Sesi 8.indd

X
FISIKA
GERAK MELINGKAR BERATURAN
TUJUAN PEMBELAJARAN
Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.
1.
Memahami definisi gerak melingkar beraturan dan ciri-cirinya.
2.
Memahami besaran-besaran dalam gerak melingkar beraturan.
3.
Memahami hubungan roda-roda pada gerak melingkar beraturan.
A. Gerak Melingkar Beraturan
Gerak melingkar beraturan (GMB) merupakan gerak suatu benda yang menempuh
lintasan berupa lingkaran dengan besar kecepatan linear tetap. Meskipun besar kecepatan
linearnya tetap, arah kecepatan linear selalu berubah dan menyinggung lingkaran. Pada
gerak melingkar beraturan, besar kecepatan sudut dan arah kecepatan sudut selalu tetap
sehingga tidak ada percepatan sudut pada gerak tersebut.
v
B
ω O
θ
v
A
Kela
s
K-13
B. Besaran-Besaran dalam GMB
1. Perpindahan Sudut
Perpindahan sudut merupakan perpindahan partikel pada gerak melingkar dengan
acuan tertentu. Perhatikan gambar berikut.
B
r
θ
r
O
s
A
Untuk berpindah dari posisi A ke B, roda telah menempuh perpindahan sudut
sebesar θ. Ini berarti, benda telah berputar sejauh θ melalui jarak linear gerak s.
Besarnya θ dalam radian adalah perbandingan antara jarak linear s dan jari-jari roda
r. Secara matematis, dapat dinyatakan sebagai berikut.
s
θ=
r
Keterangan:
θ = perpindahan sudut (rad);
s = jarak linear (m); dan
r = jarak partikel ke pusat lingkaran (m).
Satuan θ dalam Standar Internasional (SI) adalah radian. Satu radian (1 rad)
didefiniskan sebagai sudut saat panjang busur lingkaran (s) sama dengan jari-jari
lingkaran tersebut (r). Perhatikan bahwa jika s = r, maka θ bernilai 1 rad.
Hubungan antara sudut bersatuan radian dan sudut bersatuan derajat adalah
sebagai berikut.
Satu putaran = keliling lingkaran = 2πr
Sudut 1 putaran = 2π rad
Sudut 1 putaran = 360°
2π rad = 360°
360o
1 rad =
= 57,3o
2π
2
Contoh Soal 1
Ubahlah satuan sudut berikut.
1.
120o = ... rad
2. 1
π rad = ... derajat
3
Pembahasan:
1. Oleh karena 2π rad = 360°, maka:
120o =
120o
2
× 2π rad = π rad
3
360
o
2. Oleh karena 2π rad = 360°, maka:
1
1
360o
π rad = π ×
= 60o
3
3
2π
2. Periode dan Frekuensi
Periode adalah waktu yang dibutuhkan suatu benda yang begerak melingkar untuk
melakukan satu putaran penuh. Frekuensi adalah banyaknya putaran yang ditempuh
oleh suatu benda yang bergerak melingkar tiap sekon.
Keterangan:
T=
t
n
f=
n
t
T = periode (s);
f = frekuensi (Hz);
n = banyaknya putaran; dan
t = lamanya putaran (s).
Hubungan antara periode dan frekuensi adalah sebagai berikut.
f=
1
T
Selain definisi tersebut, satu periode juga dapat didefinisikan sebagai berikut.
Keterangan:
perpindahan sudut 2π
T=
=
kecepatan sudut
ω
T = periode (s); dan
ω = kecepatan sudut (rad/s).
3
Contoh Soal 2
Sebuah benda melakukan 480 kali putaran selama 2 menit. Besar frekuensi dan
periode putaran benda tersebut adalah ....
Pembahasan:
Diketahui:
n = 480 kali
t = 2 menit = 120 s
Ditanya: f dan T = ...?
Dijawab:
Frekuensi dan periode putaran suatu benda dirumuskan sebagai berikut.
f=
n 480
=
= 4Hz
t 120
T=
t 120 1
=
= = 0 , 25 s
n 480 4
Jadi, besar frekuensi dan periode putaran benda tersebut berturut-turut adalah 4 Hz
dan 0,25 s.
3. Kecepatan Sudut
Kecepatan sudut (kecepatan anguler) adalah besarnya sudut yang ditempuh tiap
satuan waktu. Satuan kecepatan sudut adalah rad/s. Adapun satuan lain yang sering
digunakan untuk menentukan kecepatan sudut pada sebuah mesin adalah rotation
2π
rad/s.
per minutes (rpm). 1 rpm = 2π rad/menit =
60
Keterangan:
2π
ω=
= 2π f
ω = kecepatan sudut (rad/s);
T
T = periode (s); dan
f = frekuensi (Hz).
Contoh Soal 3
Jika speedometer sebuah motor menunjukkan angka 1500 rpm, maka kecepatan
sudut putaran mesin motor tersebut dalam satuan rad/s adalah ....
4
Pembahasan:
Diketahui:
ω = 1500 rpm
Ditanya: ω (rad/s) = ...?
Dijawab:
Oleh karena 1 rpm =
2π
rad/s, maka:
60
2π
rad/s = 50π rad/s
60
Jadi, kecepatan sudut putaran mesin motor tersebut dalam satuan rad/s adalah
50π rad/s.
ω = 1500 ×
Contoh Soal 4
Sebuah benda bergerak melingkar dengan kecepatan sudut 50π rad/s. Frekuensi
putaran gerak benda tersebut adalah ....
Pembahasan:
Diketahui:
ω = 50π rad/s
Ditanya: f = ... ?
Djawab:
Kecepatan sudut suatu benda yang bergerak melingkar dirumuskan sebagai
berikut.
ω = 2πf
⇔ 50π = 2πf
⇔ f = 25 Hz
Jadi, frekuensi putaran gerak benda tersebut adalah 25 Hz.
4. Kecepatan Linear dan Percepatan Sentripetal
Kecepatan linear adalah kecepatan benda yang arahnya selalu menyinggung lintasan
lingkaran. Kecepatan linear juga selalu tegak lurus dengan garis yang ditarik dari
pusat lingkaran ke titik tangkap vektor kecepatan pada saat itu (jari-jari lingkaran).
5
Secara umum, kecepatan linear didefinisikan sebagai hasil bagi panjang
lintasan linear yang ditempuh benda dengan selang waktunya. Panjang lintasan
dalam gerak melingkar berupa keliling lingkaran, yaitu 2πr. Jika selang waktu yang
diperlukan untuk menempuh satu putaran adalah 1 periode (T), maka kecepatan
linear dirumuskan sebagai berikut.
v=
2π r
= ωr
T
Arah kecepatan linear pada gerak melingkar beraturan selalu berubah sehingga
terdapat percepatan pada gerak tersebut. Percepatan yang dimaksud adalah
percepatan sentripetal atau radial. Percepatan sentripetal merupakan percepatan
yang arahnya selalu menuju pusat lingkaran dan tegak lurus dengan kecepatan
linearnya. Fungsi percepatan sentripetal ini adalah untuk mengubah arah kecepatan
benda. Secara matematis, percepatan sentripetal dirumuskan sebagai berikut.
v2
as = = ω 2 R
R
Keterangan:
as = percepatan sentripetal (m/s²);
v = kecepatan linear (m/s);
R = jari-jari lintasan melingkar (m); dan
ω = kecepatan sudut (rad/s).
5. Gaya Sentripetal
Gaya sentripetal merupakan gaya yang ditimbulkan akibat percepatan sentripetal.
Sama halnya dengan percepatan sentripetal, gaya sentripetal juga mengarah ke
pusat lingkaran. Gaya sentripetal harus selalu ada agar objek tetap bergerak dalam
lintasannya. Secara matematis, gaya sentripetal dirumuskan sebagai berikut.
v2
Fs = mas = m = mω 2 R
R
Keterangan:
Fs = gaya sentripetal (N);
as = percepatan sentripetal (m/s²);
v
= kecepatan linear (m/s);
R
= jari-jari lintasan melingkar (m); dan
ω
= kecepatan sudut (rad/s).
Contoh Soal 5
Sebuah benda bermassa 0,05 kg diikat dengan tali yang panjangnya 0,5 meter. Jika
benda diputar dengan kecepatan sudut 8 rad/s, tentukanlah:
6
a. kecepatan linearnya;
c. percepatan sentripetalnya; dan
b. frekuensi putarannya;
d. gaya sentripetalnya.
Pembahasan:
Diketahui:
m = 5 × 10–2 kg
L = R = 0,5 m
ω = 8 rad/s
Ditanya: a.
v = ...?
c. as = ...?
b.
f = ... ?
d. Fs = ...?
Dijawab:
a. Oleh karena benda bergerak melingkar beraturan, maka kecepatan linearnya
dirumuskan sebagai berikut.
v = ω.R
= 8 × 0,5
= 4 m/s
Jadi, kecepatan linear benda tersebut adalah 4 m/s.
b. Berdasarkan rumus kecepatan sudut, diperoleh:
ω = 2π.f
8 = 2π.f
4
Hz
π
4
Jadi, frekuensi putarannya adalah Hz.
π
Berdasarkan rumus percepatan sentripetal, diperoleh:
f =
c. as = ω2 R
= 8² . 0,5
= 32 m/s²
Jadi, percepatan sentripetalnya adalah 32 m/s².
d. Berdasarkan rumus gaya sentripetal, diperoleh:
Fs = m.as
= 5 × 10–2.32
= 1,6 N
Jadi, gaya sentripetalnya adalah 1,6 N.
7
Contoh Soal 6
Benda bermassa 50 gram diikat dengan tali yang panjangnya 1 meter dan diputar
horizontal sehingga bergerak melingkar beraturan. Jika dalam waktu 4 sekon terjadi
2 putaran, maka percepatan sentripetal benda tersebut adalah .... (π² =10)
Pembahasan:
Diketahui:
m = 50 gram = 0,05 kg
L = R = 1 m
t =4s
n = 2 putaran
π² = 10
Ditanya: as = ... ?
Dijawab:
Mula-mula, tentukan frekuensi putarannya.
n 2 1
f = = = Hz
t 4 2
Kemudian, tentukan percepatan sentripetalnya dengan rumus berikut.
as = ω2 R = (2πf)². R
2
= æçç2π . 1ö÷÷ .1
çè
2 ÷ø
= π²
= 10 m/s²
Jadi, percepatan sentripetal benda tersebut adalah 10 m/s².
Contoh Soal 7
Benda bermassa 5 kg diikat dengan tali yang panjangnya 1 meter dan diputar vertikal
sehingga bergerak melingkar beraturan. Jika frekuensi putarannya 2 Hz dan g =10
m/s², maka tegangan tali saat benda di titik tertinggi adalah .... (π²=10)
8
Pembahasan:
Diketahui:
m = 5 kg
L =R=1m
f = 2 Hz
g = 10 m/s²
π² = 10
Ditanya: T = ... ?
Dijawab:
Uraikan dahulu gaya-gaya yang bekerja pada benda di titik tertinggi.
Fs
T
mg
R
Agar benda tidak terlempar, maka:
ΣF = 0
FS – T – w = 0
T = FS – w
= FS – mg
= m ω2 R – m.g
= m(2πf)2.R – m.g
= 5 .4π2.4 .1 – 5.10
= 800 – 50
= 750 N
Jadi, tegangan tali saat benda di titik tertinggi adalah 750 N.
9
C. Hubungan Roda-Roda
1. Hubungan Roda-Roda Sepusat atau Seporos
R1
R2
Roda-roda sepusat atau seporos memiliki kecepatan sudut yang sama.
w1 = w2
v1 v 2
=
R1 R2
Jika R2 > R1, maka v2 > v1.
2. Hubungan Roda-Roda yang Bersinggungan atau Dihubungkan
dengan Rantai
R1
R2
R1
R2
Roda-roda yang bersinggungan atau dihubungkan dengan rantai memiliki kecepatan
linear yang sama.
v1 = v2
ω1.R1 = ω2.R2
Jika R1 < R2, maka ω1 > ω2.
10
Contoh Soal 8
Tiga buah roda dihubungkan seperti gambar berikut.
RC
RA
RB
Jika jari-jari roda A, B, dan C berturut-turut 8 cm, 2 cm, dan 6 cm, maka perbandingan
kecepatan sudut roda A dan B adalah ....
Pembahasan:
Diketahui:
RA = 8 cm
RB = 2 cm
RC = 6 cm
Ditanya: ωA : ωB = ... ?
Dijawab:
Oleh karena roda B dan C seporos, maka berlaku:
ω B = ωC
Oleh karena roda A dan C dihubungkan dengan rantai, maka berlaku:
vA = vC
ωA.RA = ωC.RC
(ωB = ωC)
ωA.RA = ωB.RC
ω A RC 6 3
=
= =
ωB RA 8 4
Jadi, perbandingan kecepatan sudut roda A dan B adalah 3 : 4.
11
Contoh Soal 9
Hubungan roda A, B, C, dan D digambarkan seperti berikut.
RC
RB
RA
RD
Diketahui jari-jari roda A sama dengan jari-jari roda B yaitu sebesar R, jari-jari roda C =
1,5R, dan jari-jari roda D = 3R. Jika roda A diputar dengan laju konstan 12 m/s, maka
kecepatan linear roda D adalah ....
Pembahasan:
Diketahui:
RA = RB = R
RC = 1,5R
RD = 3R
vA = 12 m/s
Ditanya: vD = ... ?
Dijawab:
Oleh karena roda A dan C dihubungkan dengan rantai, maka berlaku:
vA = vC
Oleh karena roda B, C, dan D seporos, maka berlaku:
ωB = ωC = ωD
Oleh karena ωC = ωD, maka:
ω C = ωD
vC vD
=
RC RD
(vA = vC)
v A vD
=
RC RD
12
12 v D
=
1, 5R 3R
vD = 24 m/s
Jadi, kecepatan linear roda D adalah 24 m/s.
Contoh Soal 10
Hubungan roda A, B, C, dan D digambarkan seperti berikut.
RC
RA
RD
RB
3
R , jari-jari roda A dua
2
kali jari-jari roda C, dan jari-jari roda B = 2R. Jika kecepatan sudut roda A = 200 rad/s,
maka kecepatan linear roda B adalah ....
Diketahui jari-jari roda D adalah R = 2 cm, jari-jari roda C =
Pembahasan:
Diketahui:
RD = R = 2 cm = 0,02 m
3
R = 1,5R
2
3
RA = 2RC = 2( R) = 3R
2
RB = 2R
RC =
ωA = 200 rad/s
Ditanya: vB = ... ?
13
Dijawab:
Berdasarkan gambar pada soal, diperoleh:
vA = vC (bersinggungan)
vB = vD (dihubungkan dengan rantai)
ωC = ωD (seporos)
Mula-mula, tentukan dahulu kecepatan linear roda A.
v A = ω A rA
= 200.3R
= 200.3.0 , 02
= 12 m/s
Kemudian, gunakan hubungan roda-roda tersebut untuk menentukan kecepatan
linear roda B.
ω C = ωD
vC vD
=
RC RD
(vA = vC)
v A vD
=
RC RD
12 v D
=
1, 5R R
vD = 8 m/s
Oleh karena vB = vD, maka vB = 8 m/s
Jadi,kecepatan linear roda B adalah 8 m/s.
14