5)  
x  
4).
lim (2  x )   
2
x  
5).
1xx   2 (buktikan dan bandingkan dengan contoh di atas)
lim
1

x 1 
1 x 2
6).
lim ( x
2
 5)  (2  x 2 )  7 (bandingkan dengan contoh di atas)
x  
7). Special limits :
x
1
 lim 1    e dan
x
x  

lim
ex  1
1
x
lim
x 1
1
ln x
x 0

x 1
lim 1  x 
1/ x
e
x 0 
5/9
S1-MATEMATIKA I (MATEMATIKA EKONOMI)
7. Soal Latihan
1).
lim
x 1
2).
2 x 4  6 x3  x 2  3
 8
x 1
1
lim ( x  1)
x 1
3).

f ( x)  

a). Cari
4
x 3
x 3
0
  Mm
, x 3
x 3
lim f ( x)
x 3
b). Cari
lim f ( x)
x 3
c). Cari
lim f ( x)
x 3
4).
lim x
x 1
5).
lim 3 
x3  5
6
lim
x2  x  2
0
4 x3  1
lim
2 x3

x3  1
x
7).
x4
1

 x  12 7
4  x3
x 2
6).
2
x 1
6/9
S1-MATEMATIKA I (MATEMATIKA EKONOMI)
Bahan 6.2.
KONTINUITAS FUNGSI
(FUNCTION CONTINUITY OR
CONTINUOUS FUNCTIONS)
1. Tiga syarat untuk fungsi kontinyu (continuous functions)
Fungsi f(x) dinyatakan kontinyu pada titik atau angka x = x0, apabila 3
syarat dipenuhi :
1). f(x) pada x = x0, atau f(x0), diperoleh (defined).
2).
lim
f ( x)  angka (diperoleh )
lim
f ( x)  f ( x0 )
x  x0
3).
x  x0
 Fungsi dinyatakan continuous pada suatu interval (open or closed),
apabila continuous di setiap titik pada suatu interval.
 f(x) = x2 + 1 continuous pada
x = 2
karena
lim f ( x)  f ( x0  2) = 5 → tiga syarat di atas dipenuhi.
x  x0
 f(x) = 4  x 2 tidak continuous pada x = 3 karena f(x=3) =
5  1 adalah angka imaginer → tiga syarat di atas tidak dipenuhi.
 Jadi, fungsi dinyatakan continuous, apabila fungsi continuous pada
setiap titik di atas domain fungsinya :
 Maka f(x) = x2 + 1 (serta semua fungsi polynomial pada x, juga
demikian untuk fungsi rasional sepanjang fungsi pada penyebut
tidak nol) adalah continuous function.
 Hanya di atas an open interval a < x < b pada domain
fungsinya, karena : lim f ( x)  f (a) dan lim f ( x)  f (b)
x a 
x b 
Sedangkan dua limit itu tidak diperoleh apabila di atas a closed
interval a ≤ x ≤ b.
7/9
S1-MATEMATIKA I (MATEMATIKA EKONOMI)
 Kanan dan kiri kontinuitas (right and left hand continuity)
Apabila f(x) terdefinisi (is defined) hanya pada interval x ≥ x0,
maka f(x) continuous (on the right) pada x = x0, jika :
lim f ( x)  f ( x0 ) yaitu f(x0+) = f(x0)
x  x0 
Apabila f(x) terdefinisi (is defined) hanya pada interval x ≤ x0,
maka f(x) continuous (on the left) pada x = x0, jika :
lim f ( x)  f ( x0 ) yaitu f(x0─) = f(x0)
x  x0 
2. Contoh Continuous Functions dan Discontinuous Functions
1).
f ( x) 

x 2 jika x  2
0 jika x  2
sehingga jika x→2, maka f(x) →4, jadi
lim x
2
4
x 2
Jadi f(x) continuous selain pada x = 2.
Tapi f(x) = x2 untuk semua x, maka lim x 2  4 , jadi continuous
x 2
pada semua titik termasuk x =2.
f(x)
1
2). f(x) =
x2
discontinuous pada x = 2
karena f(2) dan lim f ( x)
0
2
x
x 2
tidak diperoleh (exists).
Bahkan berupa
infinite discontinuous.
3). f(x) =
x2  4
x2
f(x)
4
discontinuous pada x =2
karena terdapat lubang (a hole)
sehingga f(2) tidak diperoleh
(defined) yaitu 0/0, walaupun
lim f ( x)  4 (defined).
0
○
2
x
x2
8/9
S1-MATEMATIKA I (MATEMATIKA EKONOMI)
Discontinuity dimaksud dapat dihilangkan (removable) dengan
meredefinisi fungsi menjadi :
f(x) =
x2  4
; x≠2
x2
Catatan grafik atau kurva f(x) =
x2  4
dan g(x) = x + 2 sama,
x2
Kecuali pada fungsi rasional itu terdapat lubang ( a hole).
Catatan :
Fungsi kontinyu dan layak mempunyai derivatif (continuity and
differentiability of a function) → Lihat C&W (Book 1) Ch. 6 hal. 141146).
9/9