Bilangan Real

Bil. Asli
Bil. Bulat
Bil. Cacah
I. Materi Ajar:
Pertemuan 1:
A. Macam-macam bilangan real
1. Bilangan Asli (A)
Bilangan asli adalah suatu bilangan yang mula-mula dipakai untuk
membilang. Bilangan asli dimulai dari 1,2,3,4,...
A = {1,2,3,4,...}
2. Bilangan Genap (G)
Bilangan genap dirumuskan dengan 2n, n ∈ A
G = {2,4,6,8,...}
3. Bilangan Ganjil (Gj)
Bilangan ganjil dirumuskan dengan 2n -1, n ∈ A
Gj = {1,3,5,7,...}
4. Bilangan Prima (P)
Bilangan prima adalah suatu bilanganyang dimulai dari 2 dan
hanya dapat dibagi oleh bilngan itu sendiri dan ± 1
P = {2,3,5,7,...}
5. Bilangan Komposit (Km)
Bilangan komposit adalah suatu bilangan yang dapat dibagi oleh
bilangan yang lain
Km = {4,6,8,9,...}
6. Bilangan Cacah (C)
Bilangan Cacah adalah suatu bilangan yang dimulai dari nol
C = {0,1,2,3,4,...}
7. Bilangan Bulat (B)
Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, bilangan nol, dan
bilangan bulat positif.
B = {...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}
8. Bilangan Pecahan (Pc)
Bilangan pecahan adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan
a
dalam bentuk , a sebagai pembilang dan b sebagai penyebut,
b
dengan a dan b ∈ B serta b ≠0
Contoh:
1 2 3
, ,
2 5 7
9. Bilangan Rasional (Q)
Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan
a
dalam bentuk , a dan b ∈ B serta b ≠0. (Gabungan bilangan bulat
b
dengan himpunan bilangan pecahan)
1 4
22
Contoh: - , , 4 ,
3 7
7
10. Bilangan Irasional (I)
Bilangan irasional adalah suatu bilangan yang tidak dapat
a
dinyatakan dalam bentuk , a dan b ∈ B serta b ≠0.
b
Contoh: 2 , 3 , π = 3,14159..., e = 2,71828...
11. Bilangan Real (R)
Bilangan real adalah suatu bilangan yang terdiri dari bilangan
rasional dan bilangan irasional. Bilangan real biasanya disajikan
dengan sebuah garis bilangan.
Contoh:
.
.
.
.
.
.
.
.
.
-3 -2 -1 0
1
2 3 4 5
12. Bilangan Khayal (Kh)
Bilangan khayal adalah suatu bilangan yang hanya
dikhayalkan dalam pikiran, tetapi kenyataannya tidak ada.
Contoh: − 1, − 2 , − 3
bisa
13. Bilangan Kompleks (K)
Bilangan Kompleks adalah suatu bilangan yang terdiri dari bilangan
dan khayal.
Contoh: 2 + − 1,5 − − 2
B. Perbedaan Antara Bilangan Rasional Dan Bilangn Irasional
Bilangan Rasional:
1. Dapat dtulis dalam bentuk pecahan biasa
1 2 5
Contoh: , ,
2 3 3
2. Dapat ditulis dalam bentuk pecahan desimal terbatas.
1
= 0,333...ditulis 0,3
3
Contoh:
1
= 0,142857142857...ditulis 0,142857
7
Bilangan Irasional:
1. Tidak dapat ditulis sebagai pecahan biasa
2. Jika didahului sebagai pecahan desimal, merupakan desimal tak
terbatas.
2 = 1,4142...
Contoh:
3 = 1,7320...
3. Bilangan irasional ditulis dalam bentuk akar.
Contoh: 2 , 3 , 7
Pertemuan 2:
C. Sifat-sifat Operasi Bilangan Bulat
a. Sifat Komutatif:
a+b=b+a
a.b = b.a
Contoh:
1. 5 + 6 = 6 + 5 = 11
2. 9 . 3 = 3 . 9 = 27
b. Sifat Assosiatif:
(a + b) + c = a + (b + c)
(a . b) . c = a . (b . c)
Contoh:
1. (5 + 2) + 3 = 5 + (2 + 3) = 10
2. (5 x 2) x 3 = 5 x (2 x 3) = 30
c. Sifat Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan
a x (b + c) = ab + ac
Contoh:
5 x (3 + 6) = 5 . 3 + 5 . 6
= 15 + 30
= 45
d. Terdapat Dua Elemen Identitas
Setiap bilangan a mempunyai dua elemen identitas, yaitu 1 dan 0,
sehingga memenuhi:
a+0=a
a.1=a
e. Terdapat Elemen Invers
Setiap bialngan a mempunyai balikan atau invers penjumlahan, yaitu –
a yang memenuhi:
a + (-a) = 0
1
Setiap a ≠ 0 mempunyai balikan perkalian yaitu , yang memenuhi:
a
1
a . =1
a
Pertemuan 3:
D. Operasi Pada Bilangan Bulat:
a. Operasi Penjumlahan
a+b=c
Contoh:
a, b dan c bilangan bulat
14 + 10 = 24
b. Operasi Pengurangan
A – b = c ⇔ a + (-b) = c
Contoh:
a, b dan c bilangan bulat
10 – (-2) = 10 + 2 = 12
c. Operasi Perkalian
a.b=c
Contoh:
a, b dan c bilangan bulat
5 . 4 = 20
(-9) . (-4) = 36
d. Operasi Pembagian
a
1
= a. = c
b
b
Contoh:
a, b bilangan bulat dan b ≠ 0, c bilangan real
4
5
= 4. = 20
1
1
5
Pertemuan 4:
E. Operasi Pada Bilangan Pecahan
a. Operasi Penjumlahan
Contoh:
1. 5 + 8 = 13
2 3 2 9 11
+ = +
=
2.
18 6 18 18 8
2
2
2
4
6
3. 7 + 2 = 7 + 2 = 9 = 10
6
3
6
6
6
b. Operasi Pengurangan
Contoh:
Tentukan hasil perkalian berikut!
5 1 10 1
9 3
1. −
=
−
=
=
6 12 12 12 12 4
2 1 1
2. − =
3 3 3
1
1
2
3
8
3
5
3. 9 − 4 = 9 − 4 = 8 − 4 = 4
3
2
6
6
6
6
6
c. Operasi Perkalian
Contoh:
Tentukan hasil perkalian berikut:
4 6 4 x6 24
=
1. x =
5 3 5 x3 15
2 1 17 9 153
1
x =
= 25
2. 5 x 4 =
3 2 3 2
6
2
d. Operasi Pembagian
Contoh:
Tentukan hasil pembagian dari pecahan di bawah ini!
4 5 4 8 32
7
1. : = x =
=1
5 8 5 5 25
25
5 1 29 2 29
14
2. 4 : 2 =
x =
=1
6 2 15 5 15
15
Pertemuan 5:
F. Konversi Pecahan
a. Mengubah pecahan biasa ke pecahan desimal
1. Mengubah penyebutnya menjadi 10 atau perpangkatan 10 lainnya.
Contoh:
2 4
3 78 312
a. = 0,4
b. 3 =
=
= 3,12
5 10
2 2 100
2. Dengan pembagian berulang
Contoh:
4
Ubahlah
ke dalam pecahan desimal!
12
4
= 0,33333... = 0,33
12
b. Mengubah pecahan biasa ke bentuk persen.
Mengubah penyebutnya menjadi 100
Contoh:
10 40
1.
=
= 40 %
25 100
2. 4
4 44 440
=
=
440 %
10 10 100
3. Ubahlah 75% dan 30% ke dalam bentuk pecahan!
75 3
=
Jawab: 75% =
100 4
30
3
=
30% =
100 10
c. Mengubah persen ke pecahan biasa dan ke pecahan desimal
Contoh:
Ubahlah persen berikut ke pecahan biasa dan ke pecahan desimal!
20 1
a. 20% =
= = 0,20
100 5
40 2
b. 40% =
= = 0,40
100 5
75 3
c. 75% =
= = 0,75
100 4
G. Perbandingan, Skala, Dan Persen
a. Perbandingan digunakan untuk membandingkan dua buah
bilangan
1) Perbandingan senilai
Bentuk Umum:
a1 a 2
=
b1 b2
atau
a1 : b1 = a 2 : b 2
2) Perbandingan berbalik nilai
Bentuk Umum:
a1 a 2
=
b2 b1
atau
a1 : b 2 = a 2 : b1
Contoh:
1. Seorang ibu menghabiskan ½ liter minyak tanah untuk
merebus air sebanyak 15 liter air. Jika dia akan merebus air
sebanyak 100 liter, berapa liter minyak tanah yang
diperlukan?
2. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan oleh 4 orang tukang
dalam 20 hari. Jika pekerjaan itu harus selesai dalam 2 hari,
maka berapa orang tukang yang diperlukan untuk
menyelesaikan pekerjaan itu?
Jawab:
1. Jika perbandingan banyak minyak tanah (M) dengan banyak
air (A) adalah M : A, maka:
M1 M 2
=
A1
A2
1/ 2 M 2
1
100
1
⇔
=
⇔ M2 =
x100 =
= 3 liter
15 100
30
30
3
2. Jika 4 orang tukang (T 1 ) dapat menyelesaikan 20 hari (H 1 ),
maka untuk selesai selama 2 hari (H 2 ) harus dipekerjakan
lebih dari 4 orang.
T1
T
= 2
H 2 H1
4 T
4 80
⇔ = 2 ⇔ T2 = 20 x =
= 40orangtukang
2 20
2 2
Pertemuan 6:
b. Skala
Skala merupakan bentuk perbandingan nilai dari suatu besaran atau
perbandingan antara ukuran gambar dengan ukuran sesungguhnya
(kenyataannya). Suatu skala bisa merupakan pembesaran atau
pengecilan dari ukuran sesungguhnya.
1) Skala pembesaran
Contoh:
Jarak kota A ke kota B pada peta adalah 10 cm. Jika jarak
sesungguhnya adalah 100 km,berapakah skala kota A ke kota B?
Jawab:
Misal jarak pada peta = x
Misal jarak sesungguhnya = y
X : y = 10 cm : 100 km
= 10 cm : 10.000.000 cm
=1
: 1.000.000
Jadi, skala jarak kota A ke kota B adalah 1 : 1.000.000
2) Skala Pengecilan
Contoh:
Tinggi seorang aktor adalah 180 cm. Berapakah tinggi aktor tersebut
pada layar TV jika skalanya 1 : 100?
Jawab:
Misal tinggi sesungguhnya = A = 180 cm
Tinggi pada TV
=B
1
B
1
180
B
= 1,8cm
= ⇒
=
⇒B=
100 A
100 180
100
Jadi tinggi aktor pada layar TV 1,8 cm
c. Persen
Persen (%) berarti per seratus, merupakan bentuk lain dari perbandingan
yang ditulis dalam pecahan dengan penyebut 100.
1
Misal: 1% =
100
Contoh:
Sebatang perunggu terbuat dari 100 kg tembaga, 20 kg timah hitam, dan
30 kg timah putih. Berapakah persentase tiap-tiap bahan tersebut dalam
perunggu itu?
Jawab:
Massa total perunggu = 100 kg + 20 kg + 30 kg = 150 kg
100
Persentase tembaga =
x100% = 66,7%
150
20
Persentase timah hitam =
x100% = 13,3%
150
30
Persentase timah putih =
100% = 20,0%
150
Pertemuan 6:
H. Penerapan Pada Bidang Keahlian
1) Komisi
Komisi adalah pendapatan yang besarnya tergantung pada tingkat
penjualan yang dilakukan.
2) Diskon
Diskon adalah potongan harga yang diberikan oleh penjual kepada
pembeli
3) Laba dan Rugi
Laba = Penjualan – Pembelian
Rugi = Pembelian – Penjualan
Contoh soal:
1. Seorang sales mendapat komisi 20% jika dia mampu menjual
barang senilai Rp2.000.000,00. Tentukan komisi yang diterima!
Jawab:
Komisi = 20% x Rp2000.000,00
20
xRp 2.000.000,00
=
100
= Rp400.000,00
2. Sebuah barang dibeli seharga Rp500.000,00, kemudian barang
tersebut dijual dengan harga Rp750.000,00. Hitunglah persentase
keuntungan dari harga pembelian dan dari harga penjualan!
Jawab:
Laba = Rp750.000,00 – Rp500.000,00 = Rp250.000,00
Rp 250.000,00
Persentase laba dari harga beli :
x100% = 50%
Rp500.000,00
Rp 250.000,00
Persentase laba dari harga jual :
x100% = 33,3%
Rp 750.000,00