EKSPEKTASI DAN VARIANSI Definisi Ekspektasi Matematis

EKSPEKTASI DAN VARIANSI
TI2131 TEORI PROBABILITAS
MINGGU KE-7
1
Definisi Ekspektasi Matematis
Diberikan X sebuah variabel random dengan distribusi
probabilitas f(x). Mean atau nilai (expected value) dari X
adalah:
µ=E(X)=
∑x xf (x )
jika X diskrit dan
∞
µ=E(X)=
∫ xf (x ) dx
−∞
jika X kontinu
2
1
Contoh Ekspektasi Matematis
1.Berapa ekspektasi jumlah angka yang muncul dari
pelemparan dua buah dadu?
2.Jika X merupakan variabel random yang menunjukkan
jumlah hari perawatan seseorang dengan penyakit
demam berdaran di sebuah rumah sakit, di mana X
memiliki fungsi kepadatan sebagai berikut:
⎧
f(x)= ⎪⎨ (x
⎪⎩
32
,
3
+ 4)
0,
x >0
untuk lainnya
tentukan rata-rata waktu perawatan pasien-pasien
demam berdarah di rumah sakit tersebut!
3
Diberikan variabel random g(X) yang nilainya tergantung pada
X. Jika X merupakan variabel random dengan distribusi
probabilitas f(x), maka nilai harapan dari variabel random g(X)
adalah:
µg(X) = E[g(X)] = ∑ g (x )f (x )
jika X adalah diskrit, dan
µg(X) = E[g(X)] =
∞
∫ g (x )f (x ) dx
-∞
jika X kontinu.
4
2
Curah hujan di suatu bulan tertentu bervariasi antara –1 sampai
2 desiliter dari curah hujan standar. Tetapkan X sebagai variabel
random yang menunjukkan variasi curah hujan dari standar
(dalam desiliter). Variabel random X ini memiliki pdf:
⎧x 2
⎪
f (x ) = ⎨ 3 − 1 < x < 2
⎪⎩ 0
untuk lainnya
Jika g(X) = 3X + 3 merupakan fungsi yang menunjukkan hasil
panen (dalam ton/hektar) yang dapat diperoleh pada saat curah
hujan bervariasi sebesar X desiliter dari standar, tentukan
ekspektasi hasil panen dalam jangka panjang.
5
Ekspektasi Variabel Random
Bivariat
Diberikan variabel random X dan Y dengan joint
probability distribution f(x,y). Rataan atau nilai harapan
dari variabel random g(X,Y) adalah:
µg(X,Y) = E[g(X,Y)] = ∑ ∑ g (x , y )f (x , y )
x
x
jika X dan Y adalah diskrit, dan
µg(X,Y) = E[g(X,Y)] =
jika X dan Y kontinu.
∞ ∞
∫ ∫ g (x , y )f (x , y ) dx dy
− ∞- ∞
6
3
Contoh Ekspektasi Bivariat
Tentukan ekspektasi dari fungsi g(X,Y) = Y/X,
diberikan
⎧ x (1 + 3y 2 )
⎪
0 < x < 2,0 < y < 1
f(x,y) = ⎨
4
⎪⎩
0
untuk lainnya
7
Definisi Variansi
Diberikan X sebuah variabel random dengan distribusi
probabilitas f(x) dan rataan µ. Variansi dari X adalah
σ2 = E[(X - µ)2] =
∑x (x
− µ )2 f ( x )
jika X adalah diskrit dan
∞
σ2
= E[(X -
µ)2]
=
∫ (x
− µ )2 f (x ) dx
-∞
jika x kontinu. Akar kuadrat positif dari variansi, atau
σ,disebut dengan deviasi standar.
8
4
Teorema variansi
Variansi variabel random X adalah:
σ2 = E(X)2 − µ2
9
Contoh Perhitungan Variansi
1. Hitunglah variansi dari variabel random angka
hasil pelemparan dadu!
2. Hitunglah dengan menggunakan teorema variansi!
10
5
Kovariansi Dua Variabel
Random
Diberikan variabel random X dan Y dengan joint
probability distribution f(x,y). Kovariansi dari X dan Y
adalah:
σXY = E[(X−µX)(Y− µY)] = ∑ ∑ (x − µ x )(y − µy )f (x , y )
x
y
jika X dan Y adalah diskrit, dan
σXY = E[(X−µX)(Y− µY)] =
∞ ∞
∫ ∫ (x
− µ x )(y − µy )f (x , y ) dx dy
-∞ -∞
jika X dan Y kontinu.
11
Teorema Kovariansi
Kovariansi dari dua variabel random X dan Y dengan
rataan µX dan µY, berturut-turut, diberikan oleh:
σXY = E(XY) − µX µY
12
6
Contoh Perhitungan Kovariansi
Fraksi pelari laki-laki X dan fraksi pelari perempuan Y
yang bertanding pada suatu lomba digambarkan oleh
joint distribution function:
⎧8xy ,
f(x,y) = ⎨ 0,
⎩
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x
untuk lainnya
Hitung kovariansi antara X dan Y!
13
Definisi Korelasi
Diberikan variabel random X dan Y dengan kovariansi
σXY dan deviasi standar berturut-turut σX dan σY.
Koefisien korelasi antara X dan Y adalah:
ρXY =
σ XY
σ X σY
14
7
Rumus-rumus Ekspektasi
„
E(aX+b) = aE(X) + b
„
E(b) = b
„
E(aX) = aE(X)
„
E[g(X) ± h(X)] = E[g(X)] ± E[h(X)]
„
E[g(X,Y) ± h(X,Y)] = E[g(X,Y)] ± E[h(X,Y)]
„
E[g(X) ± h(Y)] = E[g(X)] ± E[h(Y)]
„
E[X ± Y ] = E[g(X)] ± E[h(Y)]
„
E(XY) = E(X) E(Y)
15
Rumus-rumus Variansi
2
2 2
2 2
σ aX
+b = a σ X = a σ
σ X2 + b = σ X2 = σ 2
2
σ aX
= a 2σ X2 = a 2σ 2
2
2 2
2 2
σ aX
+ bY = a σ X + b σY + 2abσ XY
2
2 2
2 2
σ aX
+ bY = a σ X + b σY
2
2 2
2 2
σ aX
− bY = a σ X + b σY
σ a21x 1 +a 2x 2 +...+an x n = a 12σ x21 + a 22σ x22 + ... + a n2σ x2n
16
8