MATRIKS definisi

MATRIKS
a. Konsep Matriks
definisi
Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan
baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau
persegipanjang dan diletakkan di dalam kurung biasa “( )”
atau kurung siku “[ ]”
Pelabelan matriks menggunakan huruf kapital.
𝐴𝑚 × 𝑛
𝑎11
𝑎21
𝑎31
=
⋮
𝑎
( 𝑚1
𝑎12
𝑎22
𝑎32
⋮
𝑎𝑚2
𝑎13
𝑎23
𝑎33
⋮
𝑎𝑚3
. . . 𝑎1𝑛
. . . 𝑎2𝑛
. . . 𝑎3𝑛
⋮
. . . 𝑎𝑚𝑛 )
baris ke-1
baris ke-2
baris ke-3
baris ke-m
kolom ke-n
kolom ke-3
kolom ke-1
kolom ke-2
Ordo (ukuran atau dimensi) suatu matriks adalah bilangan asli yang
menyatakan banyaknya baris dan kolom. Misalkan matriks 𝐴 terdiri atas 𝑚
baris dan 𝑛 kolom, maka matriks 𝐴 dikatakan berordo 𝑚 × 𝑛 dan ditulis
𝐴𝑚 × 𝑛
b. Jenis-Jenis Matriks
 Matriks Baris
Suatu matriks dikatakan matriks baris jika terdiri dari satu baris saja.

Matriks Kolom
Suatu matriks dikatakan matriks kolom jika terdiri dari kolom saja.

Matriks Persegipanjang
Matriks persegipanjang adalah matriks yang banyak barisnya tidak sama
dengan banyak kolomnya. Matriks seperti ini memiliki ordo 𝑚 × 𝑛

Matriks Persegi
Sebuah matriks dinamakan matriks persegi jika banyaknya baris dan
banyaknya kolom sama. Jika banyak baris matriks persegi adalah 𝑛 maka
banyaknya kolom juga 𝑛 , sehingga ordo matriks 𝐴 adalah 𝑛 × 𝑛 . Sering
kali matriks disebut dengan matriks ordo-𝑛.
𝑎11
𝐴 = (𝑎21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13
𝑎23 )
𝑎33
diagonal samping
diagonal utama

Matriks Segitiga
Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang semua elemen di bawah
diagonal utamanya 0 dan elemen yang lainnya selain 0. Contoh:
6 2
𝑇 = (0 3
0 0
10
4)
−1
Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang semua elemen di atas
diagonal utamanya 0 dan elemen yang lainnya selain 0, contoh:
2 0 0
𝑆 = ( 10 4 0)
−3 2 5

Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks persegi dengan elemen-elemen diagonal
utamanya tidak nol dan semua elemen lainnya nol. Contoh:
11
4 0
𝐾= (
) atau 𝐿 = ( 0
0 10
0

Matriks Identitas
Matriks identitas atau matriks satuan adalah matriks persegi dengan semua
elemen pada diagonal utama adalah 1 dan elemen lain semuanya 0.
1
𝐼= (
0

0 0
−1 0)
0 7
1 0
0
) atau 𝐼 = (0 1
1
0 0
0
0)
1
Matriks Nol
Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya adalah bilangan nol.
c. Transpose Matriks
Transpose dari suatu matriks 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑚 ×𝑛 dilambangkan dengan 𝐴𝑇 atau 𝐴′
adalah suatu matriks yang diperoleh dari matriks 𝐴𝑚 × 𝑛 dengan menukarkan
letak baris dan kolom dari matriks tersebut.
Contoh:
−4 3
𝐷= (7
0)
5 −9
−4 7
3 0
𝐷𝑇 = (
5
)
−9
d. Kesamaan Matriks
definisi
Dua buah matriks 𝐴 dan 𝐵 dikatakan sama, ditulis 𝐴 = 𝐵 jika
syarat berikut dipenuhi :
1. Matriks 𝐴 dan 𝐵 mempunyai ordo yang sama
2. Setiap elemen yang seletak pada matriks 𝐴 dan 𝐵
adalah
sama
e. Operasi Aljabar pada Matriks
 Penjumlahan
definisi

definisi
Misalkan 𝐴 dan 𝐵 adalah dua matriks yang berordo sama. Jumlah dari
𝐴 dan 𝐵 ditulis 𝐴 + 𝐵 adalah suatu matriks yang berordo yang
diperoleh dengan cara menjumlahkan setiap elemen matriks yang
seletak.
Pengurangan
Misalkan 𝐴 dan 𝐵 adalah dua matriks yang berordo sama. Selisih 𝐴
dan 𝐵 ditulis 𝐴 − 𝐵 adalah jumlah dari matriks 𝐴 dengan lawan dari
matriks 𝐵 .
𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + (−𝐵)
Lawan suatu matriks
𝐴
adalah suatu matriks yang diperoleh dengan cara
mengambil lawan bilangan dari setiap elemen matriks . Lawan dari matriks
𝐴𝑚×𝑛 = (𝑎𝑖𝑗 ) adalah −𝐴𝑚×𝑛 = (−𝑎𝑖𝑗 )
Untuk setiap matriks 𝐴, 𝐵, dan 𝐶 yang berordo sama berlaku:
1. 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 sifat komutatif
2. 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) = (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 sifat asosiatif
3. 𝐴 + 0 = 0 + 𝐴 = 𝐴 sifat matriks 0
4. Untuk setiap matriks 𝐴 terdapat matriks 𝐵 yang berordo sama,
sehingga 𝐴 + 𝐵 = 0 dengan 0 adalah matriks nol yang berord
sama dengan matriks 𝐴 . Matriks 𝐵 ditulis sebagai 𝐵 = −𝐴,
dengan elemen-elemen matriks 𝐵𝑚×𝑛 = (𝑏𝑖𝑗 )
5. 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + (−𝐵)
6. 𝐴 + (−𝐴) = (−𝐴) + 𝐴 = 0 sifat lawan matriks A
7. Terdapat matriks 𝑋 sedemikian sehingga 𝐴 + 𝑋 = 𝐵
𝑋 =𝐵−𝐴
8. Jika 𝐴𝑇 adalah transpose matriks 𝐴 dan 𝐵𝑇 adalah transpose
Perkalian skalar/bilangan
matriks 𝐵 , makareal
: terhadap Matriks
𝑇
a. (𝐴 + 𝐵) = 𝐴𝑇 + 𝐵𝑇
b. (𝐴 − 𝐵)𝑇 = 𝐴𝑇 − 𝐵𝑇
teorema

definisi
Perkalian bilangan real atau skalar 𝑘 dengan matriks , ditulis 𝑘𝐴
adalah suatu matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen
di 𝐴 dengan bilangan real atau skalar 𝑘
Sifat-sifat perkalian bilangan real terhadap matriks
teorema

definisi
Untuk setiap matriks 𝐴 dan 𝐵 yang berordo sama dan untuk setiap
bilangan-bilangan 𝑘1 dan 𝑘2 berlaku:
1. (𝑘1 𝑘2 )𝐴 = 𝑘1 ( 𝑘2 𝐵) = 𝑘2 (𝑘1 𝐴)
2. 𝑘1 (𝐴 + 𝐵) = 𝑘1 𝐴 + 𝑘1 𝐵 sifat distributif
3. (𝑘1 + 𝑘2 )𝐴 = 𝑘1 𝐴 + 𝑘2 𝐴 sifat distributif
4. 0 . A = 0 (matriks nol)
5. 1 . A = A
6. (-1) A = -A
7. A + A = 2A
A + A + A = 3A …
Perkalian Dua Matriks
Misalnya A adalah matriks berordo 𝐴 dan 𝐵 adalah 𝑚 × 𝑝 matriks 𝑝 × 𝑛
(banyak kolom matriks 𝐴 = banyak baris matriks 𝐵). Hasilkali dari 𝐴 dan 𝐵
ditulis 𝐴𝐵 adalah suatu matriks berordo 𝑚 × 𝑛
Sifat-sifat perkalian matriks terhadap matriks
teorema
Jika penjumlahan dan perkalian dari setiap matriks berikut terdefinisi,
maka:
1. (𝐴𝐵 )𝐶 = 𝐴(𝐵𝐶) sifat asosiatif
2. 𝐴(𝐵 + 𝐶) = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 sifat distributif kiri
3. (𝐵 + 𝐶)𝐴 = 𝐵𝐴 + 𝐶𝐴 sifat distributif kanan
4. 𝑘(𝐴𝐵) = (𝑘𝐴)𝐵 = 𝐴(𝑘𝐵) dengan k skalar
5. Jika A adalah suatu matriks persegi berordo 𝑛 × 𝑛 dan I adalah
matriks identitas 𝑛 × 𝑛 , maka A × I = I × A = A
6. Perkalian matriks pada umumnya tidak komutatif. AB ≠ BA (kecuali
matriks-matriks khusus)
7. a. Jika AB = 0 belum tentuk A = 0 atau B = 0
b. Jika AB = AC, belum tentu B = C
8. Jika AT dan BT berturut-turut adalah transpose dari matriks A dan B,
maka (AB)T = BT AT
9. Jika 0 adalah matriks nol berordo sama dengan matriks A, maka
A×0=0×A= 0

Perpangkatan
𝐴2 = 𝐴 . 𝐴
𝐴3 = 𝐴2 . 𝐴
𝐴4 = 𝐴3 . 𝐴
…. dst
𝐴𝑛 = 𝐴𝑛−1 . 𝐴 = 𝐴 . 𝐴𝑛−1