5 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Option Option merupakan sebuah

BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1
Option
Option merupakan sebuah kontrak yang memberikan hak kepada pemegangnya
untuk menjual atau membeli aset pada waktu tertentu dengan harga yang telah
disepakati. Yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah European Option yaitu option
yang hanya dapat diexercise pada saat jatuh tempo.(www.investopedia.com).
Option dapat dibagi menjadi dua jenis yaitu call option dan put option.
2.1.1
Call Option
Sebuah call option merupakan hak untuk membeli suatu asset pada harga tertentu
(exercise price) pada saat berakhirnya tanggal kontrak (expiration date). Call option
akan mempunyai nilai apabila harga suatu saham lebih tinggi dari pada exercise price
pada saat jatuh tempo.
Payoff merupakan istilah dari hasil yang diperoleh dari pihak pembeli dan
penjual.
Payoff bagi call option = ST – X
0
2.1.2
jika ST > X
jika ST ≤ X
Put Option
Sebuah put option merupakan hak untuk menjual suatu asset pada harga
tertentu (exercise / strike price) pada saat berakhirnya tanggal kontrak (expiration date).
5
6
Put option akan mempunyai nilai apabila harga suatu saham lebih rendah dari pada
exercise price pada saat jatuh tempo.
Payoff bagi put option = 0
X – ST
jika ST ≥ X
jika ST < X
Maka dapat disimpulkan Payoff (nilai) untuk European Option adalah :
1.
Max (ST – X, 0), berlaku untuk posisi short pada European call option dan ini
mencerminkan bahwa call option akan diexercise jika ST > X dan tidak akan
diexercise jika ST ≤ X.
2.
Min (X – ST, 0), berlaku untuk posisi short pada European call option.
3.
Max (X – ST, 0), berlaku untuk posisi long pada European put option.
4.
Min (ST – X, 0), berlaku untuk posisi short pada European put option.
2.2
Black-Scholes Option Pricing Model
Pada awal tahun 1970-an, Fisher Black, Myron Scholes dan Robert Merton
membuat suatu terobosan besar dalam menghitung nilai option. Formula yang mereka
perkenalkan menjadi populer dengan sebutan Black-Scholes Option Pricing Model.
Asumsi yang digunakan dalam formula ini yaitu (Hull, 2006, p290-291) :
1 Perilaku harga saham mengikuti model distribusi lognormal dengan μ dan σ
konstan.
2. Tidak ada biaya pajak dan biaya transaksi.
3. Selama umur opsi, saham tidak membagikan dividen.
4. Tidak ada kesempatan untuk melakukan arbitrage yang tanpa risiko.
7
5. Kegiatan jual-beli saham berlangsung terus-menerus.
Formula ini ditemukan melalui proses penurunan matematika yaitu dengan
model proses stokastik sebagai geometric Brownian motion
dS = μS dt + σS dz
dimana dz merupakan suatu Wiener process, μ adalah ekspektasi pengembalian dan σ
adalah volatilitas dari aset.
Black dan Scholes (1973) menghasilkan formula untuk menilai sebuah European
call option dan European put option seperti di bawah ini (Hull, 2006, p295):
C
=
S0N(d1) – Xe-rT N(d2)
(2.1)
P
=
Xe-rT N(-d2) – S0N(-d1)
(2.2)
d1
=
d2
=
d2
=
σ2
⎛ S0 ⎞ ⎛
ln⎜ ⎟ + ⎜⎜ r +
2
⎝X ⎠ ⎝
σ T
⎞
⎟⎟T
⎠
σ 2 ⎞⎟
⎛ S 0 ⎞ ⎛⎜
T
ln⎜ ⎟ + r −
2 ⎟
⎝ X ⎠ ⎜⎝
⎠
σ T
d1 – σ T
di mana
C
=
Nilai dari European call option
P
=
Nilai dari European put option
S0
=
Harga saham saat ini (current price)
X
=
Harga patokan (strike price)
(2.3)
(2.4)
8
T
=
Waktu sampai dengan jatuh tempo (expiration date)
r
=
Tingkat suku bunga bebas risiko (risk-free rate)
σ
=
Volatilitas harga saham.
N(di) =
Nilai distribusi kumulatif untuk peubah acak normal baku dengan
nilai di
N(-di) =
2.3
1 – N(di)
Metode Simulasi Monte Carlo
Menurut http://en.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo_method Metode simulasi
Monte Carlo merupakan sebuah kelas dari algoritma komputer yang menggunakan
sampel acak untuk melakukan simulasi untuk mendapatkan hasil yang diinginkan.
Metode simulasi Monte Carlo sangat penting dalam perkomputasian fisika dan bidang
terapan yang berhubungan. Metode ini sudah teruji dalam menyelesaikan persamaan
integro-diferensial yang mendefinisikan bidang radiasi, dan metode ini telah digunakan
dalam perhitungan global illumination yang menghasilkan citra yang terlihat nyata dari
model dimensi tiga buatan, untuk penerapan pada permainan video, arsitektur, desain,
film yang dihasilkan komputer, efek khusus dalam film, bidang bisnis, ekonomi dan
lain-lain.
Banyak persoalan komputasi keuangan modern memerlukan perhitungan
numerik yang mengandung integral multidimensi salah satunya European Option.
Metode simulasi Monte Carlo merupakan salah satu cara untuk perhitungan numerik
yang mengandung integral multidimensi dalam menentukan nilai option.
Prinsip dari simulasi Monte Carlo adalah penggunaan angka acak berdistribusi normal
(0,1) dan hukum bilangan besar (The Law Of Large Numbers).
9
Langkah-langkah dari simulasi Monte Carlo pada European call option yaitu :
1.
Mengumpulkan data historis dari saham yang diinginkan.
2.
Berdasarkan data historis akan diperkirakan nilai volatilitas tahunan.
3.
Tetapkan jumlah partisi n, sehingga terdapat selang waktu Δt dari awal umur
option sampai waktu jatuh tempo.
4.
Simulasikan harga saham ditiap akhir selang waktu dari awal umur option sampai
waktu jatuh tempo.
5.
Setelah mendapatkan harga saham akhir, mulailah menghitung payoff dari
European call option.
6.
Dapatkan harga perkiraan European call option dengan mendiskontrokan payoff
yang telah didapatkan.
7.
Ulangi langkah 4-6 sebanyak K simulasi.
8.
Hitung harga European call option rata-rata yang telah diperoleh dari langkah 7.
Maka didapat harga European call option sebagai berikut (Yong, 2007, p72):
C = e-rtE(Max(ST – X, 0))
(2.5)
1
Metode Monte Carlo berdasarkan fakta bahwa suatu bentuk integral,
∫ f ( x)dx ,
0
dapat dinyatakan sebagai nilai harapan dari nilai fungsi dengan distribusi seragam pada
[0,1], yaitu E [ f (x)] =
∫ f ( x)dx .
(2.6)
[ 0 ,1]
Hasil ini juga dapat diterapkan untuk menghitung bentuk integral multidimensi:
I( f )=
∫ f ( x)dx , x = (x1,x2,…,xd)
C
d
Di mana Cd = [0,1) adalah kubus satuan berdimensi-d, sebagai berikut :
(2.7)
10
E(f(x)] =
∫ f ( x)dx
(2.8)
Cd
Akibatnya, kita dapat menghampiri (to approximate) bentuk integral tersebut dengan
E(f(x)] ≈
1
n
n
∑ f (x )
(2.9)
i
i =1
di mana x = (x1,x2,…,xd) diambil dari distribusi seragam (uniform distribution) pada
[0,1]d yang terdistribusi independen dan indentik.
Berdasarkan Strong Law of Large Numbers didapat
Lim
n − >∞
1
n
n
∑ f ( x ) -> ∫ f ( x)dx
(2.10)
i
i =1
Cd
Galat (error) untuk metode Monte Carlo adalah :
εn =
∫
f ( x)dx -
Cd
1
n
n
∑ f (x )
i =1
(2.11)
i
di mana untuk nilai n yang besar,
ε n (f) ≈
σ
n
ξ
(2.12)
Dengan ξ ~ N(0,1) dan konstanta σ = σ (f) adalah akar kuadrat dari ragam, yaitu
⎡ ⎛
⎞ ⎤
σ (f) = ⎢ ∫ ⎜⎜ f ( x) − ∫ f ( x)dx ⎟⎟dx ⎥
⎢⎣C d ⎝
Cd
⎠ ⎥⎦
1/ 2
(2.13)
Hal ini menunjukkan bahwa metode Monte Carlo memiliki orde galat O(n-1/2)
dengan konstanta yang merupakan variance dari fungsi f yang diintegralkan. Di sini
terlihat bahwa galat metode Monte Carlo tidak bergantung pada dimensi-d.
11
2.4
Metode Simulasi Quasi Monte Carlo
Dalam analisis numerik, sebuah metode Quasi Monte Carlo merupakan metode
untuk perhitungan integral (pemasalahan lainnya) yang didasarkan pada barisan bilangan
dengan ketidakcocokan / ketidaksesuaian yang rendah (low-discrepancy sequences).
Yang membedakan metode Quasi Monte Carlo dengan metode Monte Carlo yaitu
Metode Quasi Monte Carlo menggunakan barisan kuasi-acak sebagai pengganti
bilangan acak palsu (pseudo-random). Barisan kuasi-acak ini digunakan untuk
menghasilkan sampel representatif dari distribusi probabilitas yang disimulasikan dalam
permasalahan praktis. Contoh bilangan acak palsu (pseudo-random) dapat dilihat pada
gambar 2.1.
Gambar 2.1 Hasil Plotting Menggunakan R Language Terhadap 1000 Bilangan
Pseudo-Random
12
Metode Quasi Monte Carlo menggunakan barisan kuasi acak xN yang
terdistribusi seragam untuk menduga fungsi f sebagai rataan dari fungsi yang dievaluasi
pada sehimpunan titik-titik x1,…,xN.
∫
C
f (u )du ≈
dd
1
N
N
∑ f ( x)
(2.14)
i =1
di mana C adalah kubus dengan dimensi d, Cd = [0,1]x … x [0,1]. Sehingga masingmasing xi adalah sebuah vektor dari elemen sebanyak d. Dalam metode Monte Carlo, xi
adalah bilangan-bilangan pseudo-random. Dalam metode Quasi-Monte Carlo, himpunan
tersebut adalah akibat dari sebuah barisan low-discrepancy atau disebut dengan bilangan
kuasi acak.
Error pendugaan dari metode di atas dibatasi dengan sebuah syarat yang
proposional terhadap ketidaksesuaian dari himpunan x1, … , xN, oleh pertidaksamaan
Koksma-Hlawka.
1
N
N
∑ f (X
i =1
N
)−
∫ f ( x)dx ≤ V
HK
( f ) • D∗ N (xN )
(2.15)
Cd
di mana D ∗ N ( x N ) adalah ketidaksesuaian (discrepancy) dan VHK ( f ) adalah variasi
(Hardy Krause).
Difinisi : Hardy-Krause Total Variation
Jika f adalah suatu pertidaksamaan, varian dari f adalah [0,1]d maka
s
V(f) =
∑
∑V
( k ) ( f ;i1 ,...,ik )
(2.16)
k =1 1≤ i1 ≤i2 <...< ik ≤ s
di mana
1
1
V (f;i1,...,ik) = ∫ ...∫
(k)
0
0
∂s f
∂xi1...∂xik
dx i 1 ...dx ik
x j =1, j ≠ i1 ,..., i k
(2.17)
13
Fungsi
∂s f
∂xi1...∂xik
(2.18)
x j =1, j ≠ i1 ,...,ik
adalah fungsi dari ( xi1 , xi2 ,..., xik ) dengan argumen lain xj =1 untuk j ∉ {i1 ,..., ik }.
Ketidaksesuaian (discrepancy) adalah ukuran simpangan dari keseragaman suatu barisan
titik dalam D=[0,1]d. Ketidaksesuaian tersebut menyebabkan terjadinya galat dalam
metode Quasi Monte Carlo. Beberapa barisan kuasi acak menghasilkan kesenjangan
D ∗ N ( x N ) sebesar O(n-1(log n)d).
Sebagai perbandingan, dengan peluang bernilai satu, discrepancy yang diharapkan dari
barisan acak seragam memiliki ordo konvergensi
log log N
2N
(2.19)
Metode Quasi Monte Carlo memerlukan barisan kuasi acak yang bersifat seragam untuk
memberikan hasil yang lebih akurat. Terdapat beberapa barisan kuasi acak, antara lain
Van der Corput, Faure, Halton dan Sobol. Namun yang dibahas di skripsi ini hanya
barisan kuasi-acak Halton dan barisan kuasi acak Sobol.
2.4.1
Quasi Monte Carlo Dengan Barisan Kuasi Acak – Halton
Barisan kuasi-acak Halton merupakan barisan berdimensi-d pada kubus satuan
[0,1]d. Dimensi pertama barisan kuasi acak Halton adalah barisan kuasi acak van der
Corput basis 2 dan dimensi kedua barisan kuasi acak Halton merupakan barisan kuasi
acak van der Corput basis 3. Secara umum barisan kuasi acak Halton berdimensi-d
14
adalah barisan kuasi acak van der Corput yang didapat dengan menggunakan bilangan
prima ke-d sebagai basis bilangan.
Barisan kuasi acak Halton dapat dideskripsikan bila p1, p2, …, pd merupakan d
bilangan prima pertama. Maka sembarang bilangan bulat k ≥ 0 dapat secara unik
|log k |
dinyatakan sebagai k =
∑a p
i =0
radikal φ pj (k) =
|log k |
∑a p
i =0
i
−i −1
j
i
i
j
dengan bilangan bulat ai ∈ [0, pj-1]. Fungsi kebalikan
. Barisan kuasi acak Halton berdimensi-d adalah
zk = (φ p1 (k ), φ p 2 (k ),..., φ pd (k ) ) . Contoh barisan kuasi acak Halton dapat dilihat
pada tabel 2.1 dan Pada gambar 2.2 merupakan salah satu contoh hasil plotting terhadap
1000 bilangan quasi-random menurut barisan Halton dengan dimensi = 2.
N
Dimensi = 1
(Basis 2)
Dimensi = 2
(Basis 3)
Dimensi = 3
(Basis 5)
1/2
1/4
3/4
1/8
5/8
3/8
7/8
1/16
9/16
1/3
2/3
1/9
4/9
7/9
2/9
5/9
8/9
1/27
1/5
2/5
3/5
4/5
1/25
6/25
11/25
16/25
21/25
1
2
3
4
5
6
7
9
10
dst
Tabel 2.1
Contoh Barisan Kuasi Acak Halton
15
Gambar 2.2 Hasil Plotting Menggunakan R Language Terhadap 1000 Bilangan QuasiRandom Menurut Barisan Halton Dengan Dimensi = 2
2.4.2
Quasi Monte Carlo Dengan Barisan Kuasi Acak – Sobol
Barisan kuasi acak Sobol merupakan barisan kuasi acak berdimensi-d yang
berdasarkan bilangan prima 2 sebagai basis yaitu dihasilkan dari sebuah himpunan
bilangan pecahan biner khusus sepanjang w bit, vij dengan i = 1, 2, ... , w dan j = 1, 2, ...
, d. Bilangan vij disebut direction numbers.
Untuk menghasilkan direction numbers untuk dimensi j, digunakan sebuah
polinom primitif (tidak dapat disederhanakan lagi) terhadap bidang F2 dengan elemen
{0, 1}. Polinom primitif tersebut dalam dimensi j akan menjadi
p j ( x ) = x q + a1 x q −1 + Κ + aq −1 x + 1
(2.20)
16
Direction numbers tersebut dalam dimensi j dihasilkan menggunakan hubungan
q berulang berikut
(
vij = a1vij−1 ⊕ a2 vij− 2 ⊕ Κ ⊕ aq −1vij− q +1 ⊕ vij− q ⊕ vij− q 2 q
)
(2.21)
di mana i > q. ⊕ menandakan operasi XOR. Bilangan v1j ⋅ 2 w , v2j ⋅ 2 w , ... , vqj ⋅ 2 w
masing-masing dapat berupa bilangan integer ganjil lebih kecil dari 2, 22, ... , dan 2q.
Barisan Sobol xnj ( n = ∑i = 0 bi 2 i , bi ∈ {0, 1}) dalam dimensi j dihasilkan oleh
w
xnj = b1v1j ⊕ b2 v2j ⊕ Κ ⊕ bw vwj
(2.22)
Sebuah polinom primitif yang berbeda harus digunakan untuk menghasilkan
barisan Sobol di masing-masing dimensi.
Contoh barisan kuasi acak Sobol dapat dilihat pada tabel 2.2 dan pada gambar
2.3 merupakan salah satu contoh hasil plotting terhadap 1000 bilangan quasi-random
menurut barisan Sobol dengan dimensi = 2.
N
Dimensi = 1
(Basis 2)
Dimensi = 2
(Basis 3)
Dimensi = 3
(Basis 5)
1/2
3/4
1/4
3/8
7/8
5/8
1/8
3/16
1/2
1/4
3/4
3/8
7/8
1/8
5/8
5/16
1/2
3/4
1/4
5/8
1/8
3/8
7/8
5/16
1
2
3
4
5
6
7
8
dst
Tabel 2.2
Contoh Barisan Kuasi Acak Sobol
17
Gambar 2.3 Hasil Plotting Menggunakan R Language Terhadap 1000 Bilangan QuasiRandom Menurut Barisan Sobol Dengan Dimensi = 2
2.5 Reduksi Ragam
Metode ini digunakan untuk meningkatkan keakuratan dan efisiensi dari simulasi
Monte Carlo yaitu dengan cara mereduksi ragam. Ada dua metode untuk mereduksi
ragam yaitu metode variabel Antitetis dan metode Kontrol Variat.
2.5.1
Metode Monte Carlo – Variabel Antitetis
Pada prinsipnya langkah-langkah simulasi Monte Carlo variabel antitetis sama
dengan simulasi Monte Carlo hanya saja variabel antitetis menggunakan
n
peubah acak
2
dengan melibatkan perhitungan dua nilai harga option. Misalkan f1 adalah nilai option
18
yang dihitung dengan menggunakan peubah acak ε , maka f2 adalah nilai option yang
dihitung dengan menggunakan peubah acak - ε . Maka estimator baru yang digunakan
adalah :
F baru =
f1 + f 2
2
(2.23)
Prosedur ini bekerja dengan baik karena bila salah satu nilai berada di atas harga option
aslinya, maka nilai lainnya akan berada di bawah harga option aslinya yang akan
mengurangi standar deviasi sehingga membuat harga option menjadi lebih akurat.
2.5.2
Metode Monte Carlo – Kontrol Variat
Metode Monte Carlo – kontrol variat berdasarkan fakta bahwa apabila nilai
harapan dari suatu peubah acak berkolerasi terhadap peubah acak yang diambil sebagai
sampel maka estimasi dari error dapat diperkecil yaitu dengan cara menggunakan dua
peubah acak yang mempunyai nilai hampir sama. Misalkan X adalah peubah acak
dengan estimator rata-ratanya E(X) dan Y sebagai peubah acak lainnya yang nilainya
dekat dengan X dengan estimator rata-ratanya E(Y), maka peubah acak barunya adalah
Z = X + E(Y) – Y
(2.24)
Di mana Y disebut kontrol varaiat dan nilai estimator Z inilah yang akan dipakai dalam
simulasi Monte Carlo.
Prosedur kontrol variat ini di dalam simulasi Monte Carlo akan melibatkan perhitungan
nilai eksak E(Y) yang dapat dicari dengan menggunakan formula Black-Scholes dengan
perataan geometrik. Adapun langkah-langkah perhitungan nilai eksak yaitu :
19
1.
Hitung nilai ekspektasi dan variasi dari perataan geometric
2
σ =
2
(n + 1)(2n + 1) 2
σ T
6n 2
(2.25)
Hitung
d1
=
d2
=
σ2
⎛ S0 ⎞ ⎛
ln⎜ ⎟ + ⎜⎜ r +
2
⎝X ⎠ ⎝
σ T
⎞
⎟⎟T
⎠
d1- σ T
3.
Cari N(d1) dan N(d2) yang merupakan fungsi distribusi kumulatif normal (0,1).
4.
Hitung nilai eksak, misalnya nilai eksaknya adalah g, maka rumusnya adalah
g = e − rT (S0ert N(d1) – XN(d2))
2.6
(2.26)
R language
R adalah suatu sistem untuk komputasi statistika dan grafik yang dapat
dijalankan pada platform UNIX, Windows, dan MacOS. R menyediakan banyak hal
diantaranya, sebuah bahasa pemrograman, teknik statistika dan grafik tingkat tinggi
(model linier dan nonlinear), pengujian statistika, analisis deret waktu, klasifikasi,
kluster, akses ke bahasa pemrograman yang lainnya dan fasilitas perbaikan kesalahan
(debug).
Beberapa hal yang dimiliki oleh R antara lain :
1. Pengaturan data dan fasilitas penyimpanan yang efektif.
2. Operator yang cocok untuk perhitungan array dan matrik.
3. Koleksi yang tergabung dan besar dari alat yang bisa digunakan untuk analisis data.
20
4. Fasilitas grafik untuk analisis data.
5. Bahasa pemograman yang sederhana, efektif dan dikembangkan dengan baik yang
meliputi syarat, pengulangan, fungsi rekursif dan fasilitas input serta output.
R language adalah versi lain dari S. R dikembangkan pada laboratorium Bell
oleh John M Chambers dan rekan-rekan pada tahun 1980 dan sejak itu telah dipakai
secara luas dalam komunitas statistika. John M Chambers sendiri telah mendapat
penghargaan ”1998 ACM Software Systems For S”. Ada banyak kesamaan antara S dan
R, namun ada juga beberapa perbedaan yang penting. R dipakai jika kita ingin
menggunakan software yang bisa diperoleh secara gratis dengan cara men download dari
http://www.r-project.org. Versi terbaru dari R language adalah versi {2.6.1} {tanggal 26
November 2007}. Untuk mengikuti perkembangan software R, maka penelitian ini
menggunakan R versi terbaru. Sintaks yang digunakan dalam R memiliki sedikit
kesamaan dengan C language. Kelebihan dari R adalah menyediakan ”computing on the
language” yang memungkinkan untuk membuat suatu fungsi yang mengambil sebuah
ekspresi sebagai input, sesuatu yang sangat sering digunakan dalam permodelan
statistika dan grafik. R sudah menyediakan banyak paket-paket fungsi yang bisa
digunakan untuk komputasi statistika, tetapi fungsi-fungsi tersebut bisa dikodekan
sendiri, mengingat beberapa pengguna lebih suka menulis sendiri kode dan fungsi yang
akan dipakai.