PROSES PERCABANGAN PADA PEMBELAHAN SEL 1

PROSES PERCABANGAN PADA PEMBELAHAN SEL
Nisfiatul Laili, Respatiwulan, dan Sutrima
Program Studi Matematika FMIPA UNS
Abstrak. Proses percabangan merupakan suatu rantai Markov, dimana setiap individu menghasilkan keturunan dengan jumlah yang random. Proses ini dimulai dengan
individu tunggal pada generasi ke-0 dan bereproduksi secara independen. Dalam perkembangannya proses percabangan digunakan dalam berbagai bidang salah satunya pada
bidang biologi yaitu pada pembelahan sel. Pembelahan sel adalah proses memperbanyak
jumlah sel dengan cara membelah diri. Rata-rata dan variansi pada generasi ke-n dapat
ditentukan dengan menggunakan fungsi pembangkit probabilitas. Tujuan penelitian ini
adalah menurunkan ulang proses percabangan dan menerapkannya pada pembelahan sel.
Hasil penurunan ulang dari proses percabangan untuk mengetahui banyaknya individu
ke-(n + 1) merupakan jumlahan banyaknya keturunan dari individu pertama sampai individu ke-Xn . Proses percabangan diterapkan pada bakteri Escherichia coli pada suatu
perairan dalam waktu 3 jam atau sampai generasi ke-9. Dengan mengambil probabilitas
bakteri dapat membelah sebesar 0,87 (p2 = 0, 87) diperoleh banyaknya sel bakteri pada
generasi ke-9 sebanyak 118 sel.
Kata kunci : proses percabangan, pembelahan sel, rata-rata, variansi
1. Pendahuluan
Menurut Allen [1], penelitian mengenai proses percabangan dimulai pada tahun 1845 oleh Bienayme. Pada tahun 1870, proses percabangan dikembangkan
oleh seorang ahli matematika bernama Henry William Watson bersama seorang ahli biometri bernama Francis Galton yang kemudian digunakan untuk mempelajari
peninggalan nama keluarga.
Proses percabangan dapat diterapkan dalam berbagai bidang. Menurut Allen
[1], proses percabangan dapat diaplikasikan dalam bidang biologi, teori jaringan,
evolusi, dan pertanian. Selain itu Feller [3] mengatakan proses percabangan dapat
diterapkan dalam rangkaian reaksi nuklir, peninggalan nama keluarga, gen dan mutasi, serta dalam proses antrian. Wu [10] mengatakan proses percabangan memiliki
peranan penting dalam model genetik, biologi molekuler, mikrobiologi, ekologi, dan
proses evolusi.
Sel merupakan bagian terkecil dari suatu individu atau organisme. Reproduksi
sel adalah proses memperbanyak jumlah sel dengan cara membelah diri baik pada
organisme uniseluler maupun organisme multiseluler. Proses pembelahan ini diawali
dari sel tunggal kemudian membelah menjadi dua sel baru yang memiliki sifat sama
dengan sel induknya. Pada organisme uniseluler, pembelahan sel bertujuan untuk
melestarikan jenisnya sehingga tidak punah, contohnya adalah amuba dan bakteri. Pembelahan sel pada organisme multiseluler menyebabkan pertumbuhan dan
1
Proses Percabangan pada Pembelahan Sel
perkembangan, sebagai contoh pada tubuh manusia pembelahan sel menyebabkan
manusia menjadi besar dan tinggi.
Kimmel dan Axelrod [5] menyatakan proses percabangan dapat diaplikasikan
pada pembelahan sel. Pembelahan sel yang menghasilkan sel dengan tipe yang sama
termasuk dalam proses percabangan satu tipe (single type branching process), sedangkan pembelahan sel yang menghasilkan sel dengan tipe yang berbeda termasuk
dalam proses percabangan banyak tipe (multitype branching process). Jumlah sel
pada waktu tertentu dapat dihitung menggunakan proses percabangan. Pada penelitian ini ditunjukkan aplikasi dari proses percabangan pada pembelahan sel dan
dicari rata-rata yang menyatakan rata-rata dari sel yang dihasilkan pada setiap generasi, serta variansi yang menunjukkan keberagaman nilai dari sel yang dihasilkan
pada proses pembelahan tersebut.
2. Proses Percabangan
Menurut Taylor dan Karlin [9], suatu individu pada masa hidupnya akan menghasilkan keturunan dengan jumlah yang random (ξ) untuk mempertahankan spesiesnya agar tidak punah, dimana distribusi probabilitasnya yaitu
P r{ξ = k} = pk untuk k = 0, 1, 2, . . .,
∑∞
dengan pk ≥ 0 dan k=0 pk = 1. Banyaknya individu pada generasi ke-0 dinotasikan dengan X0 dan Xn adalah banyaknya individu pada generasi ke-n. Allen [2]
memberikan 3 asumsi penting yang digunakan dalam proses percabangan.
(1) Probabilitas memiliki keturunan (p) untuk semua individu bernilai sama.
(2) Setiap individu bereproduksi secara independen.
(3) Proses dimulai dengan individu tunggal pada waktu ke-0.
Pada generasi ke-n, individu Xn secara independen menghasilkan keturunan
(n) (n)
(n)
dengan jumlah ξ1 , ξ2 , . . . , ξXn . Sifat dari rantai Markov memungkinkan untuk
menghitung populasi pada generasi ke-(n + 1) sebagai
(n)
(n)
(n)
Xn+1 = ξ1 + ξ2 + . . . + ξXn ,
(n)
dengan ξi adalah banyaknya keturunan dari individu ke-i pada generasi ke-n. Jumlah dari seluruh individu sampai generasi ke-n dengan proses kelahiran berasal dari
satu individu dinotasikan dengan Zn dan dinyatakan sebagai
Zn = X1 + X2 + . . . + XZn−1 .
3. Pembelahan Sel
Menurut Kimmel dan Axelrod [5], sel adalah struktur dasar dari fungsi biologis
dan reproduksi. Sel terdiri dari bagian-bagian dengan fungsi yang berbeda. Bagian
N. Laili, Respatiwulan, Sutrima
2
2016
Proses Percabangan pada Pembelahan Sel
sel dibentuk oleh membran yang berfungsi sebagai penghalang dan dapat melakukan
transport aktif molekul. Pada bagian dalam sel terdapat nukleus yang mengandung
DNA. Ukuran sel akan tumbuh kemudian membelah menjadi dua. DNA akan terbagi ke dalam dua sel anakan saat sel membelah.
Menurut Olofsson [7] serta Olofsson dan McDonald [8], suatu pembelahan sel
dapat dianalisis dengan menggunakan pendekatan stokastik. Metode yang tepat
untuk menganalisis pembelahan sel adalah proses percabangan. Berdasarkan proses
percabangan, pembelahan sel dimulai dari satu sel yang membelah menjadi dua sel.
4. Hasil dan Pembahasan
4.1. Proses Percabangan pada Pembelahan Sel. Proses percabangan merupakan suatu rantai Markov, dimana setiap individu menghasilkan keturunan dengan
jumlah yang random. Proses ini dimulai dengan individu tunggal pada generasi ke0. Dalam perkembangannya, proses percabangan digunakan dalam berbagai bidang.
Kimmel dan Axelrod [5] mengatakan proses percabangan dapat diaplikasikan dalam
bidang biologi salah satunya dapat digunakan pada proses pembelahan sel. Reproduksi sel dilakukan dengan cara membelah diri yang diawali dari suatu sel tunggal
yang kemudian membelah. Setiap sel yang membelah meghasilkan keturunan yang
berjumlah random (ξ). Setiap anakan sel dimungkinkan menjadi sel yang dapat
membelah kembali dengan probabilitas p2 , sel yang pasif dengan probabilitas p1 ,
atau sel yang tidak dapat membelah dengan probabilitas p0 . Sel yang pasif tetap ada tetapi tidak bisa membelah atau mati. Distribusi probabilitas banyaknya
keturunan yang dihasilkan adalah
P r{ξ = k} = pk untuk k = 0, 1, 2,
∑
dengan pk ≥ 0 dan ∞
k=0 pk = 1.
Pada proses percabangan ini, diasumsikan setiap sel membelah secara independen dan memiliki probabilitas yang sama untuk membelah. Pada generasi ke(n)
n, banyaknya keturunan dari sel pertama dinotasikan sebagai ξ1 dan banyaknya
keturunan pada generasi tersebut dinotasikan dengan Xn . Untuk menghitung populasi sel pada generasi ke-n, perhitungan pada proses percabangan dibantu dengan
sifat Markov sehingga populasi sel pada generasi ke-n hanya bergantung pada generasi ke-(n − 1). Banyaknya populasi sel pada generasi ke-(n + 1) merupakan akumulasi dari banyaknya sel yang dihasilkan dari individu pertama sampai individu
ke-Xn pada generasi ke-n sehingga dapat dinyatakan sebagai
(n)
(n)
(n)
Xn+1 = ξ1 + ξ2 + . . . + ξXn .
N. Laili, Respatiwulan, Sutrima
3
2016
Proses Percabangan pada Pembelahan Sel
Jumlah dari seluruh sel yang dihasilkan dari generasi pertama sampai generasi ke-n
dinotasikan sebagai Zn dan dinyatakan dengan
Zn = X1 + X2 + . . . + XZn−1 .
4.2. Rata-Rata dan Variansi Proses Percabangan. Fungsi pembangkit dapat
digunakan untuk mencari rata-rata dan variansi dari Xn . Rata-rata dan variansi dari
banyaknya keturunan masing-masing dinotasikan dengan µ = E[ξ] dan σ 2 = V ar[ξ].
Dari fungsi pembangkit probabilitas pada generasi pertama yang dinyatakan sebagai
f (s) = E(sξ ) =
∞
∑
pk sk ,
(4.1)
k=0
dapat dicari turunan pertamanya sehingga didapatkan rata-rata untuk generasi pertama adalah
f ′ (1) = E[ξ] = µ.
Turunan kedua dari fungsi pembangkit dapat digunakan untuk menentukan variansi
dari proses percabangan pada generasi pertama, diperoleh rumusan variansi yaitu
V ar[ξ] = f ′′ (1) + µ − µ2 .
(4.2)
Rata-rata dari populasi sel pada generasi ke-n dapat dicari dengan fungsi pembangkit probabilitas pada generasi ke-n yang dinyatakan sebagai
fn (s) = fn−1 (f1 (s)),
dengan f1 (s) adalah fungsi pembangkit probabilitas dari ξ1 . Untuk lebih memudahkan, f1 (s) dinotasikan sebagai f (s) sehingga
fn (s) = fn−1 (f (s)).
(4.3)
Turunan pertama dari fungsi (4.3) dengan s = 1 adalah
′
fn′ (1) = fn−1
(1)f ′ (1),
sehingga rata-rata generasi ke-n dapat dituliskan sebagai
µn = µn .
(4.4)
Variansi pada generasi ke-n dapat ditentukan dengan bantuan turunan kedua
dari fungsi pembangkit probabilitas pada generasi ke-n. Dengan diketahui bahwa
pada generasi ke-0 rata-rata dan variansinya adalah 1 dan 0, sehingga secara umum
diperoleh rumusan variansi untuk generasi ke-n sebagai
{
σn2
N. Laili, Respatiwulan, Sutrima
=
σ 2 µn−1 (µn −1)
,
µ−1
2
nσ ,
4
µ ̸= 1
µ = 1.
(4.5)
2016
Proses Percabangan pada Pembelahan Sel
4.3. Penerapan. Pada bagian ini ditentukan rumusan untuk rata-rata dan variansi
dari suatu proses percabangan pada pembelahan sel bakteri Escherichia coli atau
E. coli . Langkah dasar pada perkembangbiakan suatu populasi sel adalah pembelahan dari satu sel yang kemudian membelah menjadi dua sel anakan. Setelah
menyelesaikan siklus hidupnya, sel akan mendekati ukuran ganda dan membelah
menjadi dua sel anakan dengan ukuran yang hampir sama. Asumsi proses percabangan yang digunakan dalam pembelahan sel ini adalah pembelahan dimulai dari
satu sel (X0 = 1), pembelahan dari setiap sel saling independen, probabilitas untuk
membelah dari setiap sel memiliki nilai yang sama, serta setiap sel memiliki waktu
hidup yang sama.
Probabilitas sel untuk tidak dapat membelah dinotasikan dengan p0 dan probabilitas sel membelah menjadi dua untuk masing-masing sel dinotasikan dengan p2 ,
dengan p0 + p2 = 1. Fungsi pembangkit probabilitas dari pembelahan sel tersebut
dinyatakan dengan f (s). Dengan berdasarkan persamaan (4.1) sehingga diperoleh
fungsi pembangkit
(4.6)
f (s) = p0 + p2 s2 .
Pada generasi ke-n fungsi pembangkit probabilitas dinyatakan
fn (s) = fn−1 (p0 + p2 s2 ).
Rata-rata pada generasi pertama dapat ditentukan dengan menggunakan turunan
pertama dari fungsi pembangkit dengan s = 1, diperoleh rata-rata yaitu
µ = 2p2 .
(4.7)
Pada generasi ke-n, rata-rata dapat dicari menggunakan persamaan (4.4) sehingga
didapatkan
µn = (2p2 )n .
(4.8)
Variansi pada generasi pertama dapat dicari dengan persamaan (4.2), dimana
untuk turunan kedua f ′′ (s) adalah
f ′′ (1) = 2p2 ,
sehingga V ar[ξ] adalah
V ar[ξ] = 2p2 + 2p2 s2 − 4p2 2 s4 .
Pada generasi ke-n variansi dapat dicari dengan persamaan (4.5) sehingga
{
(2p2 +2p2 s2 −4p2 2 s4 )2 (2p2 s2 )n−1 ((2p2 s2 )n −1)
, 2p2 s2 ̸= 1
2
(2p2 s2 )−1
σn =
n(2p2 + 2p2 s2 − 4p2 2 s4 )2 ,
2p2 s2 = 1.
(4.9)
(4.10)
Bakteri merupakan salah satu mikroorganisme prokariotik. Perkembangbiakan
bakteri terjadi dengan cara pembelahan biner yaitu sel yang membelah menghasilkan
dua sel anakan. Waktu yang dibutuhkan oleh satu sel bakteri dari mulai tumbuh
N. Laili, Respatiwulan, Sutrima
5
2016
Proses Percabangan pada Pembelahan Sel
hingga berkembang dan menghasilkan individu baru disebut sebagai waktu generasi.
Bakteri dengan jenis yang berbeda memiliki waktu generasi yang berbeda pula.
Beberapa faktor yang mempengaruhi waktu generasi sel bakteri yaitu
(1) jenis dan strain bakteri,
(2) faktor lingkungan seperti pH, kelembapan, dan suhu.
Menurut Madigan et al. [6], bakteri E. coli merupakan bakteri komensal yang
bersifat patogen. Bakteri ini termasuk dalam bakteri gram negatif dengan bentuk
batang pendek yang memiliki panjang sekitar 2µm, diameter 0, 7µm, lebar 0, 4 −
0, 7µm, dan bersifat anaerob fakultatif. Pada umumnya bakteri ini memerlukan
kelembapan yang cukup tinggi untuk dapat hidup yaitu sekitar 85%. E. coli akan
tumbuh secara optimum pada suhu 37o C dan pada pH 7. Waktu generasi untuk sel
bakteri E. coli berkembang biak adalah kurang lebih selama 20 menit.
Lingkungan hidup bakteri memiliki peranan penting dalam menentukan kelangsungan hidup bakteri. Faktor lingkungan seperti suhu, pH dan kelembapan
yang berubah-ubah menyebabkan terhentinya replikasi DNA pada bakteri sehingga
menyebabkan bakteri tersebut mati. Misalkan pada suatu air yang telah tercemar
bakteri E. coli, bakteri akan terus berkembang dengan cara membelah diri. Dikarenakan faktor lingkungan yang tidak menentu maka pembelahan sel bakteri E.
coli tersebut dimisalkan memiliki distribusi probabilitas sebesar 0, 87 untuk dapat
membelah menjadi dua sel anakan (p2 = 0, 87) dan probabilitas sebesar 0, 13 untuk
sel bakteri tersebut tidak dapat membelah (p0 = 0, 13). Pada penerapan ini waktu
satu generasi didefinisikan selama 20 menit.
Misalkan dicari banyaknya sel bakteri E. coli pada satu jam pertama (generasi ke-3), dua jam berikutnya (generasi ke-6) dan setelah tiga jam atau generasi
ke-9 pada air tersebut. Langkah awal yaitu dengan menentukan fungsi pembangkit
probabilitas dengan menggunakan distribusi probabilitas yang telah diketahui. Dengan persamaan (4.6) diperoleh fungsi pembangkit pada generasi pertama sebagai
berikut
fξ (s) = 0, 13 + 0, 87s2 .
Rata-rata pada generasi pertama dihitung dengan menggunakan persamaan (4.7)
sehingga
µ = 2 × 0, 87 = 1, 74.
dan variansi ditentukan dengan (4.9), diperoleh
V ar[ξ] = 2 × 0, 87 + 2 × 0, 87 − 4 × 0, 872 = 0, 4524.
Dengan persamaan (4.8) dan (4.10) dapat ditentukan rata-rata dan variansi pada
generasi ke-3, ke-6 dan ke-9.
Pola proses percabangan bakteri E. coli ditunjukkan pada Gambar 1.
N. Laili, Respatiwulan, Sutrima
6
2016
Proses Percabangan pada Pembelahan Sel
(b)
(a)
(c)
Gambar 1. Pola proses percabangan (a) generasi ke-3, (b) generasi ke-6, dan (c) generasi
ke-9 dari pembelahan sel bakteri E. coli
Dari Gambar 1 (a) terlihat bahwa banyaknya sek bakteri E. coli setelah satu
jam pertama atau pada generasi ke-3 adalah sebanyak 4 sel bakteri. Rata-rata dan
variansi generasi tersebut secara berturut-turut adalah 5, 263 dan 7, 899. Dari generasi ke-2 ke generasi ke-3 semua sel membelah menjadi dua sel anakan. Gambar 1
(b) menunjukkan bahwa banyaknya sel bakteri E. coli setelah dua jam berlalu pada
perairan tersebut atau pada generasi ke-6 adalah sebanyak 22 sel bakteri. Dari generasi ke-5 ke generasi ke-6 hanya satu sel bakteri yang tidak membelah menjadi dua
sel anakan. Rata-rata untuk generasi tersebut adalah 27,752 dan untuk variansinya
adalah 260,851. Gambar 1 (c) menunjukkan pola proses percabangan pada pembelahan sel bakteri E. coli setelah tiga jam atau pada generasi ke-9. Banyaknya sel
bakteri pada generasi tersebut adalah 118 sel. Rata-rata dan variansi pada generasi
tersebut adalah 146,199 dan 7458,429.
5. Kesimpulan
Dari pembahasan yang telah dilakukan, diperoleh kesimpulan bahwa proses
percabangan untuk mengetahui banyaknya individu pada generasi ke-(n + 1) merupakan akumulasi dari banyaknya keturunan dari individu pertama sampai individu
ke Xn pada generasi ke-n. Rata-rata dan variansi pada generasi ke-n dipengaruhi
oleh rata-rata dan variansi pada generasi pertama yang dinotasikan pada persamaan
(4.4) dan (4.5).
N. Laili, Respatiwulan, Sutrima
7
2016
Proses Percabangan pada Pembelahan Sel
Penerapan proses percabangan pada pembelahan sel bakteri E. coli dengan
mengambil probabilitas p2 sebesar 0,87 diperoleh rata-rata pada generasi pertama
sebesar 1,74 dan variansi sebesar 0,4524. Rata-rata dan variansi generasi ke-3 adalah
5, 263 dan 7, 899, dan banyaknya sel bakteri adalah 4 bakteri. Rata-rata untuk
generasi ke-6 adalah 27,752 dan untuk variansinya adalah 260,851 serta banyaknya
bakteri adalah sebanyak 22 sel bakteri. Kemudian untuk generasi ke-9 banyaknya
sel bakteri pada generasi tersebut adalah 118 sel serta rata-rata dan variansi pada
generasi tersebut adalah 146,199 dan 7458,429.
Daftar Pustaka
[1] Allen, L. J. S., An Introduction to Stochastic Processes with Applications to Biology, Prentice
Hall, Upper Saddla River, N.J., 2003.
[2] Allen, L. J. S., Branching Processes, Encyclopedia of Theoretical Ecology (2012), 112-119.
[3] Feller, W., An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Eugene Higgins Professor of Mathematics, Princenton University, 1950.
[4] Harris, T. E., The Theory of Branching Processes, Springer Verlag, 1963.
[5] Kimmel, M. and D. E. Axelrod, Branching Processes in Biology, Springer Verlag, 2002.
[6] Madigan, T. M., J. M. Martinko, D. A. Stahl and D. P. Clark, Biology of Microorgisms,
Pearson, San Francisco, 2012.
[7] Olofsson, P. and T. O. McDonald, A stochastic Model of Cell Cycle Desyncronization, Mathematical Biosciencess (2010), 97-104.
[8] Olofsson, P., A stochastic Model of a Cell Population with Quiescence, Journal of Biological
Dynamics (2008), 386-391.
[9] Taylor, H. M. and S. Karlin, An Introduction to Stochastic Modeling, United States of America,
1994.
[10] Wu, X.,Branching Processes with Biological Application, Thesis, Rice University, Texas, 2008.
N. Laili, Respatiwulan, Sutrima
8
2016