Bahan Ajar-2 Fistum FI571

26
Berdasarkan apa yang sudah kita pelajari dalam modul 4 kegiatan belajar 1, maka dapat
kita simpulkan sebagai berikut : ruang Hilbert adalah ruang vektor linier dengan dimensi
tak hingga yang memiliki produk skalar dan bersifat lengkap. Elemen - elemen dari ruang
Hilbert ialah vektor ket dan vektor bra. Hubungan antara vektor ket dan vektor bra adalah
antilinier. Analogi ruang Hilbert dengan ruang fungsi gelombang adalah sebagai berikut
ψ ∈ ruang gelombang ↔ ψ ∈ ℵ . Suatu set {U i }dikatakan basis dalam ruang ℵ bila
setiap ψ ∈ ℵ dapat dijabarkan kedalam basis tersebut ψ = ∑ C i U i . Dua hubungan
i
antar basis dalam ruang ℵ adalah orthonormal dan relasi closure. Suatu vektor
dijabarkan ke dalam komponen. Suatu vektor dijabarkan kedalam komponen – komponen
vektornya, sedangkan suatu operator dijabarkan oleh elemen- elemen matriksnya.
Representasi matriks suatu vektor ket ialah berupa matriks kolom, sedangkan vektor bra
berupa matriks baris. Berdasarkan haltersebuat maka perkalian sklar dua vektor ket
adalah berupa bilangan. Elemen – elemen matriks suatu operator dalam basis
{U }
i
didefinisikan sebagai berikut U i Aˆ U j = Aij . Matriks – matriks dari sebuah operator
mempunyai sifat – sifat diantaranya simetris, antisimetris, orthogonal dan lain- lain.
Representasi keadaan suatu sistem dalam ruang Hilbert menurut notasi dirac ini umum
digunakan dalam menjabarkan permasalahan- permasalahan mekanika kuantum.
I. Pilihlah satu jawaban yang benar untuk soal – soal dari no. 1 – no. 4.
1. Hermitian adjoint dari pernyataan berikut λ ψ Aˆ ϕ V W ( dengan A adalah
operator dan λ bilangana kompleks) ialah
A. λ ψ Aˆ + ϕ V W
B. λ* V W ϕ Aˆ ψ
C. λ* W V ϕ Aˆ + ψ
D. λ ψ Aˆ ϕ W V
2. Manakah diantara matriks – matriks dibawah ini yang hermitian
 2i − 4 

A. 
6 3 
27
 − 2 i 3

B. 

−
i
3
6


 1 i 2

C. 

i
2
3


2
i
3



D. 
 4 − 2i 
3. Manakah diantara operator- operator matriks dibawah ini yang bersifat uniter
ˆ
A. Tˆ = e iA , bila  hermitian
1 + iAˆ
B. Dˆ =
, bila  tak hermitian
1 − iAˆ
i − iAˆ
C. Dˆ =
, bila  hermitian
1 + iAˆ
ˆ
D. Tˆ = e −iA , bila  tak hermitian
 a11 a12 a13 


ˆ
4. Tarce dari operator  berikut, dengan A =  a 21 a 22 a 23  ialah
a

 31 a32 a33 
A. a11 ⋅ a 22 ⋅ a33
B. a 21 + a31 + a32
C. a12 + a13 + a 23
D. a11 + a22 + a33
II. ESSAI
1. Fungsi eigen dari operator hermitian Ĥ ialah ψ n . Kita asumsiskan bahwa
keadaan
ψn
membentuk basis orthonormal diskrit. Suatu operator Û
didefinisikan sebagai berikut
Uˆ (m, n ) = ψ m ψ n
a) Hitunglah Uˆ (m, n )
[
]
b) Hitunglah komutator dari Hˆ , Uˆ (m, n )
c) Buktikanlah Uˆ (m, n )Uˆ + ( p, q ) = δ nqUˆ (m, p )
28
d) Misalkan
Â
adalah operator dengan
elemen – elemen matriks
Amn = ψ m Aˆ ψ n buktikan lah bahwa A = ∑∑ AmnUˆ (m, n )
m
n
2. Representasi matriks untuk persamaan nilai eigen dapat diungkapkan sebagai
berikut Hˆ U i = hi U i . Tentukanlah persamaan keadaan tersebut dalam bentuk
matriks untuk i = 4 .
Kunci jawaban Tes Formatif KB 1
I. Pilihan ganda
1. C
penjelasan
λ ψ Aˆ ϕ V W
(
(λ ψ Aˆ ϕ
(λ ψ Aˆ ϕ
)
V W )
V W )
+
= V W
+
+
ψ Aˆ ϕ λ+
+
= W V ϕ Aˆ + ψ λ*
+
= λ* W V ϕ Aˆ + ψ
2. B
Penjelasan
Harus dibuktikan bahwa Aˆ + = Aˆ T * = Aˆ
+
 − 2 i 3
 −2

 =
− i 3 6 
− i 3



3. A
Penjelasan
Harus dibuktikan bahwa
hermitian.
ˆ +
ˆ+
Tˆ + = e iA = e −iA karena
( )
ˆ+
ˆ
Tˆ + = e − iA = e − iA , maka
ˆ
ˆ
TˆTˆ + = e iA e − iA = 1
i 3

6 
T*
*
 − 2 − i 3  − 2 i 3
 =

= 
 − i 3 6 
i
3
6

 

ˆ
TˆTˆ + = 1 atau Dˆ Dˆ + = 1 , untuk Tˆ = e iA dengan
Â
 hermit maka Aˆ + = Aˆ , sehingga
( )
ˆ
ˆ
bila anda memilih Tˆ = e − iA dengan  tak hermitian. Tˆ + = e −iA
ˆ
ˆ
ˆ+ ˆ
 tak hermit maka Aˆ + ≠ Aˆ , maka TˆTˆ + = e − iA e iA+ = e iA −iA ≠ 1
+
ˆ+
= e iA , karena
29
4. D
Penjelasan
Lihat definisi trace suatu operator
TrAˆ = ∑ ai
i
yaitu trace dari suatu operator sama dengan jumlah dari elemen – elemen
diagonalnya.
II. ESSAI
1. d
a) Uˆ + (m, n ) = ( ψ m ψ n
b)
)
+
= ψn ψm
[Hˆ ,Uˆ (m, n)] = Hˆ Uˆ (m, n) − Uˆ (m, n)Hˆ
[Hˆ ,Uˆ (m, n)] = Hˆ ψ ψ − ψ ψ Hˆ
m
n
m
dari
n
persamaan
nilai
eigen
Hˆ ϕ m = E m ϕ m
ϕ n Hˆ = ϕ n E n
maka persamaan diatas menjadi
[Hˆ ,Uˆ (m, n)] = E ψ ψ − ψ
[Hˆ ,Uˆ (m, n)] = (E − E )ψ ψ
[Hˆ ,Uˆ (m, n)] = (E − E )Uˆ (m, n)
Uˆ (m, n )Uˆ ( p, q ) = ψ ψ (ψ
m
c)
m
n
m
n
m
n
m
m
n
n
p
+
m
ψ n En
ψq
Uˆ (m, n )Uˆ + ( p, q ) = ψ m ψ n ψ q ψ p
)
+
diketahui bahwa keadaan
membentuk basis orthonormal diskrit, maka
ψ n ψ q = δ nq
jadi terbukti bahwa
Uˆ (m, n )Uˆ + ( p, q ) = δ nq ψ m ψ p = δ nqUˆ (m, p )
ψn
30
d) bukti
Aˆ = ∑∑ AmnUˆ (m, n )
m
n
Aˆ = ∑∑ ψ m Aˆ ψ n ψ m ψ n
m
n
Aˆ = ∑∑ ψ m ψ m Aˆ ψ n ψ n
m
n
Aˆ = ∑ ψ m ψ m Aˆ ∑ ψ n ψ n
m
n
Aˆ = 1 ⋅ Aˆ ⋅ 1
Aˆ = Aˆ
2. Hˆ U i = hi U i
produk skalarkan kedua ruas dengan basis U j dari kiri
U j Hˆ U i = hi U j U i
gunakan
U j Hˆ ⋅ 1 U i = hi U j U i
∑U
j
Hˆ U k U k U i = hi U j U i
k
∑ Hˆ
jk
a k(i ) = hi a (ji )
k
untuk i = 4 maka
 h11

 0
 0

 0
 ...

0
h22
0
0
...
0
0
h33
0
...
0
0
0
h44
...
...  0 
0
 
 
...  0 
0



... 0 = h4  0 
 
 
...  1 
1



 ... 
...  ... 
 
relasi
closure
31
TRANSFORMASI UNITER
2.1.
Transformasi Uniter
Transformasi Uniter ialah transformasi yang menghubungkan dari satu basis ke
basis lainya dalam ruang Hilbert
basis lama {U i
}
―›
basis baru { t n } .
Perubahan basis didefinisikan oleh komponen spesifiknya U i t n
S in = U i t n
―›
(S )
+
ni
= (S in ) = t n U i
*
matriks transformasi S ini bersifat uniter S + S = SS + = 1
buktikanlah bahwa S bersifat uniter.
Transformasi Komponen – Komponen Vektor Keadaan (ket)
sekarang mari kita pelajari bagaimana komponen – komponen dari sembarang
vektor keadaan dalam basis lama di transformasi ke komponen dalam basis baru
dan sebaliknya. Misalkan vektor keadaan ψ
ingin ditransformasi ke basis baru { t n
semula dalam basis lama
} maka dilakukan sebagai berikut
{U }
i
:
t n ψ = t n 1ψ
tn ψ = ∑ tn U i U i ψ
i
t n ψ = ∑ S ni+ U i ψ
i
pada persamaan tersebut U i ψ
adalah komponen ψ dalam basis lama, S ni+
adalah matriks transformasi yang akan mentransformasikan komponen ψ dalam
basis lama ke komponen ψ dalam basis baru t n ψ .
Kebalikanya dapat dijelaskan dengan cara yang sama
U i ψ = U i 1ψ
U i ψ = ∑ U i tn tn ψ
i
U i ψ = ∑ S in t n ψ
i
32
komponen ψ dalam basis baru t n ψ di transformasi oleh matriks transformasi
S in sehingga berubah menjadi komponen ψ dalam basis lama U i ψ .
Jika ϕ dan ψ adalah dua vektor sembarang dalam ruang Hilbert maka dengan
transformasi basis S, vektor – vektor tersebut ditransformasi menjadi ϕ ' dan ψ '
sebagai berikut
ϕ' = S ϕ
ψ' = Sψ
dengan transformasi seperti itu perkalian skalar kedua vektor tersebut tidak akan
berubah
ψ ' ϕ ' = ψ S + S ϕ = ψ S −1 S ϕ
ψ ' ϕ' = ψ 1ϕ
ψ ' ϕ' = ψ ϕ
bila kita misalkan ψ = ϕ maka akan diperoleh
ϕ' ϕ' = ϕ ϕ
jadi dengan demikian Transformasi Uniter tidak mengubah panjang vektor dan
sudut antara kedua vektor tersebut.
Transformasi Uniter Komponen – Komponen suatu bra
Misalkan kita ingin mentransformasi komponen suatu Bra yang semula dalam
basis lama ψ U i menjadi komponen bra dalam basis baru ψ t n . Untuk
melakukan perubahan basis tersebut dilakukan Transformasi Uniter berikut :
ψ tn = ψ 1 tn = ∑ ψ U i U i tn
i
ψ t n = ∑ ψ U i S in
i
dengan cara yang sama kebalikanya dapat dilakukan Transformasi Uniter sebagai
berikut :
ψ U i = ψ 1 U i = ∑ ψ tn tn U i
i
ψ U i = ∑ ψ tn S
+
ni
i
Transformasi Uniter Komponen - Komponen Matriks Suatu Operator
33
Pada uraian sebelumnya anda sudah mempelajari bagaimana menentukan elemen
– elemen suatu operator. Sekarang kita pelajari bagaimana mentransformasi
elemen matriks suatu operator dalam basisi lama U i Aˆ U j
elemen operator yang sama dalam basis baru t n Aˆ t m
menjadi elemen –
atau sebaliknya. Untuk
melakukan perubahan tersebut dilakukan Transformasi Uniter sebagai berikut :
t n Aˆ t m = t n 1 ⋅ Aˆ ⋅ 1 t m
t n Aˆ t m = ∑∑ t n U i U i Aˆ U j U j t m
i
j
(
Anm = ∑∑ S ni+ Aij S jm = S + AS
i
)
nm
j
karena S bersifat uniter maka bisa juga ditulis
Anm = ∑∑ S ni−1 Aij S jm
(
i
j
−1
Anm = S AS
)
nm
sebaliknya elemen - elemen matriksdalam basis lama ingin dinyatakan atau
dijabarkan dalam elemen – elemen basis baru, maka dilakukan Transformasi
Uniter berikut :
U i Aˆ U j = U i 1 ⋅ Aˆ ⋅ 1 U j
U i Aˆ U j = ∑∑ U i t n t n Aˆ t m t m U j
n
m
(
Aij = ∑∑ S in Anm S mj+ = SAS +
n
)
ij
m
atau
−1
Aij = ∑∑ S in Anm S mj
(
n
m
Aij = SAS −1
2.2.
)
ij
Representasi Energi
Kotak satu dimensi
Dalam representasi energi, Hamiltonian adalah diagonal. Representasi ini
mencakup basis berupa fungsi –fungsi eigen dari operator Hamiltonian. Dalam
modul pengantar fisika kuantum atau dalam fisika modern, anda sudah
mempelajari bagaimana menentukan fungsi eigen dan nilai eigen dari partikel
yang terperangkap dalam kotak satu dimensi . Energi partikel diungkapkan oleh
34
En =
h2
= E1 n 2
32m0 L2
dengan fungsi eigen atau spektrum fungsi eigen
2
nπx
sin
L
L
ϕn =
Basis dimana Hamiltonianya diagonal ialah
Β=
2  πx
2πx
3πx 
, sin
,....
sin , sin
L
L
L
L

dan representasi Hamiltonianya adalah
1

0
ˆ
H = E1  0

0
 ...

0
4
0
0
...
0 0 ... 

0 0 ... 
9 0 ... 

0 .... ... 
... ... n 2 
Osilator harmonik sederhana
Anda sudah mempelajari bagaimana menentukan spektrum nilai eigen dan
spektrum fungsi eigen pada permasalahan osilator harmonis sederhana satu
dimensi dalam pengantar fisika kuantum. Spektrum fungsi eigenya diungkapkan
oleh
ϕ n (β ) = An ℜ n (β )e
1
− β2
2
dengan An adalah konstanta normalisasi
dan ℜ n (β ) adalah polynomial hermite.
Untuk osilator harmonis ini basis yang mendiagonalkan Hamiltonian Ĥ adalah
Β=e
−
β2
2
{A1ℜ1 , A2 ℜ 2 ,....}
Β = {1 , 2 , 3,... }
Spektrum energi dari osilator harmonis satu dimensi ini adalah
1

 2n + 1 
E n =  n +  hω = 
 hω
2

 2 
reprexentasi matriks dari Hamiltonian ini adalah
35
1

2
0

Hˆ = hω 
0

0
 ...


... 

0 0
... 


5
0
... 
2

0. ...
... 
2n + 1 
... ...

2 
0
0
3
2
0
0
...
0
Operator posisi dan Momentum
Sekarang marilah kita hitung representasi matriks dari operator posisi dan
operator momentum untuk osilator harmonik dalam representasi energi.
Hubungan antara observable atau besaran dinamis posisi dam momentum dengan
operator – operatornya ialah
xˆ =
pˆ =
mω
x
h
1
mhω
p
sedangkan untuk Hamiltonian ialah
Hˆ = hωHˆ
didefinisikan operator kreasi dan anihilasi yang dinotasikan oleh a + dan a
hubungan kedua operator tersebut dengan operator posisi dan momentum adalah
sebagai berikut
a=
a+ =
1
2
1
(xˆ + ipˆ )
2
(xˆ − ipˆ )
atau
xˆ =
pˆ =
1
2
i
2
(a
+
(a
+
+a
)
−a
)
36
Bila operator kreasi dan anihilasi itu dioperasikan pada sembarang vektor ket
maka
a + ϕ n = n + 1 ϕ n +1
a ϕ n = n ϕ n −1
Dapat kita lihat bahwa operator kreasi akan menaikan sedangkan operator
anihilasi menurunkan. Bila kedua operator itu di operasikan pada vektor bra maka
ϕ n a + = n ϕ n −1
ϕ n a = n + 1 ϕ n +1
Sekarang tinjau suatu observable bekerja pada suatu vektor ket
x ϕn =
h
xˆ ϕ n
mω
x ϕn =
h 1 +
a + a ϕn
mω 2
x ϕn =
h
a+ ϕn + a ϕn
2mω
x ϕn =
h
2mω
(
)
{
{ n +1 ϕ
n +1
}
+ n ϕ n−1
}
Repersentasi matriks dari operator posisi tersebut ialah
ϕk x ϕn =
x kn =
h
2mω
h
2mω
{ n +1 ϕ
{ n + 1δ
k , n +1
k
ϕ n +1 + n ϕ k ϕ n −1
+ nδ k ,n −1
}
Dengnan k dan n adalah integer positif
Representasi matriksnya ialah
x=
0

 1
h 
0
2mω 
0

 ...
1
0
0
2
2
0
0
3
...
...
... 

0 ... 

3 ... 
0 ... 

... ... 
0
sedangkan untuk operator momentum ialah
}
37
p ϕ n = mhω pˆ ϕ n
i
p ϕ n = mhω
2
(a
+
)
− a ϕn
p ϕn = i
mhω +
a ϕn − a ϕn
2
p ϕn = i
mhω
2
(
{ n +1 ϕ
n +1
)
− n ϕ n−1
}
representasi matriksnya ialah
mhω
2
ϕk p ϕn = i
p kn = i
mhω
2
{ n +1 ϕ
{ n + 1δ
k , n +1
 0

− 1
m hω 
p=i
0
2 
 0

 ...
k
ϕ n +1 − n ϕ k ϕ n −1
− nδ k ,n −1
1
0
}
0
2
− 2
0
0
...
− 3
...
0
0
3
0
...
... 

... 

... 
... 

... 
Representasi matriks operator kreasi dan anihilasi
dari persamaan sebelumnya
a + ϕ n = n + 1 ϕ n +1
kalikan dengan
ϕ k dari sebelah kiri maka
ϕ k a + ϕ n = n + 1 ϕ k ϕ n +1
a kn+ = n + 1δ kn+1
matriksnya ialah
}
38
a+



=




0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
3
0
0
...
...
...
...
1
... 

... 
... 

... 
... 
dan untuk operator anihilasi
a ϕ n = n ϕ n −1
ϕ k a ϕ n = n ϕ k ϕ n −1
a kn+ = nδ k ,n −1
matriksnya adalah
0

0
a=
0
 ...

1
0
0
2
0
0
0
...
0
...
3
...
... 

... 

... 
n 
kita dapat mempelajari lebih jauh bagaimana pengaruh operator kreasi dan
anihilasi terhadap fungsi eigen. Sudah kita pelajari sebelumnya bahwa fungsi
eigen – fungsi eigen
{ n } untuk Hamiltonian osilator harmonik adalaha vektor
kolom dengan elemen yang tak nol hanya pada baris ke (n + 1) seperti berikut
1
 
0
0 =0
 
0
 ... 
 
0
 
1
1 = 0
 
0
 ...
 
0
 
0
2 = 1
 
0
 ... 
 
keadaan eigen bergantung waktu dari operator Ĥ adalah
ψ 0 ( x , t ) = e − iω t 2 0
0
ψ 0 ( x , t ) = e − iω t
0
1
 
2 0
0
 
 ... 
 
39
ψ 1 ( x, t ) = e −3iω t 2 1
0
ψ 1 ( x , t ) = e − 3 iω t
0
0
 
2 1
0
 
 ... 
 
ψ 2 ( x, t ) = e −5iω t 2 2
0
ψ 2 ( x , t ) = e − 5 iω t
0
0
 
2 0 
1
 
 ... 
 
Sekarang kita coba operasikan â dan â + pada ket diatas misalkan pada 2 untuk
operator anihilasi dapat diungkapkan sebagai berikut :
0

0
aˆ 2 =  0
0

 ...
1
0
0
0
...
0
2
0
0
...
0
0
3
0
...
0
0
0
4
...
...  0 
 
...  0 

...  1 
...  0 
 
...  ... 
0
 
1
aˆ 2 = 2  0 
 
0
 ... 
 
Dapatkah anda melihat bagaimana peranan â ? ternyata operator menurunkan
fungsi eigen yang asalnya 2 menjadi 1 . operasi â + pada ket 2 adalah
0

 1
+
â 2 =  0

0
 ...

0
0
2
0
...
0 0
0 0
0 0
3 0
... ...
...  0 
 
...  0 
...  1 
 
...  0 
...  ... 
40
0
 
0
+
aˆ 2 = 3  0 
 
1
 ... 
 
aˆ + 2 = 3 3
Ternyata operator kreasi â + yang bekerja pada fungsi eigen 2 , hasil operasinya
mengakibatkan fungsi eigen menjadi bertambah atau naik yaitu jadi 3 . Dari
kedua contoh itu anda dapat menyimpulkan bagaimana pengaruh kerja operator â
dan â + pada suatu fungsi eigen.
LATIHAN
1. Tunjukanlah bahwa Ŝ dengan elemen – elemen matriks S ni = t n U i adalah uniter.
Dimana set basis { t n
} dan {U } adalah lengkap dan orthonormal.
i
2. Tunjukan bahwa perkalian skalar tidak berubah dibawah Transformasi Uniter.
3. Elemen – elemen matriks dalam basis
basis { t n
} adalah B
'
nm
{U } adalah
i
Bij = U i Bˆ U j
(
'
= t n Bˆ t m . Tunjukan bahwa Bnm
= SˆBˆ Sˆ −1
)
nm
sedangkan
= t n Bˆ t m
4. Tentukanlah matriks komutator [x, p ] untuk osilator harmonik dalam representasi
energi. Gunakan reperesentasi matriks untuk x̂ dan p̂ yang sudah kita peroleh
sebelumnya.
5. komponen vektor ψ dalam basis lama dinyatakan oleh U i ψ
komponen vektor tersebut dalam term basis baru { t n } .
. Nyatakanlah
41
Rambu – Rambu Jawaban Latihan
( )
1. Anda harus menunjukan bahwa (S −1 )ni = Sˆ +
itu adalah anda harus menunjukan bahwa
I ji = δ ji
ni
= (S in ) atau yang setara dengan hal
*
( )
I ji = ∑ S jn S −1
ni
n
I ji = ∑ S jn (S in )
*
n
kemudian gunakan definisi matriks transformasi S
2. Misalkan ψ '= Ŝψ dan ϕ ' = Ŝϕ . Anda harus membuktikan bahwa
ψ ' ϕ' = ψ ϕ
3. Anda harus menempatkan operator identitas dalam basis {U i
} pada operator B
'
nm
.
'
Bnm
= t n Bˆ t m = t n 1 ⋅ Bˆ ⋅ 1 t m
'
Bnm
= ∑∑ t n U i U i Bˆ U j U j t m
i
j
gunakan definisi matriks transformasi s dan definisi elemen matriks suatuoperator .
kemudian jumlahkan untuk seluruh i dan j
4. Anda harus menghitung
ϕ k [x, p ] ϕ n gunakan definisi komutator
ϕ k xp − px ϕ n = ϕ k xp ϕ n − ϕ k px ϕ n
gantikan x dan p masing – masing dengan komutsinya kemudian kalikan
xp =
h
mhω xˆpˆ = h 2 xˆpˆ
mω
h
pˆ xˆ = h 2 pˆ xˆ
mω
kemudian ganti
1 +
xˆ =
a +a
2
i
pˆ =
a+ − a
2
)
hitung xˆpˆ dan pxˆ .
px = mhω
(
)
(
)
Hasilnya subtitusikan pada ϕ k xp ϕ n dan ϕ k px ϕ n lau hitung.
5. Tuliskan U i ψ lalu masukan operator identitas dalam basis baru.
U i ψ = U i 1 ψ = ∑ U i t n t n ψ dan seterusnya.
n
42
RANGKUMAN
Kita dapat mengubah suatu basis lama ke basis baru dengan menggunakan
Transformasi Uniter . dengan Transformasi Uniter ini juga kita dapat
menjabarkan komponen suatu ket ke dalam basis baru dan sebaliknya. Selain itu
kita juga dapat mengubah elemen – elemen matriks dari suatu operator dalam
suatu basis menjadi elemen –elemen matriks dari suatu operator yang sama tapi
dinyatakan dalam basis lain dan sebaliknya.
Transformasi Uniter itu sendiri ialah transformasi yang menghubungkan dari
suatu basis ke basis lainyadalam ruang Hilbert. Perubahan basis didefinisikan oleh
komponen – komponen spesifiknya, yaitu melalui matriks perubah basis. Matriks
perubah basis ini akan memproyeksikan dari suatubasis ke basis lain. Matriks
perubah basis itu bersifat uniter. Dalam kegiatan belajar ini juga kita sudah
mempelajari bagaimana menentukan elemen – elemen matriks suatu operator
dalam representasi energi. Dalam representasi energi, Hamiltonian adalah
diagonal. Representasi ini mencakup basis beruopa fungsi – fungsi eigen dari
operator Hamiltonian. Beberapa contoh sederhana seperti kotak satu dimensi dan
osilator harmonik telah kita tentukan basis – basis nya dan representasi matriks
dari Hamiltonianya.
43
Soal-Soal Latihan
1. Set
{U } adalah basis lama dalam ruang Hilbert dan set { t } adalah basis baru.
i
n
Komponen suatu vektor semula dinyatakan dalam basis lama sebagai berikut U i ψ .
Bagaimanakah komponen vektor tersebut bila dinyatakan dalam basis baru?
2. Elemen – elemen suatu operator dinyatakan dalam basis baru ialah
t k Aˆ t l .
Transformasikanlah elemen operator tersebut sehingga menjadi elemen operator
dalam basis lama.
3. Suatu operator kreasi a + bila diopersikan pada sembarang ket akan memenuhi relasi
a + ϕ n = n + 1 ϕ n +1
Tunjukanlah relasi tersebut bila ϕ n = 3 .
4. Hitung representasi matriks operator x̂ 2 untuk osilator harmonik dalam representasi
energi.
5. Hitunglah representasi matriks oprerator
p̂ 2 untuk osilator harmonik dalam
representasi energi.
KUNCI JAWABAN Soal-Soal Latihan
1.
t k ψ = t k 1ψ
tk ψ = ∑ tk U i U i ψ
i
t k ψ = ∑ S ki+ U i ψ
i
dengan U i ψ
adalahkomponen vektor ψ dalam basis lama dan S ki+ adalah matriks
yang mentransformasikan komponen ψ dalam basis lama ke komponen ψ dalam
basis baru.
2.
U i Aˆ U j = U i 1 ⋅ Aˆ ⋅ 1 U j
44
U i Aˆ U j = ∑∑ U i t k t k Aˆ t l t l U j
k
l
Aij = ∑∑ S ik Akl S lj+
(
k
l
)
Aij = SAS +
ij
0

 1
0
3. a + 3 = 
0
0

 ...

0
0
0
0
2
0
0
3
0
0
...
...
...  0 
 
0 ...  0 
0 ...  0 
 
0 ...  1 
4 ...  0 
... ...  ... 
0
0
 
0
0
a+ 3 = 4 
0
1
 
 ... 
 
jadi terbukti bahwa
a + ϕ n = n + 1 ϕ n +1
atau a + 3 = 4 U 4
4. Dalam representasi energi hubungan antara observable posisi dan operatornya ialah
xˆ =
mω
x
h
x̂ : operator posisi
x : observable
hubungan antara operator posisi dengan operator kreasi dan anihilasi ialah
xˆ =
1
2
(a
+
+a
)
sedangkan bila operator kreasi dan anihilasi dioperasikan pada sembarang ket, maka
a + ϕ n = n + 1 ϕ n +1
a ϕ n = n ϕ n −1
45
dari dua persamaan diatas
(
)
(
)(
h
a+ + a
2mω
h
x2 =
a+ + a a+ + a
2mω
h
x2 =
a + a + + a + a + aa + + aa
2mω
2
h
x2 =
a + + a + a + aa + + a 2
2mω
x=
)
(
((
)
)
)
( )
2
h
ϕ k a + + a + a + aa + + a 2 ϕ n
2mω
2
h
ϕ k a + ϕ n + ϕ k a + a ϕ n + ϕ k aa + ϕ n + ϕ k a 2 ϕ n .
=
2mω
h
=
n + 1 n + 2δ k ,n + 2 + (2n + 1) δ kn + n n − 1δ k ,n − 2
2mω
ϕk x2 ϕn =
{
ϕk x2 ϕn
{
ϕk x2 ϕn
}
( )
}
representasi matriksnya adalah



h 
2
x =
2mω 



3
0
0
0
5
0
6
0
7
0
0
0
...
... ...
... 

12 ... 
0 ... 

9 ... 
... ... 
0
5. Dalam representasi energi hubungan antara observable momentum dan operatornya
ialah
pˆ =
1
mhω
p
hubungan antara operator p̂ dengan operator kreasi dan anihilasi ialah
pˆ =
i
2
(a
+
−a
)
maka dari dua persamaan tersebut
p=i
mhω +
a −a
2
(
)
46
mhω +
a − a a+ − a
2
mhω + 2
p2 = −
a
− a + a − aa + + a 2
2
(
p2 = −
((
)(
)
)
2
mhω
ϕ k a + − a + a − aa + + a 2 ϕ n
2
2
mhω
=−
ϕ k a + ϕ n − ϕ k a + a ϕ n − ϕ k aa + ϕ n + ϕ k a 2 ϕ n
2
mhω
=−
n + 1 n + 2δ k ,n + 2 − (2n + 1) δ kn + n n − 1δ k ,n −2
2
( )
ϕk p 2 ϕn = −
ϕk p 2 ϕn
ϕk p 2 ϕn
)
{
( )
{
}
}
representasi matriksnya adalah
0
−3 0

 0 −5 0
mhω 
2
p =−
6 0 −7
2 
0
0
 0

 ... ... ...
 3

 2
 0

p 2 = mhω 
6
−
 2
 0

 ...

0
5
2
0
0
...
... 

12 ... 
0 ... 

− 9 ... 

... ... 
0

... 

0 − 3 ... 


7
0
... 
2

9
0
... 

2
... ... ... 
0
0
Daftar Pustaka
1. Richard, L Liboff. “Introductory Quantum Mechanics” second edition AddisonWesley Publishing Company (1992).
2. Cohen-Tannoudji, Diu,Laloe. “Quantum Mechanics” volume 1 Willey –Interscience
Paris (1977).
3. P. Sinaga. “Fisika Kuantum (diktat)”