Materi ke-11 2014

Integral - II
Dr. Eko Pujiyanto, S.Si., M.T.
[email protected]
081 2278 3991
eko.staff.uns.ac.id/kalkulus1
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Materi
Fungsi Logaritma
Turunan Fungsi Logaritma
Fungsi Eksponensial
Turunan Fungsi Eksponensial
Integral Fungsi Logaritma dan
Eksponensial
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Fungsi Logaritma
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Fungsi Logaritma
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Fungsi Logaritma
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Turunan Fungsi Logaritma
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Turunan Fungsi Logaritma
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Fungsi Eksponensial
ex
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Fungsi Eksponensial
Berapa nilai e
x
1
Ingat definisi ln x = ∫ dt ⇒ ln e =
t
1
e
1
∫1 t dt = 1
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Fungsi Eksponensial
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Turunan Fungsi Eksponensial
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Turunan Fungsi Eksponensial
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Integral Fungsi Logaritma
dan Eksponensial
Teorema 1
dx
(a ) ∫ = ln x + C
x
(b ) ∫ e
x
dx = e + C
x
Rumus Integral Parsial
udv
=
uv
−
vdu
∫
∫
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Integral Fungsi Logaritma
dan Eksponensial
Contoh 1
(
xdx
x −1 +1
x − 1) + 1
∫ x − 1 = ∫ x − 1 dx = ∫ x − 1 dx
(
1
x − 1)
=∫
dx + ∫
dx
x −1
x −1
1
= ∫ 1.dx + ∫
dx = x + ln x − 1 + C
x −1
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Integral Fungsi Logaritma
dan Eksponensial
Contoh 2
1+ ex
1 − e x + 2e x
∫ 1 − e x dx = ∫ 1 − e x dx
1− ex
2e x
=∫
dx + ∫
dx
x
x
1− e
1− e
x
2e
x
= ∫ 1.dx + ∫
dx = x − 2 ln 1 − e + C
x
1− e
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Integral Fungsi Logaritma
dan Eksponensial
Contoh 3
∫ ln x dx ⇒ u = ln x
du 1
=
dx x
& dv = dx
& v=x
∫ ln x dx = x ln x − ∫ dx = x ln x − x + C
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Integral Fungsi Logaritma
dan Eksponensial
Teorema 2
x
a
∫ a dx = ln a + C , a > 0 & a ≠ 1
x
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Integral Fungsi Logaritma
dan Eksponensial
Contoh 4
2 − ln x
dx
∫1 x dx ⇒ u = ln x → du = x
e
−u
−u
2
du
=
−
2
∫
∫ d (−u)
−u
− ln x
 2
2
=−
→  −
ln 2  ln 2
e
(

1 −ln e
 = −
2 − 2 −ln1
ln 2
1
1 −1 −0
1 −1
2 −2 = −
=−
2 −1
ln 2
ln 2
1  1 1 1
=−
= 0.5 * 0.69 = 0.3
−  =
ln 2  2  2 ln 2
(
)
(
)
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
)
Integral Fungsi Logaritma
dan Eksponensial
Latihan
1− e
1. ∫
dx
x
1+ e
x
2. ∫ esin x sin 2 xdx
3. ∫ ln 2 xdx
4.∫ sin (ln x )dx
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Integral Fungsi Logaritma
dan Eksponensial
Latihan
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Inspirasi Hari Ini
Jika Anda dapat memimpikannya,
Anda dapat melakukannnya.
Ingatlah, semua ini diawali dengan
seekor tikus,
Tanpa inspirasi.... kita akan binasa.
Walt Disney,
Pendiri Walt Disney Corporation
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret