PERSM DiFF 8

Persamaan Diferensial (PD)
Persamaan diferensial yaitu suatu persamaan yang memuat hubungan
antara variable x , y dan turunan –turunan nya
dy d 2 y d 3 y y
, dst.
,
,
dx dx 2 dx3
Orde persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi dalam
persamaan diferensial tersebut.
Derajat persamaan diferensial ditentukan oleh pangkat tertinggi pada
turunan tertinggi dalam persamaan diferensial tersebut.
Contoh persamaan diferensial :
1.
dy
 xy  5 sin 5 x
dx
2.
d2y
dy
 3  4 y  sec x
2
dx
dx
3. ( x  y)
4.
dy
 ( x  4 y)  0
dx
d4y
 6 y  5 x3 dll
dx 4
Persamaan Diferensial Biasa Orde satu derajat satu
1.Dengan variable terpisah :
Bentuk umum:
P( x, y)
dy
 Q( x, y )  0
dx
atau
P(x,y) dy + Q(x,y) dx = 0
Cara menyelesaikan :
- Pisahkan antara dy dan dx
- Kumpulkan variable x ke dx dan variable y ke dy.
- Integralkan masing- masing hasil integrasi merupakan penyelesaian
umum persamaan diferensial tersebut.
Contoh-contoh:
1. Selesaikan persamaan diferensial berikut :
x y 2 9dx  5x3 ydy  0
Jawab :
x y 2 9dx  5x3 ydy  0
1
dx 
x2
5y
1
dx  
x2

dy  0
y2  9
5y
y2  9
MisalU  y 2  9 
dy 


dy  0
dU
 2y
dy
dU
5y
5 y dU
 
dy  
2
2y
U 2y
y 9
5dU 5
 2 (2 u )  5 y 2  9
2 U
1
 5 y 2  9  C sebagai penyelesaian umum.
x
2. Selesaikan persamaan diferensial berikut :
.xy2 dx + 5 x3 y dy = 0
Jawab :
.xy2 dx + 5 x3 y dy = 0
1
1
dx  dy  0
2
x
y


1
1
dx  
dy  0
2
x
y
1
 ln y  C sebagai penyelesaian umum
x
3. Selesaikan persamaan diferensial berikut :
.sinx cosy dx + 5 cosx siny dy = 0
Jawab :
Sinx cosy dx + 5 cosx siny dy = 0
sin x
sin y
dx 
dy  0
cos x
cos y

sin y
dy  0
cos y
sin x
sin y
dx  
dy  0
cos x
cos y
Ln |sec x| + ln | sec y | = C sebagai penyelesaian umum.
2. Persamaan Diferensial Homogen
Bentuk umum :
x
x
f ( )dy  g ( )dx  0
y
y
Cara menelesaikan:
Dimisalkan : U 
x
 x  yU  dx  dy.U  y.dU
y
- Maka persamaan diferensial menjadi :
.f(U) dy + g(U) { dy. U + y . dU } = 0
f(U) dy + g(U) U dy. + g(U) y . dU = 0
{f(U) + g(U) U }dy. + g(U) y . dU = 0
dy
g (U )

dU  0
y
f (U )  g (U ).U

dy
g (U )

dU  0
y
f (U )  g (U ).U
Hasil integrasi merupakan penyelesaian persamaan diferensial
homogen.
Rumus Integral yang bisa digunakan :
1. 
2.
f (U )
dU  ln | f (U )  C |
f (U )
U
dU
1 U a

ln
C
2
a
2a U  a
2
dU
1
U
 arc.tg  C
2
a
a
a
3.
U
4.
 aU  b dU  a ln | aU  b | C
2
1
1
Contoh-contoh :
1.Selesaikan persamaan diferensial berikut :
.(x +y) dx + ( x – y) dy = 0
Jawab :
.(x +y) dx + ( x – y) dy = 0
x
x
(  1)dx  (  1)dy  0
y
y
Misal : U 
x
 x  yU  dx  dy.U  y.dU
y
.(U +1) {dy.U + y dU} + ( U – 1) dy = 0
.(U2 +U) dy. +(U+1) y dU + ( U – 1) dy = 0
.(U2 +U +U-1) dy. +(U+1) y dU =0
.(U2 +2U-1) dy. +(U+1) y dU =0
dy
U 1
 2
dU  0
y U  2U  1

dy
U 1

dU  0
2
y
U  2U  1
ln y  
1
2U  2
{ 2
}dU  0
2 U  2U  1
. ln |y| + ½ ln| U2 + 2U – 1 | = C
2
x
x
ln y  1/ 2 ln |    2  1 | C  sebagai penyelesaian umum.
y
 y
2. Selesaikan persamaan diferensial berikut :
.(2x +3y) dx + ( 3x – y) dy = 0
Jawab :
.(2x +3y) dx + ( 3x – y) dy = 0
x
y
x
y
( (2  3)dx  (3  1)dy  0
Misal : U 
x
 x  yU  dx  dy.U  y.dU
y
.(2U +3) {dy.U + y dU} + (3U – 1) dy = 0
.(2U2 +3U) dy. +(2U+3) y dU + ( 3U – 1) dy = 0
.(2U2 +3U +3U-1) dy. +(2U+3) y dU =0
.(2U2 +6U-1) dy. +(2U+3) y dU =0
dy
2U  3

dU  0
y 2U 2  6U  1

dy

y
ln y  

2U  3
dU  0
2U 2  6U  1
1
4U  6
{ 2
}dU  0
2 2U  6U  1
. ln |y| + ½ ln| 2U2 + 6U – 1 | = C
2
x
x
ln y  1/ 2 ln |    6  1 | C  sebagai penyelesaian umum.
y
 y
TUGAS:
1. Selesaikan persamaan diferensial berikut :
.x y 2 9 dx + 5 x9 y dy = 0
2. Selesaikan persamaan diferensial berikut :
.x2 y 2 9 dx + 5
x3  3 y dy = 0
3.Selesaikan persamaan diferensial berikut :
.(x +3y) dx + ( 3x – 9y) dy = 0
4.Selesaikan persamaan diferensial berikut :
.(2x +3y) dx + ( 3x +8 y) dy = 0
5.Selesaikan persamaan diferensial berikut :
.(7x +3y) dx + ( 3x +2 y) dy = 0