Aljabar Linear

Aljabar Linear
& Matriks
Pert. 5
Evangs Mailoa
Pengantar Determinan

Menurut teorema 1.4.3, matriks 2 x 2
dapat dibalik jika ad − bc ≠ 0.

Pernyataan ad − bc disebut
(determinant) dari matriks A,
sebagai
determinan

Dinotasikan sebagai det(A) atau |A|.

Sehingga A −1 yang diberikan pada teorema 1.4.3, dapat
ditulis kembali

Tujuan dari pecarian determinan adalah
bagaimana mendapatkan analog rumus
invers untuk matriks yang mempunyai
ordo lebih tinggi.

Sehingga perlu diperluas untuk konsep
determinan untuk matriks bujursangkar
dengan berbagai ordo.

Untuk dapat melakukan itu, dibutuhkan
beberapa hasil awal dari permutasi.
Permutasi

Permutasi dari himpunan bilangan
bulat atau integer {1, 2, ... , n} adalah
susunan integer-integer menurut suatu
aturan tanpa adanya penghilangan
atau pengulangan.
Contoh 1 Permutasi dari Tiga Integer
• Untuk himpunan integer {1, 2, 3} terdapat
enam permutasi yang berbeda, yaitu
» (1, 2, 3)
(2, 1, 3)
(3, 1, 2)
» (1, 3, 2)
(2, 3, 1)
(3, 2, 1)
• Satu metode yang paling mudah untuk
menyusun daftar permutasi secara sistematis
adalah dengan menggunakan pohon
permutasi (permutation tree).
Contoh 2 Permutasi dari Empat Integer
• Buatlah daftar semua permutasi dari
empat himpunan integer {1, 2, 3, 4}.
Contoh 2 Permutasi dari Empat Integer
• Dari gambar 2.1.1, diperoleh permutasi-permutasi
berbeda dapat disusun menjadi
(1, 2, 3, 4)
(1, 2, 4, 3)
(1, 3, 2, 4)
(1, 3, 4, 2)
(2, 1, 3, 4)
(2, 1, 4, 3)
(2, 3, 1, 4)
(2, 3, 4, 1)
(3, 1, 2, 4)
(3, 1, 4, 2)
(3, 2, 1, 4)
(3, 2, 4, 1)
(4, 1, 2, 3)
(4, 1, 3, 2)
(4, 2, 1, 3)
(4, 2, 3, 1)
• Diperoleh 24 permutasi untuk empat integer {1, 2, 3, 4}
• Dapat disimpulkan dengan empat integer diperoleh
banyak permutasi 4∙3∙2∙1 = 24 susunan.
• Secara umum, himpunan {1, 2, . . . , n} akan memiliki
n(n−1) (n−2) . . . 2∙1= n! permutasi berbeda.
Invers dalam Permutasi


Dinyatakan suatu permutasi umum dari
{1, 2, ..., n} sebagai (j1, j2, ... , jn), dimana
j1 adalah integer pertama dalam dari
permutasi, j2 adalah integer kedua dalam
dari permutasi, dan seterusnya.
Suatu inversi (inversion) atau pembalikan
dikatakan terjadi dalam suatu permutasi
(j1, j2, ... , jn) jika integer yang lebih besar
mendahului integer yang lebih kecil.

Jumlah total inversi yang terjadi dalam permutasi
dapat diperoleh sebagai berikut:
1. Tentukan banyak integer yang lebih kecil dari j1
dan mengikuti j1 dalam permutasi;
2. Tentukan banyaknya integer yang lebih kecil dari
j2 dan mengikuti j2 dalam permutasi. Lanjutkan
proses perhitungan ini untuk j3, ... , jn−1.

Jumlah dari bilangan-bilangan ini akan merupakan
total banyaknya inversi ini dalam permutasi tersebut.
Contoh 3 Menghitung Invers
• Tentukan banyaknya inversi pada permutasipermutasi berikut
(a). (6, 1, 3, 4, 5, 2),
(b). (2, 4, 1, 3),
(c). (1, 2, 3, 4).
• Penyelesaian:
(a). Banyaknya inversi adalah 5 + 0 + 1 + 1 + 1 = 8.
(b). Banyak inversi adalah 1 + 2 + 0 = 3.
(c). Tidak ada inversi untuk permutasi ini.
Contoh 4 Mengklasifikasi Permutasi
• Tabel berikut ini mengklasifikasikan berbagai
permutasi dari {1, 2, 3} sebagai genap atau ganjil.
Permutasi Banyaknya Inversi
Klasifikasi
(1, 2, 3)
0
genap
(1, 3, 2)
1
ganjil
(2, 1, 3)
1
ganjil
(2, 3, 1)
2
genap
(3, 1, 2)
2
genap
(3, 2, 1)
3
ganjil
Pengertian Determinan

Suatu hasilkali elementer
(elementary product) dari suatu
matriks A, n x n, adalah hasilkali
dari n entri di A, yang tidak berasal
dari baris dan kolom yang sama.
Contoh 5 HasilKali Elementer
• Buatlah daftar hasil kali elementer dari
matriks-matriks:

Penyelesaian:
Karena setiap hasil kali elementer merupakan
perkalian entri dalam matriks yang tidak sekolom
dan sebaris maka untuk,
diperoleh: a11 a22 dan a12 a21
diperoleh: a11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21a32
a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22a31
HasilKali Elementer Bertanda




Pada contoh 4, matriks A mempunyai n! hasilkali elementer.
Hasilkali elementer berbentuk a1j1 a2j2 . . .anjn, dimana (j1, j2, ...
, jn) adalah permutasi dari himpunan {1, 2, ... , n}
Hasilkali bertanda dari A (signed elementary product from A)
adalah hasilkali elementer a1j1 a2j2 . . .anjn dikalikan +1 atau −1.
Digunakan tanda + jika (j1, j2, ... , jn) adalah permutasi genap
dan tanda − jika (j1, j2, ... , jn) adalah permutasi ganjil.
Contoh 6 HasilKali Elementer Bertanda
• Buatlah daftar hasilkali elementer bertanda
dari matriks-matriks:


Penyelesaian (a):
Hasilkali Elementer
Permutasi yang
Berkaitan
Genap atau
Ganjil
Hasilkali
Elementer
Bertanda
a11 a22
(1, 2)
genap
a11 a22
a12 a21
(2, 1)
ganjil
−a12 a21
Penyelesaian (b):
Hasilkali Elementer
Permutasi yang
Berkaitan
Genap atau
Ganjil
Hasilkali
Elementer
Bertanda
a11 a22 a33
(1, 2, 3)
genap
a11 a22 a33
a11 a23 a32
(1, 3, 2)
ganjil
−a11 a23 a32
a12 a21 a33
(2, 1, 3)
ganjil
−a12 a21 a33
a12 a23 a31
(2, 3, 1)
genap
a12 a23 a31
a13 a21 a32
(3, 1, 2)
genap
a13 a21 a32
a13 a22 a31
(3, 2, 1)
ganjil
−a13 a22 a31
Fungsi Determinan
Misalkan A adalah suatu matriks bujur sangkar.
Fungsi determinan (determinant function)
dinotasikan dengan det dan didefenisikan det(A)
sebagai jumlah dari semua hasil kali elementer
bertanda dari A.
Contoh 7 Determinan dari Matriks 2 x 2 dan 3 x 3
• Mengacu pada contoh 6, didapat:
Menghitung Determinan 2x2 dan 3x3 (Cara lain)
Untuk memudahkan perhitungan determinan
dapat dilakukan dengan mengalikan entri-entri
yang arah panah ke kanan dan mengurangkannya
dengan hasil perkalian dari entri-entri dengan
arah panah ke kiri.
Contoh 8 Menghitung Determinan
• Hitunglah determinan dari:
Penyelesaian:
det (A) = (3)(−2) − (1)(4) = −10
det (B) = (45) + (84) + (96) − (105) − (−48) − (−72) = 240
Menghitung Determinan
Determinan dari matriks bujursangkar A dengan
ordo m x m, secara umum diberikan oleh:
dimana Aij adalah matriks A yang baris ke-i dan
kolom ke-j dihapus.
Contoh 9 Menghitung Determinan
• Hitunglah determinan dari:
Penyelesaian:
Contoh 10 Menghitung Determinan
• Hitunglah determinan dari:
Penyelesaian:
Menghitung Determinan dengan Reduksi Baris
Teorema Dasar



Pada bagian sebelumnya, sangat ampuh untuk
menghitung determinan jika matriks berukuran kurang
dari atau sama dengan 3 x 3, tidak berlaku lagi untuk
matriks yang ukuran lebih besar dari 3 x 3.
Oleh karena itu, dimulai dari teorema dasar yang akan
mengarahkan pada prosedur untuk menghitung matriks
dengan ordo n.
Teorema 1
Misalkan A adalah suatu matriks bujur sangkar.
a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan
nol, maka det(A) = 0.
b) det(A) = det(AT).
Matriks Segitiga

Teorema berikut mempermudah perhitungan
determinan suatu matriks segitiga, berapun
ukurannya.

Teorema 2
Misalkan A adalah suatu matriks segitiga n x n
(segitiga atas, segitiga bawah, atau diagonal) maka
det(A) adalah hasilkali dari entri-entri pada
diagonal utama matriks tersebut; yaitu
Contoh 11 Determinan Matriks Segitiga Atas
• Hitunglah determinan dari:
Penyelesaian:
Berdasarkan teorema 2, maka determinan dari Q adalah:
Operasi Baris Elementer

Teorema 3
Misalkan A adalah suatu matriks n x n.
a) Jika B adalah matriks yang diperoleh ketika satu
baris atau kolom dari A dikalikan dengan suatu
skalar k, maka det(B) = k det(B).
b) Jika B adalah matriks yang diperoleh ketika dua
baris atau dua kolom dari A dipertukarkan,
maka det (B) = − det (B).
c) Jika B adalah matriks yang diperoleh ketika
kelipatan dari satu baris A ditambahkan ke baris
lainnya atau ketika kelipatan dari satu kolom
ditambahkan ke kolom yang lain, maka
det (B) = det (A).
Contoh 12 Teorema 3 untuk Determinan 3x3

Baris pertama dari A
dikalikan dengan dengan k.

Baris pertama dan kedua
dari A dipertukarkan.
Contoh 12 Teorema 3 untuk Determinan 3x3
Suatu kelipatan dari baris kedua dari
A ditambahkan ke baris pertama.
Matriks Elementer

Teorema 4
Misalkan E adalah suatu matriks n x n.
a) Jika E adalah hasil perkalian suatu baris dari
In dengan k, maka det(E) = k.
b) Jika E adalah hasil pertukaran dua baris dari
In, maka det(E) = -1.
c) Jika E adalah hasil penjumlahan kelipatan
satu baris dari In, ke baris lainnya,
maka det(E) = 1.
Contoh 13 Determinan dari Matriks Elementer
Determinan matriks berikut dihitung dengan
inspeksi, menggunakan teorema 4.
Matriks dengan Baris/Kolom yang Proporsional



Jika suatu matriks bujursangkar A memiliki dua
baris yang proporsional, maka suatu baris bilangan
nol dapat dibentuk dengan cara menjumlahkan
kelipatan yang sesuai dari salah satu baris ke baris
yang lainnya.
Hal yang sama juga berlaku untuk kolom.
Teorema 5
Jika A adalah suatu matriks bujursangkar dengan
dua baris atau dua kolom yang proporsional, maka
det(A) = 0.
Contoh 14 Membentuk Baris Nol
Perhitungan berikut menggambarkan cara
membentuk suatu baris bilangan nol jika
terdapat dua baris yang proporsional:
Baris kedua merupakan 2 kali baris
pertama, sehingga dengan
menambahkan -2 kali baris pertama
ke baris kedua untuk membentuk
satu baris nol
Menghitung Determinan dengan Reduksi Baris

Mencari determinan dari suatu matriks dengan
reduksi baris adalah dengan membawa matriks
awal ke bentuk matriks segitiga atas, sehingga
memudahkan perhitungan.
Contoh 15 Reduksi Baris untuk Menghitung Determinan
Hitunglah det(A) di mana:
Penyelesaian:

Matriks A direduksi menjadi bentuk eselon baris
yaitu segitiga atas.
Baris pertama dan
kedua dari A
dipertukarkan
Suatu faktor bersama
yaitu 3 dari baris
pertama, dikeluarkan dari
tanda determinan
Penyelesaian:
Baris ketiga
mengurangi 2 kali
baris pertama
Baris ketiga
mengurangi 10 kali
baris kedua
Suatu faktor bersama
yaitu (-55), dan
dikeluarkan dari
determinan
Contoh 16 Reduksi Kolom untuk Menghitung Determinan
Hitunglah determinan dari
Mengubah B menjadi bentuk segitiga bawah
dengan melakukan operasi kolom; k3 − 2k1
Mau bertanya..?