BAB 1 Konsep Dasar

BAB 1
Konsep Dasar
1
BAB 2
PDB Linier Order Satu
2
BAB 3
Aplikasi PDB Order Satu
3.1 Masalah Dalam Mekanik
4x adalah perubahan jarak yang ditimbulkan benda
waktu 4t maka kecepatan rata-rata didenisikan
x = xB ; xA :
vr = 4
4t tB ; tA
Misal
bergerak selama
Selanjutnya kecepatan sesaat adalah
4x
v = 4!
lim0 vr = 4lim
t!0 4t
v = dx
dt (m=dt):
v = dv
(m=dt2)
dt
Hukum 3.1.1 (Hukum Newton I) Hukum ini juga disebut hukum Kelembaman Newton yang berbunyi' setiap benda akan tetap berada pada keadaan diam
atau bergerak lurus beraturan kecuali jika benda itu dipaksa oleh gaya-gaya yang
bekerja pada benda itu'.
24
BAB 3. APLIKASI PDB ORDER SATU
25
Hukum 3.1.2 (Hukum Newton II) Percepatan yang ditimbulkan oleh gaya
yang bekerja pada sebuah benda berbanding lurus (sebanding) dengan besar
gaya itu, dan berbanding terbalik dengan massa kelembaman banda itu. Secara matematis dapat ditulis sebagai a = F=m atau F = ma dimana F adalah
gaya dan m suatu massa.
Analog dengan hukum Newton II ini, gerak jatuh bebas suatu benda dengan
berat W tanpa mengikutsertakan gaya gesek udara adalah
W = mg:
F dalam hal ini direpresentasikan dengan W dan a = g, sehingga bisa kita tulis
mg = W
ma
m dv
dt
dv
dx
m dx dt
dv
mv dx
= F
= F
= F
= F
adalah model dari PDB order satu.
Contoh 3.1.1 Benda dengan berat 8 newton dijatuhkan dari suatu ketinggian
tertentu, yang bearawal dari keadaan diam. Jika kecepatan benda jatuh itu v,
dan kecepatan gravitasi bumi adalah g = 10m=dt2, serta gaya gesek udara adalah
;2v. Tentukan ekspresi kecepatan v dan jarak x pada saat tertentu.
BAB 3. APLIKASI PDB ORDER SATU
26
Penyelesaian 3.1.1 Hukum newton mengatakan F = ma atau P F = ma.
Dalam hal ini f1 = W = 8 newton (gaya kebawah), dan F2 =gaya gesek udara
= ;2v (gaya keatas) sehingga
m dv
dt = F1 + F2
8 dv = 8 ; 2v
10 dt
1 dv = 10 dt
8 ; 2v
8
Karena benda berawal dari keadaan diam maka v(0) = 0, sehingga model PDB
sekarang adalah
1 dv = 10 dt
8 ; 2v
8
v(0) = 0
Integralkan kedua ruasnya didapat
; 21 ln(8 ; 2v) + c0
ln(8 ; 2v)
(8 ; 2v)
= 10
8 t + c1
= ; 5 t + c2
2
= e; 52 t+c2
2v =
v =
;Ce; t + 8
1 (8 ; Ce; t )
2
5
2
5
2
Dengan memasukkan nilai awal v(0) = 0 maka c = 4 sehingga ekspresi kecepatan
adalah
v(t) = 4 ; 2e; 25 t:
Selanjutnya untuk menentukan ekspresi jarak maka rubah v(t) kedalam v =
dx
dt
BAB 3. APLIKASI PDB ORDER SATU
27
sehingga model PDB sekarang adalalah
dx = 4 ; 2e; 25 t
dt
x(0) = 0
Dengan cara yang sama untuk solusi PDB ini maka ekspresi jarak terhadap waktu
adalah
x(t) = 4t ; 45 e 25 t + 45
3.2 Pertumbuhan dan Peluruhan
Jika Q menunjukkan jumlah, kuantitas atau kualitas sesuatu dalam waktu t,
maka perubahan (bertambah=pertumbuhan atau berkurang=peluruhan) yang
disimbulkan dengan
dQ
dt
berbanding lurus dengan kuantitas Q, dengan kata lain
dQ = rQ pertumbuhan
dt
dQ = ;rQ peluruhan
dt
3.2.1 Pertumbuhan Populasi
Jika y adalah jumlah populasi dalam waktu t, k adalah konstanta proportionalitas
atau tingkat pertumbuhan maka model PDB pertumbuhan populasi adalah
dy = ky
dt
y(t0 ) = y0
BAB 3. APLIKASI PDB ORDER SATU
28
Selanjutnya bila k berubah-ubah maka dapat kita ganti dengan h(y) yang dapat
dipilih h(y) = r ; ay maka model pertumbuhan menjadi
dy
dt
= (r ; ay)y
dy = r(1 ; y )y dimana K = r
dt
K
a
y(t0) = y0
PDB ini dikenal dengan persamaan Verhulst atau persamaan Logistik. Solusi
kualitatif persamaan ini untuk r dan K positip adalah tertera dalam Gambar
1.5
x
1
-3
-2
0.5
0
-1
2
1
-1
-0.5
y(x)
3
Asymptotic solution
2
2.5
3.1.
Gambar 3.1: Solusi kualitatif persamaan pertumbuhan populasi.
Contoh 3.2.1 Pertumbuhan populasi memenuhi model sebagai berikut
dx = 1 x ; 1 x2
dt 100 (10)8
Bila tahun 1980 jumlah populasinya 100,000 maka
1. berapa besar populasi tahaun 2000
2. tahun berapa jumlah populasi akan menjadi 2 tahun 1980
3. berapa jumlah populasi terbesar untuk t > 1980
BAB 3. APLIKASI PDB ORDER SATU
29
Penyelesaian 3.2.1 Bila tahun 1980 jumlah populasi 100,000 maka dapat dikatakan
x(1980) = 100 000 sehingga model PDB sekarang adalah
dx = 1 x ; 1 x2
dt
100 (10)8
x(t0) = x0
Rubah kedalam kedalam PD dengan variabel terpisah
1
dx = dt
(10);2x ; (10);8x2
Integralkan kedua ruasnya
Z
1
dx
(10);2x(1 ; (10);6x)
Z
;6
100 1 + (10) ;6 dx
x 1 ; (10) x
;
100 ln x ; ln(1 ; (10);6x) + c0
x
ln
1 ; (10);6x
x
1 ; (10);6x
x
1 ; (10);6x
=
=
Z
dt
Z
dt
= t + c1
= t + c2
100
= e 100 +c2
t
= ce 100
t
ce 100
x =
1 + (10);6ce 100
t
t
Terapkan nilai awal x(1980) = 100 000 didapat c = 9(10)
e19 8 sehingga
6
:
6
x(t) = 1 + 9e10
19:8;t=100
(3.1)
Dengan demikian beberapa pertanyaan itu dapat diselesaikan sebagai berikut
1. jumlah populasi tahun 2000 artinya t = 2000. Substitusikan nilai t ini
kedalam persamaan 3.1 didapat x = 119 495. Dengan demikian jumlah
populasi tahun 2000 adalah 119,495 orang.
BAB 3. APLIKASI PDB ORDER SATU
30
2. jumlah populasi 2 tahun 1980, berarti x = 200 000. Substitusikan nilai
x ini kedalam persamaan 3.1 didapat t = 2061. Dengan demikian jumlah
populasi akan dua kali lipat tahun 1980 dicapai pada tahun 2061.
3. Besar populasi untuk waktu yang tidak terbatas (t ! 1) berarti
106
x = tlim
!1 1 + 9e19:8;t=100
106
x = tlim
!1 1 + 9e19:8et=100
x = 106 = 1 000 000
Dengan demikian jumlah maksimum populasi untuk waktu yang tidak terbatas adalah satu juta orang.
3.2.2 Peluruhan Radioaktif
Contoh 3.2.2 Radioaktif isotop Thorium-234 meluruh pada tingkat yang sebanding dengan jumlah isotop. Jika 100 mg dari material meluruh menjadi 82.04 mg
dalam satu minggu, maka
1. tentukan ekspresi jumlah pada saat tertentu
2. tentukan interval waktu sehingga isotop itu meluruh menjadi setengah dari
jumlah semula.
Penyelesaian 3.2.2 Gunakan rumus peluruhan. Misal Q jumlah isotop Thorium234 maka dalam waktu t model peristiwa peluruhan itu adalah
dQ = ;rQ
dt
Q(0) = 100
BAB 3. APLIKASI PDB ORDER SATU
31
Kemudian selesaikan PDB ini akan diperoleh
Q(t) = 100e;rt
Kemudian terapkan sarat kedua, yakni dalam satu minggu (7 hari) isotop menjadi 82.04 mg artinya Q(7) = 82:04 mg akan didapat nilai r, sedemikian hingga
ekspresi jumlah terhadap waktu (hari) adalah
Q(t) = 100e;0:02828t:
Dengan mengetahui ekspresi ini akan menjadi mudah untuk mengerjakan pertanyaanpertanyaan diatas. (Teruskan sebagai latihan.)
3.3 Hukun Pendinginan Newton
Perubahan suhu suatu benda atau bahan yang mengalami proses pendinginan
sebanding dengan perbedaan antara suhu benda dan suhu disekitarnya. Dengan
demikian bila Suhu benda itu adalah x dan suhu sekitarnya itu adalah xs maka
proses pendinginan Newton terhadap waktu t digambarkan dengan
dx = k(x ; x ) k > 0
s
dt
dimana k adalah konstanta tingkat pendinginan.
Contoh 3.3.1 Suatu benda dengan suhu 80oC diletakkan diruangan yang bersuhu
50oC pada saat t = 0. Dalam waktu 5 menit suhu benda tersebut menjadi 70oC ,
maka
1. tentukan fungsi suhu pada saat tertentu
2. tentukan besarnya suhu benda pada 10 menit terakhir
BAB 3. APLIKASI PDB ORDER SATU
32
3. kapan suhu menjadi 60o C
Penyelesaian 3.3.1 Dengan memahami persoalan ini maka model PDB proses
pendinginan dapat ditulis sebagai
dx = k(x ; 50)
dt
x(0) = 80 dan x(5) = 70
Solusi dari persamaan itu adalah
ln(x ; 50) + c0 = kt + c1
(x ; 50) = cekt
x = 50 + cekt
Masukkan nilai awal maka nilai c = 30 sehingga persamaan menjadi
x = 50 + 30ekt
Dan masukkan kondisi kedua didapat
; 1
ek = 23 5
sehingga ekspresi terakhir menjadi
; x(t) = 50 + 30 32 5
Selanjutnya anda selesaikan pertanyaan diatas dengan memakai ekspresi ini.
t
3.4 Campuran
Suatu bahan dengan konsentrasi terterntu dicampur dengan bahan lain dalam
suatu tempat sehingga bahan bercampur dengan sempurna dan menjadi campuran lain dengan konsentrasi berbeda. Bila Q menunjukkan jumlah bahan pada
BAB 3. APLIKASI PDB ORDER SATU
33
saat tertentu, maka perubahan Q terhadap t ditunjukkan dengan dQ
dt . Kemudian
bila proses yang terjadi adalah terdapat campuran masuk dan campuran yang
keluar, dimana laju jumlah bahan masuk dinyatakan dengan proses IN dan laju
jumlah bahan keluar dinyatakan dengan proses OUT maka
dQ = IN ; OUT
dt
v =r liter/min
k =s gram/liter
v =r liter/min
K= L liter
Q(0) = Q_0 gram
Gambar 3.2: Proses campuran dalam tangki.
Dimana bila laju masuk sama dengan laju keluar maka
IN = kv = sr gram=liter
Q v = Qr gram=liter
OUT = K
L
Contoh 3.4.1
Suatu tangki mula-mula berisi 200 liter larutan yang mengandung 100 gram garam.
Larutan (lain) yang mengandung garam dengan konsentrasi 1 gram/liter masuk
kedalam tangki dengan laju 4 liter/menit dan bercampur dengan sempurna, kemudian campuran itu diperkenankan keluar dengan laju 4 liter/menit.
1. Formulasikan masalah nilai awal tersebut
BAB 3. APLIKASI PDB ORDER SATU
34
2. Tentukan jumlah garam Q setiap saat.
Penyelesaian 3.4.1 Formula campuran adalah
dQ = IN ; OUT:
dt
Diketahui s = 1 gram=liter r = 4 liter=menit L = 200 liter dan Q(0) = 100
didapat
IN = kv = s gram=liter r liter=menit = 4 gram=liter
Q v = Q gram=liter r liter=menit = 4Q gram=liter
OUT = K
K
200
Sehingga
1. Model PDBnya adalah
dQ = 4 ; 4Q = 4 ; Q
dt
200
50
Q(0) = 100
2. Dengan menyelesaikan PDB ini didapat ekspresi jumlah garam setiap saat
Q(t) = 200 ; 100e;t=50
BAB 3. APLIKASI PDB ORDER SATU
35
Latihan Tutorial 3
1. Suatu benda yang massanya 50 kg dari keadaan diam di suatu puncak bergerak diatas bidang miring dengan panjang 20 m dari puncak ketanah,
dan sudut kemiringan 45o (lihat Gambar 1). Bila koesien gesek kinitis
k = 0:2. Tentukan: (i) ekspresi fungsi kecepatan dalam waktu t, (ii)
berapa jarak yang ditempuh benda selama 5 detik, dan (iii) berapa waktu
t yang dibutuhkan untuk mencapai tanah.
f gesek
N
o
45
W
o
45
Gambar 3.3: Gerakan benda pada bidang miring.
fPetunjuk : uraikan gaya-gaya yang bekerja pada benda dan ingat
fgesek = k N g.
2. Suatu benda dengan massa konstan m ditembakkan tegak lurus keatas menjauhi permukaan bumi dengan kecepatan awal V0 km=dt2. Bila diasumsikan
tidak ada gesekan udara namun berat benda berubah dalam jarak-jarak tertentu terhadap bumi, maka tentukan
(a) model matematik dari kecepatan V (t) selama benda itu meluncur
(b) tentukan V0 untuk mencapai ketinggian maksimum 100 km
BAB 3. APLIKASI PDB ORDER SATU
36
(c) tentukan maksimum V0 supaya benda yang ditembakkan tadi tidak
kembali kebumi.
(Petunjuk : gunakan g = 0:098 km=dt2, jari-jari bumi R = 6378:388 km
dan fungsi berat dalam jarak x terhadap bumi yang umumnya dinyatakan
2
sebagai w(x) = (mgR
R+x)2 )
3. Model pertumbuhan populasi dapat ditulis dalam persamaan dydt = ry T1 y ;
;
1 untuk r dan T konstanta positip, maka
(a) gambar grak f (y) dan y.
(b) tentukan model grak y dan t untuk memberikan gambaran solusi
kualitatif dari PD tersebut.
4. Jam 10.00 WIB seseorang mengambil secangkir kopi panas dari microwave
oven dan meletakkan di ruang tamu dengan maksud untuk meminumnya
setelah agak dingin. Awal mula suhu kopi adalah 95oC . Selanjutnya 10
menit kemudian besar suhu kopi menjadi 75oC . Asumsikan suhu ruang
tamu itu adalah konstan 27oC .
(a) Berapa besar suhu kopi pada jam 10.18 WIB
(b) Orang ini suka meminum kopi yang suhunya antara 55oC sampai 60oC ,
maka antara jam berapa dia harus minum kopi itu.
5. Sebuah tangki besar awal mula berisi 300 liter larutan yang mengandung
5 kg garam. Larutan lain yang mengandung garam de-ngan konsentrasi
1
2
kg/liter dituangkan kedalam tangki dengan laju 5 liter/menit dan campu-
ran dalam tangki mengalir keluar dengan laju 3 liter/menit.
BAB 3. APLIKASI PDB ORDER SATU
37
(a) Tentukan model matematik tentang banyaknya garam dalam tangki
setiap saat.
(b) Bila kapasitas maksimum tangki 750 liter tentukan domain waktu t
sehingga model diatas tetap berlaku.
(c) Pada poin (b) berapa besar konsentrasi larutan pada saat tangki penuh.
(d) Bila tangki tidak mempunyai kapasitas maksimum, tentukan konsentrasi larutan untuk jangka waktu tak terbatas.
6. Suatu tangki berkapasitas 500 liter mula-mula berisi 200 liter larutan yang
mengandung 100 gram garam. Larutan (lain) yang mengandung garam dengan konsentrasi 1 gram/liter masuk kedalam tangki dengan laju 3 liter/menit
dan campuran dalam tangki diperkenankan keluar dengan laju 2 liter/menit.
Tentukan model matematik yang menyatakan banyaknya garam dalam tangki
setiap saat (sebelum dan sesudah tangki penuh).