BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Sistem dan Struktur Aljabar Menurut

BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Sistem dan Struktur Aljabar
Menurut Jong Jek Siang, 2002:436 (seperti dikutip Manik, 2011:2), sistem
aljabar merupakan suatu himpunan beserta dengan operasi-operasi pada himpunan
tersebut. Struktur aljabar secara lepas didefinisikan sebagai karakteristik dari suatu
sistem aljabar.
2.2 Operasi Biner (Tertutup)
Operasi biner adalah operasi dua elemen dari sebuah himpunan, yang
menghasilkan elemen yang masih merupakan anggota himpunan tersebut (tertutup).
Contoh:
Himpunan A = { bilangan asli }, dengan operasi biner +
A tertutup terhadap operasi ”+”, bila untuk setiap a,b ∈A, maka ( a + b ) ∈A.
Dengan kata lain, hasil penjumlahan dua buah elemen
sembarang dari
himpunan A yang berisi bilangan asli, akan menghasilkan suatu bilangan asli yang
juga merupakan suatu elemen dari himpunan A. (Daniel, 2010:5 )
2.3 Operasi Asosiatif
Operasi asosiatif adalah operasi biner “*” di mana untuk setiap a,b,c ∈ A maka :
(a*b)*c=a*(b*c)
(Weisstein, Eric W. "Associative." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
http://mathworld.wolfram.com/Associative.html ) diakses tanggal 5 Januari 2012
6
2.4 Unsur Kesatuan (Identitas)
Unsur kesatuan atau identitas adalah suatu elemen yang jika dioperasikan
terhadap sembarang elemen dari sebuah himpunan akan menghasilkan elemen itu
sendiri.
Terdapat dua jenis unsur kesatuan sebagai berikut.
a. Unsur kesatuan penjumlahan
Identitas penjumlahan adalah suatu elemen yang jika dilakukan operasi
penjumlahan
dengan
sembarang
elemen
dari
sebuah
himpunan
akan
menghasilkan elemen itu sendiri. Untuk setiap a ∈ A, jika memenuhi :
a + e = e + a = a maka, e merupakan identitas terhadap penjumlahan (unsur
kesatuan aditif).
b. Unsur kesatuan perkalian
Identitas perkalian adalah suatu elemen yang jika dilakukan operasi
perkalian dengan sembarang elemen dari sebuah himpunan akan menghasilkan
elemen itu sendiri. Untuk setiap a ∈ A, jika memenuhi : a * e = e * a = a maka,
e merupakan identitas terhadap perkalian (unsur kesatuan multiplikatif).
(Novi, et al., Jurnal Penelitian Sains, Volume i4 No. 1A:14101-2)
2.5 Invers
Invers suatu elemen a adalah elemen a’ yang jika a akan menghasilkan
elemen identitas. Untuk setiap a, a’ ∈ A dan e adalah identitas untuk operasi biner
“*” memenuhi : a * a’ = a’ * a = e maka a’ adalah invers dari a untuk operasi biner
“*”. (Novi, et al., Jurnal Penelitian Sains, Volume 14 No. 1A:14101-2)
7
2.6 Operasi Komutatif
Operasi komutatif adalah operasi biner ”*” di mana untuk setiap a,b ∈ A berlaku: a
* b = b * a (Joseph, 2003:52)
2.7 Operasi Distributif
Operasi biner # dikatakan distributif terhadap operasi biner * jika memenuhi:
a. Distributif Kiri: Untuk setiap a,b,c ∈ A memenuhi
a#(b*c)=(a#b)*(a#c)
b. Distributif Kanan: Untuk setiap a,b,c ∈ A memenuhi
( a* b ) # c = ( a # c ) * ( b # c )
(Joseph, 2003:445)
2.8 Himpunan Bagian
Suatu himpunan B dikatakan merupakan himpunan bagian dari himpunan A, jika
semua elemen dari himpunan B merupakan elemen dari himpunan A, yang
dilambangkan dengan B ⊆ A. (Daniel, 2010:8 )
2.9 Ring
Ring adalah suatu struktur aljabar yang terdiri dari dua operasi biner yaitu
penjumlahan dan perkalian, di mana terhadap penjumlahan struktur tersebut
merupakan grup abelian, terhadap perkalian struktur tersebut merupakan semigrup
dan operasi perkalian bersifat distributif terhadap operasi penjumlahan.
Suatu ring (R,+,×) adalah suatu himpunan tak kosong R dengan operasi biner
penjumlahan (+) dan perkalian (×) pada R yang memenuhi aksioma-aksioma berikut.
8
a.
Terhadap penjumlahan (+)
•
Tertutup: Untuk setiap a,b ∈ R, maka a + b ∈ R.
•
Asosiatif: Untuk setiap a,b,c ∈ R, maka (a + b) + c = a + (b + c).
•
Mempunyai unsur kesatuan: Adanya elemen identitas α sedemikian hingga
a + α = α + a = a.
•
Mempunyai invers: Untuk setiap a ∈ R terdapat b sedemikian hingga
a + b = b + a = α.
•
b.
c.
Komutatif: Untuk setiap a,b ∈ R, maka a + b = b + a.
Terhadap perkalian (×)
•
Tertutup: Untuk setiap a,b ∈ R, maka a × b ∈ R.
•
Asosiatif: Untuk setiap a,b,c ∈ R, maka (a × b) × c = a × (b × c).
Distributif perkalian (×) terhadap penjumlahan (+)
Untuk setiap a,b,c ∈ R, jika memenuhi:
•
Distributif Kiri: Untuk setiap a,b,c ∈ R memenuhi
a×(b+c)=(a×b)+(a×c)
•
Distributif Kanan: Untuk setiap a,b,c ∈ R memenuhi
(a+b)×c=(a×c)+(b×c)
maka R bersifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.
(William dan Keith, 2004:155)
2.10 Ring Komutatif
Ring komutatif atau gelanggang komutatif adalah suatu ring, di mana terhadap
penjumlahan struktur tersebut merupakan grup abelian, terhadap perkalian struktur
tersebut merupakan semigrup komutatif dan operasi perkalian bersifat distributif
terhadap operasi penjumlahan.
9
Suatu ring komutatif (R,+,×) adalah suatu himpunan tak kosong R dengan
operasi biner penjumlahan (+) dan perkalian (×) pada R yang memenuhi aksiomaaksioma berikut.
a. Terhadap penjumlahan (+)
•
Tertutup: Untuk setiap a,b ∈ R, maka a + b ∈ R.
•
Asosiatif: Untuk setiap a,b,c ∈ R, maka (a + b) + c = a + (b + c).
•
Mempunyai unsur kesatuan: Adanya elemen identitas α sedemikian hingga
a + α = α + a = a.
•
Mempunyai invers: Untuk setiap a ∈ R terdapat b sedemikian hingga
a + b = b + a = α.
•
Komutatif: Untuk setiap a,b ∈ R, maka a + b = b + a.
b. Terhadap perkalian (×)
•
Tertutup: Untuk setiap a,b ∈ R, maka a × b ∈ R.
•
Asosiatif: Untuk setiap a,b,c ∈ R, maka (a × b) × c = a × (b × c).
•
Mempunyai unsur kesatuan: Adanya elemen identitas β sedemikian hingga
a × β = β × a = a.
•
Komutatif: Untuk setiap a,b ∈ R, maka a × b = b × a.
c. Distributif perkalian (×) terhadap penjumlahan (+)
Untuk setiap a,b,c ∈ R, jika memenuhi:
•
Distributif Kiri: Untuk setiap a,b,c ∈ R memenuhi
a×(b+c)=(a×b)+(a×c)
•
Distributif Kanan: Untuk setiap a,b,c ∈ R memenuhi
(a+b)×c=(a×c)+(b×c)
maka R bersifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.
(William dan Keith, 2004:156)
10
2.11 Field
Field adalah suatu struktur aljabar yang terdiri dari dua operasi biner yaitu
penjumlahan dan perkalian, di mana himpunan terhadap penjumlahan, struktur
tersebut merupakan grup abelian, himpunan tanpa nol dengan operasi perkalian
merupakan grup abelian, dan operasi perkalian bersifat distributif terhadap operasi
penjumlahan.
Suatu field (R,+,×) adalah suatu himpunan tak kosong R dengan operasi biner
penjumlahan (+) dan perkalian (×) pada R yang memenuhi aksioma-aksioma berikut.
a. R terhadap penjumlahan (+)
•
Tertutup: Untuk setiap a,b ∈ R, maka a + b ∈ R.
•
Asosiatif: Untuk setiap a,b,c ∈ R, maka (a + b) + c = a + (b + c).
•
Mempunyai unsur kesatuan: Adanya elemen identitas α sedemikian hingga
a + α = α + a = a.
•
Mempunyai invers: Untuk setiap a ∈ R terdapat b sedemikian hingga
a + b = b + a = α.
•
Komutatif: Untuk setiap a,b ∈ R, maka a + b = b + a.
b. R tanpa nol terhadap perkalian (×)
•
Tertutup: Untuk setiap a,b ∈ R, maka a × b ∈ R.
•
Asosiatif: Untuk setiap a,b,c ∈ R, maka (a × b) × c = a × (b × c).
•
Mempunyai unsur kesatuan: Adanya elemen identitas β sedemikian hingga
a × β = β × a = a.
•
Mempunyai invers: Untuk setiap a ∈ R-{0} terdapat b sedemikian hingga
a × b = b × a = β.
•
Komutatif: Untuk setiap a,b ∈ R, maka a × b = b × a.
11
c. Distributif perkalian (×) terhadap penjumlahan (+)
Untuk setiap a,b,c ∈ R, jika memenuhi:
•
Distributif Kiri: Untuk setiap a,b,c ∈ R memenuhi
a×(b+c)=(a×b)+(a×c)
•
Distributif Kanan: Untuk setiap a,b,c ∈ R memenuhi
(a+b)×c=(a×c)+(b×c)
maka R bersifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.
(Weisstein, Eric W. "Field." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
http://mathworld.wolfram.com/Field.html ) diakses tanggal 5 Januari 2012
2.12 Sub Ring
Misalkan (R,+,×) adalah suatu ring, A adalah merupakan himpunan tidak
kosong yang merupakan bagian dari R (A ‫ ؿ‬R). Di bawah operasi yang sama dengan
R, (A,+,×) membentuk suatu ring, himpunan A disebut sub ring dari himpunan R.
(Weisstein, Eric W. "Subring." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
http://mathworld.wolfram.com/Subring.html ) diakses tanggal 5 Januari 2012
2.13 Ideal
Ideal adalah sub ring yang memiliki sifat istimewa yaitu tertutup terhadap
perkalian unsur di luar sub ring. Suatu sub ring disebut ideal jika sub ring tersebut
merupakan ideal kiri (tertutup terhadap perkalian unsur di sebelah kiri) dan ideal
kanan (tertutup terhadap perkalian unsur di sebelah kanan).
(Daniel, 2010:13-14 )
12
2.14 Ring Pembagian (Division Ring)
Ring pembagian adalah suatu ring, di mana elemen-elemen tak nol-nya
membentuk grup di bawah operasi x.
(Weisstein, Eric W. "Division Algebra." From MathWorld--A Wolfram Web
Resource. http://mathworld.wolfram.com/DivisionAlgebra.html ) diakses tanggal 5
Januari 2012
2.15 Homomorfisma Ring
Jika (R,+,×) dan (S,(+),(×)) merupakan ring, maka suatu fungsi pemetaan
f:R Æ S disebut homomorfisma jika:
a. f(a+b) = f(a) (+) f(b) untuk setiap a,b ∈ R
b. f(a+b) = f(a) (+) f(b) untuk setiap a,b ∈ R
c. f(unkes x) = unkes (x)
(Malik, et al., 2007:158)
2.16 Epimorfisma Ring
Jika (R,+,×) dan (S,(+),(×)) merupakan ring, maka suatu fungsi pemetaan f:R
Æ S disebut monomorfisma jika pemetaan tersebut merupakan pemetaan
homomorfisma dan bersifat onto (surjektif)
(Malik, et al., 2007:158)
2.17 Monomorfisma Ring (Ring Embeddings)
Jika (R,+,×) dan (S,(+),(×)) merupakan ring, maka suatu fungsi pemetaan f:R
Æ S disebut monomorfisma jika pemetaan tersebut merupakan pemetaan
homomorfisma dan bersifat 1-1 (injektif)
13
(Malik, et al., 2007:165)
2.18 Isomorfisma Ring
Jika (R,+,×) dan (S,(+),(×)) merupakan ring, maka suatu fungsi pemetaan f:R Æ S
disebut monomorfisma jika pemetaan tersebut merupakan pemetaan homomorfisma
dan bersifat 1-1 (injektif) dan onto (surjektif)
(Malik, et al., 2007:159)
2.19 Tabel Cayley
Tabel Cayley adalah daftar yang dibuat untuk memperlihatkan operasi antar
dua elemen pada himpunan terbatas. Contoh Tabel Cayley adalah sebagai berikut.
Tabel 2.1 Tabel Cayley Penjumlahan Modulo 5
+5
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
0
2
2
3
4
0
1
3
3
4
0
1
2
4
4
0
1
2
3
(Daniel, 2010:16 )
2.20 Waterfall Model
Waterfall Model adalah sebuah metode pengembangan software yang bersifat
sekuensial dan terdiri dari 6 tahap yang saling terkait dan mempengaruhi seperti
terlihat pada gambar berikut.
14
SISTEM ENGINEERING
ANALYS
DESIGN
CODE
TESTING
MAINTENANCE
Gambar 2.1 Model Waterfall, sumber : (Pressman, 2005)
Tahapan dalam Waterfall Model adalah sebagai berikut.
a.
System/Information Engineering and Modeling. Permodelan ini diawali dengan
mencari kebutuhan dari keseluruhan sistem yang akan diaplikasikan ke dalam
bentuk software. Hal ini sangat penting, mengingat software harus dapat
berinteraksi dengan elemen-elemen yang lain seperti hardware, database. Tahap
ini sering disebut dengan Project Definition.
b.
Software Requirements Analysis. Proses pencarian kebutuhan diintensifkan dan
difokuskan pada software. Untuk mengetahui sifat dari program yang akan
dibuat, maka para software engineer harus mengerti tentang domain informasi
dari software, misalnya fungsi yang dibutuhkan, user interface. Dari dua aktivitas
tersebut (pencarian kebutuhan sistem dan software) harus didokumentasikan dan
ditunjukkan kepada pelanggan.
c.
Design. Proses ini digunakan untuk mengubah kebutuhan-kebutuhan di atas
menjadi representasi ke dalam bentuk “blueprint” software sebelum coding
dimulai. Desain harus dapat mengimplementasikan kebutuhan yang telah
disebutkan pada tahap sebelumnya. Seperti dua aktivitas sebelumnya, maka
proses ini juga harus didokumentasikan sebagai konfigurasi dari software.
15
d.
Coding. Untuk dapat dimengerti oleh mesin, dalam hal ini adalah komputer,
maka desain tadi harus diubah bentuknya menjadi bentuk yang dapat dimengerti
oleh mesin, yaitu ke dalam bahasa pemrograman melalui proses coding. Tahap
ini merupakan implementasi dari tahap design yang secara teknis nantinya
dikerjakan oleh programmer.
e.
Testing/Verification. Sesuatu yang dibuat haruslah diujicobakan. Demikian juga
dengan software. Semua fungsi-fungsi software harus diujicobakan, agar
software bebas dari error, dan hasilnya harus benar-benar sesuai dengan
kebutuhan yang sudah didefinisikan sebelumnya.
f.
Maintenance. Pemeliharaan suatu software diperlukan, termasuk di dalamnya
adalah pengembangan, karena software yang dibuat tidak selamanya hanya
seperti itu. Ketika dijalankan mungkin saja masih ada error kecil yang tidak
ditemukan sebelumnya, atau ada penambahan fitur-fitur yang belum ada pada
software tersebut. Pengembangan diperlukan ketika adanya perubahan dari
eksternal perusahaan seperti ketika ada pergantian sistem operasi, atau perangkat
lainnya.
(Daniel, 2010:15 )
2.21 Java Open-Source ?
Keberadaan Java sebagai bahasa pemrograman open-source sampai saat ini
masih menjadi tanda tanya dengan adanya berita mengenai gugatan Oracle Corp.
terhadap Google Inc., terkait penggunaan Java dalam sistem operasi Androidnya.
Pada tanggal 12 Agustus 2010, Oracle Corp. menggugat Google Inc. atas
tuduhan pelanggaran hak paten dan kekayaan intelektual ke pengadilan federal
California, AS. Gugatan Oracle mengenai penggunaan beberapa baris code Java
1
16
m
milik
Sun Microsystem
M
ms (Sun Miccrosystems yang
y
memilliki Java telah diakuisiisi
O
Oracle
Corpp. awal tahuun 2010 denngan nilai US$
U 5,6 miliar atau sekkitar Rp 500,4
t
triliun)
dalam
m sistem opeerasi Androiid yang dibu
uat Google.
Bariss-baris codee tersebut daapat dilihat saat
s
Androidd Froyo dann Gingerbreaad
d
didecompile
e. Akan diteemukan 37 kode sumb
ber androidd yang berttuliskan kodde
s
sumber
“PR
ROPRIETAR
RY / CONFIINDENTAL”” dan “DO NOT DIST
TRIBUTE” bby
O
Oracle/Sun,
yang sekurrangnya terddapat pada file
f Android Froyo dan Gingerbreaad,
d
dengan
men
nggunakan Appache open source licennce tanpa ijinn.
I
Inilah
baris-baris code yang
y
dimaksuud:
mbar 2.2 Potongan code pada bahasaa pemrogram
man Java, sum
mber:
Gam
(httpp://www.blogcdn.com/w
www.engadget.com/mediia/2011/01/001-2111androidjaava2.jpg , 14
4 Maret 20122)
1
17
Gambaar 2.3 Potonggan code pad
da Android , sumber:
www.engadg
get.com/meddia/2011/01/001-21( httpp://www.bloogcdn.com/w
11androidjaava2.jpg , 14
4 Maret 20122)
Samppai bulan Feebuari 2012, delapan bellas bulan settelah gugatann dilayangkaan
(
(dan
belum ada keputussan yang meengikat), Orracle telah m
mencabut seebuah gugataan
p
paten
Java. Hal ini dap
pat terjadi kaarena terkaitt keputusan Kantor Pateen dan Mereek
D
Dagang
Am
merika yang menolak 17 dari 21 klaim.
k
Pencaabutan gugaatan ini, telaah
m
membuat
niilai ganti rug
gi awal yang diajukan Oracle
O
sebeesar $2,5 miiliar, sekaranng
m
menjadi
$16
68 juta. Orracle juga ttidak memilliki petunjuuk kerugian seperti yanng
m
mereka
arahhkan pada Google
G
sebaagai wujud tanggung
t
jawab. Karenna itu, Googgle
s
sejauh
ini tiddak mengangggap komplaain yang diuungkap Oraccle di persidaangan.
18
Disarikan dari berbagai sumber.
[Anonim. ORACLE gugat GOOGLE. http://smart.students.uii.ac.id/oracle-gugatgoogle/ , 14 Maret 2012]
[Rahmatunisa. detikInet : Oracle Gugat Google Soal Android.
http://inet.detik.com/read/2010/08/13/111513/1419667/399/oracle-gugat-googlesoal-android , 14 Maret 2012]
[PT Media Digital Lima. Oracle Kurangi Jumlah Gugatan Java Paten Atas Google |
Gopego.com. http://android.gopego.com/full/2012/02/oracle-kurangi-jumlahgugatan-java-paten-atas-google , 14 Maret 2012]