i MODEL MATEMATIS DAN SIMULASI PERGERAKAN HARGA

MODEL MATEMATIS DAN SIMULASI
PERGERAKAN HARGA SAHAM
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Disusun Oleh :
RIDWAN RAHADIYANTO
NIM : 033114011
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2009
i
MATHEMATICAL MODEL AND SIMULATION
OF ASSET PRICE MOVEMENT
THESIS
Presented As a Partial Fulfillment of The Requirements
to Obtain The Sarjana Sains Degree
In Mathematics
by :
Ridwan Rahadiyanto
Student Number : 033114011
MATHEMATICS STUDY PROGRAM
DEPARTEMENT OF MATHEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2009
i
120
LAMPIRAN
Data Harga Saham
Harga saham IBM harian :
Tanggal
Harga
28-Sep-01
86.01
30-Jul-01
99.13
4-Jun-01
106.42
6-Apr-01
91.62
9-Feb-01
104.76
27-Sep-01
84.39
27-Jul-01
98.05
1-Jun-01
105.72
5-Apr-01
91.86
8-Feb-01
106.72
26-Sep-01
85.61
26-Jul-01
99.27
31-May-01
104.7
4-Apr-01
86.05
7-Feb-01
109.35
25-Sep-01
88.57
25-Jul-01
98.23
30-May-01
105.49
3-Apr-01
84.55
6-Feb-01
106.69
24-Sep-01
88.89
24-Jul-01
97.87
29-May-01
107.95
2-Apr-01
88.54
5-Feb-01
104.84
21-Sep-01
84.86
23-Jul-01
99.13
25-May-01
110.32
30-Mar-01
89.96
2-Feb-01
103.02
20-Sep-01
87.58
20-Jul-01
98.99
24-May-01
112
29-Mar-01
88.89
1-Feb-01
106.55
19-Sep-01
90.02
19-Jul-01
97.39
23-May-01
109.94
28-Mar-01
88.31
31-Jan-01
104.64
18-Sep-01
90.4
18-Jul-01
97.66
22-May-01
110.51
27-Mar-01
93.07
30-Jan-01
108.95
17-Sep-01
87.53
17-Jul-01
101.64
21-May-01
111.48
26-Mar-01
89.23
29-Jan-01
107.42
10-Sep-01
90.46
16-Jul-01
100.97
18-May-01
109.98
23-Mar-01
87.46
26-Jan-01
106.69
7-Sep-01
90.57
13-Jul-01
101.64
17-May-01
107.76
22-Mar-01
83.34
25-Jan-01
103.47
6-Sep-01
91.9
12-Jul-01
100.44
16-May-01
108.44
21-Mar-01
83.32
24-Jan-01
103.18
5-Sep-01
94.1
11-Jul-01
97.25
15-May-01
106.36
20-Mar-01
82.59
23-Jan-01
101.89
4-Sep-01
95.17
10-Jul-01
95.48
14-May-01
105.41
19-Mar-01
86.61
22-Jan-01
101.43
31-Aug-01
93.72
9-Jul-01
98.07
11-May-01
104.71
16-Mar-01
84.27
19-Jan-01
103.94
30-Aug-01
94.11
6-Jul-01
99.73
10-May-01
107.88
15-Mar-01
89.38
18-Jan-01
101.19
29-Aug-01
97.64
5-Jul-01
104.98
9-May-01
109.55
14-Mar-01
88.82
17-Jan-01
90.34
28-Aug-01
98.41
3-Jul-01
105.8
8-May-01
110.22
13-Mar-01
92.03
16-Jan-01
86.65
27-Aug-01
100.2
2-Jul-01
107.09
7-May-01
108.41
12-Mar-01
89.32
12-Jan-01
87.64
24-Aug-01
100.33
29-Jun-01
106.29
4-May-01
108.37
9-Mar-01
92.87
11-Jan-01
87.53
23-Aug-01
96.58
28-Jun-01
107.79
3-May-01
106.35
8-Mar-01
99.59
10-Jan-01
87.3
22-Aug-01
97.48
27-Jun-01
106.31
2-May-01
107.94
7-Mar-01
100.6
9-Jan-01
86.48
21-Aug-01
95.54
26-Jun-01
105.86
1-May-01
110.85
6-Mar-01
99.15
8-Jan-01
87.41
20-Aug-01
97.62
25-Jun-01
105.49
30-Apr-01
107.7
5-Mar-01
98.13
5-Jan-01
87.82
17-Aug-01
98.07
22-Jun-01
105.7
27-Apr-01
108.69
2-Mar-01
95.69
4-Jan-01
87.07
16-Aug-01
99.16
21-Jun-01
105.45
26-Apr-01
106.39
1-Mar-01
99.19
3-Jan-01
88.4
15-Aug-01
98.47
20-Jun-01
105.91
25-Apr-01
107.42
28-Feb-01
93.44
2-Jan-01
79.24
14-Aug-01
99.58
19-Jun-01
107.54
24-Apr-01
105.38
27-Feb-01
95.96
13-Aug-01
99.27
18-Jun-01
107.01
23-Apr-01
104.76
26-Feb-01
98.49
10-Aug-01
98.41
15-Jun-01
106.38
20-Apr-01
107.41
23-Feb-01
97.28
9-Aug-01
97.6
14-Jun-01
108.4
19-Apr-01
107.07
22-Feb-01
101.86
8-Aug-01
97.7
13-Jun-01
109.14
18-Apr-01
99.61
21-Feb-01
100.56
7-Aug-01
99.5
12-Jun-01
109.8
17-Apr-01
93.25
20-Feb-01
104.29
6-Aug-01
99.74
11-Jun-01
109.9
16-Apr-01
90.49
16-Feb-01
107.56
3-Aug-01
101.31
8-Jun-01
108.72
12-Apr-01
89.98
15-Feb-01
109.23
2-Aug-01
101.89
7-Jun-01
109.8
11-Apr-01
91.13
14-Feb-01
107.66
1-Aug-01
100.26
6-Jun-01
110.04
10-Apr-01
92.65
13-Feb-01
106.4
31-Jul-01
98.53
5-Jun-01
109.54
9-Apr-01
89.79
12-Feb-01
107.47
hidup adalah awal
hidup adalah sebuah kertas yang kosong
hidup adalah sebuah nafas
hidup adalah pembelajaran
hidup adalah perjuangan
hidup adalah perbuatan
hidup adalah sebuah perjalanan
hidup adalah pilihan-pilihan
hidup adalah tanggungjawab
hidup adalah penantian
hidup adalah menyayangi
hidup adalah memahami
hidup adalah mencintai
hidup adalah memberi
hidup adalah menikmati
hidup adalah akhir
melalui hidup kita belajar banyak hal dan satu hal yang
pasti
“ susahku saiki durung cukup kanggo
mbayar senengku mbesuk, gusti ra bakalan
menehi cobaan sing ora iso dihadapi
hambane ”
dipemberhentian perjalananku ini kupersembahkan
kerja kerasku selama ini untuk
allah bapa, jesus kristus dan bunda maria,
penuntun jalanku
bapak, ibu n ade’, alasan hidupku
almamaterku
v
ABSTRAK
Pergerakan harga saham pada dasarnya tidak dapat diprediksi dengan
pasti, tetapi pergerakan tersebut dapat diperkirakan. Untuk memperkirakan
pergerakan harga saham, maka akan dibuat suatu model matematika yang
memanfaatkan pembangkitan bilangan random sebagai sampel data harga
sahamnya. Melalui model matematika tersebut dapat diperoleh suatu simulasi
pergerakan harga saham.
Suatu data harga saham yang akan diprediksi pergerakannya harus diuji
terlebih dahulu normalitas returnnya. Hal ini dikarenakan model matematika dan
simulasi pergerakan harga saham tersebut akan berlaku untuk data harga saham
yang mempunyai return yang berdistribusi normal. Dengan menggunakan ratarata dan simpangan baku data harga saham yang sesungguhnya dan komputasi
asset path, maka akan didapatkan suatu perkiraan pergerakan harga saham.
vi
ABSTRACT
It is basically impossible to define the movement of asset price, but it is
possible to make some predictions. A mathematical model is designed in order to
estimate the movement of asset price. This model uses random numbers as the
sample of the asset price and can be used as a simulation model of the movement
of asset price.
The distribution of the estimated asset price return should be tested
whether it is normally distributed or not. The reason is, the fact that the
mathematical model and asset price simulation will only be work for asset price
that the return has normally distributed. The estimation of asset price movement
can be estimate by counting the mean and standard deviation of the real asset
price and the computation of asset path.
vii
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kepada Tuhan Yesus di Surga, karena berkat dan cinta
yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.
Dalam penulisan skripsi ini, penulis banyak menemui hambatan dan
kesulitan. Namun, berkat bantuan dan dukungan dari banyak pihak, akhirnya
skripsi ini dapat terselesaikan. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan terima
kasih kepada :
1. Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si, M.Si, selaku dosen pembimbing
skripsi dan dosen pembimbing akademik yang selalu sabar dan memberi
semangat kepada penulis selama kuliah dan penyusunan skripsi ini.
2. Bapak Yosef Agung Cahyanta, S.T., M.T, selaku Dekan Fakultas Sains
dan Teknologi.
3. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih S.Si, M.Si, selaku Ketua Program Studi
Matematika yang telah banyak membantu dan memberi saran.
4. Bapak Ir. Ignatius Aris Dwiatmoko, M.Sc, selaku penguji yang telah
banyak memberikan masukan kepada penulis.
5. Bapak dan Ibu Dosen Fakultas Sains dan Teknologi yang telah
memberikan bekal ilmu yang sangat berguna bagi penulis.
6. Bapak Tukijo dan Ibu Linda yang telah memberikan pelayanan
administrasi selama penulis kuliah.
7. Perpustakaan USD yang telah memberikan fasilitas dan kemudahan
kepada penulis.
8. Kedua orang tua dan ade’ku yang selalu memberikan dukungan untuk
hidupku.
9. Dek ayoe yang telah menemani saat-saat akhir penulisan, Gimbo yang
telah memberikan pelajaran hidup yang sangat berharga.
10. Teman-teman seangkatan 2003 : Eko, Koko, Wedus, Valent, Merry, Itha,
Mekar, Septi,
Anin, Dewi, Sumi, Cicil yang selalu semangat dalam
menjalani perkuliahan.
viii
11. Bani, Aan, Taim, Galih, Markus, Tato, Ijub, yang memberikan banyak
masukan dan dorongan.
12. Kakak-kakak dan Adek-adek angkatan dari 2000 sampai 2008, terima
kasih atas keceriaan selama kuliah bareng.
13. Anak-anak kos Pake : Kelik, Asok, Sandex, Mas Jo, Usup, Ijuk, Uduk,
Otonx, Mas Wawan yang telah banyak memberikan banyak bantuan
selama pengerjaan skripsi ini.
14. Komunitas Kodox Ijo : Didied, Gon-gon, Don Pelikpo, Topan, Tpe,
Baiban, yang telah memberikan banyak masukan mengenai pengerjaan
skripsi.
15. Personil kos Rafli : Moestapa, Tora, mehonx, Fajar, Briti, dan Kang
Moejhi yang selalu memberikan semangat dan juga Anggey n Ana atas
nasehat-nasehatnya.
16. Angota-anggota ITI : Gondrong , RT, Betut, Sumin, Gawer, Leo, Ooz,
Jaja, dogox, Lili, lia dan anggota-anggota yang lainnya yang telah
memberikan banyak pengetahuan tentang sintak-sintak program dan
software.
17. Anak-anak KKN : Soesoeh, Poli, Desi, Evi, Lusi, Lian, Helen, Reni
makasih untuk kekompakan dan semangatnya.
18. Gank Psycho : Cazanopa, Kotong, Tombir, Antoks, Yanu, Sobir,
KampretZ, Gondel, Arex, Gendut (Teman kita yang telah berpulang,
moga-moga diterima disisinya), Thika, Imel, Linda, Ling-ling, Utut,
terima kasih atas persabatannya.
ix
Penulis juga tidak lupa mengucapkan terima kasih kepada pihak yang
membantu penulis dalam penulisan skripsi ini yang tidak bisa disebutkan satu per
satu disini. Tiada yang sempurna, demikian juga skripsi ini. Masukan dan kritikan
yang membangun untuk kesempurnaan skripsi ini menjadi kehormatan bagi
penulis.
Yogyakarta,
Penulis
x
Februari 2009
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL…………………………………………………………..
i
HALAMAN JUDUL (INGGRIS)……………………………………………..
i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING…………………………….....
ii
HALAMAN PENGESAHAN………………………...………………………. iii
HALAMAN KEASLIAN KARYA………………………...…………………
iv
HALAMAN PERSEMBAHAN…………………………………………….....
v
ABSTRAK……………………………………………………………..............
vi
ABSTRACT…………………………………………………………………… vii
KATA PENGANTAR………………………………………………………… viii
DAFTAR ISI…………………………………………………………………..
xi
DAFTAR TABEL……………………………………………………………. xiv
DAFTAR GAMBAR…………………………………………………………. xv
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang…………………………………………………… 1
B. Perumusan Masalah………………………………………………
4
C. Pembatasan Masalah………………………………………...........
4
D. Tujuan Penulisan…………………………………………............. 4
E. Metode Penulisan…………………………………………............ 5
F. Manfaat Penulisan………………………………………………... 5
xi
G. Sistematika Penulisan…………………………………….............
5
BAB II LANDASAN TEORI
A. Variabel Random ……………………………………………….... 7
B. Fungsi Probabilitas
1. Fungsi Distribusi Kumulatif Diskret………………………. 10
2. Fungsi Distribusi Kumulatif Kontinu……………………… 10
3. Fungsi Densitas…………………………………………….. 10
C. Nilai Harapan dan Variansi……………………………………… 11
D. Distribusi Normal………………………………………………… 14
E. Fungsi Variabel Random………………………………………… 22
F. Distribusi Lognormal…………………………………………….. 27
G. Teorema Limit Pusat…………………………………………….. 31
H. Interval Kepercayaan …………………………………………… 32
I. Simulasi Komputer………………………………………………. 38
J. Penduga Densitas Kernel………………………………………… 44
K. Kuantil-Kuantil Plot……………………………………………… 47
L. Teorema Limit Pusat Dalam Simulasi Komputer……………….. 54
BAB III MODEL MATEMATIKA PERGERAKAN HARGA SAHAM
A. Pergerakan Harga Saham………………………………………… 59
B. Model Matematis Harga Saham
1. Model Saham Diskret……………………………………… 68
2. Model Harga Saham Kontinu……………………………… 69
3. Distribusi Lognormal Harga Saham……………………….. 74
xii
4. Interval Konvidensi Harga Saham………………………… 83
C. Komputasi Asset Path
1. Pola Pergerakan Harga Saham
dengan Skala Waktu yang Berbeda……………………….. 95
2. Jumlah Kuadrat Return……………………………………. 100
BAB IV APLIKASI PADA HARGA SAHAM INDONESIA
Analisa harga saham Indonesia……………………………………… 108
BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan ………………………………………………………118
B. Saran………………………………………………………………118
DAFTAR PUSTAKA…………………………………………………….119
LAMPIRAN………………………………………………………………120
xiii
DAFTAR TABEL
Tabel 2.2.1
…………………..……………………………............................
Tabel 2.3.1
………………….…………………………………….................. 12
Tabel 2.9.1
………………….……………………………………………….. 41
Tabel 2.9.2
…………………………………………………………………... 43
Tabel 3.1.1
…………………………………………………………………... 65
Tabel 3.1.2
……………………………………………………………………66
xiv
9
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.4.1
……………………………………………………………... 16
Gambar 2.7.1
……………………………………………………………..
34
Gambar 2.7.2
……………………………………………………………..
37
Gambar 2.10.1
…………….……………………………………………….
45
Gambar 2.10.2
……………………………………………………………..
45
Gambar 2.10.3
……………………………………………………………..
46
Gambar 2.10.4
……………………………………………………………..
47
Gambar 2.11.1
……………………………………………………………..
51
Gambar 2.11.2
……………………………………………………………..
52
Gambar 2.11.3
……………………………………………………………..
54
Gambar 2.12.1
……………………………………………………………..
56
Gambar 2.12.2
……………………………………………………………..
57
Gambar 3.1.1
……………………………………………………………..
60
Gambar 3.1.2
……………………………………………………………..
61
Gambar 3.1.3
……………………………………………………………..
63
Gambar 3.1.4
……………………………………………………………..
64
Gambar 3.1.5
……………………………………………………………..
64
Gambar 3.1.6
……………………………………………………………..
67
Gambar 3.1.7
……………………………………………………………..
68
Gambar 3.2.1
……………………………………………………………..
82
Gambar 3.2.2
……………………………………………………………..
82
xv
Gambar 3.3.1
……………………………………………………………..
88
Gambar 3.3.2
……………………………………………………………..
89
Gambar 3.3.3
……………………………………………………………..
90
Gambar 3.3.4
……………………………………………………………..
92
Gambar 3.3.5.1
…………………………………………………………......
92
Gambar 3.3.5.2
……………………………………………………………..
93
Gambar 3.3.6
…………………………………………………………….
94
Gambar 3.3.7
…………………………………………………………….
94
Gambar 3.3.8
…………………………………………………………….
96
Gambar 3.3.9
……………………………………………………………. 101
Gambar 3.3.10
……………………………………………………………. 105
Gambar 3.3.11
……………………………………………………………. 105
Gambar 3.3.12
……………………………………………………………. 106
Gambar 3.3.13
……………………………………………………………. 106
Gambar 3.3.14
……………………………………………………………. 107
Gambar 4.1
……………………………………………………………. 108
Gambar 4.2
……………………………………………………………. 109
Gambar 4.3
……………………………………………………………. 109
Gambar 4.4
……………………………………………………………. 110
Gambar 4.5
……………………………………………………………. 110
Gambar 4.6
……………………………………………………………. 112
Gambar 4.7
……………………………………………………………. 113
Gambar 4.8
……………………………………………………………. 113
xvi
Gambar 4.9
……………………………………………………………. 114
Gambar 4.10
……………………………………………………………. 114
Gambar 4.11
……………………………………………………………. 114
Gambar 4.12
……………………………………………………………. 116
Gambar 4.13
……………………………………………………………. 116
xvii
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari kadang dijumpai pemberitaan tentang saham,
pergerakan harga saham, investasi dalam bentuk saham, dan jual beli saham.
Tetapi belum tentu setiap orang tahu tentang definisi dan seluk beluk pergerakan
harga saham. Definisi saham itu sendiri adalah suatu obyek finansial yang
nilainya diketahui pada saat ini, tetapi dapat berubah pada masa yang akan datang.
Harga saham pada dasarnya digunakan sebagai ukuran kepercayaan seorang
investor. Hal ini akan dipengaruhi faktor-faktor yang ada seperti berita yang
sedang berkembang, keadaan geografis, desas-desus, spekulasi dan lain
sebagainya. Pergerakan harga saham yang sedang berkembang menggambarkan
semua informasi untuk diketahui investor dan semua perubahan pada harga akan
memberikan informasi baru (hipotesis efisiensi pasar). Menurut hipotesis efisiensi
pasar, jika ingin memprediksi harga saham untuk masa yang akan datang maka
harus diketahui secara lengkap tentang sejarah dari data harga saham sebelumnya
dan faktor-faktor lain seperti keadaan perusahaan, keadaan geografis, spekulasi
dan lain sebagainya. Tetapi pada pembahasan kali ini hanya akan digunakan
sejarah dari data harga saham sebelumnya untuk memprediksi pergerakan harga
saham. Karena pergerakan harga saham pada dasarnya tidak dapat diprediksi
secara pasti, maka akan dibuat model matematika tentang pergerakan harga saham
2
tersebut. Definisi dari model matematika itu sendiri adalah representasi simbolik
yang melibatkan formulasi matematika.
Jika diberikan harga saham S0 pada saat t = 0, tujuannya adalah untuk
membuat model matematika yang mendeskripsikan harga saham S(t) pada waktu t
(0 ≤ t ≤ T). Seperti yang telah disebutkan diatas, karena pergerakan harga saham
pada dasarnya tidak dapat diprediksi secara pasti, maka S(t) merupakan sebuah
variabel random untuk setiap t. Meskipun harga saham biasanya dibulatkan
menjadi satu atau dua tempat desimal, diasumsikan bahwa harga saham memiliki
nilai ≥ 0. Model harga saham ada dua macam model yaitu model saham diskret
dan model saham kontinu.
Pada perubahan yang tidak dapat diprediksi secara pasti akan ditambahkan
sebuah kenaikan fluktuasi random pada persamaan. Supaya tepat dimisalkan ti =
iδt, dimana δ t adalah interval waktu kecil, sehingga harga saham dapat ditentukan
pada titik-titik diskret { t i }.
Model waktu diskretnya adalah,
S(ti+1) = S(ti) + µ δtS(ti) + σ δt YiS(ti) , dimana
•
µ adalah parameter konstan (biasanya µ > 0, sehingga µδtS(ti)
menggambarkan sebuah pergerakan naik pada harga saham).
•
σ ≥ 0 adalah parameter konstan yang menentukan kekuatan fluktuasi
random, dan disebut volatilitas.
•
Y0,Y1,Y2,…adalah bilangan random yang berdistribusi identik dan
independen N(0,1).
3
Untuk mendapatkan sebuah model perubahan relatif dalam interval waktu δt,
dimisalkan δt → 0 dengan tujuan untuk mendapatkan sebuah model yang valid
untuk t yang kontinu dalam interval 0 ≤ t ≤ T . Pergerakan harga saham yang
diberikan pada bursa-bursa saham pada dasarnya pergerakan secara diskret tetapi
semakin kecil interval perubahan waktunya, harga saham tidak lagi bersifat
diskret. Oleh karena itu pergerakan harga saham akan didekatkan pada model
saham kontinu.
Misalkan interval waktu [0, t] dengan t = Lδt. Diketahui S(0) = S0, dan dari
model diskret diperoleh S(δt), S(2δt), .., S(Lδt=t).
Maka model waktu kontinunya pada saat t adalah
S(t) = S0e
1
( µ − σ 2 ) t +σ t Z
2
, dimana Z berdistribusi N(0,1).
Kemudian model matematis tersebut disimulasikan. Pertama-tama akan
digunakan komputer untuk membangkitkan bilangan random dan dari bilangan
random ini digunakan untuk membangkitkan nilai variabel random. Kemudian
akan
ditunjukkan
bagaimana
menggunakan
variabel
membangkitkan model diskret dan kontinu terhadap waktu.
random
untuk
4
B. Perumusan Masalah
Masalah yang akan dibahas pada skripsi ini adalah :
1. Bagaimana menyusun model saham kontinu dari model saham diskret?
2. Bagaimana cara menyimulasikan model matematika dari pergerakan harga
saham?
3. Bagaimana mengaplikasikan model tersebut pada pergerakan harga saham
di Indonesia?
C. Pembatasan Masalah
1. Teorema Limit Pusat tidak dibuktikan.
2. Model yang akan dibahas dalam skripsi ini hanya model return harga
saham, model harga saham diskret dan model harga saham kontinu.
3. Hanya akan digunakan sejarah dari data harga saham untuk menganalisa
pergerakan harga saham.
4. Program yang digunakan adalah Exel, SPSS, dan Matlab.
5. Grafik frekuensi relatif, penduga densitas kernel dan grafik kumulatif pada
bab II dan bab III berupa histogram, tetapi karena keterbatasan Matlab
maka tampak seperti grafik bar.
D. Tujuan Penulisan
Tujuan dari penulisan dari skripsi ini adalah untuk membuat model
matematis dari pergerakan harga saham dan menyimulasikannya. Melalui
5
simulasi tersebut pergerakan suatu saham dapat dianalisa, sehingga dapat
diperoleh prediksi pergerakannya untuk waktu yang akan datang.
E. Metode Penulisan
Penulisan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka, yaitu dengan
menggunakan buku-buku, jurnal, dan makalah yang telah dipublikasikan,
sehingga tidak ditemukan hal baru.
F. Manfaat Penulisan
Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah dapat dipahami hubungan model
saham diskret dan model saham kontinu. Selain itu pembaca dapat juga
memperoleh prediksi tentang pergerakan harga saham untuk waktu yang akan
datang.
G.
Sistematika Penulisan
BAB I:
PENDAHULUAN
Dalam bab I dibahas tentang latar belakang, perumusan
masalah,
pembatasan masalah, tujuan penulisan, metode
penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika penulisan.
6
BAB II:
LANDASAN TEORI
Dalam bab II akan dibahas tentang variabel random, fungsi
probabilitas, nilai harapan dan variansi, distribusi normal,
fungsi variabel random, distribusi lognormal, teorema limit
pusat, interval konvidensi, simulasi komputer, penduga
densitas kernel, kuantil-Kuantil plot, dan teorema limit pusat
dalam simulasi komputer.
BAB III:
MODEL
MATEMATIKA
DAN
SIMULASI
PERGERAKAN HARGA SAHAM
Dalam bab III ini akan dibahas tentang pergerakan harga
saham, model matematika harga saham dan juga komputasi
aset path.
BAB IV:
APLIKASI PADA HARGA SAHAM INDONESIA
Dalam bab IV ini akan diberikan contoh analisa data harga
saham yang ada di Indonesia dengan menggunakan model
harga saham dan komputasi asset path.
BAB V:
PENUTUP
Dalam bab V ini akan diberikan tentang kesimpulan dan
saran.
BAB II
LANDASAN TEORI
A. Variabel Random
Gagasan untuk mendefinisikan sebuah fungsi yang dikenal dengan
variabel random timbul karena model-model matematika diekspresikan dalam
bentuk nilai-nilai numeris daripada hasil percobaan asli seperti sisi, warna, atau
yang lain.
Definisi 2. 1.1:
Variabel random, misalnya X adalah fungsi yang didefinisikan pada ruang sampel
S, yang memetakan setiap elemen e ∈ S kebilangan real.
Notasi : X (e) = x, e ∈ S
x∈ R
Untuk lambang variabel random digunakan huruf-huruf kapital X, Y, Z,
sedangkan untuk melambangkan nilai variabel random yang mungkin, digunakan
huruf-huruf kecil yang bersesuaian seperti x, y, z.
Contoh 2. 1.1:
Jika seseorang melempar dua buah dadu secara bersamaan maka,
ruang sampel S = {(i,j)}| i,j ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}}.
Variabel random X menyatakan jumlah bilangan yang muncul pada kedua buah
dadu maka X(i,j) = i + j, sehingga X(1,2) = 1 + 2 = 3
X(6,3) = 6 + 3 = 9
8
Konsep variabel random dapat dipahami sebagai sebuah pemetaan dari
himpunan S kehimpunan bilangan bilangan real. Kemudian konsep ini dipakai
untuk menghitung peluang timbulnya suatu kejadian.
Dengan mengambil contoh 2.1.1, didefinisikan kejadian memperoleh jumlah
bilangan maksimal 3. Titik-titik sampel kejadian ini dapat dituliskan sebagai Y =
2,3 atau Y ∈ {2,3} atau dapat pula dinyatakan dalam interval Y = { y | y ≤ 3} .
Dengan probabilitas :
P (Y ≤ 3) = P((1,1), (1,2), (2,1)) =
3
1
= .
36 12
Variabel Random Diskret Dan Variabel Random Kontinu
Definisi 2. 1.2:
Variabel random diskret adalah variabel random yang nilainya berhingga atau
takberhingga terbilang, selain ini disebut variabel random kontinu.
Contoh 2.1.2:
variabel random diskret :
o X = Banyaknya kecelakaan mobil dalam waktu satu tahun di
Yogyakarta.
o S = Frekuensi denyut jantung permenit.
variabel random kontinu :
Contoh variabel random kontinu adalah M = lamanya permainan catur dalam satu
babak. Meskipun dalam kenyataannya biasa diukur waktu hanya dengan satuan
terdekat seperti menit atau detik, seara teoritik dapat diukur waktu dengan
sembarang satuan kecil.
9
B. Fungsi Probabilitas
Definisi 2.2.1:
Fungsi f(xi) = P(X = xi), i = 1, 2, 3,… yang menyatakan probabilitas untuk
semua kemungkinan nilai variabel random diskret X disebut fungsi probabilitas.
Fungsi probabilitas tersebut dapat dinyatakan dalam rumus fungsi atau tabel yang
memuat pasangan nilai variabel random x berikut dengan peluangnya yang
disebut distribusi probabilitas.
Contoh 2.2.1:
Sebuah koin dilemparkan sebanyak 2 kali dan X adalah variabel random yang
menyatakan banyaknya muka yang diperoleh. Variabel random X yang memiliki
distribusi probabilitas sebagai berikut :
Tabel 2.2.1 Tabel distribusi probabilitas
X
0
1
2
P(X=x)
1
4
1
2
1
4
Definisi 2.2.2 :
Probabilitas dari a ≤ X ≤ b ditentukan oleh integral f(x) dengan batas bawah x = a
dan batas atas x = b, dengan X adalah variabel random kontinu dan f adalah fungsi
densitas yang bernilai real
10
b
P(a≤ X ≤b) =
∫ f ( x)dx .
(2.1)
a
1. Fungsi Distribusi Kumulatif Diskret
Definisi 2.2.3:
Fungsi distribusi kumulatif suatu variabel random diskret X didefinisikan sebagai
F(x) = P(X ≤ x) untuk semua nilai real x.
Kadang-kadang fungsi F(x) disebut juga fungsi distribusi.
2. Fungsi Distribusi Kumulatif Kontinu
Definisi 2.2.4:
Fungsi distribusi kumulatif suatu variabel random X, dengan fungsi densitas f(x)
didefinisikan sebagai :
x
F(x) =
∫ f (t )dt
(2. 2)
−∞
Fungsi densitas f(x) merupakan derivatif dari F(x).
3. Fungsi Densitas
Pada fungsi distribusi yang mengandung titik-titik terputus yang berhingga
banyaknya, loncatan yang terdapat pada suatu titik terputus merupakan
probabilitas timbulnya variabel random X pada titik tersebut. Kemudian dapat
pula disimpulkan bahwa pada ruang sampel kontinu, peluang timbulnya variabel
random pada suatu titik tertentu sama dengan nol. Dengan demikian, pernyataan
11
peluang suatu variabel random kontinu selalu dinyatakan dalam peluang bernilai
dalam interval.
Definisi 2.2.5:
Fungsi f(x) disebut fungsi densitas bagi variabel random kontinu X bila dan hanya
bila memenuhi syarat :
( i ) f(x) ≥ 0 untuk semua nilai x real
∞
( ii )
∫ f ( x)dx = 1
−∞
C. Nilai Harapan
Konsep nilai harapan memegang peranan yang sangat penting dalam
statistika. Contoh yang paling mudah adalah mean dan variansi suatu variabel
random. Keduanya adalah parameter-parameter yang hampir selalu muncul dalam
teknik-teknik analisis statistika elementer maupun lanjut. Yang dimaksud dengan
nilai harapan dinyatakan dalam definisi berikut,
Definisi 2.3.1:
⎧ ∑n x p ( x ), jika x diskret dengan fungsi probabilit as p ( x )
i
i
E(X) = ⎪⎪⎨ i =1
∞
⎪ ∫ xf ( x ) dx , jika X kontinu dengan fungsi densitas f ( x )
⎪⎩ −∞
(2.3)
Ditinjau dari segi variabel random yang diskret, maka nilai harapan E(X)
merupakan suatu nilai fungsi linear dari semua unsur didalam domain fungsi
dengan peluang yang bersesuaian sebagai faktor pembobot.
12
Contoh 2.3.1:
Dalam pelemparan sebuah mata dadu setimbang sebanyak satu kali, kita akan
menerima uang sebanyak titik pada sisi yang tampak. Untuk bermain satu kali
lemparan kita harus membayar c rupiah. Pertama-tama kita perhatikan bahwa
hadiah yang kita terima tiap permainan adalah variabel random dengan distribusi
probabilitas sebagai berikut :
Tabel 2.3.1 Tabel distribusi probabilitas
Hadiah X
1
2
3
4
5
6
P(X=x)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
E(X) = 1.1/6 + 2. 1/6 + 3. 1/6 + 4. 1/6 +5. 1/6 + 6. 1/6 = 3,5 rupiah
Berapa rupiah yang harus kita bayar agar permainan tersebut adil ?
Permainan disebut adil jika c = 3, 5 rupiah. Dengan demikian rata-rata hadiah
yang kita terima sama dengan banyaknya uang yang kita bayarkan untuk bermain.
Nilai harapan E(X) = 3, 5 dapat diinterprestasikan sebagai berikut : “ jika
permainan itu dapat diulang sebanyak-banyaknya, maka perbandingan antara
jumlah hadiah dengan banyaknya kali permainan adalah 3, 5”.
Sifat-sifat Nilai Harapan
Definisi 2.3.2:
Jika X adalah variabel random dan g(x) adalah fungsi dari variabel random X
maka,
13
E[g(X)] =
⎧ ∑n g ( xi ) p ( xi ), jika X diskret dengan fungsi probabilitas p ( x )
⎪ i =1
⎨∞
⎪ ∫ g ( x ) f ( x ) dx , jika X kontinu dengan fungsi densitas f ( x )
⎩ −∞
(2.4)
Teorema 2.3.1:
Jika X adalah variabel random dengan fungsi densitas f(x), a dan b konstanta, g(x)
dan h(x) fungsi-fungsi variabel random berharga real, maka
E[ag(x) + bh(x)] = a E[(g(x)] + b E[h(x)]
(2. 5)
Bukti :
Jika X adalah variabel random kontinu maka menurut definisi nilai harapan
∞
E[ag(x)+bh(x)]
=
∫ [ag ( x) + bh( x)] f ( x)dx
−∞
∞
=a
∫
−∞
∞
g ( x) f ( x)dx + b ∫ h( x) f ( x)dx
−∞
= aE[g(x)] + bE[h(x)]
▄
Definisi 2.3.3:
Variansi variabel random X adalah :
Var(X) = E[(x-µ)2]
Sifat-sifat lain nilai harapan :
Untuk a dan b bilangan konstan maka berlaku
1. E(a) = a
2. E(bX) = b E(X)
(2. 6)
14
3. E(X + a) = E(X) + a
4. E(bX + a) = b E(X) + a
Sifat-sifat lain variansi :
Untuk a dan b bilangan konstan maka berlaku
1. Var(X) tidak negatif
2. Var(X + a) = Var(X)
3. Var(bX) = b2 Var(X)
4. Var(bX + a) = b2 Var(X)
Definisi 2.3.4:
Fungsi Gamma ditulis Γ(k ) , untuk semua k>0 didefinisikan sebagai
∞
Γ(k ) = ∫ t k −1e − t dt
(2.7)
0
Fungsi Gamma memenuhi sifat-sifat :
Γ(k ) = (k − 1) Γ(k − 1)
Γ(n) = (n − 1)!
k>1, dan n = 1, 2, ..
(2.8)
Γ(1 / 2) = π
D. DISTRIBUSI NORMAL
Distribusi normal sangat penting baik dalam statistika teori maupun
terapan. Distribusi ini pertama kali dipelajari pada abad kedelapan belas, ketika
orang mengamati galat pengukuran berdistribusi simetrik dan berbentuk bel. De
Moivre mengembangkan bentuk matematik distribusi ini pada tahun 1733,
15
sebagai bentuk limit distribusi binomial. Laplace juga telah mengenal distribusi
ini sebelum tahun 1775. Gauss menurunkan persamaan distribusi ini dari suatu
studi tentang galat dalam pengukuran yang berulang-ulang dari kuantitas yang
sama, dan mempublikasikannya pada tahun 1809. Untuk menghormatinya
distribusi normal juga dikenal sebagai distribusi Gauss. Pada abad kedelapan
belas dan sembilan belas, berbagai usaha telah dilakukan untuk membuat
distribusi ini sebagai hukum probabilitas yang mendasari semua variabel kontinu,
maka digunakan nama distribusi normal.
Definisi 2.4.1:
Suatu variabel random kontinu X dikatakan berdistribusi normal dengan mean µ
dan variansi σ2, apabila variabel itu mempunyai fungsi probabilitas yang
berbentuk
1
f(x) =
−
(x − µ )2
1
2
e 2σ
σ 2π
(2.9)
dengan
−∞ < X < ∞
σ >0
−∞ < µ < ∞
π = 3,14 dan e = 2,718 .
Jika fungsi probabilitas itu digambar, maka kita peroleh grafik seperti dalam
gambar dibawah ini dan dinamakan kurva normal.
16
µ
x
Gambar 2.4.1. : kurva normal dengan mean µ dan variansi σ2
Berikut ini akan ditunjukkan bahwa distribusi normal memenuhi siat-sifat fungsi
densitas.
Pertama, harus ditunjukkan bahwa integral dari fungsi densitas normal adalah 1.
Kedua, harus ditunjukkan bahwa µ dan σ2 adalah mean dan variansi dari X.
Dengan mensubstitusikan z =
∞
I=
∫
f ( x; µ ,σ )dx =
−∞
∞
∫
−∞
x−µ
σ
∞
∫
w −1 / 2
π
0
∞
1 −z2 / 2
1 −z2 / 2
e
dz = 2 ∫
e
dz
2π
2π
0
Bila dimisalkan w = z2/2, maka z =
I=
dan dx = σdz, didapat :
2 w dan dz = (w-1/2/ 2 )dw, sehingga
e − w dw
Dengan menggunakan fungsi Gamma didapat,
I=
Γ(1 / 2)
π
=1
Integran yang diperoleh dengan mensubstitusikan z =
x−µ
σ
memegang peranan
yang sangat penting dalam menentukan probabilitas variabel random normal.
17
Perhitungan menjadi lebih sederhana karena nilai probabilitas telah ditabelkan.
Fungsi densitas hasil transformasi dari X ke Z disebut Distribusi normal standar
yang fungsinya,
φ ( z) =
1 −z2
e , − ∞ < z <∞
2π
Berikut ini dengan menggunakan persamaan (2.3) akan dicari nilai harapan dan
variansi dari variabel random X yang berdistribusi normal.
∞
E(X)
=
∫
x
−∞
⎡ 1 ⎛ x − µ ⎞2 ⎤
1
exp ⎢− ⎜
⎟ ⎥ dx
σ 2π
⎢⎣ 2 ⎝ σ ⎠ ⎥⎦
x−µ
Misal z =
σ
∞
E(X) =
∫
1
x
−∞
− z2
1
e 2 σ dz
σ 2π
∞
=
1
∫
1 − 2 z2
e
dz
2π
x
−∞
∞
=
∫
(σz + µ )
−∞
∞
=
maka x = σz + µ dan dx = σdz sehingga diperoleh
∫ σz
−∞
∞
=σ
∫
1
1 − 2 z2
e
dz
2π
1
∞
1
− z2
1 − 2 z2
e
dz + ∫ µe 2 dz
2π
−∞
1
z
−∞
1 − 2 z2
e
dz + µ ⋅1
2π
jika dimisalkan, -1/2z2 = w maka z =
atau
dz =
2 w dan z dz = -dw
dw
dw
sehingga diperoleh
=
z
2w
18
∞
∫
E(X) = − σ
1
1 2 z2
e dz + µ
2π
z
−∞
∞
∫
= −σ
−∞
1 w
e dw + µ
2π
=−
σ
2π
∞
⎞
⎛0 w
⎜ ∫ e dw + ∫ e wdw ⎟ + µ
⎟
⎜
0
⎠
⎝ −∞
=−
σ
2π
⎛ − 12 z 2
⎜e
⎜
⎝
=−
σ
((e0 − e−∞ ) + (e−∞ − e0 ))+ µ
2π
]0− ∞ + e
⎞
1
− z2
2
]∞0 ⎟⎟ + µ
⎠
=0+µ
=µ
E(X2) =
(2.10)
∞
∫
x2
−∞
Misal, z =
⎡ 1 ⎛ x − µ ⎞2 ⎤
1
exp ⎢− ⎜
⎟ ⎥ dx
σ 2π
⎢⎣ 2 ⎝ σ ⎠ ⎥⎦
x−µ
σ
maka x = σz + µ dan σdz = dx sehingga diperoleh
∞
1
− z2
1
e 2 σ dz
E(X ) = ∫ x
σ 2π
−∞
2
2
∞
(σz + µ ) 2 − 2 z 2
e
dz
= ∫
2π
−∞
1
∞
(σ 2 z 2 + 2 µσz + µ 2 ) − 2 z 2
e
dz
= ∫
2π
−∞
∞
1
∞
∞
1
σ 2 z 2 − 12 z
2 µσz − 2 z
µ 2 − 12 z
e
dz + ∫
e
dz + ∫
e
dz
= ∫
2π
2π
2π
−∞
−∞
−∞
2
2
2
19
∞
σ 2 z 2 − 12 z
e
dz + 0 + µ 2 ⋅1
= ∫
2π
−∞
=
2
σ2
2π
∞
2
∫z e
1
− z2
2
dz + µ 2
−∞
misal ½ z2 = w maka z =
E(X2) =
=
=
σ2
2π
σ2
π
2σ 2
π
∞
∫ 2 we
−w
−∞
∞
2 w dan z dz = dw sehingga diperoleh
dw
+ µ2
2w
1
2
−w
∫ w 2 e dw + µ
−∞
∞
1
2
−w
∫ w 2 e dw + µ
0
dengan menggunakan persamaan (2.7) dan (2.8) didapatkan
E(X2) =
=
2σ 2
π
2σ 2
π
∞
1
2
−w
∫ w 2 e dw + µ
0
Γ(3 / 2) + µ2
=
2σ 2 1
Γ(1 / 2) + µ2
π 2
=
2σ 2 1
π + µ2
2
π
= σ 2 + µ2.
(2.11)
Dengan menggunakan persamaan (2.6) maka
Var(X)
= E(X2) – [E(X)]2
= ( σ 2 + µ 2 ) - µ 2 = σ2
(2.12)
20
Sekarang akan dicari nilai E(X4)
⎡ 1 ⎛ x − µ ⎞2 ⎤
1
exp ⎢− ⎜
⎟ ⎥ dx
σ 2π
⎢⎣ 2 ⎝ σ ⎠ ⎥⎦
∞
E(X4)
∫
=
x4
−∞
x−µ
Misal, z =
E(X4) =
σ
maka x = σz + µ dan σdz = dx sehingga diperoleh
∞
1
− z2
1
x
e
∫−∞ σ 2π 2 σ dz
4
∞
=
(σz + µ ) 4 − 2 z 2
∫ 2π e dz
−∞
1
∞
=
(σ 4 z 4 + 4 µσ 3 z 3 + 6σ 2 z 2 µ 2 + 4σ z µ 3 + µ 4 ) − 2 z 2
e
dz
∫
2π
−∞
1
∞
=
∞
∞
1
1
4 µσ 3 z 3 − 2 z
6σ 2 z 2 µ 2 − 2 z
σ 4 z 4 − 12 z
e
dz
+
e
dz
+
e
dz
∫ 2π
∫ 2π
∫ 2π
−∞
−∞
−∞
2
2
∞
+
2
∞
4σ z µ 3 − 2 z 2
µ 4 − 2 z2
e
dz
+
∫ 2π
∫ 2π e dz …………………………. *
−∞
−∞
∞
1
σ 4 z 4 − 12 z
σ4
e
dz =
untuk ∫
2π
2π
−∞
2
misal ½ z2 = w maka z =
∞
4
∫z e
1
− z2
2
1
dz
−∞
2 w dan z dz = dw maka ruas kanan bagian pertama
persamaan * menjadi
σ4
2π
∞
∫z e
4
−∞
1
− z2
2
σ4
dz =
2π
=
2σ 4
π
∞
∞
∫ 4w e
2 −w
−∞
∫we
−∞
2 −w
dw
w
dw
2w
21
=
2σ 4
π
∞
3
−w
∫ w 2 e dw =
−∞
4σ 4
π
∞
3
−w
∫ w 2 e dw
0
dengan menggunakan persamaan (2.7) dan (2.8) didapatkan
σ4
2π
∞
4
∫z e
1
− z2
2
dz =
−∞
=
∞
4σ 4 ⎛ 5 ⎞ 4σ 4 3 ⎛ 3 ⎞ 6σ 4 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
Γ⎜ ⎟ =
Γ⎜ ⎟ =
⎜ ⎟Γ ⎜ ⎟
π ⎝2⎠ ⎝2⎠
π ⎝2⎠
π 2 ⎝2⎠
3σ 4 ⎛ 1 ⎞ 3σ 4
Γ⎜ ⎟ =
π = 3σ 4
π ⎝2⎠
π
∞
− z2
4 µσ 3 z 3 − 2 z 2
4 µσ 3
e
dz
=
z 3e 2 dz
∫−∞ 2π
∫
2π − ∞
untuk
1
misal ½ z2 = w maka z =
1
2 w dan z dz = dw maka ruas kanan bagian kedua pada
persamaan * menjadi
∞
∞
1
− z2
4 µσ 3
4 µσ 3
dw
3
2
z
e
dz
=
2w(2 w)2 e − w
∫
∫
2π − ∞
2π − ∞
2w
1
∞
=
8µσ 3
we − w dw
∫
2π − ∞
=
16µσ 3
we − w dw
∫
2π 0
=
16 µσ 3
16 µσ 3
16µσ 3
Γ(2 ) =
1Γ(1) =
0 Γ(0 ) = 0
2π
2π
2π
∞
∞
untuk
6σ 2 z 2 µ 2 − 2 z 2
∫ 2π e dz
−∞
1
misal ½ z2 = w maka z =
2 w dan z dz = dw maka ruas kanan bagian
ketiga pada persamaan * menjadi
∞
∞
6σ 2 z 2 µ 2 − 2 z 2
6σ 2 µ 2
dw
2w e− w
e
dz
=
∫− ∞ 2π
∫
2π − ∞
2w
1
22
∞
∞
6σ 2 z 2 µ 2 − 2 z 2
6σ 2 µ 2
e
dz
=
w 2 e − w dw
∫− ∞ 2π
∫
π −∞
1
12σ 2 µ 2
=
π
1
∞
1
−w
∫ w 2 e dw
0
dengan persamaan (2.7) dan (2.8) didapatkan
∞
6σ 2 z 2 µ 2 − 2 z 2
12σ 2 µ 2
e
dz
=
Γ(3 / 2)
∫ 2π
π
−∞
1
=
12σ 2 µ 2 1
Γ(1 / 2)
π 2
=
12σ 2 µ 2 1
π = 6σ 2 µ 2
2
π
∞
untuk
4σ z µ 3 − 12 z 2
∫ 2π e dz = 0
−∞
∞
untuk
∫
−∞
µ 4 − 12 z
e dz = µ 4
2π
Jadi E(X4)
2
∞
=
∞
∞
1
1
4 µσ 3 z 3 − 2 z
6σ 2 z 2 µ 2 − 2 z
σ 4 z 4 − 12 z
e
dz
+
e
dz
+
e
dz
∫ 2π
∫ 2π
∫ 2π
−∞
−∞
−∞
2
∞
+
2
∞
2
4σ z µ 3 − 2 z 2
µ 4 − 2 z2
e
dz
+
∫ 2π
∫ 2π e dz
−∞
−∞
1
1
= 3σ 4 + 6σ 2 µ 2 + µ 4
Sehingga nilai
E(X4) = 3σ 4 + 6σ 2 µ 2 + µ 4 .
(2.13)
E. Fungsi Variabel Random
Salah satu tujuan dari statistika adalah membuat kesimpulan tentang
populasi berdasarkan informasi yang terdapat dalam sampel dan menentukan
ukuran yang sesuai untuk menarik kesimpulan. Topik fungsi variabel random
sangat erat kaitannya dengan tujuan tersebut. Hal ini disebabkan karena statistik
23
yang dipakai untuk menduga dan mengambil kesimpulan tentang parameter
merupakan fungsi dari n buah pengamatan random yang terdapat dalam sampel.
Sebagai gambaran, dalam masalah pendugaan rata-rata populasi, dari
sampel random berukuran n akan didapatkan pengamatan y1, y2, .., yn. Maka akan
digunakan rata-rata sampel
n
y=
∑y
i =1
i
n
(2.14)
sebagai penduga rata-rata populasi µ . Pertanyaan yang dapat diajukan adalah
seberapa baikah y sebagai panduga dari µ . Jawabannya tergantung pada sifat
dari variabel random Y1, Y2, .., Yn.
Kebaikan dari suatu penduga dapat diukur, misalnya dengan kesalahan
pendugaan, yaitu selisih antara penduga dan parameter yang diduga (dalam hal ini
y dan µ ). Karena Y1, Y2, .., Yn adalah variabel-variabel random dalam sampel
berulang, maka Y adalah juga variabel random yang merupakan fungsi dari Y1,
Y2, .., Yn. Dengan demikian, tidak dapat ditentukan secara pasti bahwa kesalahan
pendugaan akan kurang dari suatu bilangan tertentu, misalnya B. Akan tetapi, jika
dapat ditentukan distribusi probilitas dari Y , maka distribusi ini dapat dipakai
untuk menentukan probabilitas bahwa kesalahan pengukuran kurang dari atau
sama dengan B.
Untuk menentukan distribusi probabilitas dari fungsi suatu variabel Y1,
Y2, .., Yn harus ditemukan terlebih dahulu distribusi probabilitas bersama dari
variabel-variabel random tersebut. Secara umum dapat diasumsikan bahwa sampel
24
diperoleh berdasarkan pengambilan sampel secara random. Hal ini berarti bahwa
pengambilan sampel dari populasi berhingga akan menghasilkan percobaan yang
tidak bebas, tetapi percobaan ini secara esensial menjadi percobaan bebas jika
ukuran populasi relatif besar dibandingkan dengan ukuran sampelnya.
Pada pembahasan selanjutnya akan diasumsikan bahwa populasi
berukuran relatif besar terhadap sampel, sehingga variabel random yang terkait
saling bebas satu dengan yang lainnya. Dengan demikian, baik untuk variabel
random diskret maupun kontinu, distribusi probabilitas bersama Y1, Y2, .., Yn yang
berasal dari populasi yang sama adalah
f(y1, y2, .., yn) = p(y1)p(y2)..p(yn)
Selanjutnya pernyataan “Y1, Y2, .., Yn adalah sampel random dari f(y)”
diartikan sebagai “variabel-variabel random Y1, Y2, .., Yn adalah saling bebas
dengan distribusi bersama f(y)”.
Menentukan Distribusi Probabilitas Fungsi Variabel Random
Untuk menentukan distribusi probabilitas suatu fungsi variabel random
dapat ditempuh dengan 3 metode, yaitu metode fungsi distribusi, metode
transformasi, dan metode fungsi pembangkit momen. Dalam skripsi ini akan
digunakan metode transformasi satu-satu untuk menentukan distribusi probabilitas
suatu fungsi variabel random.
Metode Tranformasi satu-satu
Pertama-tama diasumsikan tranformasi variabel-variabel dalam satu
dimensi. Andaikan u(x) adalah fungsi bernilai real dari variabel x. Jika persamaan
25
y = u(x) mempunyai persamaan tunggal, misalnya x = w(y), maka tranformasi
tersebut adalah tranformasi satu-satu.
Teorema 2.5.1:
Andaikan X adalah variabel random diskret dengan distribusi probabilitas fx(x)
dan Y = u(x) mendefinisikan trnsformasi satu-satu. Dengan kata lain persamaan Y
= u(x) mempunyai penyelesaian tunggal x = w(y). Maka distribusi probabilitas
dari Y adalah
y ∈ B = {y|fy(y)>0}
Fy(y) = fx(w(y))
(2.15)
Bukti :
Fy(y) = P[Y=y] = P[u(X)=y]=P[X=w(y)]=fx(w(y))
▄
Contoh 2.5.1:
Andaikan X~GEO(p), yaitu
Fx(x) = pqx-1
x = 1, 2, 3, ..
Tentukan distribusi probabilitas dari Y = X-1
Jawab :
Y = X-1, maka u(x)= x-1, w(y) = y+1, sehingga fy(y) = fx(y+1) = pqy, y = 0, 1, 2, ..
Teorema 2.5.2:
Andaikan X adalah variabel random kontinu dengan fungsi densitas fx(x), dan
Y=u(x) mendefinisikan transformasi satu-satu A = {x| fx(x)>0} ke B = {y|
fy(y)>0} dengan transformasi invers x = w(y). Jika turunan (d/dy)w(y) kontinu
dan tak nol pada B, maka fungsi densitas dari Y adalah
Fy(y) = fx(w(y))
d
w( y ) , y ∈ B
dy
(2.16)
26
Bukti :
Jika y=u(x) adalah fungsi satu-satu, maka ada dua kemungkinan yaitu monoton
naik atau turun.
Pada kasus monoton naik, u(x) ≤y bila dan hanya bila x≤w(y). Sehingga
FY(y) = P[u(X)≤y] = P[X≤w(y)] = Fx(w(y)), akibatnya
fY(y)
=
d
d
d
Fx ( w( y )) =
Fx ( w( y )) w( y )
dy
dw( y )
dy
= fx(w(y))
d
w( y ) , karena dalam kasus ini (d/dy)w(y)>0
dy
Pada kasus monoton turun, u(x) ≤y bila dan hanya bila w(y) ≤ x. Sehingga
FY(y) = = P[u(X)≤y] = P[X ≥ w(y)] = 1-Fx(w(y)), dan
fY(y)
= − f x ( w( y ))
= f x ( w( y ))
d
w( y )
dy
d
w( y ) , karena dalam kasus ini (d/dy)w(y)<0
dy
▄
Turunan dari w(y) disebut sebagai Jacobian dari transformasi dan disimbolkan
dengan J = (d/dy)w(y). Dapat dilihat pula bahwa mentransformasi variabel
kontinu ekuivalen dengan mengganti variabel dalam integral, sehingga metode
transformasi disebut juga metode penggantian peubah.
Contoh 2.5.2:
Andaikan variabel random X mempunyai distribusi
Fx ( x) = 1 − e −2 x ,0 < x < ∞
Tentukan fungsi densitas dari Y = ex
27
Jawab :
Dapat ditunjukkan bahwa fx(x) = 2e-2x, karena Y = ex maka transformasi inversnya
x = w(y) = ln(y), J = w’(y) = 1/y, sehingga dengan menggunakan persamaan
(2.16) didapatkan
fx(y)
= fx(ln y)
1
y
⎛1⎞
= 2e − 2 ln y ⎜⎜ ⎟⎟,
⎝ y⎠
1< y < ∞
= 2y-3, y ∈ B = (1, ∞ )
F. Distribusi Lognormal
Teorema 2.6.1:
Jika X adalah variabel random yang berdistribusi normal dengan mean µ dan
variansi σ2, dan jika X = ln y, maka fungsi densitas untuk Y adalah
f(y) =
⎧ 1 e −(ln y − µ ) 2 / 2σ 2 , y >0
⎪ yσ 2π
⎨
⎪⎩ 0
, selainnya
(2.17)
Bukti :
Fungsi probabilitas dari distribusi normal adalah
1
−
( x − µ )2
1
2
f(x) =
e 2σ
.
σ 2π
…………………………. **
Dengan menggunakan persamaan (2.16) akan didapatkan fungsi densitas untuk Y.
1
fx(x) =
−
(x − µ )2
1
2
e 2σ
σ 2π
28
Jika x = ln Y maka persamaan ** menjadi
1
fx(ln y) =
−
(ln y − µ ) 2
1
2
e 2σ
σ 2π
X = w(y) = ln y
w’(y) = 1/y
fy(y)
= fx(w(y))
fy(y)
= fx(ln y)
d
w( y )
dy
1
y
1
=
f(y)
=
−
(ln y − µ ) 2
1
2
e 2σ
σ 2π
1
e
yσ 2π
−
1
⎛1⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ y⎠
(ln y − µ ) 2
2σ 2
▄
Sekarang akan dicari nilai harapan dan variansi dari distribusi lognormal tersebut.
E(Y) =
misal z =
E(Y) =
=
∫
∞
−∞
y
1
yσ 2π
ln y − µ
σ
∫
∞
∫
∞
e
1 ⎛ ln y − µ ⎞
− ⎜
⎟
2⎝ σ ⎠
2
dy =
1
1
1 σ z+µ − 2 z2
e
e
dz
2π
−∞
= eµ ∫
∞
−∞
−∞
1 ⎛ ln y − µ ⎞
⎟
σ ⎠
− ⎜
1
e 2⎝
σ 2π
2
dy
maka y = eσ z + µ dan dy = σ eσ z + µ dz sehingga diperoleh
− z2
1
σeσ z + µ e 2 dz
σ 2π
−∞
∫
∞
1
− z 2 +σ z
1
e 2
dz
2π
29
= eµ ∫
∞
∫
∞
1
− ( z 2 − 2σ z )
1
e 2
dz
2π
−∞
=e
µ
1
− (z
1
e 2
2π
−∞
−σ ) 2 +
σ2
2
dz
misal w = z − σ maka z = w + σ dan dz = dw sehingga diperoleh
E(Y) = e
=e
misal v =
µ
−∞
µ+
σ2
2
1
1 2
−
w maka w = 2v dan dw = (2v ) 2 dv sehingga diperoleh
2
=e
=e
=e
=e
µ+
σ2
∫
2
µ+
σ2
2
∫
1
∞
π
0
µ+
µ+
σ2
2
σ2
µ+
2
∞
1
v
−
1
2
e − v dv
Γ(1 / 2)
π
1
π
π
σ2
∫y
−∞
1
1
e−v
dv
2π
2v
∞
0
(2.18)
2
∞
E(Y ) =
∫
1
− w2
1
e 2 dw
2π
∞
−∞
E(Y) = 2e
2
∫
σ2
1
− w2 +
1
2
e 2
dw
2π
∞
2
1
yσ 2π
e
1 ln y − µ 2
− (
)
σ
2
1 ln y − µ
− (
1
e 2
= ∫ y
σ 2π
−∞
σ
)2
dy
dy
30
=
misal z =
E(Y2) =
1
σ 2π
∞
∫x e
maka y = eσ z + µ dan dy = σ eσ z + µ dz sehingga diperoleh
σ
1
2π
=
= e2µ
=e
=e
=e
2µ
2µ
2µ
dy
−∞
ln y − µ
1
σ 2π
1 ln y − µ 2
)
− (
σ
2
∞
σ z+µ
∫σ e e
1
− z2
2
eσ z + µ dz
−∞
∞
2σ z + 2 µ
e
∫e
1
− z2
2
dz
−∞
1
2π
1
2π
1
2π
1
2π
∞
2σ z
∫e e
1
− z2
2
dz
−∞
∞
∫
e
1
− z 2 + 2σ z
2
dz
−∞
∞
∫
e
1
− ( z 2 − 4σ z )
2
dz
−∞
∞
∫
e
1
− ( z − 2σ ) 2 + 2σ 2
2
dz
−∞
misal w = z − 2σ maka z = w + 2σ dan dw = dz sehingga diperoleh
E(Y2) = e 2 µ
1
2π
= e 2 µ + 2σ
misal v =
∞
∫
e
dw
−∞
1
2π
2
1
− w 2 + 2σ 2
2
∞
∫
e
1
− w2
2
dw
−∞
1 2
1
dv sehingga diperoleh
w maka w = 2v dan dw =
2
2v
E(Y2) = 2e 2 µ +2σ
2
1
2π
∞
∫
0
e −v
1
dv
2v
31
= e 2 µ +2σ
=e
2
1
π
2 µ + 2σ 2
1
π
= e 2 µ +2σ
2
= e 2 µ + 2σ
2
1
π
∞
∫
e −v
0
∞
∫
−v
e v
1
dv
v
−
1
2
dv
0
π
(2.19)
Dengan menggunakan persamaan (2.6) maka didapatkan
Var (Y) = E(Y2) – [E (Y )]
2
=e
2 µ + 2σ 2
− (e
µ+
σ2
2
2
= e 2 µ + 2σ − e 2 µ +σ
2
)2
2
2
= e 2 µ +σ (eσ − 1)
G.
(2.20)
Teorema Limit Pusat
Teorema berikut menyatakan bahwa rata-rata suatu sampel yang terdiri
dari n buah variabel random yang berdistribusi secara tidak normal tetapi identik
( Y1 , Y2 ,..., Yn memiliki fungsi densitas yang sama) serta bebas stokastik terhadap
sesamanya, distribusinya akan mendekati distribusi normal dengan bertambahnya
nilai n (ukuran sampel).
32
Teorema 2.7.1 (Teorema Limit Pusat) :
Andaikan Y1 , Y2 ,..., Yn adalah variabel-variabel random yang berdistribusi
bebas stokastik identik dengan E (Yi ) = µ dan variansinya V (Yi ) = σ 2 < ∞ , maka
untuk n → ∞
_
Y− µ
Zn =
σ/ n
(2.21)
akan berdistribusi normal standar.
H. Interval Kepercayaan
^
Nilai pendugaan suatu parameter θ berdasarkan penduga titik, bukanlah
suatu konstanta yang menunjukkan dengan tepat beberapa nilai yang sebenarnya
^
melainkan suatu variabel random. Apabila penyebaran θ dapat diketahui, maka
dapatlah ditentukan suatu interval dengan peluang tertentu mencakup nilai
^
parameter θ yang sebenarnya. Interval seperti ini disebut penduga interval atau
lebih dikenal dengan interval kepercayaan. Titik tertinggi dan terendah dari
interval kepercayaan disebut batas kepercayaan atas dan batas kepercayaan bawah.
Probabilitas dari interval kepercayaan disebut koefisien kepercayaan.
^
^
Misalkan θ 1 dan θ 2 adalah batas kepercayaan bawah dan atas untuk
parameter θ , sehingga jika
^
⎛^
⎞
P⎜ θ 1 < θ < θ 2 ⎟ = 1 − α
⎝
⎠
(2.22)
33
probabilitas, 1 − α adalah koefisien kepercayaan. Interval random yang dihasilkan
^
^
oleh θ 1 dan θ 2 dikatakan interval kepercayaan dua sisi.
Sedangkan interval kepercayaan satu sisi dinyatakan dalam
⎛^
⎞
P⎜ θ 1 < θ ⎟ = 1 − α
⎝
⎠
(2.23)
⎛^
⎞
yang akan menghasilkan interval satu sisi bawah yaitu ⎜θ 1 , ∞ ⎟ dan
⎝
⎠
^
⎛
⎞
P⎜ θ < θ 2 ⎟ = 1 − α
⎝
⎠
(2.24)
^
⎛
⎞
yang akan menghasilkan interval satu sisi atas yaitu ⎜ − ∞,θ 2 ⎟ .
⎝
⎠
Salah satu metode yang berguna untuk menentukan interval kepercayaan
adalah metode pivot. Metode ini tergantung pada penentuan besaran pivot yang
memiliki dua karakteristik :
1. Kuantitas pivot merupakan fungsi dari pengukuran sampel dan
parameter θ yang tidak diketahui.
2. Kuantitas pivot memiliki distribusi probabilitas yang tidak tergantung
pada parameter θ .
Contoh 2.8.1:
Misalkan ditentukan suatu pengamatan tunggal Y dari suatu distribusi
eksponensial dengan rata-rata θ . Tentukan interval kepercayaan θ dengan
koefisien kepercayaan 0,90.
34
Jawab :
Fungsi densitas untuk Y adalah :
⎧ θ1 e − y / θ , y ≥ 0
f ( y) = ⎨
⎩ 0 , selainnya
Jika U = Y/ θ maka Y=U θ dan Y’ = θ , menggunakan metode transformasi maka
fungsi densitas eksponensial menjadi :
⎧ −u
f ( y) = ⎨ e , y >0
⎩ 0 , selainnya
Sehingga variabel U = Y/ θ adalah fungsi dari Y dan θ , dan distribusi dari U
tidak tergantung dari θ . Maka dapat digunakan U = Y/ θ sebagai besaran pivot.
Karena akan ditentukan penduga interval dengan koefisien kepercayaan 0,90,
maka terlebih dahulu ditentukan nilai a dan b sehingga
P(a < U < b ) = 0,90
f(u)
0,05
0,90
0,05
u
Gambar 2.7.1. Grafik fungsi densitas eksponensial
Salah satu cara untuk menentukan nilai a dan b adalah
a
P (U < a ) = ∫ e − u du = 0,05
0
35
1 − e − a = 0,05
kedua ruas dikurangi 1 dan dikalikan 1, maka persamaan menjadi
e − a = 0,95
kedua ruas dilogaritmakan, maka persamaan menjadi
− a = − ln(0,95)
kedua ruas dikalikan 1, maka persamaan menjadi
a = ln(0,95)
a = 0,051 .
0
Sedangkan P(U > b) = ∫ e − u du = 0,05
b
e − b = 0,05
kedua ruas dilogaritmakan, maka persamaan menjadi
− b = − ln(0,05)
kedua ruas dikalikan 1, maka persamaan menjadi
b = ln(0,05)
a = 2,996
atau dengan kata lain a = 0,051 dan b = 2,996.
Jadi diperoleh
Y
⎛
⎞
0,90 = P(0,051 < U < 2,996) = P⎜ 0,051 < < 2,996 ⎟
θ
⎝
⎠
Karena akan mencari penduga interval untuk θ , maka dengan memanipulasi
pertidaksamaan diatas maka diperoleh
36
0,90 = P(0,051 <
Y ⎞
⎛ Y
⎛ 0,051 1 2,996 ⎞
< 2,996) = P⎜
< <
<θ <
⎟
⎟ = P⎜
θ
θ
0,051 ⎠
Y ⎠
⎝ Y
⎝ 2,996
Y
Jadi batas bawah dan atas untuk interval kepercayaan θ adalah Y/2,996 dan
Y/0,051. Untuk menentukan nilai numerik dari batas ini, maka perlu dilakukan
pengamatan sehingga dihasilkan nilai Y dan nilai ini disubstitusikan sehingga nilai
itu menghasilkan nilai numerik untuk batas interval kepercayaan θ .
Interval Kepercayaan Sampel Besar
Untuk parameter target θ adalah µ , p, µ1 − µ 2 , atau p1 − p2 maka untuk
sampel besar
^
θ −θ
Z=
σ
(2.25)
^
θ
^
θ −θ
akan mendekati distribusi normal standar. Ini berarti bentuk Z =
adalah
σ
^
θ
suatu besaran pivot, dan metode pivot dapat digunakan untuk menentukan
penduga interval untuk parameter target θ .
Contoh 2.8.2:
^
Misalkan θ adalah suatu statistik yang berdistribusi normal dengan rata-rata dan
variansi θ dan σ θ2 . Tentukan interval kepercayaan untuk θ yang memiliki
koefisien kepercayaan (1 − α ) .
Jawab :
37
Besaran
^
θ −θ
Z=
σ
^
θ
mempunyai distribusi normal standar. Sehingga nilai dua ekor dari distribusi ini
adalah − Z α dan Z α , sedemikian sehingga P(− Zα / 2 < Z < Zα / 2 ) = 1 − α
2
2
1- α
α /2
α /2
0
Gambar 2.7.2. Grafik fungsi densitas N(0, 1)
Substitusikan Z ke dalam pernyataan probabilitas diatas, maka diperoleh
^
⎛
⎞
θ −θ
⎜
P⎜ − Zα / 2 <
< Zα / 2 ⎟⎟ = 1 − α
σ^
⎜
⎟
θ
⎝
⎠
jika kedua ruas dikalikan dengan σ ^ maka diperoleh
θ
^
⎛
⎞
P⎜ − Zα / 2σ ^ < θ − θ < Zα / 2σ ^ ⎟ = 1 − α
θ
θ
⎝
⎠
^
dan kurangkan kedua sisi dengan θ , maka diperoleh
^
⎛ ^
⎞
P⎜ − θ − Zα / 2σ ^ < −θ < −θ Zα / 2σ ^ ⎟ = 1 − α
θ
θ
⎝
⎠
kalikan kedua ruas dengan -1, maka diperoleh
38
^
⎛^
⎞
P⎜θ − Zα / 2σ ^ < θ < θ + Zα / 2σ ^ ⎟ = 1 − α
θ
θ ⎠
⎝
Jadi diperoleh batas kepercayaan bawah dan atas untuk θ adalah :
^
Batas kepercayan bawah = θ − Zα / 2σ ^ dan
θ
^
Batas kepercayan atas = θ + Zα / 2σ ^
θ
Contoh diatas dapat digunakan untuk menentukan interval kepercayaan sampel
besar untuk µ , p, µ1 − µ 2 , dan p1 - p2, dengan menggunakan penduga parameter.
I. Simulasi Komputer
Model yang akan dikembangkan untuk penafsiran harga saham akan
meliputi bilangan
random dan akan digunakan simulasi komputer untuk
melakukan percobaan, menggambarkan pemikiran dan juga untuk menduga
kuantitas yang tidak dapat ditunjukkan secara analitik. Simulasi disini dapat
diartikan sebagai suatu sistem yang digunakan untuk memecahkan atau
menguraikan persoalan-persoalan dalam kehidupan nyata yang penuh dengan
ketidakpastian dengan tidak atau menggunakan model atau metode tertentu dan
lebih ditekankan pada pemakaian komputer untuk mendapatkan solusinya.
Simulasi menyangkut pembangkitan proses serta pengamatan dari proses untuk
menarik kesimpulan dari sistem yang diwakili. Sedangkan menurut Naylor (1966
dalam Rubinstein & Melamed) simulasi adalah teknik numerik untuk melakukan
eksperimen pada komputer, yang melibatkan jenis matematika dan model tertentu
yang menjelaskan perilaku bisnis atau ekonomi pada suatu periode waktu tertentu.
39
Menurut Borowsky & Borwein simulasi didefinisikan sebagai teknik untuk
membuat konstruksi model matematika untuk suatu proses atau situasi, dalam
rangka menduga secara karakteristik atau menyelesaikan masalah berkaitan
dengannya dengan menggunakan model yang diajukan.
Beberapa keuntungan simulasi :
o Menghemat waktu
o Dapat melebar-luaskan waktu
o Mengoreksi kesalahan-kesalahan perhitungan
o Dapat dihentikan dan dijalankan kembali
o Mudah diperbanyak
Jika didalam suatu laboratorium simulasi unsur manusianya dikeluarkan maka
yang tertinggal adalah komputer, prosedur operasi, fungsi-fungsi matematis dan
juga distribusi probabilitas, maka akan diperoleh inti dari simulasi komputer.
Simulasi komputer hanya menggunakan komputer untuk memecahkan masalah
sesuai kebutuhan yang kemudian diprogramkan kedalam komputer. Semua
tingkah laku yang dijadikan sebagai persoalan dialihkan kedalam program,
termasuk ketentuan logika pengambilan keputusan dan pelaksanaannya.
Didalam model pergerakan harga saham akan digunakan bilangan random.
Bilangan random itu sendiri adalah suatu bilangan yang diambil dari sekumpulan
bilangan, dimana tiap-tiap elemen dari kumpulan bilangan ini mempunyai peluang
yang sama untuk terambil. Berdasarkan pada tingkat kesulitan untuk memprediksi
bilangan yang akan dibangkitkan selanjutnya maka bilangan random dibagi
menjadi dua yaitu bilangan random sepenuhnya (Trully Random) dan bilangan
40
random semu (Pseudo-Random). Didalam skripsi ini hanya akan digunakan
bilangan random pseudo .
Bilangan random pseudo adalah kumpulan bilangan yang dihasilkan
menggunakan algoritma yang menerapkan rumus matematika untuk menghasilkan
bilangan yang terlihat acak. Salah satu algoritma untuk pembangkitan bilangan
random pseudo adalah Linear Congruential Generator (LCG). Algoritma LCG
mempunyai bentuk
xn = (axn −1 + b) mod m
(2.26)
dengan,
xn = bilangan random ke n
xn −1 = bilangan random ke n-1
m = angka modulo
a dan b merupakan konstanta dalam LCG, dengan a adalah faktor pengali dan b
adalah increament factor
Contoh 2.9.1:
Membangkitkan bilangan random sebanyak 8 kali dengan a = 2, b = 7, m = 10 dan
x(0) = 2.
Jawab :
X(1) = (2(2) + 7) mod 10 = 1
X(2) = (2(1) + 7) mod 10 = 9
X(3) = (2(9) + 7) mod 10 = 5
X(4) = (2(5) + 7) mod 10 = 7
X(5) = (2(7) + 7) mod 10 = 1
41
X(6) = (2(1) + 7) mod 10 = 9
X(7) = (2(9) + 7) mod 10 = 5
X(8) = (2(5) + 7) mod 10 = 7
Bilangan yang dibangkitkan adalah : 1, 9, 5, 7, 1, 9, 5, 7
Didalam komputer bilangan random yang dibangkitkan adalah bilangan random
pseudo. Disini akan digunakan program Matlab untuk membangkitkan bilangan
random pseudo berdistribusi tertentu. Pada Tabel 2.9.1 berikut akan ditunjukkan
dua himpunan yang terdiri dari sepuluh bilangan. Bilangan-bilangan ini diperoleh
dengan membangkitkan bilangan random pseudo dengan menggunakan fungsi
rand dan randn pada Matlab untuk memperoleh sampel U(0,1) dan N(0,1).
Tabel 2.9.1 Sepuluh bilangan random pseudo
berdistribusi U(0,1) dan N(0,1)
U(0,1)
N(0,1)
0.9501
-0.4326
0.2311
-1.6656
0.6068
0.1253
0.4860
0.2877
0.8913
-1.1465
0.7621
1.1909
0.4565
1.1892
0.0185
-0.0376
0.8214
0.3273
0.4447
0.1746
42
Dapat dilihat pada Tabel 2.9.1 bahwa dugaan sampel U(0,1) tersebar dalam
interval (0,1), sedangkan dugaan sampel N(0,1) berada disekitar nol.
Berikut ini akan dibandingkan rata-rata dan variansi yang didapat secara
teoritis dari suatu distribusi tertentu dengan rata-rata dan variansi yang didapat
dari pembangkitan bilangan random. Secara teoritis untuk distribusi N(0,1)
dengan menggunakan persamaan (2.3) dan (2.6) nilai harapan dan variansinya
adalah sebagai berikut,
∞
E(X) =
∫
x
−∞
⎡ 1 ⎛ x − 0 ⎞2 ⎤
1
exp ⎢− ⎜
⎟ ⎥ dx
1 2π
⎢⎣ 2 ⎝ 1 ⎠ ⎥⎦
=0
Var(X) = E(X2) – [E(X)]2
⎡ 1 ⎛ x − 0 ⎞2 ⎤
1
2
= ∫x
exp ⎢− ⎜
⎟ ⎥ dx − 1 = 1
2
1
π
1
2
⎝
⎠
⎢⎣
−∞
⎦⎥
∞
2
sedangkan untuk U(0,1) nilai harapan dan variansinya,
∞
E(X) =
∫
−∞
x
1
dx =
b−a
a
b
−∞
a
∫ 0dx + ∫ x
∞
1
1
b2 − a 2
dx + ∫ 0dx =
=
2(b − a ) 2
b−a
b
Var(X) = E(X2) – [E(X)]2
2
∞
2
⎛ b2 − a 2 ⎞
1
b3 − a 3 ⎛ b 2 − a 2 ⎞ 1 1 1
⎟⎟ =
⎟ = − = .
= ∫x
dx − ⎜⎜
−⎜
3(b − a ) ⎜⎝ 2(b − a ) ⎟⎠ 3 4 12
b−a
⎝ 2(b − a ) ⎠
−∞
2
Sekarang akan digunakan pembangkitan bilangan random dengan M sampel
{ξi }iM=1
untuk mencari rata-rata
µM =
dan variansi
1
M
M
∑ξ
i =1
i
(2.27)
43
σ M2 =
1 M
∑ (ξi − µM )2
M − 1 i =1
(2.28)
untuk bilangan random berdistribusi N(0,1) dan U(0,1). Setelah didapat bilangan
random berdistribusi N(0,1) dan U(0,1), kemudian dicari rata-rata dan variansinya
dengan mengetikkan pada ‘command window’ mean(A) dan var(A) (A adalah
bilangan random berdistribusi tertentu yang telah dibangkitkan).
Tabel 2.9.2 Nilai harapan dan variansi menggunakan M sampel
dari pembangkitan bilangan random
U(0,1) dan N(0,1)
U(0,1)
N(0,1)
M
µM
σ M2
µM
σ M2
102
0.5221
0.0808
0.0012
0.8862
103
0.5012
0.0881
-0.0448
1.0499
104
0.5041
0.0837
0.0043
1.0120
105
0.5009
0.0837
0.0033
1.0049
Dari Tabel 2.9.2 dapat dilihat bahwa rata-rata dan variansi sampel U (0,1)
mendekati nilai
1
1
dan
sedangkan untuk N(0,1) rata-rata dan variansi
2
12
mendekati 0 dan 1, sehingga dapat disimpulkan bahwa rata-rata dan variansi yang
didapat dari pembangkitan bilangan random berdistribusi N(0,1) dan U(0,1) akan
mendekati nilai harapan dan variansi teoritisnya.
44
J. Penduga Densitas Kernel
Tes statistik selanjutnya adalah dengan menggunakan grafik untuk melihat
apakah nilai dari fungsi densitas yang didapat dari pembangkitan bilangan random
berdistribusi tertentu akan mendekati nilai densitas teoritisnya. Untuk mencari
penduga nilai densitas dari suatu distribusi tertentu dengan bilangan random,
pertama-tama sumbu x akan dibagi kedalam subinterval-subinterval, dengan lebar
∆x dan akan dihitung berapa banyak sampel dalam setiap subinterval. Disini akan
diberikan M sampel dan Ni yang didefinisikan sebagai banyaknya sampel dalam
subinterval [i∆x, (i + 1)∆x] . Jika probabilitas dari X mengambil nilai dalam
subinterval [i∆x, (i + 1)∆x] maka dengan menggunakan frekuensi relatif didapat,
Ρ(i∆x ≤ X ≤ (i + 1)∆x) ≈
Ni
M
(2.29)
dari Definisi 2.2.2 didapat,
Ρ(i∆x ≤ X ≤ (i + 1)∆x) = ∫
( i +1) ∆x
i∆x
f ( x)dx .
(2.30)
Misal xi adalah titik tengah dari subinterval [i∆x, (i + 1)∆x] , dengan menggunakan
pendekatan jumlah Riemann diperoleh
∫
( i +1) ∆x
i∆x
f ( x)dx ≈ ∆xf ( xi ) .
(2.31)
Dari persamaan (2.29) – (2.31) didapat
Ni
= ∆x f ( x)
M
f ( x) =
Ni
.
M ∆x
Persamaan 2.32 ini disebut persamaan penduga nilai densitas kernel.
(2.32)
45
Sekarang akan dilihat apakah grafik penduga nilai densitas kernel U(0,1)
dan N(0,1) yang didapat dengan pembangkitan bilangan random akan mendekati
nilai dalam grafik fungsi densitas teoritisnya. Pertama-tama akan dilihat untuk
grafik fungsi densitas secara teoritis. Untuk fungsi densitas U(0,1) didapat,
Gambar 2.10.1. Densitas U(0,1)
dan untuk fungsi densitas N(0,1) didapat
Gambar 2.10.2. Densitas N(0,1).
46
Sekarang dengan menggunakan persamaan (2.32) akan ditunjukkan grafik
penduga nilai densitas kernel dengan menggunakan pembangkitan bilangan
random U(0,1) sebanyak 103, 104, 105, 106 dan lebar interval 0,05. Sumbu x
menunjukkan titik tengah tiap subinterval dan sumbu y menunjukkan nilai
penduga densitas kernelnya. Dengan menggunakan Program 2.1 pada lampiran
akan didapat,
Gambar 2.10.3 Grafik penduga densitas kernel untuk
pembangkitan bilangan random U(0,1)
Selanjutnya akan ditunjukkan juga grafik penduga densitas kernel untuk
pembangkitan bilangan random N(0,1) dengan interval -4 ≤ x ≤ 4, lebar interval
0,05 dan banyaknya bilangan random yang akan dibangkitkan sebanyak 103, 104,
105, 106.. Sumbu x menunjukkan titik tengah tiap subinterval dan sumbu y
menunjukkan nilai penduga densitas kernelnya. Dengan menggunakan Program
2.2 pada lampiran akan didapat,
47
Gambar 2.10.4. Grafik penduga densitas kernel untuk
pembangkitan bilangan random N(0,1).
Dari Gambar 2.10.4 diatas dapat ditunjukkan bahwa jika M semakin besar maka
akan diperoleh grafik penduga nilai densitas kernel yang akan mendekati grafik
fungsi densitas teoritisnya.
K. Kuantil-Kuantil Plot
Untuk selanjutnya akan dipelajari tentang kuantil-kuantil plot, yang akan
digunakan untuk memeriksa bilangan random yang telah dibangkitkan. Pada
dasarnya jika diberikan titik-titik data ξ1 , ξ 2 ,..., ξ M , maka kuantil-kuantil plot akan
dihasilkan dengan langkah-langkah berikut ini :
^
^
^
a. Titik-titik data ξ 1 , ξ 2 ,..., ξ M diurutkan dari yang terkecil.
48
^
b. Penggambaran kuantil-kuantil plot dengan sumbu x adalah ξ k (data yang
telah diurutkan) dan sumbu y adalah z(k/(M+1)).
Pada dasarnya penggambaran kuantil adalah untuk melihat apakah bilangan
yang telah dibangkitkan menyebar secara merata dalam interval tersebut. Jika
dibangkitkan M bilangan random dengan distribusi tertentu dan diurutkan dari
yang terkecil, maka perlu dilihat apakah bilangan-bilangan random tersebut
menyebar secara merata. Untuk melihatnya, bilangan random yang telah
dibangkitkan tadi dibandingkan dengan nilai-nilai dari kuantilnya. Karena kuantil
itu sendiri adalah nilai-nilai yang membagi sejumlah data menjadi n bagian yang
sama besar. Jika nilai dari pembangkitan bilangan random tersebut mendekati
nilai dari kuantilnya, maka dapat disimpulkan bahwa bilangan yang telah
dibangkitkan tersebut telah menyebar secara merata.
Definisi 2.11.1 :
Jika f(x) adalah fungsi densitas dan 0 < p < 1, maka kuantil p dari f adalah
z(p), dan memenuhi
∫
z( p)
−∞
f ( x) dx = p .
(2.33)
Definisi 2.11.2 :
Eror fungsi (erf(x)) adalah integral ganda dari distribusi Gaussian dengan mean 0
dan variansi
1
yang didefinisikan sebagai
2
erf(x) =
2
x
e
π ∫
0
−t 2
dt .
(2.34)
49
Teorema 2.11.1:
Jika N(x) adalah fungsi distribusi N(0,1) dan erf(x) =
2
x
e
π ∫
−t 2
dt maka diperoleh
0
⎛ x ⎞
erf ⎜
⎟ +1
2⎠
⎝
N(x) =
.
2
(2.35)
Bukti :
Jika erf(x) =
2
x
e
π ∫
−t 2
dt maka
0
x
erf(x/ 2 ) =
misal t =
2
π
2
∫e
−t 2
dt
0
1
s
maka dt =
ds , sedangkan untuk t = 0 maka s = 0 dan untuk t =
2
2
x
maka s = x, sehingga diperoleh
2
erf(x/ 2 ) =
2
x
e
π ∫
−
s2
2
ds
2
0
x
erf(x/ 2 ) =
s2
−
2
2
e
ds
2π ∫0
⎛ 1 x −s ⎞
e 2 ds ⎟
erf(x/ 2 ) = 2⎜
⎟
⎜ 2π ∫
0
⎠
⎝
2
50
karena distribusi normal merupakan distribusi yang simetris dan memenuhi sifatsifat fungsi densitas maka
1
2π
∞
∫e
−
s2
2
ds = 1 , sehingga jika batasnya diubah dari 0
−∞
sampai x menjadi - ∞ sampai x maka persamaan harus dikurangi
⎛ 1
erf(x/ 2 ) = 2⎜
⎜ 2π
⎝
x
∫e
−
s2
2
−∞
1
, maka didapat
2
1⎞
ds − ⎟
2 ⎟⎠
1⎞
⎛
erf(x/ 2 ) = 2⎜ N ( x) − ⎟
2⎠
⎝
⎛ x ⎞
erf ⎜
⎟ +1
⎝ 2⎠
N(x) =
2
▄
Dari definisi 2.11.1 N(z(p)) = p, maka diperoleh
⎛ z ( p) ⎞
erf ⎜
⎟ +1
⎝ 2 ⎠
=p
2
kalikan kedua ruas dengan p dan kurangkan dengan 1
erf (
z ( p)
)= 2 p −1
2
z ( p)
== erfinv(2 p − 1)
2
z(p) = (erfinv(2p-1)) 2
( Nilai z(p) ini akan digunakan untuk menentukan nilai kuantil N(0,1) )
Gambar 2.11.1 dan 2.11.2 berikut akan menunjukkkan hubungan antara
kuantil N(0,1) dengan fungsi densitas dan fungsi distribusinya, dengan M = 9.
Gambar 2.11.1 menekankan bahwa untuk z(k/(M+1)) terdapat titik-titik didalam
51
sumbu x yang disebut kuantil z(p) yang akan membagi kurva densitas N(0,1)
menjadi M = 9 wilayah dan semua wilayah mempunyai luas yang sama.
Sedangkan Gambar 2.11.2 memberikan fungsi f(x) dan menunjukkan bahwa
z(k/(M+1)) adalah titik-titik dalam sumbu x yang berpasangan dengan titik-titik p
pada sumbu y, dimana nilai-nilai yang berada didalam sumbu y mempunyai
kenaikan yang sama. Dengan Program 2.3 dan Program 2.4 pada lampiran didapat
Gambar 2. 11.1. Titik kuantil dalam sumbu x yang memberikan
wilayah yang sama dibawah kurva densitas.
52
Gambar 2.11.2 Titik kuantil didalam sumbu x, dimana
N(x) mempunyai kenaikan yang sama.
Sekarang akan dilihat hubungan distribusi suatu sampel dengan kuantilkuantilnya. Untuk M yang besar, jika kuantil-kuantil plot menghasilkan titik yang
mendekati garis miring fungsi y=x, maka dapat disimpulkan bahwa titik data
tersebut menggambarkan distribusi yang bersesuaian dalam f(x) atau dengan kata
lain sampel dan kuantilnya berdistribusi sama. Untuk melihatnya, jika sumbu x
dibagi kedalam M subinterval dimana setiap nilai didalam k subinterval tertutup
untuk z(k/(M+1), maka didapat satu nilai dalam tiap subinterval. Jadi untuk titik
^
^
data terkecil ξ 1 tertutup untuk z(1/(M+1)), data terkecil kedua, ξ 2 akan tertutup
z(2/(M+1)), dan seterusnya.
Sekarang akan dicari empat kemungkinan kombinasi dari sampel N(0,1)
dan U(0,1) dengan kuantil N(0,1) dan U(0,1). Jika kuantil-kuantil plot berada
disekitar garis miring y=x, maka dapat dikatakan bahwa nilai sampel dan
53
kuantilnya menggambarkan distribusi yang bersesuaian. Tetapi sebelumnya perlu
dicari terlebih dahulu rumus untuk kuantil U(0,1).
Definisi 2.11.3 :
X merupakan variabel random kontinu yang berdistribusi seragam bila fungsi
densitasnya
⎧ 1
⎫
, a ≤ x ≤ b⎪
⎪
f ( x) = ⎨ b − a
⎬.
⎪⎩0, selainnya ⎪⎭
(2.36)
Dari definisi fungsi densitas diatas didapat
⎧1, 0 ≤ x ≤ 1
⎫
f ( x) = ⎨
⎬ untuk U(0,1), maka menurut definisi kuantil
selainnya ⎭
⎩0,
z( p)
∫ f ( x) = p
−∞
0
∫
−∞
z( p)
0dx + ∫1dx = p
0
0 + z ( p) = p
z(p) = p.
( Nilai z(p) inilah yang akan digunakan untuk menentukan nilai kuantil U(0,1))
Dengan Program 2.5 pada lampiran didapat gambar 2.11.3, dengan sumbu x
menunjukkan sampel data sedangkan sumbu y menunjukkan kuantilnya.
54
Gambar 2.11.3. Kuantil-kuantil plot dengan M = 100, penggambaran
^
^
^
sampel-sampel ξ 1 , ξ 2 ,..., ξ M pada sumbu x terhadap z(k/(M+1) pada sumbu y.
L. Teorema Limit Pusat Dalam Simulasi Komputer
Sekarang akan diberikan grafik penduga densitas kernel dan kuantilkuantil plot untuk menunjukkan “kehebatan” teorema limit pusat. Jika diambil
sampel dengan pembangkitan bilangan random yang berdistribusi sembarang
(misal U(0,1)), maka untuk n yang besar distribusi samplingnya akan mendekati
distribusi normal. Seperti yang telah diketahui melalui pembahasan sub bab J dan
K tentang penduga densitas kernel dan kuantil-kuantil plot, bahwa suatu sampel
random yang berdistribusi normal maka histogram penduga densitas kernelnya
akan mendekati grafik fungsi densitas normal teoritisnya untuk M yang besar. Dan
juga kuantil-kuantil plot yang akan berada disekitar garis y = x.
55
Untuk pembahasan kali ini akan diperlihatkan bahwa untuk suatu sampel
yang didapat dengan pembangkitan bilangan random yang berdistribusi U(0,1),
maka menurut teorema limit pusat distribusi sampling harga meannya akan
mendekati distribusi normal. Hal ini akan ditunjukkan dalam histogram densitas
kernelnya yang akan mendekati grafik fungsi densitas normal teoritisnya (dengan
syarat M besar), karena distribusi sampling inilah yang akan digunakan untuk
mencari nilai penduga densitas kernelnya.
Pertama-tama akan dibangkitkan bilangan random U(0,1), dan akan
dimasukkan kedalam persamaan 2.7.1(Teorema Limit Pusat), dimana µ =
σ2 =
1
dan
2
1
. Dalam Gambar 2.12.1 digunakan ∆x = 0,5 dalam interval [-4,4]. Disini
12
akan digunakan histogram, sehingga setiap persegi panjang mempunyai titik
tengah xi dan mempunyai tinggi N i /( M ∆x) . Untuk melihat perbedaan pada
histogramnya maka akan digunakan M dan n dengan berbagai macam ukuran.
Kurva densitas N(0,1) teoritisnya digambarkan dengan garis putus-putus. Dengan
menggunakan Program 2.6 didapatkan,
56
Gambar 2.12.1. Penduga densitas kernel untuk sampel
dalam persamaan (2.1).
Dalam Gambar 2.12.1 diatas dapat dilihat kurva penduga densitas kernel yang
mendekati kurva fungsi densitas N(0,1) seiring dengan bertambahnya nilai M.
Untuk baris pertama dapat dilihat untuk nilai n kecil (diambil n = 10) dan nilai M
yang semakin membesar, maka histogram penduga densitas kernelnya semakin
mendekati grafik penduga densitas N(0,1). Hal ini dikarenakan syarat mutlak dari
penduga densitas kernel yaitu M harus besar. Jadi ketika nilai n kecil maka nilai M
yang semakin membesar seperti “menutupinya” sehingga grafik penduga densitas
kernelnya tetap mendekati grafik fungsi densitas N(0,1) teoritisnya. Untuk baris
kedua dapat dilihat grafik yang jauh dari grafik fungsi densitas N(0,1), hal ini
dikarenakan syarat dari penduga densitas kernel tidak dipenuhi (M harus besar).
Sedangkan untuk baris ketiga dapat dilihat histogram yang semakin mendekati
grafik fungsi densitas N(0,1) seiring bertambahnya nilai M dan n.
57
Untuk lebih jelas lihat gambar baris 1 kolom 4 dengan gambar baris 3 kolom 4.
Melalui dua gambar tersebut dapat dilihat jika nilai n besar maka garfik penduga
densitas kernelnya akan semakin mendekati grafik densitas N(0,1) teoritisnya.
Sedangkan untuk Gambar 2.12.2 berikut akan menggambarkan kuantil
N(0,1) dengan sampel data ξi yang berdistribusi U(0,1) dan dimasukkan kedalam
persamaan (2.2.1) (Teorema Limit Pusat). Dengan nilai M dan n yang bermacammacam, dan µ = 0.5, σ 2 = 1 / 12 . Seperti telah dipelajari diatas bahwa jika suatu
sampel data dan kuantilnya berdistribusi sama, maka akan didapatkan titik-titik
yang berada disekitar garis y = x. Dengan menggunakan Program 2.7 didapatkan,
Gambar 2.12.2. Kuantil-kuantil plot untuk sampel dalam persamaan (2.2.1)
terhadap kuantil N(0,1).
Dari gambar diatas dapat dilihat bahwa titik-titik kuantilnya berada disekitar garis
y=x seiring bertambahnya nilai M (syarat untuk menggambar kuantil). Untuk
baris pertama dapat dilihat untuk nilai n kecil (diambil n = 10) dan nilai M yang
58
semakin membesar, maka titik-titik kuantilnya akan semakin mendekati garis y =
x. Hal ini dikarenakan syarat mutlak dari penduga densitas kernel yaitu M harus
besar. Jadi ketika nilai n kecil maka nilai M yang semakin membesar seperti
“menutupinya” sehingga titik-titik kuantilnya tetap berada disekitar garis y = x.
Untuk baris kedua dapat dilihat bahwa titik-titik kuantilnya jauh dari garis y = x,
hal ini dikarenakan syarat dari penduga densitas kernel tidak dipenuhi (M harus
besar). Tetapi dari tiga gambar tersebut (baris kedua) dapat dilihat dengan jelas,
ketika nilai n semakin membesar maka titik-titik kuantilnya semakin mendekati
garis y = x. Sedangkan untuk baris ketiga dapat dilihat titik-titik kuantilnya yang
semakin mendekati garis y = x seiring bertambahnya nilai M dan n.
Untuk lebih jelas lihat gambar baris 1 kolom 3 dengan gambar baris 3 kolom 3.
Melalui dua gambar tersebut dapat dilihat jika nilai n besar maka titik-titik
kuantilnya akan semakin mendekati garis y = x.
Jadi dari Gambar 2.12.1 dan 2.12.2 dapat dilihat “kehebatan” Teorema
Limit Pusat melalui grafik penduga densitas kernel dan kuantil-kuantil plot.
BAB III
MODEL MATEMATIKA
PERGERAKAN HARGA SAHAM
A. Pergerakan Harga Saham
Saham merupakan suatu obyek finansial yang nilainya diketahui pada saat
ini, tetapi dapat berubah pada masa yang akan datang. Pergerakan harga saham
pada dasarnya merupakan suatu kepercayaan bagi seorang investor. Harga saham
itu sendiri dipengaruhi beberapa faktor antara lain, berita yang sedang
berkembang, desas-desus, spekulasi, keadaan geografis, dan lain sebagainya.
Meskipun sederhana hal ini mengasumsikan bahwa respon pasar seketika itu juga
dipengaruhi pengaruh dari luar dan karena itu, harga saham yang sedang
berkembang menggambarkan semua informasi masa lalu.
Menurut Hipotesis Efisiensi Pasar, jika ingin memprediksi harga saham
untuk masa yang akan datang maka harus diketahui secara lengkap tentang sejarah
dari data harga saham
sebelumnya dan faktor-faktor lain seperti keadaan
perusahaan, keadaan geografis, spekulasi dan lain sebagainya. Tetapi dalam
pembahasan kali ini hanya akan digunakan sejarah dari data harga saham
sebelumnya untuk memprediksi pergerakan harga saham. Untuk model yang akan
ditunjukkan, jika Hipotesis Efisiensi Pasar diterima maka persamaan yang
mendeskripsikan perubahan saham pada waktu t ke t + ∆t perlu melibatkan harga
saham pada waktu t dan pada waktu sebelumnya.
60
Data Harga Saham
Dalam Gambar 3.1.1 menunjukkan harga saham harian IBM dari bulan
Januari -September 2001. Harga penutupan dari setiap transaksi dibuat dalam
setiap hari perdagangan. Sedangkan Gambar 3.1.2 menunjukkan harga saham
mingguan IBM dari Januari 1998 sampai Desember 2001. Dalam Gambar 3.1.1
terdapat 184 titik data dan 212 titik data untuk Gambar 3.1.2.
IBM Harian
120
100
60
40
20
Gambar.3.1.1. Harga Saham Harian IBM
dari bulan Januari sampai September 2001
2-Sep-01
2-Aug-01
2-Jul-01
2-Jun-01
2-May-01
2-Apr-01
2-Mar-01
2-Feb-01
0
2-Jan-01
Harga
80
61
IBM Mingguan
140
120
Harga
100
80
60
40
20
2-Oct-01
2-Jul-01
2-Apr-01
2-Jan-01
2-Oct-00
2-Jul-00
2-Apr-00
2-Jan-00
2-Oct-99
2-Jul-99
2-Apr-99
2-Jan-99
2-Oct-98
2-Jul-98
2-Apr-98
2-Jan-98
0
Gambar.3.1.2. Harga Saham Mingguan IBM
dari Januari 1998 sampai Desember 2001
Dari Gambar 3.1.1 dapat dilihat bahwa untuk data harga saham harian
bulan januari sampai dengan September 2001, pada gambar dapat dilihat dengan
jelas harga saham pada awal bulan januari sampai akhir bulan januari cenderung
naik, tetapi mulai pada pertengahan februari sampai dengan pertengahan maret
harga sahamnya cenderung turun. Secara keseluruhan harga saham pada tahun
2001 tersebut fluktuatif dan jika melihat dari sifat pergerakan grafik tersebut bisa
diprediksi harga saham untuk bulan oktober akan mengalami penurunan. Hal ini
bisa dilihat dari sifat pergerakan harga saham dari akhir bulan juni sampai akhir
bulan September yang cenderung turun.
Sedangkan untuk Gambar 3.1.2 adalah data harga saham mingguan dari
tahun 1998 sampai tahun 2001. Dari gambar dapat dilihat harga saham pada awal
tahun 1998 sampai pertengahan tahun 1999 mengalami kenaikan, tetapi pada awal
September tahun 1999 sampai November 1999 harga sahamnya cenderung turun.
62
Sedangkan pada bulan Mei sampai Juli 2001 terlihat harga sahamnya bergerak
secara horizontal. Secara keseluruhan dapat dilihat bahwa harga saham untuk
tahun 1998 sampai tahun 2001 cenderung naik. Kesimpulannya akan diperoleh
perkiraan tentang pergerakan harga saham yang baik jika interval waktunya
semakin panjang.
Untuk memeriksa data harga saham ini apakah berdistribusi normal atau
tidak akan digunakan tes statistik yang telah dipelajari dalam Bab II. Dalam
gambar 3.1.3, 3.1.4, dan 3.1.5 berikut akan ditunjukkan hasil dari tes statistik
tersebut. Dalam tes statistik ini akan melibatkan nilai return. Return merupakan
hasil yang diperoleh dari investasi yang digunakan untuk mengukur perubahan
kemakmuran yaitu perubahan kekayaan pada saat waktu tertentu. Perubahan
kemakmuran ini menunjukkan tambahan kekayaan dari kekayaan sebelumnya.
Gambar 3.1.3 melibatkan return harian
ri harian =
S (ti +1 ) − S (ti )
,
S (ti )
(3.1)
dengan S (ti ) dan S (ti +1 ) adalah harga saham ti dan ti+1.
Apabila dimiliki return harian dengan rata-rata µ dan standar deviasi σ , maka
return harian dengan skala Z nya adalah sebagai berikut,
^ harian
ri
dengan µ dan σ
2
=
ri harian − µ
σ
(3.2)
sebagai perhitungan rata-rata dan variansi sampel yang
didefinisikan dalam persamaan (2.27) dan (2.28).
63
Gambar 3.1.3 dan 3.1.4 bagian kiri memberikan histogram frekuensi relatif
^
untuk r i , dengan sumbu x menunjukkan titik tengah tiap subinterval dan sumbu y
menunjukkan frekuensi relatifnya. Kurva densitas N(0,1) ditunjukkan oleh garis
putus-putus. Untuk perkiraan bagi fungsi yang berhubungan dengan distribusi
akan digunakan histogram kumulatif. Dengan sumbu x menunjukkan titik tengah
tiap subinterval dan sumbu y menunjukkan frekuensi relatif kumulatifnya. Hasil
dari histogramnya ditunjukkan pada gambar 3.1.3, 3.1.4, dan 3.1.5 bagian tengah.
Pada Gambar 3.1.3, 3.1.4, dan 3.1.5 bagian kanan menunjukkan kuantil-kuantil
^
plot yang telah didefinisikan dalam Bab II. Dengan sumbu x menunjukkan r i dan
sampel dari pembangkitan bilangan random N(0,1) yang telah diurutkan
sedangkan sumbu y menunjukkan nilai kuantil normal dari data dan sampel
random tersebut. Dengan program 3.1, 3.2, dan 3.3 dalam lampiran diperoleh,
^ harian
Gambar 3.1.3. Histogram frekuensi relatif r i
, Histogram kumulatif
dan Kuantil dari data IBM Harian.
^ harian
Dari gambar diatas dapat dilihat bahwa histogram frekuensi relatif r i
dan
histogram kumulatifnya sudah dapat dikatakan mendekati grafik densitas N(0,1)
64
dan grafik frekuensi kumulatifnya. Sedangkan untuk titik-titik kuantilnya juga
sudah berada disekitar garis y = x.
Untuk Gambar 3.1.4 berikut akan digunakan data IBM mingguan dan
program 3.4, 3.5, dan 3.6 dalam lampiran.
^ min gguan
Gambar 3.1.4. Histogram frekuensi relatif r i
, Histogram kumulatif
dan Kuantil dari data IBM Mingguan
^
Dari gambar diatas dapat dilihat bahwa histogram frekuensi relatif r i
min gguan
dan
histogram kumulatifnya sudah dapat dikatakan mendekati grafik densitas N(0,1)
dan grafik frekuensi kumulatifnya. Sedangkan untuk titik-titik kuantilnya juga
sudah berada disekitar garis y = x.
Untuk Gambar 3.1.5 berikut akan digunakan pembangkitan bilangan
random dan program 3.7, 3.8, dan 3.9 dalam lampiran.
Gambar 3.1.5. Penduga densitas kernel, Histogram frekuensi relatif kumulatif
dan Kuantil dari sampel random
Dari gambar diatas dapat dilihat bahwa histogram penduga densitas kernel dan
histogram
kumulatifnya sangat mendekati grafik densitas N(0,1) dan grafik
65
frekuensi kumulatifnya. Sedangkan untuk titik-titik kuantilnya berada disekitar
garis y = x.
Secara keseluruhan Gambar 3.1.3 dan 3.1.4 memberi kesan bahwa
^
histogram frekuensi relatif r i dan histogram kumulatif untuk return saham harian
dan mingguan mendekati grafik fungsi densitas N(0,1) dan histogram frekuensi
relatif kumulatifnya, sedangkan kuantil-kuantil plotnya mendekati garis y = x.
^
Maka dapat dikatakan r i berdistribusi normal standar, maka data dari return
harian tersebut juga akan berdistribusi normal dengan nilai harapan µ dan variansi
σ2.
Selanjutnya return data harga saham harian dan mingguan tersebut sekali
lagi akan diuji apakah benar berdistribusi normal atau tidak, kali ini dengan
menggunakan kolmogorov Smirnov dalam SPSS. Untuk return data harga saham
harian hasilnya,
Tabel 3.1.1. Tabel uji normalitas dengan Kolmogorof Smirnov
Return
harian
N
183
Mean
Normal Parameters(a,b)
Most Extreme
Differences
Std. Deviation
Absolute
.0000
38.77281
.082
Positive
.052
Negative
-.082
Kolmogorov-Smirnov Z
Asymp. Sig. (2-tailed)
a Test distribution is Normal.
b Calculated from data.
1.104
.175
66
Dari hasil diatas karena nilai Asymp. Sig. (2-tailed) > 0,05 maka return hariannya
berdistribusi normal. Berikutnya akan diuji untuk return data harga saham
mingguan. Dengan menggunakan SPSS hasilnya,
Tabel 3.1.2. Tabel uji normalitas dengan Kolmogorof Smirnov
Return
mingguan
N
211
Mean
Normal Parameters(a,b)
Most Extreme
Differences
.0000
Std. Deviation
Absolute
19.74709
.053
Positive
.053
Negative
-.043
Kolmogorov-Smirnov Z
.763
Asymp. Sig. (2-tailed)
.606
a Test distribution is Normal.
b Calculated from data.
Dari hasil diatas nilai Asymp. Sig. (2-tailed) > 0,05 maka return mingguannya
berdistribusi normal. Jadi dengan menggunakan tes statistik dengan Matlab dan
SPSS dapat disimpulkan bahwa return data harga saham harian dan mingguannya
berdistribusi normal.
Untuk return harian dan mingguan yang sangat kecil maka,
⎛ S (t ) ⎞
⎛ S (ti +1 ) − S (ti ) ⎞
⎟⎟
log⎜⎜ i +1 ⎟⎟ = log⎜⎜1 +
S (ti )
⎝ S (ti ) ⎠
⎝
⎠
menurut deret Maclaurin log(1+x) =
∞
k
∑ (− 1)
k =0
x k +1
, sehingga persamaan menjadi
k +1
⎛ S (ti +1 ) − S (ti ) ⎞
⎜⎜
⎟⎟
∞
S (ti )
⎛ S (ti +1 ) ⎞
k ⎝
⎠
⎟⎟ = ∑ (− 1)
log⎜⎜
S
(
t
)
k
+
1
i
⎝
⎠ k =0
k +1
67
2
3
⎛ S (ti +1 ) − S (ti ) ⎞
⎛ S (ti +1 ) − S (ti ) ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
S (ti )
S (ti )
⎛ S (ti +1 ) ⎞ S (ti +1 ) − S (ti ) ⎝
⎠
⎝
⎠ − ....
⎟⎟ =
−
+
log⎜⎜
S
t
(
)
2
3
S
(
t
)
i
i
⎝
⎠
karena nilai return sangat kecil maka nilai
2
3
⎛ S (ti +1 ) − S (ti ) ⎞
⎛ S (ti +1 ) − S (ti ) ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
S (ti )
S (ti )
⎝
⎠ +⎝
⎠ − ....
2
3
menjadi sangat kecil, oleh karena itu nilai tersebut diabaikan. Maka
⎛ S (t ) ⎞ S (ti +1 ) − S (ti )
.
log⎜⎜ i +1 ⎟⎟ ≈
S (ti )
⎝ S (ti ) ⎠
(3.3)
Untuk selanjutnya dengan menggunakan histogram frekuensi relatif untuk
⎛ S (t ) ⎞
log⎜⎜ i +1 ⎟⎟ , histogram kumulatif dan kuantil-kuantil plot untuk data harga
⎝ S (ti ) ⎠
saham harian dan mingguan akan dilihat apakah persamaan (3.3) tepat. Gambar
3.1.6 dan 3.1.7 memberikan hasilnya,
⎛ S (t ) ⎞
Gambar 3.1.6. Histogram frekuensi relatif log⎜⎜ i +1 ⎟⎟ , Histogram kumulatif
⎝ S (ti ) ⎠
dan Kuantil-kuantil plot untuk data harga saham harian
68
⎛ S (t ) ⎞
Gambar 3.1.7. Histogram frekuensi relatif log⎜⎜ i +1 ⎟⎟ , Histogram kumulatif
⎝ S (ti ) ⎠
dan Kuantil-kuantil plot untuk data harga saham mingguan
Dari Gambar 3.1.3, 3.1.4 dan Gambar 3.1.6, 3.1.7 dapat disimpulkan bahwa nilai
⎛ ⎛ S (t ) ⎞ ⎞
log ratios ⎜⎜ log⎜⎜ i +1 ⎟⎟ ⎟⎟ mendekati nilai return.
⎝ ⎝ S (ti ) ⎠ ⎠
B. Model Matematis Harga Saham
Tujuan dalam bab ini adalah untuk mendapatkan suatu model dari
pergerakan harga saham yang akan digunakan untuk memprediksi harga saham
pada waktu berikutnya. Jika diberikan harga saham S0 pada saat t = 0, tujuannya
adalah untuk membuat model matematika yang mendeskripsikan harga saham S(t)
untuk setiap waktu t (0 ≤ t ≤ T). Karena pergerakan harga saham pada dasarnya
tidak dapat diprediksi secara pasti, maka S(t) merupakan sebuah variabel random
untuk setiap t. Meskipun harga saham biasanya dibulatkan menjadi satu atau dua
tempat desimal, diasumsikan bahwa harga saham memiliki nilai ≥ 0.
1. Model Saham Diskret
Diberikan t i = i δt , sehingga harga saham dapat ditentukan pada titik
diskret {t i }. Jika δ t → 0 dan 0 ≤ t ≤ T maka model saham diskretnya adalah
S (ti +1 ) = S (ti ) + µ δt S (ti ) + σ δt Yi S (ti )
(3.4)
69
dengan
ƒ
µ adalah parameter konstan, yaitu nilai harapan return dari harga saham.
ƒ
σ ≥ 0 adalah parameter konstan yang menentukan fluktuasi harga saham.
ƒ
Y0 , Y1 , Y2 , ... adalah bilangan random berdistribusi N(0,1) yang independen
dan identik.
Pergerakan harga saham pada dasarnya akan bergerak secara diskret
biasanya yang terekam tiap bulan, hari dan jam. Tetapi untuk memperoleh
prediksi tentang harga saham yang baik, maka model harga saham diskretnya
perlu didekatkan kekontinu.
2. Model Saham Kontinu
Misalkan akan diduga interval waktu [0,t] dan interval tersebut akan dibagi
menjadi L subinterval, maka t = L δt dengan δt adalah panjang subinterval. Dan
jika δt → 0 maka L → ∞ . Telah diketahui bahwa S (0) = S0 maka dari model
saham diskrit (3.4) didapat S (δt ), S (2δt ),...., S ( Lδt = t ) .
Untuk S (ti +1 ) = S (ti ) + µ δt S (ti ) + σ δt Yi S (ti ) maka,
S (t1 ) = S0 + µδt S0 + σ δtY0 S0 = S0 (1 + µδt + σ δtY0 )
S (t2 ) = S (t1 )(1 + µδt + σ δtY1 )
.
.
.
.
.
.
S (t L −1 ) = S (t L − 2 )(1 + µδt + σ δtYL − 2 )
S (t L ) = S (t L −1 )(1 + µδt + σ δtYL −1 )
70
Jadi untuk setiap interval waktu δt , harga saham akan dikalikan dengan faktor
1 + µδt + σ δtYi . Maka untuk L subinterval diperoleh
S ( Lδt = t ) = S (t L −1 )(1 + µδt + σ δtYL −1 )
= S (t L − 2 )(1 + µδt + σ δtYL − 2 )(1 + µδt + σ δtYL −1 )
= S (t L − 3 )(1 + µδt + σ δtYL − 3 )(1 + µδt + σ δtYL − 2 )(1 + µδt + σ δtYL −1 )
.
.
.
.
.
.
= S (t2 )(1 + µδt + σ δtY2 )(1 + µδt + σ δtY3 ).......(1 + µδt + σ δtYL −1 )
= S (t1 )(1 + µδt + σ δtY1 )(1 + µδt + σ δtY2 ).......(1 + µδt + σ δtYL −1 )
= S0 (1 + µδt + σ δtY0 )(1 + µδt + σ δtY1 ).......(1 + µδt + σ δtYL −1 )
L −1
S (t ) = S0 ∏ (1 + µδt + σ δtYi ) .
i =0
Jika kedua ruas dibagi dengan S0 dan dilogaritmakan maka persamaan tersebut
menjadi
L −1
⎛ S (t ) ⎞
⎟⎟ = log ∏ (1 + µδt + σ δtYi )
log⎜⎜
i =0
⎝ S0 ⎠
= log{(1 + µδt + σ δtY0 ) ((1 + µδt + σ δtY1 ) ....((1 + µδt + σ δtYL −1 )}
= log(1 + µδt + σ δtY0 ) + log(1 + µδt + σ δtY1 ) + .... + log(1 + µδt + σ δtYL −1 )
L −1
= ∑ log(1 + µδt + σ δtYi )
(3.5)
i =0
karena mengarah kepada lim δt → 0 maka dari deret Maclaurin log(1+x) =
x−
x 2 x3
ε2 ε3
+ − ... didapat log(1+ ε ) = ε −
+ − ... , untuk ε yang sangat kecil .
2
3
2
3
Sehingga
log(1 + µδt + σ δtYi ) = µδt + σ δtYi −
( µδt + σ δtYi ) 2 ( µδt + σ δtYi )3
+
− ...
2
3
71
= µδt + σ δtYi −
µ 2δt 2 + 2µ δt 2 σYi + σ 2δtYi 2
2
+
µ 3δt 3 + 3µ 2δt 2σ δtYi + 3µ δt σ 2δtY 2i + σ 3 ( δt )3Yi 3
3
− .. .
Karena ε sangat kecil dan δt → 0, maka semakin besar pangkat δt maka nilai δt
akan mendekati nol, oleh karena itu untuk δt yang mempunyai pangkat 3/2 atau
lebih besar nilainya akan diabaikan. Sehingga diperoleh
⎛ S (t ) ⎞ L −1
1
⎟⎟ ≈ ∑ ( µ δt + σ δtYi − σ 2δt Yi 2 ) .
log⎜⎜
2
⎝ S0 ⎠ i = 0
(3.6)
Sekarang dengan menggunakan sifat-sifat nilai harapan dan variansi akan dicari
1
2
nilai harapan dan variansi untuk µ δt + σ δtYi − σ 2δt Yi ,
2
1
1
2
2
E ( µ δt + σ δtYi − σ 2δt Yi ) = E ( µδt ) + E (σ δtYi ) − E ( σ 2δt Yi )
2
2
1
= µ δt − σ 2δt
2
(3.7)
1
1
2
2
Var ( µ δt + σ δtYi − σ 2δt Yi ) = Var ( µ δt ) + Var (σ δtYi ) − Var ( σ 2δtYi )
2
2
1
= σ 2δt Var (Yi ) − σ 4δt 2 Var (Yi 2 )
4
(
(
))
2 ⎫
⎧ 1
= σ 2δt + ⎨− σ 4δt 2 E (Yi 4 ) − E (Yi 2 ) ⎬
⎩ 4
⎭
dengan menggunakan persamaan (2.11) dan (2.13) diperoleh,
⎧ 1
⎫
= σ 2δt + ⎨− σ 4δt 2 (3 − 1)⎬
4
⎩
⎭
= σ 2δt + ( δt dengan pangkat besar)
72
= σ 2δt
(3.8)
Selanjutnya karena Yi dalam persamaan (3.6) berdistribusi normal standar maka
log
S (t )
S0
akan menjadi seperti variabel random normal dengan mean
1
1
1 ⎞
⎛
⎞ t ⎛
⎞ ⎛
L⎜ µ δt − σ 2δt ⎟ = ⎜ µδt − σ 2δt ⎟ = ⎜ µ − σ 2 ⎟t
2
2
2 ⎠
⎝
⎠ δt ⎝
⎠ ⎝
Lσ 2δt =
dan
variansi
t 2
σ δt = σ 2t , atau dengan kata lain
δt
⎛ S (t ) ⎞
⎞
⎛
1
⎟⎟ ~ N ⎜⎜ ⎛⎜ µ − σ 2 ⎞⎟t ,σ 2t ⎟⎟ .
log⎜⎜
2 ⎠
⎠
⎝⎝
⎝ S0 ⎠
(3.9)
⎛ S (t ) ⎞
σ2
⎟⎟ , µ x = µt −
Jadi untuk x = log⎜⎜
t , dan σ x = σ t maka akan diperoleh
2
⎝ S0 ⎠
model untuk harga saham kontinunya,
Z=
x − µx
σx
⎛ S (t ) ⎞ ⎛
1
⎞
⎟⎟ − ⎜ µt − σ 2t ⎟
log⎜⎜
2
⎠
⎝ S0 ⎠ ⎝
Z=
σ t
kalikan kedua ruas dengan σ t maka persamaan menjadi
⎛ S (t ) ⎞ ⎛
1
⎟⎟ − ⎜ µt − σ 2t ⎞⎟
Zσ t = log⎜⎜
2
⎠
⎝ S0 ⎠ ⎝
1
⎛
⎞
tambahkan kedua ruas dengan ⎜ µt − σ 2t ⎟ maka persamaan menjadi
2
⎝
⎠
⎛ S (t ) ⎞
1
⎛
⎞
⎟⎟
Zσ t + ⎜ µt − σ 2t ⎟ = log⎜⎜
2
S
⎝
⎠
0
⎝
⎠
73
1
⎛
⎞
t +⎜ µ t − σ 2t ⎟
2
⎝
⎠
Zσ
S (t )
=e
S0
kalikan kedua ruas dengan S0 maka persamaan menjadi
1 2⎞
⎛
⎜ µ − σ ⎟ t +σ t Z
2
⎠
S (t ) = S0 e⎝
, dengan Z ~N(0,1).
(3.10)
Pada dasarnya tidak penting untuk harga saham pada saat t = 0, keterangan
yang sama tentang perkembangan harga saham dapat diperoleh pada saat t = t1
sampai t = t2 dimana t2 > t1 . Maka
⎛ S (t ) ⎞
⎛⎛
⎞
1 ⎞
log⎜⎜ 2 ⎟⎟ ~ N ⎜⎜ ⎜ µ − σ 2 ⎟(t2 − t1 ),σ 2 (t2 − t1 ) ⎟⎟ .
2 ⎠
⎝⎝
⎠
⎝ S (t1 ) ⎠
(3.11)
Karena Yi dalam persamaan (3.4) identik dan independen, maka untuk t3 > t2 > t1
didapat
⎛ S (t ) ⎞
⎛⎛
⎞
1 ⎞
log⎜⎜ 3 ⎟⎟ ~ N ⎜⎜ ⎜ µ − σ 2 ⎟(t3 − t2 ),σ 2 (t3 − t2 ) ⎟⎟
2 ⎠
⎝⎝
⎠
⎝ S (t2 ) ⎠
⎛ S (t ) ⎞
⎛ S (t ) ⎞
dan log⎜⎜ 3 ⎟⎟ independen. Untuk x = log⎜⎜ 3 ⎟⎟ maka
⎝ S (t2 ) ⎠
⎝ S (t2 ) ⎠
Z=
x − µx
σx
⎛ S (t ) ⎞ ⎛
1 ⎞
log⎜⎜ 3 ⎟⎟ − ⎜ µ − σ 2 ⎟(t3 − t2 )
2 ⎠
⎝ S (t2 ) ⎠ ⎝
Z2 =
σ (t3 − t2 )
kalikan kedua ruas dengan σ (t3 − t2 ) maka persamaan menjadi
⎛ S (t ) ⎞ ⎛
1 ⎞
Z 2σ (t3 − t2 ) = log⎜⎜ 3 ⎟⎟ − ⎜ µ − σ 2 ⎟(t3 − t2 )
2 ⎠
⎝ S (t2 ) ⎠ ⎝
(3.12)
74
1 ⎞
⎛
tambahkan kedua ruas dengan ⎜ µ − σ 2 ⎟(t3 − t2 ) maka persamaan menjadi
2 ⎠
⎝
⎛ S (t ) ⎞
1 ⎞
⎛
Z 2σ (t3 − t2 ) + ⎜ µ − σ 2 ⎟(t3 − t2 ) = log⎜⎜ 3 ⎟⎟
2 ⎠
⎝
⎝ S (t2 ) ⎠
Z 2σ
S (t3 )
=e
S (t2 )
1
⎛
⎞
(t 3 − t 2 ) + ⎜ µ − σ 2 ⎟(t3 −t 2 )
2
⎝
⎠
kalikan kedua ruas dengan S(t2) maka persamaan menjadi
S (t3 ) = S (t2 ) e
1 2⎞
⎛
⎜ µ − σ ⎟ ( t 3 − t 2 ) +σ ( t 3 − t 2 )Z 2
2
⎝
⎠
.
(3.13)
Jadi perubahan harga saham untuk titik data yang berurutan 0 = t1 < t2 < ... < t M
dapat ditentukan oleh
1 2⎞
⎛
⎜ µ − σ ⎟ ( t i +1 − t i ) +σ t i +1 − t i Z i
2
⎠
S (ti +1 ) = S (ti ) e⎝
(3.14)
untuk Zi ~N(0,1).
3. Distribusi Lognormal Harga Saham
Teorema 3.2.1:
Jika variabel random S (t ) = S0 e
1 2⎞
⎛
⎜ µ − σ ⎟ t +σ t Z
2
⎝
⎠
dengan Z ~N(0,1) dan S(t) = X, maka
S(t) =X mempunyai fungsi densitas
.
⎧ exp⎛⎜ − (ln( x / S 0 ) − ( µ2 −σ 2 / 2 )t ) 2 ⎞⎟
⎟
2σ t
⎠
⎪ ⎜⎝
, x >0
xσ 2π t
⎪⎪
f ( x) = ⎨
⎪
⎪ 0 , x≤0
⎪⎩
(
2
(3.15)
)
dengan nilai harapan S 0e µ t dan variansi S0 e 2 µ t eσ t − 1 .
2
75
Bukti :
1 2⎞
⎛
⎜ µ − σ ⎟t + σ t Z
2
⎠
Misalkan x = S(t) = S0e⎝
, jika kedua ruas dibagi dengan S0 maka
diperoleh
⎛⎛
1
⎜⎜ ⎜ µ − σ
x
= e⎝ ⎝ 2
S0
2
⎞
⎞
⎟ t + σ t Z ⎟⎟
⎠
⎠
algoritmakan kedua ruas
⎛ x ⎞ ⎛
σ2 ⎞
⎟t + σ t Z
ln⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ µ −
2 ⎟⎠
⎝ S0 ⎠ ⎝
⎛
σ2 ⎞
⎟t
kurangkan kedua ruas dengan ⎜⎜ µ −
2 ⎟⎠
⎝
⎛ x⎞ ⎛
σ2 ⎞
⎟t = σ t Z
ln⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ µ −
2 ⎟⎠
⎝ S0 ⎠ ⎝
bagi kedua ruas dengan
tZ
⎛ x⎞ ⎛
σ2 ⎞
⎟t
ln⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ µ −
S0 ⎠ ⎝
2 ⎟⎠
⎝
Z=
.
σ t
Karena Z berdistribusi normal standar dan dimisalkan w(x) = Z, dengan w’(x) =
1
xσ t
maka dengan menggunakan persamaan (2.16) dalam metode transformasi
satu-satu didapatkan,
fx(x)
= f z (Z )
d
w(x)
dx
76
=
=
=
1
e
2π
⎛ ⎛ x
⎜ ln ⎜
⎜
1 ⎜ ⎝ S0
− ⎜
2⎜
⎜⎜
⎝
1
e
xσ 2π t
1
e
xσ 2π t
⎞ ⎛
σ2
⎟⎟ − ⎜ µ −
⎜
2
⎠ ⎝
σ t
⎛ ⎛ x
⎜ ln ⎜
⎜
1 ⎜ ⎝ S0
− ⎜
2⎜
⎜⎜
⎝
⎛ ⎛
⎜ ⎜ ⎛ x
⎜ − ⎜ ln ⎜⎜ S
⎜ ⎝ ⎝ 0
⎜
⎜
⎜⎜
⎝
⎞
⎟t
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟⎟
⎠
2
1
xσ t
⎞ ⎛
σ2
⎜
⎟⎟ − ⎜ µ − 2
⎠ ⎝
σ t
⎞ ⎛
σ2
⎟⎟ − ⎜ µ −
⎜
2
⎠ ⎝
⎞
⎟t
⎟
⎠
⎞
⎟t
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
2
2
2σ 2 t
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟⎟
⎠
Sekarang dengan menggunakan persamaan (2.3) dan (2.6) akan dicari nilai
harapan dan variansinya,
E (S (t ) )
∞
=
∫x
0
∞
=
∫
0
misalkan
Z =
e
e
2
1 ⎛ (ln( x / S 0 ) − ( µ − (σ / 2 )) t ) ⎞⎟
− ⎜
⎟
2 ⎜⎝
σ t
⎠
dx
xσ 2πt
2
1 ⎛ (ln( x / S 0 ) − ( µ − (σ / 2 )) t ) ⎞⎟
− ⎜
⎟
2 ⎜⎝
σ t
⎠
σ 2πt
(ln( x / S 0 ) − ( µ − (σ 2 / 2 )) t )
σ t
maka didapatkan
Zσ t = ln⎛⎜⎜ x ⎞⎟⎟ − ⎛⎜⎜ µ − σ
2
⎝ S0 ⎠ ⎝
2
⎞
⎟⎟t
⎠
⎛
σ2 ⎞
⎟t
kurangkan kedua ruas dengan ⎜⎜ µ −
2 ⎟⎠
⎝
2
2
dx
, jika kedua ruas dikalikan dengan σ t
77
⎛
σ 2 ⎞ = ln⎛⎜ x
⎟t
Zσ t + ⎜⎜ µ −
⎜S
2 ⎟⎠
⎝ 0
⎝
x = S 0e
sehingga dx = σ t S0 e
E (S (t ) ) =
∞
∫
e
⎞
⎟⎟
⎠
2 ⎞
⎛
⎜ µ − σ ⎟t +σ
⎜
⎟
2
⎝
⎠
⎛ σ2 ⎞
⎜ µ − ⎟ t +σ t Z
⎜
2 ⎟⎠
⎝
e
1
− Z2
2
−∞
∞
=
∫
2
dx
σ 2πt
∞
∫
dz
2
1 ⎛ (ln( x / S 0 ) − ( µ − (σ / 2 )) t ) ⎞⎟
− ⎜
⎟
2 ⎜⎝
σ t
⎠
0
=
t Z
e
2
⎛
⎜ µ −σ
⎜
2
⎝
σ t S0 e
σ 2πt
1
− Z2
2
S0 e
S eµ t
= 0
2π
S eµ t
= 0
2π
dz
⎞
⎟t +σ t Z
⎟
⎠
dz
2π
−∞
S eµ t
= 0
2π
2
⎛
⎜ µ −σ
⎜
2
⎝
⎞
⎟ t +σ t Z
⎟
⎠
∞
∫e
σ2
1
− Z 2 +σ t Z −
t
2
2
dz
−∞
∞
∫e
(
)
−
1 2
1
Z − 2 Zσ t − σ 2 t
2
2
−
1
Z −σ t
2
dz
−∞
∞
∫e
(
)2
dz
−∞
misal v = Z − σ t maka Z = v + σ t dan dz = dv , sehingga persamaan
menjadi
E (S (t ) ) =
S0e µ t
2π
∞
∫e
−∞
1
− v2
2
dv
78
1
−
1
misalkan w = v 2 maka v = 2 w dan dv = (2 w) 2 dw sehingga persamaan
2
menjadi
E (S (t ) ) =
∞
1
2 S0e µ t − w
−
e (2 w) 2 dw
∫
2π 0
∞
=
=
2S0e µ t −w − 1
e (w) 2 dw
2 π ∫0
∞
S0e µ t
∫ e (w)
π
−w
−
1
2
dw
0
dengan menggunakan persamaan (2.7) dan (2.8) didapatkan
=
=
S0e µ t ⎛ 1 ⎞
Γ⎜ ⎟
π ⎝2⎠
S0e µ t
π
π
= S0e µ t .
(3.16)
Sekarang akan dicari E (S (t ) 2 ) ,
E (S (t ) 2 )
∞
=
∫x
2
e
2
1 ⎛ (ln( x / S 0 ) − ( µ − (σ / 2 )) t ) ⎞⎟
− ⎜
⎟
2 ⎜⎝
σ t
⎠
∞
=
∫x
e
2
1 ⎛ (ln( x / S 0 ) − ( µ − (σ / 2 )) t ) ⎞⎟
− ⎜
⎟
2 ⎜⎝
σ t
⎠
0
misalkan
Z =
dx
xσ 2πt
0
σ 2πt
(ln( x / S 0 ) − ( µ − (σ 2 / 2 )) t )
σ t
kalikan kedua ruas dengan σ t
2
2
dx
79
Zσ t = ln⎛⎜⎜ x ⎞⎟⎟ − ⎛⎜⎜ µ − σ
2
⎝ S0 ⎠ ⎝
2
⎞
⎟⎟t
⎠
⎛
σ2 ⎞
⎟t
kurangkan kedua ruas dengan ⎜⎜ µ −
2 ⎟⎠
⎝
⎛
σ 2 ⎞ = ln⎛⎜ x ⎞⎟
⎟t
Zσ t + ⎜⎜ µ −
⎜S ⎟
2 ⎟⎠
⎝ 0⎠
⎝
x = S 0e
2
⎛
⎜µ−σ
⎜
2
⎝
⎞
⎟t +σ
⎟
⎠
t Z
dan dx = σ t S0 e
⎛ σ2 ⎞
⎜ µ − ⎟ t +σ t Z
⎜
2 ⎟⎠
⎝
dz
sehingga persamaan menjadi
E (S (t )
2
)
∞
=
∫Se
0
2
⎛
⎜ µ −σ
⎜
2
⎝
⎞
⎟t +σ t Z
⎟
⎠
−∞
2
S
= 0
2π
2
S
= 0
2π
2
S
= 0
2π
2
S
= 0
2π
2
S
= 0
2π
2
S
= 0
2π
∞
∫e
2
⎛
⎜ µ −σ
⎜
2
⎝
σ 2πt
⎞
⎟ t +σ t Z
⎟
⎠
e
σ t S0 e
⎛
σ2
1
⎜
− Z2 ⎜µ− 2
⎝
2
e
2
⎛
⎜ µ −σ
⎜
2
⎝
⎞
⎟ t +σ t Z
⎟
⎠
−∞
∞
∫e
⎛
σ2
1
− Z 2 + 2σ t Z + 2 ⎜⎜ µ −
2
2
⎝
⎞
⎟t
⎟
⎠
dz
−∞
∞
∫e
⎛
σ2
1
− ( Z 2 − 4σ t Z ) + 2 ⎜⎜ µ −
2
2
⎝
⎞
⎟t
⎟
⎠
dz
−∞
∞
∫e
1
− ( Z 2 − 4σ t Z ) + 2 µ t − σ 2 t
2
dz
−∞
∞
∫e
1
− ( Z − 2σ t ) 2 + 2 σ 2 t + 2 µ t − σ 2 t
2
−∞
∞
∫e
1
− ( Z − 2σ t ) 2 + 2 µ t + σ 2 t
2
dz
−∞
S e ( 2 µ +σ
= 0
2π
2
e
1
− Z2
2
2
)t ∞
∫e
−∞
1
− ( Z − 2σ t ) 2
2
dz
dz
⎞
⎟t +σ t Z
⎟
⎠
dz
dz
80
misalkan v = Z − 2σ t maka Z = v + 2σ t dan dz = dv , sehingga persamaan
menjadi
E (S (t ) 2 )
S0 e ( 2 µ +σ
2π
2
=
)t ∞
2
∫e
1
− v2
2
dv
−∞
1
−
1
misalkan w = v 2 maka v = 2w dan dv = (2w) 2 dw , sehingga persamaan
2
menjadi
E (S (t )
2
)
2 S 0 e( 2 µ +σ
=
2π
2
2S0 e ( 2 µ +σ
=
2 π
2
2
2
)t ∞
−
1
−w
∫ e (2w) 2 dw
0
)t ∞
−
1
−w
∫ e (w) 2 dw
0
dengan menggunakan persamaan (2.7) dan (2.8) didapatkan
=
S0 e ( 2 µ +σ
=
S 0 e ( 2 µ +σ
2
2
)t
2
)t
π
2
⎛1⎞
Γ⎜ ⎟
⎝2⎠
π
π
= S 0 e ( 2 µ +σ
2
2
)t
.
(3.17)
Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (3.16) dan (3.17) akan dicari nilai
Var(S(t)).
Var(S(t))
= E(X2) – (E(X))2
(
= S 0 e ( 2 µ +σ
2
)t
− S0 e µ t
= S 0 e ( 2 µ +σ
2
)t
− S02 e 2 µ t
2
2
(
2
)
= S0 e 2 µ t eσ t − 1 .
2
)
2
(3.18)
81
Jadi teorema diatas sudah terbukti.
▀
Fungsi densitas untuk S(t) adalah
⎧ exp⎛⎜ − (ln( x / S 0 ) − ( µ2 −σ 2 / 2 )t ) 2 ⎞⎟
⎟
2σ t
⎠
⎪ ⎜⎝
, x >0
σ
π
2
x
t
⎪⎪
f ( x) = ⎨
⎪
⎪ 0 , x≤0
⎪⎩
⎛ − (ln( x) − ln(S0 ) − ( µ − σ 2 / 2)t ) 2 ⎞
⎟⎟
exp⎜⎜
2σ 2t
⎝
⎠
f ( x) =
σ t x 2π
2
⎛ ⎡
⎞
2
⎜ − ln( x) − ⎧ln(S ) + ⎛⎜ µt − σ t ⎞⎟⎫⎤ ⎟
⎢
⎥
⎨
⎬
0
⎜
⎜
2 ⎟⎠⎭⎦⎥ ⎟
⎢
⎝
⎩
⎟
exp⎜ ⎣
2σ 2t
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
f ( x) =
σ t x 2π
⎛
⎛
σ 2t ⎞ 2 ⎞⎟
⎟,σ t ⎟ .
maka X = S(t) ~ lognormal ⎜⎜ ln(S0 ) + ⎜⎜ µt −
2 ⎟⎠
⎝
⎠
⎝
Contoh 3.2.1 :
Berikut ini akan diberikan grafik dari fungsi densitas lognormal (3.15), dengan S0
= 1, µ = 0,05 , dan untuk σ = 0,3 dan σ = 0,5 . Gambar (3.2.1) diberikan untuk t =
1 dan t = 3 untuk gambar (3.2.2).
Dengan menggunakan program (3.10) dan (3.11) pada lampiran didapat,
82
Gambar (3.2.1) : Kurva Densitas Lognormal untuk S0 = 1, µ = 0,05 ,
t = 1, dan σ = 0,3 dan σ = 0,5
Gambar (3.2.2) : Kurva Densitas Lognormal untuk S0 = 1, µ = 0,05 ,
t = 3, dan σ = 0,3 dan σ = 0,5
Dari kedua gambar dapat dilihat bahwa fungsi densitas tersebut tidak mempunyai
sumbu simetri vertikal. Diketahui dalam persamaan (3.18) variansi dari fungsi
densitas harga saham akan naik bersama dengan kenaikan nilai t, dan hal ini jelas
83
dapat dilihat dalam gambar (3.2.1) dan (3.2.2). Ketika nilai t naik, maka fungsi
densitasnya akan melebar. Nilai harapan dari S(t) juga akan naik bersama t,
meskipun hal ini kurang jelas dalam gambar.
4. Interval Konvidensi Harga Saham
⎛ S (t ) ⎞
⎟⎟ adalah
Dari persamaan (3.9) nilai harapan dan variansi untuk ln⎜⎜
⎝ S0 ⎠
1 2⎞
⎛
2
⎜ µ − σ ⎟t dan σ t , maka dengan menggunakan bab II. H interval konvidensi
2 ⎠
⎝
95% untuk Z adalah
P ( − Z α / 2 ≤ Z ≤ Zα / 2 ) = 1 − α
P(− Z 0,05 / 2 ≤ Z ≤ Z 0, 05 / 2 ) = 1 − 0,05
P(− Z 0,025 ≤ Z ≤ Z 0,025 ) = 0,95
P(− 1.96 ≤ Z ≤ 1.96) = 0.95
⎛
⎞
⎛ S (t ) ⎞ ⎛
σ2 ⎞
⎜
⎟
⎟⎟ − ⎜⎜ µ −
⎟⎟t
ln⎜⎜
S0 ⎠ ⎝
2 ⎠
⎜
⎟
⎝
P⎜ − 1.96 ≤
≤ 1.96 ⎟ = 0.95
σ t
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛
⎞
⎛ S (t ) ⎞ ⎛
σ2 ⎞
⎟⎟ − ⎜⎜ µ −
⎟⎟t ≤ 1.96σ t ⎟ = 0.95
P⎜⎜ − 1.96σ t ≤ ln⎜⎜
⎟
2 ⎠
⎝ S0 ⎠ ⎝
⎝
⎠
⎛⎛
⎞
⎛ S (t ) ⎞ ⎛
σ2 ⎞
σ2 ⎞
⎟⎟ ≤ ⎜⎜ µ −
⎟⎟t − 1.96σ t ≤ ln⎜⎜
⎟⎟t + 1.96σ t ⎟ = 0.95
P⎜⎜ ⎜⎜ µ −
⎟
2 ⎠
2 ⎠
⎝ S0 ⎠ ⎝
⎝⎝
⎠
84
⎛ ⎛⎜⎜ µ − σ 2 ⎞⎟⎟t −1.96σ
2 ⎠
⎜
P⎜ e ⎝
⎜
⎝
⎛ −1.96σ
⎜
P⎜ S 0 e
⎜
⎝
t
⎛
⎜µ−
⎜
S (t )
≤
≤ e⎝
S0
⎛
σ2
t + ⎜⎜ µ −
2
⎝
⎞
⎟t
⎟
⎠
σ 2 ⎞⎟
t +1.96σ t
2 ⎟⎠
⎞
⎟
⎟⎟ = 0.95
⎠
⎛
σ2
1.96σ t + ⎜⎜ µ −
2
⎝
≤ S (t ) ≤ S0e
⎞
⎟t
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟⎟ = 0.95
⎠
sehingga
⎛ −1.96σ
⎜
⎜⎜ S0e
⎝
⎛
σ2
t + ⎜⎜ µ −
2
⎝
⎞
⎟t
⎟
⎠
⎛
σ2
1.96σ t + ⎜⎜ µ −
2
⎝
⎞
⎟t
⎟
⎠
, S0e
⎞
⎟
⎟⎟
⎠
(3.19)
adalah interval konvidensi 95% untuk harga saham S(t).
Jika t kecil maka
e
⎛
σ2
−1.96σ t + ⎜⎜ µ −
2
⎝
⎞
⎟t
⎟
⎠
≈ e −1.96σ
( nilai
t
⎛
σ 2 ⎞⎟
⎜⎜ µ −
⎟t
2 ⎠
⎝
dihilangkan karena nilai t <
penambahan untuk nilai
⎛
σ 2 ⎞⎟
⎜⎜ µ −
⎟t
2 ⎠
⎝
Kemudian dengan menggunakan deret Maclaurin e
x
t , sehingga
sangatlah kecil ).
=
∞
∑
k = 0
xk
k!
maka
didapatkan
e
−1.96σ t
(− 1,96σ t ) = (− 1,96σ t ) + (− 1,96σ t ) + (− 1,96σ t )
=∑
k =0
0
k
∞
k!
0!
1
1!
(− 1,96σ t )
t+
2
2!
+ .....
2
= 1 − 1,96σ
2!
+ ...
(− 1,96σ t ) + (− 1,96σ t ) + (− 1,96σ t )
karena nilai
2
2!
3
3!
nilai itu diabaikan. Sehingga persamaan menjadi
e −1.96σ
t
≈ 1 − 1.96σ t
4
4!
+ ... sangatlah kecil maka
85
Sedangkan untuk
⎛
σ2
1.96σ t + ⎜⎜ µ −
2
⎝
e
⎞
⎟t
⎟
⎠
≈ e1.96σ
t
( nilai
⎛
σ 2 ⎞⎟
⎜⎜ µ −
⎟t
2 ⎠
⎝
dihilangkan karena nilai t <
penambahan untuk nilai
⎛
σ 2 ⎞⎟
⎜⎜ µ −
⎟t
2 ⎠
⎝
Kemudian dengan menggunakan deret Maclaurin e
x
t , sehingga
sangatlah kecil ).
=
∞
∑
k = 0
xk
k!
maka
didapatkan
1.96σ t
e
(1,96σ t ) = (1,96σ t ) + (1,96σ t ) + (1,96σ t )
=∑
k =0
0
k
∞
k!
1
0!
2
1!
(1,96σ t )
t+
2!
+ .....
2
= 1 + 1,96σ
+ ...
2!
(1,96σ t ) + (1,96σ t ) + (1,96σ t )
karena nilai
2
3
2!
3!
4
4!
+ ... sangatlah kecil maka nilai
itu diabaikan. Sehingga persamaan menjadi
e1.96σ
t
≈ 1 + 1.96σ t
Jadi nilai
e
⎛
σ2
−1.96σ t + ⎜⎜ µ −
2
⎝
⎛
σ2
1.96σ t + ⎜⎜ µ −
2
⎝
e
⎞
⎟t
⎟
⎠
⎞
⎟t
⎟
⎠
≈ 1 − 1.96σ t dan
≈ 1 + 1.96σ t .
Interval konvidensi dengan tingkat kepercayaan 95% nya adalah perkiraan
(
) (
)
⎡ S 1 − 1.96σ t , S 1 + 1.96σ t ⎤ .
0
⎢⎣ 0
⎦⎥
Lebar dari interval ini adalah
(3.20)
86
(
) (
= S0 1 + 1.96σ t − S0 1 − 1.96σ t
(
)
) (
= S0 + S01.96σ t − S0 − S01.96σ t
)
= S0 + S01.96σ t − S0 + S01.96σ t
= 2 S01.96σ t .
(3.21)
Jika lebar interval konvidensi diperhatikan sebagai ukuran ketidakpastian untuk
harga saham yang akan datang, maka hasil ini menerangkan bahwa semakin kecil
periode waktunya maka lebar intervalnya akan bergantung dari akar t.
Karena µ dan σ bernilai positif dan
2
lim E ( S (t ) 2 ) = lim S02e(2 µ +σ )t = ∞ , untuk t → ∞
t →∞
t →∞
(
(3.22)
)
maka harga saham akan menuju takhingga pada E S (t ) 2 sebagai hasil dari
kenaikan t. Untuk nilai t → ∞ maka,
1 2⎞
⎛
⎛
⎜ µ − σ ⎟t +σ
lim S (t ) = lim⎜ S0 e⎝ 2 ⎠
t →∞
t →∞⎜
⎝
karena nilai
⎛
⎞
⎜⎜ µ − 1 σ 2 ⎟⎟ t
2
⎝
⎠
tZ
⎞
⎟
⎟
⎠
lebih dominan dibandingkan dengan nilai σ t Z maka
⎧⎪ ∞ , jika µ − σ
2
lim S (t ) = ⎨
2
σ
t →∞
⎪⎩ 0 , jika µ − 2
2
> 0
< 0
.
Jadi menurut model tersebut,
µ−
σ2
2
<0
tambahkan kedua ruas dengan
σ2
2
maka persamaan menjadi
(3.23)
87
µ<
σ2
2
kalikan kedua ruas dengan 2 maka persamaan menjadi
2µ < σ 2
(
)
atau dengan kata lain volatilitas cukup besar σ 2 > 2 µ , maka harga saham akan
menuju nol.
C. Komputasi Aset Path
Dalam pembangkitan simulasi komputer dari harga saham, akan
digunakan persamaan (3.14). Andaikan ingin menyimulasikan perubahan S(t)
pada titik-titik diskret {ti }i = 0 dengan 0 = t0 < t1 < t2 < ... < t K = T , digunakan
K
perhitungan nilai {Si }i = 0 menurut
K
Si +1 = Si e
2
⎛
⎜ µ −σ
⎜
2
⎝
⎞
⎟ (t i +1 − t i )+ σ t i +1 − t i ξ i
⎟
⎠
(3.24)
dimana tiap ξi adalah sampel dari pembangkitan bilangan random N(0,1). Hasil
dari persamaan (3.24) adalah titik (ti , Si ) yang membentuk diskret asset path.
Titik-titik asset path tersebut nantinya akan menjadi simulasi untuk pergerakan
harga saham. Contoh berikut ini akan menunjukkan simulasi pergerakan harga
saham dengan menggunakan asset path.
Contoh 3.3.1 :
Dalam Gambar (3.3.1) berikut menunjukkan hasil dari simulasi komputer untuk
103 titik waktu dalam interval waktu [0, 3]. Diberikan S0 = 1, µ = 0,05 dan
88
σ = 0,1 . Dalam gambar (3.3.1) titik-titik data (ti , Si ) dihubungkan dengan garis
lurus. Dengan menggunakan program (3.12) dalam lampiran didapat,
Gambar (3.3.1). Diskret asset path untuk persamaan (3.18). Titik-titik diskret
dihubungkan dengan garis lurus untuk memperoleh kurva yang kontinu.
Gambar (3.3.1) tersebut menyerupai kurva pergerakan harga saham pada
gambar (3.1.1) dan (3.1.2). Melalui gambar diatas dapat dilihat simulasi komputer
untuk pergerakan harga saham. Gambar diatas tidak “mutlak”, tetapi akan
berbeda-beda sesuai bilangan random yang telah dibangkitkan. Jadi dengan
menggunakan asset path, dapat dilihat berbagai macam kurva pergerakan harga
saham. Gambar (3.3.1) diatas menunjukkan titik-titik yang kontinu, tetapi
“bergerigi”. Hal ini akan menunjukkan bahwa asset path dengan δt → 0 menurut
persamaan (3.4) akan menjadi fungsi yang kontinu untuk t.
Dalam persamaan (3.4) mengatakan bahwa kenaikan parameter volatilitas
σ akan “memperbesar gerigi” dalam kurva. Jika parameter volatilitas σ semakin
89
membesar maka “gerigi-gerigi” dalam asset path akan semakin besar atau
“curam”, demikian pula sebaliknya. Contoh berikut ini akan menunjukkan hal
tersebut.
Contoh 3. 3.2 :
Gambar (3.3.2) dan (3.3.3) akan menunjukkan komputasi asset path dengan
parameter yang sama dalam contoh 3.3.1 , dengan σ = 0.05 untuk Gambar (3.3.2)
dan σ = 0.5 untuk Gambar (3.3.3). Hasilnya akan menunjukkan bahwa parameter
σ mengendalikan “gerigi” dalam path. Dengan menggunakan program (3.13) dan
(3.14) didapat,
Gambar (3.3.2). Diskret asset path untuk persamaan (3.18), dengan σ = 0.05 .
90
Gambar (3.3.3). Diskret asset path untuk persamaan (3.18), dengan σ = 0.5 .
Kedua gambar diatas (Gambar (3.3.2) dan (3.3.3)) menggunakan pembangkitan
bilangan random berdistribusi N(0,1) yang sama. Dari Gambar (3.3.2) dan (3.3.3)
dapat dilihat perbedaan antara kurva dengan σ = 0,05 dan kurva dengan σ = 0,5.
Nilai volatilitas yang besar akan menghasilkan kurva dengan “gerigi” yang lebih
besar atau “curam” dibandingkan dengan kurva dengan volatilitas lebih kecil. Jika
dicermati lebih teliti kedua gambar diatas (Gambar (3.3.2) dan (3.3.3))
membentuk pola yang sama, tetapi dengan tingkat “kecuraman” pada tiap
perpindahan nilai harga saham yang berbeda. Dengan kata lain jika volatilitas
besar maka tingkat “kecuramannya” akan lebih besar. Untuk Gambar (3.3.2)
tingkat “kecuramannya” lebih kecil (kurva lebih halus), artinya bagi seorang
investor yang ingin menanamkan modalnya untuk saham ini akan mempunyai
tingkat resiko yang kecil sedangkan untuk Gambar (3.3.3) memiliki tingkat
“kecuraman” yang besar maka resiko yang harus ditanggung juga besar. Untuk
91
lebih jelasnya, dapat dilihat pada interval waktu dari [0, 0.5], kenaikan nilai harga
saham pada Gambar (3.3.2) sampai pada titik 1.06 sedangkan untuk Gambar
(3.3.3) kenaikan mencapai titik 1.45. Dan juga jika dilihat pada interval waktu
[2.6, 3], penurunan nilai harga saham untuk Gambar (3..3.2) pada interval tersebut
dari titik 1.26 sampai 1.24, sedangkan untuk Gambar (3.3.3) penurunannya cukup
signifikan dari titik 2.45 sampai 1.6. Artinya bagi seorang investor yang ingin
menanamkan modalnya ada dua kemungkinan, jika ia memilih Gambar (3.3.2)
sebagai pilihan untuk menanamkan modal maka ia akan mendapatkan keuntungan
yang kecil tetapi dengan resiko yang kecil pula atau memilih Gambar (3.3.3)
dengan keuntungan yang besar tetapi dengan resiko yang besar pula.
Meskipun tiap asset path adalah fungsi dengan kurva yang “tidak halus”,
tetapi nilai harapan dari S(t) dalam persamaan (3.16) merupakan fungsi dengan
kurva yang “halus”. Contoh berikut akan menunjukkan kesamaan antara kurva
nilai harapan dalam persamaan (3.16) dengan kurva rata-rata dari asset path.
Contoh 3.3.3 :
Diberikan µ = 0,2 , σ = 0,3 dan menggunakan 103 titik waktu dalam interval
waktu [0, 3]. Disini akan dibangkitkan 104 diskret path, dimulai untuk S0 = 1,
tetapi menggunakan pembangkitan sampel bilangan random yang berbeda untuk
tiap-tiap path. Dengan menggunakan program (3.15) dan (3.16) pada lampiran
didapat,
92
Gambar (3.3.4). Gambar 20 diskret asset path
Gambar (3.3.5.1). Sampel mean dari 104 diskret asset path
dan mean dalam persamaan (3.16).
Gambar (3.3.4) menunjukkan 20 asset path pertama. Sedangkan pada Gambar
(3.3.5.1) tiap titik waktunya dihitung rata-rata dari 104 nilai asset yang berbeda.
Rata-rata dari asset path ditunjukkan dengan garis titik-titik biru sedangkan nilai
harapan dari persamaan (3.16) ditunjukkan dengan garis merah. Dapat dilihat
bahwa kurva untuk rata-rata dari asset path pada Gambar (3.3.5.1) sungguh
“halus”, dalam gambar tersebut tidak dapat dibedakan antara kurva rata-rata asset
path dengan kurva nilai harapan dalam persamaan (3.16).
93
Dalam Gambar (3.3.5.1) diatas digunakan 104 asset path, tetapi sekarang
akan timbul pertanyaan bagaimana jika digunakan jumlah asset path yang
berbeda-beda. Hal tersebut akan ditunjukkan dalam Gambar (3.3.5.2) berikut ini.
Dengan menggunakan program (3.17) didapatkan,
Gambar (3.3.5.2). Sampel mean dengan 10, 102, 103, 104
diskret asset path
Dari Gambar (3.3.5.2) diatas dapat dilihat, jika jumlah asset path semakin banyak
maka kurva rata-rata asset pathnya akan semakin mendekati kurva nilai harapan
dari persamaan (3.16). Jadi dari Gambar (3.3.5.1) dan Gambar (3.3.5.2) dapat
disimpulkan kurva rata-rata asset path akan mendekati kurva nilai harapan dalam
persamaan (3.16) (teorisnya) jika jumlah asset pathnya besar.
Untuk selanjutnya akan diberikan contoh untuk melihat apa yang Teorema
3.2.1 katakan tentang distribusi harga saham S(t). Dalam simulasi berikut ini akan
diberikan histogram penduga densitas kernel untuk harga saham S(t).
94
Contoh 3.3.5 :
Diberikan S0 = 1, µ = 0.05 dan σ = 0.5 , dan perhitungan asset path dalam
interval waktu [0, T], dengan T = 1. Disini akan digunakan lebar interval yang
sama dari ti +1 − ti = δt = 10−2 . Gambar (3.3.6) menunjukkan 50 asset path.
Sedangkan Gambar (3.3.7) memperlihatkan gambar penduga densitas kernel
untuk asset path. Dengan menggunakan histogram dengan lebar tiap subinterval
0,05. Dengan menggunakan program 3.18 dan 3.19 dalam lampiran didapatkan,
Gambar. (3.3.6). Gambar 50 diskret asset path dalam interval [0, T]
dengan S0 = 1, µ = 0.05 , σ = 0.5 , T = 1 dan δt = 10−2 .
Gambar. (3.3.7). Gambar histogram penduga densitas kernel
untuk harga saham dengan path yang berbeda-beda.
95
Gambar (3.3.6) memberikan kurva untuk 50 asset path. Sedangkan gambar (3.3.7)
memberikan penjelasan, bahwa harga saham S(t) berdistribusi lognormal. Dari
gambar diatas dapat dilihat bahwa untuk asset path yang semakin banyak akan
didapatkan gambar histogram penduga densitas kernel yang mendekati kurva
dengan garis putus-putus yang tak lain adalah kurva fungsi densitas lognormal.
Jadi dengan menggunakan asset path dan penduga densitas kernel dapat
ditunjukkan bahwa S(t) berdistribusi lognormal (dengan syarat path yang besar).
1. Pola Pergerakan Harga Saham Dengan Skala Waktu Yang Berbeda
Pembahasan berikut ini akan memperjelas pembahasan pada model harga
saham. Dalam Gambar (3.3.8) akan terlihat “gerigi-gerigi” walaupun skala
waktunya berbeda. Dalam pengecilan atau pembesaran skala dapat dilihat
kwalitas yang sama. Dalam gambar (3.1.1) dan (3.1.2) yang telah dibahas diatas
dapat dilihat pola yang sama pada saat data harian diubah menjadi data mingguan.
Dalam Gambar (3.1.2) dapat dilihat gambar harga saham mingguan dari tahun
1998 sampai 2001. Jika dicermati pada interval januari sampai September dalam
gambar tersebut akan membentuk pola yang sama dengan pola gambar yang ada
pada Gambar (3.1.1). Tetapi dalam Gambar (3.1.1) terdapat lebih banyak “gerigi”
dibandingkan pada Gambar (3.1.2) (dalam interval januari sampai September
2001).
Hal
tersebut
dikarenakan
δt
yang
diperkecil,
sehingga
akan
memperbanyak titik-titik waktu dalam interval tersebut. Dalam Gambar (3.1.1)
dapat dilihat pola fluktuasi yang lebih detail dibandingkan dengan pola fluktuasi
yang ada pada Gambar (3.1.2).
96
Simulasi berikut ini akan menunjukkan hal yang sama seperti yang terjadi
pada Gambar (3.1.1) dan (3.1.2). Dengan menggunakan asset path akan
ditunjukkan pola yang sama jika interval waktunya diperkecil atau diperbesar.
Contoh 3.3.5 :
Untuk membangkitkan Gambar (3.3.8) digunakan singgel asset path dengan
S0 = 1, µ = 0.05 ,σ = 0.5 dan δt = 10−4 dalam interval [0,1], [0, 0.1] dan [0, 0.01].
Dengan menggunakan program (3.20) dalam lampiran didapatkan,
Gambar (3.3.8). Satu sampel path yang sama dengan skala waktu berbeda.
o Gambar paling atas menunjukkan path pada 100 titik-titik dengan jarak
sama dalam interval [0, 1].
o Gambar tengah menunjukkan path pada 100 titik-titik dengan jarak sama
dalam interval [0, 0.1].
o Gambar paling bawah menunjukkan path pada 100 titik-titik dengan jarak
sama dalam interval [0, 0.01].
97
Dalam gambar diatas dapat dilihat bahwa pembesaran pada path tidak
menunjukkan banyak perubahan didalam pola (path tetap “bergerigi” untuk setiap
skala waktu). Didalam Gambar (3.3.8) dapat dilihat, jika skalanya diperkecil maka
akan diperoleh pola pergerakan yang lebih detail untuk skala waktu tertentu. Pada
Gambar (3.3.8) paling atas untuk interval antara [0, 0.1] dapat dilihat pola yang
mempunyai sedikit “gerigi” bahkan hanya terlihat beberapa titik yang
dihubungkan dengan garis lurus, tetapi setelah skalanya diperkecil (gambar bagian
tengah) maka dapat dilihat kurva dengan pola fluktuasi yang sama tetapi lebih
detail dengan banyak “gerigi”. Demikian pula untuk gambar bagian tengah jika
dilihat dari interval waktu [0, 0.1] maka didapatkan kurva yang sedikit “halus”,
tetapi ketika skalanya lebih diperkecil lagi (gambar paling bawah) maka akan
terlihat pola fluktuasi yang sama dengan “gerigi” yang lebih banyak. Secara
keseluruhan akan diperoleh kurva dengan pola fluktuasi yang sama dan lebih
detail jika digunakan interval waktu yang kecil. Untuk lebih jelasnya, maka harus
melihat kembali model diskret (3.4) dan mempertimbangkan :
1. Interval waktu yang kecil δt .
∧
2. Interval waktu yang sangat kecil δt = δt / L , dimana L adalah bilangan
bulat besar.
∧
Menggunakan persamaan (3.4) untuk memperoleh t = 0 sampai t = δt ,
S (ti +1 ) = S (ti ) + µ δt S (ti ) + σ δt Yi S (ti )
∧
∧
⎛∧⎞
S ⎜ δt ⎟ = S0 + µ δt S0 + σ δt Y0 S0
⎝ ⎠
kurangkan kedua ruas dengan S0 maka didapatkan
98
∧
∧
⎛∧⎞
S ⎜ δt ⎟ − S0 = µ δt S0 + σ δt Y0 S0
⎝ ⎠
∧
⎛ ∧
⎞
⎛∧⎞
S ⎜ δt ⎟ − S0 = S0 ⎜⎜ µ δt + σ δt Y0 ⎟⎟
⎝ ⎠
⎝
⎠
(3.25)
bagi kedua ruas dengan S0
⎛∧⎞
S ⎜ δt ⎟ − S0
∧
∧
⎝ ⎠
= µ δt + σ δt Y0
S0
⎛∧⎞
S ⎜ δt ⎟ − S0
Sekarang akan dicari nilai harapan dan variansi dari ⎝ ⎠
S0
∧
⎞
⎛ ∧
⎛ ∧
E ⎜⎜ µ δt + σ δt Y0 ⎟⎟ = E ⎜ µ δt
⎝
⎠
⎝
∧
∧
⎞
⎛
⎞
⎟ + E ⎜⎜ σ δt Y0 ⎟⎟ = µ δt
⎠
⎠
⎝
∧
∧
∧
⎞
⎛
⎞
⎛ ∧
⎛ ∧ ⎞
var⎜⎜ µ δt + σ δt Y0 ⎟⎟ = var⎜ µ δt ⎟ + var⎜⎜ σ δt Y0 ⎟⎟ = σ 2 δt , sehingga
⎝
⎠
⎠
⎠
⎝
⎝
⎛∧⎞
S ⎜ δt ⎟ − S0
∧
⎛ ∧
⎞
⎝ ⎠
~ N ⎜ µ δt ,σ 2 δt ⎟
S0
⎝
⎠
^
Untuk t = 0 sampai t = δt = δt L , maka
^
^
⎧⎛
⎞
⎛ ^ ⎞⎫
⎞
⎛ ^ ⎞⎫ ⎧⎛
S (δt ) − S0 = ⎨⎜ S (0) δt ⎟ − S ⎜ 0 δt ⎟⎬ + ⎨⎜ S (2) δt ⎟ − S ⎜1δt ⎟⎬ + ....
⎠
⎝ ⎠⎭
⎠
⎝
⎠⎭ ⎩⎝
⎩⎝
^
^
⎧⎛
⎞
⎛
⎞⎫
…. + ⎨⎜ S ( L) δt ⎟ − S ⎜ (L − 1)δt ⎟⎬
⎠
⎝
⎠⎭
⎩⎝
L −1
^
⎛⎛
⎞
⎛ ^ ⎞⎞
S (δt ) − S0 = ∑ ⎜ ⎜ S (i + 1) δt ⎟ − S ⎜ i δt ⎟ ⎟
⎠
⎝ ⎠⎠
i =0 ⎝ ⎝
menggunakan persamaan (3.25) maka diperoleh
(3.26)
99
L −1
^
⎞
⎛ ^ ⎞⎛ ^
S (δt ) − S0 = ∑ S ⎜ i δt ⎟⎜⎜ µ δt + σ δtYi ⎟⎟
⎠⎝
i =0 ⎝
⎠
⎛^⎞
Jika diperkirakan nilai S ⎜ δt ⎟ = S0 dan menggunakan pengertian dari Teorema
⎝ ⎠
Limit Pusat maka didapatkan
L −1
^
⎞
⎛ ^ ⎞⎛ ^
S (δt ) − S0 = ∑ S ⎜ i δt ⎟⎜⎜ µ δt + σ δtYi ⎟⎟
⎠⎝
i =0 ⎝
⎠
^
^
^
⎞
⎞
⎞
⎛ ^
⎛ ^ ⎞⎛ ^
⎛ ^ ⎞⎛ ^
= S0 ⎜⎜ µ δt + σ δtY0 ⎟⎟ + S ⎜ δt ⎟⎜⎜ µ δt + σ δtY1 ⎟⎟ + S ⎜ 2 δt ⎟⎜⎜ µ δt + σ δtY2 ⎟⎟ + ....
⎝
⎠⎝
⎝ ⎠⎝
⎠
⎠
⎠
⎝
^ ⎛
^
^
⎞
⎛
⎞
... + S ⎜ (L − 1)δt ⎟⎜⎜ µ δt + σ δtYL −1 ⎟⎟
⎝
⎠⎝
⎠
^
^
^
⎛ ^
⎞
⎛ ^
⎞
⎛ ^
⎞
≈ S0 ⎜⎜ µ δt + σ δtY0 ⎟⎟ + S0 ⎜⎜ µ δt + σ δtY1 ⎟⎟ + S0 ⎜⎜ µ δt + σ δtY2 ⎟⎟ + ....
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
^
⎞
⎛ ^
... + S0 ⎜⎜ µ δt + σ δtYL −1 ⎟⎟
⎠
⎝
^
^
^
⎡⎛ ^
⎞
⎞ ⎛ ^
⎞ ⎛ ^
≈ S0 ⎢⎜⎜ µ δt + σ δtY0 ⎟⎟ + ⎜⎜ µ δt + σ δtY1 ⎟⎟ + ⎜⎜ µ δt + σ δtY2 ⎟⎟ + ....
⎢⎣⎝
⎠
⎠ ⎝
⎠ ⎝
^
⎞⎤
⎛ ^
..... + ⎜⎜ µ δt + σ δtYL −1 ⎟⎟⎥
⎠⎦⎥
⎝
L −1 ⎛
^
^
⎞
S (δt ) − S0 ≈ S0 ∑ ⎜⎜ µ δt + σ δtYi ⎟⎟
i =0 ⎝
⎠
bagi kedua ruas dengan S0
S (δt ) − S0
S0
=
L −1
⎛
i =0
⎝
^
∑ ⎜⎜ µ δt + σ
^
⎞
δtYi ⎟⎟
⎠
100
jadi
∧
∧
S (δt ) − S0
⎛
⎞
~ N ⎜ µL δt , σ 2 L δt ⎟
S0
⎝
⎠
^
karena L δt = δt maka
S (δt ) − S0
~ N (µ δt ,σ 2δt )
S0
dimana didapatkan lagi persamaan (3.26) dengan skala waktu yang lebih besar.
2. Jumlah kuadrat return
Dalam Bab III. bagian A telah dibahas tentang return dari harga saham.
Untuk lebar interval waktu yang kecil δt = ti +1 − ti , model harga saham diskret
dalam persamaan (3.4) mengasumsikan bahwa
S (ti +1 ) = S (ti ) + µ δt S (ti ) + σ δt Yi S (ti )
jika kedua ruas dikurangi S (ti ) maka persamaan menjadi
S (ti +1 ) − S (ti ) = S (ti ) + µ δt S (ti ) + σ δt Yi S (ti ) − S (ti )
(
)
S (ti +1 ) − S (ti ) = S (ti ) 1 + µ δt + σ δt Yi − 1
(
S (ti+1 ) − S (ti ) = S (ti ) µ δt + σ δt Yi
)
jika kedua ruas dibagi S(ti) maka persamaan menjadi
S (ti +1 ) − S (ti )
= µδt + σ δt Yi .
S (ti )
(3.27)
sehingga returnnya berupa variabel random dengan nilai harapan µδt dan variansi
(σ δt )
2
= σ 2δt . Atau dengan kata lain returnnya adalah variabel random yang
berdistribusi N (µδt , δ 2δt ). Melalui model ini maka dapat diketahui nilai statistik
dari return, misalkan diberikan bilangan a dan b maka dapat diketahui bahwa
101
pergerakan nilai return untuk interval yang akan datang berada diantara a dan b,
tetapi pergerakan nilai return tersebut tidak dapat diprediksi dengan pasti. Gambar
(3.3.9) berikut ini akan memberikan suatu pergerakan return yang didapatkan
dengan menggunakan pembangkitan bilangan random N(0, 1) dalam interval [0,
0.5].
Gambar 3.3.9. Raturn hasil pembangkitan bilangan random N(0, 1)
Dalam Gambar (3.3.9) diatas sangatlah sulit untuk melihat pergerakan dari return
untuk waktu-waktu selanjutnya. Berbeda dengan return, pergerakan jumlah
kuadrat return dapat diprediksi. Misalkan interval [0, t] dibagi menjadi subinterval
[0, t1], [t1, t2],…, [tL-1, tL], dengan ti = iδt dan δt =
menggunakan persamaan (3.27) dapat ditunjukkan
⎡⎛ S (t ) − S (t ) ⎞ 2 ⎤
2
i
⎟⎟ ⎥ = E ⎡ µδt + σ δtYi ⎤
E ⎢⎜⎜ i +1
⎥⎦
⎢
⎣
S (ti )
⎢⎣⎝
⎠ ⎥⎦
(
[
)
= E (µδt ) + 2 µδtσ δtYi + σ 2δtYi 2
2
]
t
. Maka dengan
L
102
[
] (
)
= E (µδt ) + E 2 µδtσ δtYi + E (σ 2δtYi 2 )
2
= (µδt ) + 2 µδtσ δt E (Yi ) + σ 2δtE (Yi 2 )
2
= σ 2δt + (µδt )
2
karena nilai δt sangat kecil maka nilai (µδt ) diabaikan sehingga persamaan
2
menjadi
⎡⎛ S (t ) − S (t ) ⎞ 2 ⎤
i
⎟⎟ ⎥ ≈ σ 2δt .
E ⎢⎜⎜ i +1
S
(
t
)
⎢⎣⎝
i
⎠ ⎥⎦
(3.28)
Sedangkan untuk nilai variansinya adalah
⎡⎛ S (t ) − S (t ) ⎞ 2 ⎤
i
⎟⎟ ⎥
Var ⎢⎜⎜ i +1
S
(
t
)
⎢⎣⎝
i
⎠ ⎥⎦
(
)
2
= var ⎡ µδt + σ δtYi ⎤
⎥⎦
⎢⎣
[
2
[
2
= var (µδt ) + 2µδtσ δtYi + σ 2δtYi 2
]
(
]
)
(
= var (µδt ) + var 2 µδtσ δtYi + var σ 2δtYi 2
(
)
)
= var 2 µδtσ δtYi + var(σ 2δtYi 2 )
= 4 µ 2δt 2σ 2δt var(Yi ) + σ 4δt 2 var(Yi 2 )
[
(
= 4µ 2δt 3σ 2 var(Yi ) + σ 4δt 2 E (Yi 4 ) − E (Yi 2 )
)]
2
dengan menggunakan persamaan (2.11) dan (2.13) diperoleh,
⎡⎛ S (t ) − S (t ) ⎞ 2 ⎤
i
⎟⎟ ⎥ = 4 µ 2δt 3σ 2 + σ 4δt 2 (3 − 1)
Var ⎢⎜⎜ i +1
S
(
t
)
⎢⎣⎝
i
⎠ ⎥⎦
= 4 µ 2δt 3σ 2 + 2σ 4δt 2
karena nilai δt sangat kecil maka nilai 4 µ 2δt 3σ 2 diabaikan sehingga persamaan
menjadi
103
⎡⎛ S (t ) − S (t ) ⎞ 2 ⎤
i
⎟⎟ ⎥
var ⎢⎜⎜ i +1
S
(
t
)
⎢⎣⎝
i
⎠ ⎥⎦
Sekarang dari
≈ 2σ 4δt 2 .
(3.29)
2
⎛ S (ti +1 ) − S (ti ) ⎞
⎜⎜
⎟⎟ didapatkan
∑
S (ti )
i =0 ⎝
⎠
L −1
⎛ S − S0 ⎞
⎟⎟
a1 = ⎜⎜ 1
⎝ S0 ⎠
2
⎛ S − S1 ⎞
⎟⎟
a2 = ⎜⎜ 2
⎝ S1 ⎠
.
.
.
2
⎛ S − S n −1 ⎞
⎟⎟
an = ⎜⎜ n
S
1
n
−
⎝
⎠
2
maka menurut persamaan jumlah kuadrat return
b1 = a1 + a0
b2 = a2 + a1
.
.
.
bn = an + an −1
dengan b1 , b2 , ...., bn adalah variabel-variabel random yang berdistribusi bebas
stokastik
dan
identik.
Maka
menggunakan
Teorema
Limit
Pusat
2
⎛ S (ti +1 ) − S (ti ) ⎞
⎜⎜
⎟⎟ akan berdistribusi N (Lσ 2δt , L 2σ 4δt 2 ) atau dengan kata lain
∑
S
(
t
)
i =0 ⎝
i
⎠
L −1
akan berdistribusi N (σ 2t , 2σ 4tδt ) . Variabel random ini mempunyai variansi
konstan. Meskipun nilai tunggal return tidak dapat diprediksi, tetapi jumlah
kuadrat dari return adalah perkiraan yang senilai dengan σ 2t . Hal ini akan
ditunjukkan dalam contoh berikut.
104
Contoh 3.3.6 :
Gambar (3.3.12) sampai (3.3.14) berikut akan memberikan hasil gambar dari
jumlah kuadrat return. Disini akan digunakan S0 = 1, µ = 0,05 dan σ = 0,3 .
Sepuluh asset path dalam interval [0, 0.5] ditunjukkan dalam Gambar (3.3.10).
Dalam Gambar (3.3.10) menggunakan δt =
0,5
= 5 × 10− 3 , jadi L = 100.
100
Sedangkan Gambar (3.3.11) mengambarkan sepuluh path dengan δt = 5 × 10−4 .
Untuk Gambar (3.3.12) sampai (3.3.14) akan menggambarkan jumlah kuadrat
return
⎛ S (ti +1 ) − S (ti ) ⎞
⎜⎜
⎟⎟
∑
S (ti )
i =0 ⎝
⎠
k
2
(3.30)
terhadap titik-titik waktu tk untuk setiap asset path. Perkiraan nilai persamaan
(3.30) diatas adalah σ 2tk (untuk t = 0,5 maka σ 2t =
σ2
2
ditunjukkan dengan garis
titik-titik lurus bewarna biru). Dengan menggunakan program (3.21), (3.22), dan
(3.23) didapatkan
105
Gambar 3.3.10. Sepuluh asset path dengan δt = 5 × 10−3
Gambar 3.3.11. Sepuluh asset path dengan δt = 5 × 10−4
106
Gambar (3.3.12). Jumlah kuadrat return dengan δt = 5 × 10−3
Gambar (3.3.13). Jumlah kuadrat return dengan δt = 5 × 10−4
107
Gambar (3.3.14). Jumlah kuadrat return dengan δt = 5 × 10−5
Dalam gambar diatas dapat dilihat setiap pergerakan jumlah kuadrat return akan
menuju kekurva σ 2t . Jika semakin kecil lebar interval ( δt ) waktunya maka akan
didapatkan kurva yang semakin “halus” dan semakin jelas setiap pergerakannya
menuju kekurva σ 2t .
BAB IV
APLIKASI
PADA HARGA SAHAM INDONESIA
Pada bab ini akan diberikan analisa saham Indonesia dengan menggunakan
model matematika dan komputasi asset path. Berikut ini akan diberikan gambar
pergerakan harga saham harian PT Indosiar Karya Mandiri Tbk dari 4 Januari
2007 sampai dengan 20 Desember 2008. Dalam gambar terdapat 470 titik harga
saham.
11/4/2008
9/4/2008
7/4/2008
5/4/2008
3/4/2008
1/4/2008
11/4/2007
9/4/2007
7/4/2007
5/4/2007
3/4/2007
700
600
500
400
300
200
100
0
1/4/2007
Harga Saham
Saham PT Indosiar Karya Mandiri
t
Gambar. 4.1. Pergerakan harga saham PT Indosiar Karya Mandiri Tbk
Dari Gambar (4.1) diatas dapat dilihat pergerakan harga saham dari bulan Januari
sampai dengan Juni 2007 cenderung berada disekitar nilai 400. Bulan Juli 2007
pergerakan harga sahamnya cenderung naik. Sedangkan bulan Juni sampai bulan
Desember 2008 pergerakannya cenderung turun. Sekarang dengan menggunakan
model matematika dan simulasi akan diberikan analisa mengenai perkiraan
pergerakan saham PT Indosiar Karya Mandiri Tbk.
109
Sebelum melakukan analisa pergerakan harga saham PT Indosiar Karya
Mandiri Tbk, terlebih dahulu akan dicek apakah return dari harga saham PT
Indosiar Karya Mandiri Tbk tersebut berdistribusi normal atau tidak. Hal ini
dilakukan karena model harga saham dan komputasi asset path hanya berlaku
untuk return yang berdistribusi normal. Jika return dari suatu harga saham yang
akan dianalisa tidak berdistribusi normal maka model tidak dapat digunakan.
Dengan menggunakan bahasan dan program pada Bab II didapatkan,
Gambar 4.2. Histogram frekuensi relatif, Kuantil-kuantil plot,
dan Histogram kumulatif untuk data dua tahun
PT Indosiar Karya Mandiri Tbk
Gambar 4.3. Histogram frekuensi relatif, Kuantil-kuantil plot,
dan Histogram kumulatif untuk data satu tahun
PT Indosiar Karya Mandiri Tbk
110
Gambar 4.4. Histogram frekuensi relatif, Kuantil-kuantil plot,
dan Histogram kumulatif untuk data enam bulan
PT Indosiar Karya Mandiri Tbk
Gambar 4.5. Histogram frekuensi relatif, Kuantil-kuantil plot,
dan Histogram kumulatif untuk data dua bulan
PT Indosiar Karya Mandiri Tbk
Pada Gambar (4.2) sampai (4.5) sebelah kiri dapat dilihat histogram frekuensi
relatif untuk return harga saham PT Indosiar Karya Mandiri, dari ketiga gambar
dapat dilihat histogramnya tidak mendekati kurva fungsi densitas N(0,1). Gambar
(4.2) sampai (4.5) bagian kanan, histogram kumulatifnya dapat dikatakan sudah
mendekati grafik frekuensi kumulatifnya. Dari histogram relatif dan histogram
kumulatifnya sangat susah dilihat apakah data tersebut normal. Sedangkan
Gambar (4.2) sampai (4.5) bagian tengah memberikan gambar kuantil return yang
berada disekitar kurva y = x, maka antara return dan kuantil normalnya ada
kemungkinan bersesuaian. Secara keseluruhan dari Gambar (4.2) sampai (4.5),
ada kemungkinan bahwa return untuk harga saham PT Indosiar Karya Mandiri
111
Tbk tersebut berdistribusi normal dan ada kemungkinan juga ada data yang tidak
berdistribusi normal. Oleh karena itu perlu dicek sekali lagi dengan menggunakan
Kolmogorov Smirnov dalam SPSS. Hasil tes ini dapat dilihat dalam lampiran.
Dari Tabel 4.1 dalam lampiran dapat dilihat, karena nilai Asymp. Sig. (2tailed) > 0,05 hanya pada dua bulan terkhir maka return harian untuk harga saham
PT Indosiar Karya Mandiri Tbk yang berdistribusi normal hanya pada bulan
tersebut. Kesimpulannya, model matematika dan simulasi pergerakan harga
saham hanya bisa menggunakan historis data dua bulan tersebut untuk
menganalisa pergerakan harga saham PT Indosiar Karya Mandiri Tbk.
Misalkan ingin memperkirakan pergerakan harga saham PT Indosiar
Karya Mandiri pada bulan Desember, maka hanya dapat digunakan historis data
pada bulan November. Berikut ini akan diberikan asset path untuk memperkirakan
pergerakan harga saham pada bulan Desember dan juga kurva pergerakan harga
saham dengan menggunakan data aslinya. Dengan menggunakan µ = 0,0067 ,
σ = 0,0388 dan S0 = 250 yang didapatkan pada data bulan November maka
didapatkan
112
12
/1
9
/2
00
8
12
/9
/2
0
08
12
/1
1
/2
00
8
12
/1
3
/2
00
8
12
/1
5
/2
00
8
12
/1
7
/2
00
8
12
/3
/2
0
08
12
/5
/2
0
08
12
/7
/2
0
08
260
255
250
245
240
235
230
12
/1
/2
0
08
H
a
r
g
aS
a
h
a
m
Pergerakan harga saham bulan
Desember
t
Gambar 4.6. Bagian atas memberikan gambar pergerakan harga saham bulan
Desember dari tanggal 1 – 20, sedangkan bagian bawah memberikan
asset path selama satu bulan penuh.
Dari Gambar (4.6) diatas dapat dilihat pola pergerakan asset path pada tanggal 1
sampai 7 menyerupai pola pergerakan harga saham sesungguhnya. Untuk gambar
bagian atas diberikan pola pergerakan sampai dengan tanggal 20 Desember,
perkiraan pergerakan tanggal 10 sampai 20 Desember menurut asset path agak
meleset. Hal ini dikarenakan ada kemungkinan data pada tanggal 10 sampai 20
tersebut tidak lagi berjalan dalam distribusi normal (terlihat dalam gambar bahwa
dari tanggal 10 – 20 data bergerak konstan) .
Untuk selanjutnya akan diberikan suatu pergerakan harga saham harian PT
Bank Rakyat Indonesia Tbk dari Januari 2007 sampai Desember 2008. Dalam
gambar terdapat 472 titik data harga saham yang akan dihubungkan dengan garis
lurus.
113
11/2/2008
9/2/2008
7/2/2008
5/2/2008
3/2/2008
1/2/2008
11/2/2007
9/2/2007
7/2/2007
5/2/2007
3/2/2007
10000
8000
6000
4000
2000
0
1/2/2007
Harga Saham
Pergerakan Harga Saham PT Bank Rakyat
Indonesia Tbk
t
Gambar. 4.7. Pergerakan harga saham PT Bank Rakyat Indonesia Tbk.
Dari Gambar (4.7) diatas dapat dilihat pergerakan harga saham dari bulan Januari
2007 sampai bulan
November 2007 cenderung naik. Sedangkan dari bulan
November 2007 sampai November 2008 cenderung turun, kemudian mulai naik
dari Desember. Sekarang akan digunakan model matematika dan simulasi
pergerakan harga saham untuk menganalisanya.
Pertama-tama akan dicek normalitas dari return harga saham PT Bank
Rakyat Indonesia dengan menggunakan histogram frekuensi relatif, kuantilkuantil plot dan histogram kumulatif. Dengan menggunakan bahasan dan program
pada Bab II didapatkan,
Gambar 4.8. Histogram frekuensi relatif , Kuantil-kuantil plot
dan Histogram kumulatif untuk data harga saham
PT Bank Rakyat Indonesia Tbk selama 2 tahun.
114
Gambar 4.9. Histogram frekuensi relatif , Kuantil-kuantil plot
dan Histogram kumulatif untuk data harga saham
PT Bank Rakyat Indonesia Tbk selama 1 tahun.
Gambar 4.10. Histogram frekuensi relatif , Kuantil-kuantil plot
dan Histogram kumulatif untuk data harga saham
PT Bank Rakyat Indonesia Tbk selama enam bulan.
Gambar 4.11. Histogram frekuensi relatif , Kuantil-kuantil plot
dan Histogram kumulatif untuk data harga saham
PT Bank Rakyat Indonesia Tbk selama 3 bulan.
Pada Gambar (4.8) sampai (4.11) sebelah kiri dapat dilihat histogram frekuensi
relatif untuk return harga saham PT Bank Rakyat Indonesia Tbk mendekati kurva
fungsi densitas N(0,1). Gambar (4.8) sampai (4.11) bagian kanan, histogram
kumulatifnya dapat dikatakan juga mendekati grafik frekuensi kumulatifnya. Dari
histogram relatif dan histogram kumulatifnya sangat susah dilihat apakah data
115
tersebut normal atau tidak. Sedangkan Gambar (4.8) sampai (4.11) bagian tengah
memberikan gambar kuantil dari return harga saham yang mendekati kurva y = x,
maka bisa dikatakan antara return dan kuantil normalnya ada kemungkinan
bersesuaian. Secara keseluruhan dari Gambar (4.8) sampai (4.11), ada
kemungkinan bahwa return untuk harga saham PT Bank Rakyat Indonesia
tersebut berdistribusi normal. Untuk memastikannya hasil dari Gambar (4.8)
sampai (4.11) akan digunakan uji Kolmogorov Smirnov dengan bantuan SPSS,
hasilnya bisa dilihat dalam lampiran.
Dari Tabel 4.2 dalam lampiran karena return satu tahun, enam bulan, tiga
bulan, dan dua bulan mempunyai nilai Asymp. Sig. (2-tailed) > 0,05 maka return
harian untuk periode tersebut dapat disimpulkan berdistribusi normal.
Kesimpulannya, model matematika dan simulasi pergerakan harga saham
hanya dapat menggunakan data satu tahun tersebut untuk menganalisa pergerakan
harga saham PT Bank Rakyat Indonesia Tbk. Pertama-tama akan digunakan
komputasi asset path untuk memperkirakan pergerakan harga saham PT Bank
Rakyat Indonesia Tbk pada bulan Desember 2008, kemudian akan dibandingkan
dengan pergerakan dari data asli pada bulan tersebut.
Untuk Gambar (4.13) bagian kiri atas akan digunakan sejarah data harga
saham dua bulan sebelumnya, yaitu bulan Oktober dan November. Dari dua bulan
tersebut diperoleh, µ = 0,0134 , dan σ = 0,0767 . Untuk gambar bagian kanan
atas akan digunakan sejarah data harga saham untuk tiga bulan sebelumnya
(September – November). Dari data harga saham lima bulan sebelumnya
diperoleh µ = 0,0121 , dan σ = 0,0672 . Untuk gambar bagian kiri bawah akan
116
digunakan sejarah data harga saham untuk enam bulan sebelumnya (Juni –
November). Dari data harga saham lima bulan sebelumnya diperoleh µ = 0,006 ,
dan σ = 0,0517 . Untuk gambar bagian kanan bawah akan digunakan sejarah data
harga saham untuk sebelas bulan sebelumnya (Januari 2008 – November 2008).
Dari data harga saham sebelas bulan sebelumnya diperoleh µ = 0,0046 , dan
σ = 0,0448 . Dengan S0 = 3400 dan menggunakan asset path maka akan diperoleh,
Pergerakan Harga Saham PT Bank Rakyat
Indonesia Tbk bulan Desember
Harga Saham
5000
4500
4000
3500
12
/1
/2
00
8
12
/3
/2
00
8
12
/5
/2
00
8
12
/7
/2
00
8
12
/9
/2
00
8
12
/1
1/
20
08
12
/1
3/
20
08
12
/1
5/
20
08
12
/1
7/
20
08
12
/1
9/
20
08
3000
t
Gambar 4.12. Pergerakan harga saham PT Bank Rakyat Indonesia Tbk
bulan Desember 2008
Gambar 4.13. Asset path dengan µ dan σ dari data asli
117
Dari gambar (4.12) memberikan gambar pergerakan data harga saham PT Bank
Rakyat Indonesia Tbk sampai tanggal 20 atau 14 titik harga saham. Sedangkan
Gambar (4.13) memberikan berbagai macam perkiraan pergerakan harga saham
pada bulan Desember dengan empat historis data yang berbeda. Jika dilihat secara
keseluruhan keempat perkiraan tersebut mempunyai pola kenaikan yang sama,
pola tersebut sama dengan pola kurva pergerakan harga saham (Gambar (4.12))
yang menggunakan data asli. Menurut asset path perkiraan pergerakan setelah
tanggal 20 Desember akan cenderung naik sampai tanggal 25 Desember,
kemudian akan kembali turun sampai akhir tahun.
Kesimpulan dari keseluruhan analisa, bahwa akan didapatkan prediksi
untuk pergerakan harga saham walaupun menggunakan historis data yang pendek
tetapi dengan syarat return dari historis data tersebut harus berdistribusi normal.
BAB V
PENUTUP
A. Kesimpulan
Pergerakan harga saham pada dasarnya bersifat diskret, biasanya yang
diberikan dalam bulan, hari, dan jam. Tetapi untuk memperoleh prediksi yang
baik, maka model perlu didekatkan kekontinu. Dari model harga saham kontinu
tersebut dapat diperoleh suatu formula matematis untuk simulasi komputer.
Dengan memanfaatkan pembangkitan bilangan random yang bersifat acak, maka
akan diperoleh suatu simulasi pergerakan harga saham.
Model matematika harga saham dan komputasi asset path hanya bisa
dipergunakan untuk data-data harga saham yang mempunyai return yang
berdistribusi normal. Jika data-data tersebut mempunyai return berdistribusi
normal, maka dapat diperoleh perkiraan pergerakan harga saham untuk waktu
selanjutnya. Selain itu dapat pula diperoleh kurva pergerakan harga saham yang
lebih detail jika interval waktunya diperkecil, tentu saja tanpa mengubah pola
yang telah ada.
B. SARAN
Model matematika dan simulasi pergerakan harga saham dalam skripsi ini
hanya bisa digunakan untuk data harga saham yang mempunyai return
berdistribusi normal saja, mungkin akan lebih baik jika ada suatu model yang juga
bisa digunakan untuk data harga saham yang mempunyai return yang berdistribusi
tidak normal.
119
DAFTAR PUSTAKA
Hanselman, Duane dan Littlefield, Bruce. (2002). MATLAB Bahasa Komputasi
Teknis. Yogyakarta: ANDI OFFSET.
Higham, Desmond J. (2004). An Introduction to Financial Option Valuation.
Cambridge: Cambridge University Press.
Jogiyanto, H.M. (2003). Teori Portofolio dan Analisis Investasi. Edisi Ketiga
Yogyakarta: BPFE.
Kakiay, Thomas J. (2003). Pengantar Sistem Simulasi.
Yogyakarta: ANDI OFFSET.
Ross, Sheldon M. (1997). Introduction To Probability Models. Sixth Edition.
San Diego: Academic Press.
Ross, Sheldon M. (1997). Simulation. Second Edition.
San Diego: Academic Press.
Shiyaev, AN. (1997). Essential of Stochastic Finance (Facts, Models and Theory).
Singapore: World Scientific.
Syamsir, Hendra. (2004). Solusi Investasi di Bursa Saham Indonesia.
Jakarta: PT Elek Media Komputindo.
Walpole, R. E. (1995). Pengantar Statistika. Edisi ke-Tiga.
Jakarta: PT Gramedia Pustaka Utama.
121
Harga saham IBM mingguan :
Tanggal
Harga
31-Dec-01
113.57
26-Feb-01
95.69
8-May-00
97.34
12-Jul-99
126.41
21-Sep-98
24-Dec-01
115.39
20-Feb-01
97.28
1-May-00
100.42
6-Jul-99
127.46
14-Sep-98
57.62
17-Dec-01
114.54
12-Feb-01
107.56
24-Apr-00
103.8
28-Jun-99
122.7
8-Sep-98
58.48
55.16
61.69
10-Dec-01
113.7
5-Feb-01
104.76
17-Apr-00
96.82
21-Jun-99
114.23
31-Aug-98
3-Dec-01
113.04
29-Jan-01
103.02
10-Apr-00
97.75
18-Jun-99
112.03
24-Aug-98
56.63
26-Nov-01
108.52
22-Jan-01
106.69
3-Apr-00
114.62
14-Jun-99
112.03
17-Aug-98
59.09
19-Nov-01
108.3
16-Jan-01
103.94
27-Mar-00
110.19
7-Jun-99
106.06
10-Aug-98
57.93
12-Nov-01
107.5
8-Jan-01
87.64
20-Mar-00
112.29
1-Jun-99
107.63
3-Aug-98
59.67
5-Nov-01
107.11
2-Jan-01
87.82
13-Mar-00
102.4
24-May-99
107.63
27-Jul-98
61.12
29-Oct-01
102.68
26-Dec-00
79.41
6-Mar-00
97.98
17-May-99
106.87
20-Jul-98
57.32
22-Oct-01
104.24
18-Dec-00
83.15
28-Feb-00
100.54
10-May-99
110.99
13-Jul-98
55.44
15-Oct-01
96.26
11-Dec-00
82.04
22-Feb-00
100.54
3-May-99
100.78
6-Jul-98
54.66
8-Oct-01
94.56
4-Dec-00
90.62
14-Feb-00
104.73
26-Apr-99
96.93
29-Jun-98
53.14
52.13
1-Oct-01
91.91
27-Nov-00
89.34
7-Feb-00
107.4
19-Apr-99
92.56
22-Jun-98
24-Sep-01
86.01
20-Nov-00
93.37
31-Jan-00
107.52
12-Apr-99
78.95
15-Jun-98
48.95
10-Sep-01
84.86
13-Nov-00
95.24
24-Jan-00
103.74
5-Apr-99
86.33
8-Jun-98
53.62
54.83
4-Sep-01
90.57
6-Nov-00
86.89
18-Jan-00
112.99
29-Mar-99
82.02
1-Jun-98
27-Aug-01
93.72
30-Oct-00
93.42
10-Jan-00
111.24
22-Mar-99
79.88
26-May-98
54.2
20-Aug-01
100.33
23-Oct-00
87.42
3-Jan-00
105.55
15-Mar-99
78.11
18-May-98
56.25
13-Aug-01
98.07
16-Oct-00
88.41
27-Dec-99
100.31
8-Mar-99
82.48
11-May-98
57.63
6-Aug-01
98.41
9-Oct-00
101.76
20-Dec-99
101.01
1-Mar-99
82.66
4-May-98
55.35
30-Jul-01
101.31
2-Oct-00
108.24
13-Dec-99
102.29
22-Feb-99
78.66
27-Apr-98
53.81
23-Jul-01
98.05
25-Sep-00
105.08
6-Dec-99
101.36
16-Feb-99
79.53
20-Apr-98
54.04
16-Jul-01
98.99
22-Sep-00
115.58
29-Nov-99
104.03
8-Feb-99
80.05
13-Apr-98
49.61
9-Jul-01
101.64
18-Sep-00
115.58
22-Nov-99
97.64
1-Feb-99
76.82
6-Apr-98
48.98
2-Jul-01
99.73
11-Sep-00
116.64
15-Nov-99
96.66
25-Jan-99
84.8
30-Mar-98
48.2
25-Jun-01
106.29
5-Sep-00
120.84
8-Nov-99
89.15
19-Jan-99
83.18
23-Mar-98
48.05
18-Jun-01
105.7
28-Aug-00
124.69
1-Nov-99
83.82
11-Jan-99
85.58
16-Mar-98
46.99
11-Jun-01
106.38
21-Aug-00
120.37
25-Oct-99
91.25
4-Jan-99
86.8
13-Mar-98
45.87
4-Jun-01
108.72
14-Aug-00
112.38
18-Oct-99
87.24
28-Dec-98
85.32
9-Mar-98
45.87
29-May-01
105.72
7-Aug-00
112.55
11-Oct-99
100.18
21-Dec-98
86.97
2-Mar-98
45.18
21-May-01
110.32
31-Jul-00
108
4-Oct-99
105.41
14-Dec-98
79.39
23-Feb-98
48.09
14-May-01
109.98
24-Jul-00
104.21
27-Sep-99
109.36
7-Dec-98
77.74
17-Feb-98
47.25
7-May-01
104.71
17-Jul-00
106.95
20-Sep-99
116.09
30-Nov-98
76.01
9-Feb-98
47.13
30-Apr-01
108.37
10-Jul-00
96.88
13-Sep-99
116.43
23-Nov-98
78.67
2-Feb-98
45.12
23-Apr-01
108.69
3-Jul-00
97.92
7-Sep-99
125.38
16-Nov-98
74.1
26-Jan-98
45.38
16-Apr-01
107.41
26-Jun-00
102.11
30-Aug-99
119.67
9-Nov-98
72.86
20-Jan-98
45.58
9-Apr-01
89.98
19-Jun-00
104.27
23-Aug-99
115.16
2-Nov-98
69.39
12-Jan-98
48.25
2-Apr-01
91.62
12-Jun-00
105.55
16-Aug-99
113.07
26-Oct-98
68.62
5-Jan-98
45.98
2-Jan-98
48.53
26-Mar-01
89.96
5-Jun-00
111.56
9-Aug-99
114.57
19-Oct-98
65.41
19-Mar-01
87.46
30-May-00
101.42
2-Aug-99
114.7
12-Oct-98
62.82
12-Mar-01
84.27
22-May-00
99.67
26-Jul-99
116.62
5-Oct-98
58.83
5-Mar-01
92.87
15-May-00
99.21
19-Jul-99
115.8
28-Sep-98
57.67
122
Harga saham PT Indosiar Karya Mandiri Tbk :
Tanggal
Harga
12/19/2008
250
10/20/2008
285
8/8/2008
305
6/6/2008
385
4/4/2008
385
12/18/2008
250
10/17/2008
280
8/7/2008
305
6/5/2008
385
4/3/2008
380
12/17/2008
250
10/16/2008
285
8/6/2008
305
6/4/2008
385
4/2/2008
365
12/16/2008
250
10/15/2008
290
8/5/2008
325
6/3/2008
385
4/1/2008
365
12/15/2008
250
10/14/2008
295
8/4/2008
305
6/2/2008
385
3/31/2008
400
12/12/2008
250
10/8/2008
280
8/1/2008
340
5/30/2008
395
3/28/2008
300
12/11/2008
250
10/7/2008
270
7/31/2008
350
5/29/2008
380
3/27/2008
295
12/10/2008
250
10/6/2008
270
7/29/2008
310
5/28/2008
385
3/26/2008
310
12/9/2008
250
9/29/2008
300
7/28/2008
335
5/27/2008
380
3/25/2008
310
12/5/2008
240
9/26/2008
360
7/25/2008
340
5/26/2008
390
3/19/2008
310
12/4/2008
250
9/25/2008
355
7/24/2008
335
5/23/2008
380
3/18/2008
335
12/3/2008
250
9/24/2008
350
7/23/2008
305
5/22/2008
380
3/14/2008
330
12/2/2008
250
9/23/2008
295
7/22/2008
295
5/21/2008
380
3/13/2008
340
12/1/2008
255
9/22/2008
295
7/21/2008
305
5/19/2008
395
3/12/2008
345
11/28/2008
250
9/19/2008
305
7/18/2008
300
5/16/2008
400
3/11/2008
350
11/27/2008
245
9/18/2008
335
7/17/2008
305
5/15/2008
400
3/10/2008
340
11/26/2008
245
9/17/2008
295
7/16/2008
305
5/14/2008
400
3/6/2008
375
11/25/2008
240
9/16/2008
300
7/15/2008
285
5/13/2008
410
3/5/2008
360
11/24/2008
250
9/15/2008
290
7/14/2008
330
5/12/2008
410
3/4/2008
335
11/21/2008
250
9/12/2008
295
7/11/2008
330
5/9/2008
395
3/3/2008
370
11/20/2008
240
9/11/2008
300
7/10/2008
305
5/8/2008
400
2/29/2008
410
11/19/2008
260
9/10/2008
290
7/9/2008
335
5/7/2008
375
2/28/2008
360
11/18/2008
265
9/9/2008
360
7/8/2008
315
5/6/2008
370
2/27/2008
385
11/17/2008
280
9/8/2008
305
7/7/2008
335
5/5/2008
375
2/26/2008
365
11/14/2008
275
9/5/2008
305
7/4/2008
340
5/2/2008
345
2/25/2008
370
11/13/2008
270
9/4/2008
330
7/3/2008
340
4/30/2008
375
2/22/2008
365
11/12/2008
285
9/3/2008
330
7/2/2008
350
4/29/2008
365
2/21/2008
370
11/11/2008
285
9/2/2008
360
7/1/2008
375
4/28/2008
370
2/20/2008
370
11/10/2008
290
9/1/2008
360
6/30/2008
385
4/25/2008
375
2/19/2008
375
11/7/2008
265
8/29/2008
365
6/27/2008
345
4/24/2008
380
2/18/2008
375
11/6/2008
275
8/28/2008
385
6/26/2008
355
4/23/2008
375
2/15/2008
360
11/5/2008
280
8/27/2008
395
6/25/2008
360
4/22/2008
370
2/14/2008
355
11/4/2008
280
8/26/2008
325
6/24/2008
400
4/21/2008
370
2/13/2008
355
11/3/2008
280
8/25/2008
340
6/23/2008
350
4/18/2008
365
2/12/2008
355
10/31/2008
285
8/22/2008
365
6/20/2008
315
4/17/2008
385
2/11/2008
370
10/30/2008
290
8/21/2008
365
6/19/2008
365
4/16/2008
375
2/6/2008
360
10/29/2008
290
8/20/2008
370
6/18/2008
360
4/15/2008
360
2/5/2008
400
10/28/2008
260
8/19/2008
400
6/17/2008
370
4/14/2008
345
2/4/2008
410
10/27/2008
275
8/15/2008
370
6/16/2008
380
4/11/2008
350
2/1/2008
400
10/24/2008
280
8/14/2008
320
6/13/2008
385
4/10/2008
320
1/31/2008
435
10/23/2008
280
8/13/2008
295
6/12/2008
380
4/9/2008
350
1/30/2008
370
10/22/2008
300
8/12/2008
290
6/11/2008
375
4/8/2008
370
1/29/2008
380
10/21/2008
280
8/11/2008
285
6/10/2008
370
4/7/2008
385
1/28/2008
380
123
Harga Saham PT Bank Rakyat Indonesia Tbk :
Date
Close
12/19/2008
4425
10/20/2008
3850
8/8/2008
6050
6/6/2008
5500
4/4/2008
5800
12/18/2008
4425
10/17/2008
3750
8/7/2008
6250
6/5/2008
5700
4/3/2008
5650
12/17/2008
4550
10/16/2008
4150
8/6/2008
6050
6/4/2008
5700
4/2/2008
5950
12/16/2008
4375
10/15/2008
4275
8/5/2008
6050
6/3/2008
5950
4/1/2008
5950
12/15/2008
4275
10/14/2008
4625
8/4/2008
5900
6/2/2008
5950
3/31/2008
6300
12/12/2008
3675
10/8/2008
4275
8/1/2008
5900
5/30/2008
5800
3/28/2008
6350
12/11/2008
4075
10/7/2008
4800
7/31/2008
6100
5/29/2008
5850
3/27/2008
6350
12/10/2008
4050
10/6/2008
4950
7/29/2008
6050
5/28/2008
6050
3/26/2008
6500
12/9/2008
3700
9/29/2008
5400
7/28/2008
6050
5/27/2008
5950
3/25/2008
6050
12/5/2008
3400
9/26/2008
5400
7/25/2008
6000
5/26/2008
6000
3/19/2008
5450
12/4/2008
3450
9/25/2008
5500
7/24/2008
6400
5/23/2008
6200
3/18/2008
5600
12/3/2008
3200
9/24/2008
5600
7/23/2008
5950
5/22/2008
6250
3/14/2008
6000
12/2/2008
3100
9/23/2008
5550
7/22/2008
5800
5/21/2008
6450
3/13/2008
6100
12/1/2008
3175
9/22/2008
5900
7/21/2008
5950
5/19/2008
6700
3/12/2008
6400
11/28/2008
3400
9/19/2008
5600
7/18/2008
5700
5/16/2008
6400
3/11/2008
6350
11/27/2008
3325
9/18/2008
5200
7/17/2008
5350
5/15/2008
6500
3/10/2008
6300
11/26/2008
2875
9/17/2008
5300
7/16/2008
5250
5/14/2008
6400
3/6/2008
6850
11/25/2008
2550
9/16/2008
5150
7/15/2008
5200
5/13/2008
6350
3/5/2008
6900
11/24/2008
2525
9/15/2008
4800
7/14/2008
5500
5/12/2008
5950
3/4/2008
6800
11/21/2008
2525
9/12/2008
5050
7/11/2008
5750
5/9/2008
6050
3/3/2008
7050
11/20/2008
2600
9/11/2008
5400
7/10/2008
5500
5/8/2008
6250
2/29/2008
7200
11/19/2008
2850
9/10/2008
5500
7/9/2008
5600
5/7/2008
6250
2/28/2008
7400
11/18/2008
2975
9/9/2008
5750
7/8/2008
5350
5/6/2008
6550
2/27/2008
7300
11/17/2008
3250
9/8/2008
5950
7/7/2008
5400
5/5/2008
6900
2/26/2008
7350
11/14/2008
3275
9/5/2008
5800
7/4/2008
5400
5/2/2008
6600
2/25/2008
7500
11/13/2008
3425
9/4/2008
6300
7/3/2008
5400
4/30/2008
5950
2/22/2008
7450
11/12/2008
3800
9/3/2008
6400
7/2/2008
5500
4/29/2008
5850
2/21/2008
7400
11/11/2008
3700
9/2/2008
6250
7/1/2008
5300
4/28/2008
5650
2/20/2008
7250
11/10/2008
3675
9/1/2008
5950
6/30/2008
5100
4/25/2008
5850
2/19/2008
7300
11/7/2008
3525
8/29/2008
5850
6/27/2008
5050
4/24/2008
5950
2/18/2008
7000
11/6/2008
3500
8/28/2008
5700
6/26/2008
5150
4/23/2008
6200
2/15/2008
7150
11/5/2008
3700
8/27/2008
5850
6/25/2008
4825
4/22/2008
6200
2/14/2008
6900
11/4/2008
3550
8/26/2008
5750
6/24/2008
4775
4/21/2008
6350
2/13/2008
6700
11/3/2008
3875
8/25/2008
5850
6/23/2008
4725
4/18/2008
6250
2/12/2008
6750
10/31/2008
3450
8/22/2008
5850
6/20/2008
4900
4/17/2008
6000
2/11/2008
6750
10/30/2008
2900
8/21/2008
5800
6/19/2008
4900
4/16/2008
6000
2/6/2008
6850
10/29/2008
2650
8/20/2008
5800
6/18/2008
5100
4/15/2008
5850
2/5/2008
7050
10/28/2008
2675
8/19/2008
5850
6/17/2008
5100
4/14/2008
5900
2/4/2008
7200
10/27/2008
2950
8/15/2008
6100
6/16/2008
5150
4/11/2008
6050
2/1/2008
6900
10/24/2008
3275
8/14/2008
6000
6/13/2008
5150
4/10/2008
5700
1/31/2008
7000
10/23/2008
3625
8/13/2008
6050
6/12/2008
5200
4/9/2008
5550
1/30/2008
6850
10/22/2008
3900
8/12/2008
5800
6/11/2008
5150
4/8/2008
5850
1/29/2008
6800
10/21/2008
4050
8/11/2008
5850
6/10/2008
5100
4/7/2008
6000
1/28/2008
6750
124
Tabel untuk Bab IV
Tabel 4. 1. Tabel uji normalitas dengan Kolmogorof Smirnov
Untuk data harga saham PT Indosiar Karya Mandiri
Zscore
(return
2thn)
N
Normal
Paramete
rs(a,b)
Most
Extreme
Differenc
es
Zscore
(return
1thn)
Zscore
(return
6bln)
Zscore
(return
3bln)
Zscore
(return
2bln)
Zscore
(return
nov)
469
231
134
72
34
20
.0000000
.0000000
.0000000
.0000000
.0000000
.0000000
1.00000000
1.00000000
1.00000000
1.00000000
1.00000000
1.00000000
.140
.126
.153
.207
.232
.132
Mean
Std.
Deviation
Absolute
Positive
.113
.116
.122
.207
.232
.126
Negative
-.140
-.126
-.153
-.176
-.209
-.132
3.025
1.912
1.767
1.757
1.353
.591
.000
.001
.004
.004
.051
.875
Kolmogorov-Smirnov Z
Asymp. Sig. (2-tailed)
a Test distribution is Normal.
b Calculated from data.
Tabel 4.2. Tabel uji normalitas dengan Kolmogorof Smirnov
untuk data harga saham PT BRI Tbk
Zscore
(return
5 tahun)
N
Normal
Paramete
rs(a,b)
Most
Extreme
Differenc
es
1280
Mea
n
Std.
Devi
ation
Abs
olute
Zscore
(return
4 tahun)
1243
Zscore
(return
3 tahun)
982
Zscore
(return
2 tahun)
721
Zscore
(retun
1 tahun)
231
Zscore
(return
6bln)
134
Zscore
(return
3bln)
Zscore
(return
2bln)
72
34
.0000000
.0000000
.0000000
.0000000
.0000000
.0000000
.0000000
.00000
00
1.000000
00
1.000000
00
1.000000
00
1.000000
00
1.000000
00
1.000000
00
1.000000
00
1.0000
0000
.097
.092
.079
.063
.063
.071
.051
.094
.092
.079
.063
.052
.071
.046
.059
-.092
-.079
-.063
-.063
-.069
-.051
-.094
3.261
2.479
1.698
.956
.816
.435
.548
.000
.000
.006
.321
.518
.992
.925
Posi
.096
tive
Neg
-.097
ative
Kolmogorov3.485
Smirnov Z
Asymp. Sig. (2.000
tailed)
a Test distribution is Normal.
b Calculated from data.
125
Program-Program untuk BAB II
Program 2. 1:
clf
rand('state',100);
u=rand(1000,1);u1=rand(10000,1);u2=rand(100000,1);u3=rand(1000000,1);
dx=0.05;
a=(1/dx)-1;
for i = 0:a
x(i+1)=(((i+1)*dx)+(i*dx))/2;
x1(i+1)=(((i+1)*dx)+(i*dx))/2;
x2(i+1)=(((i+1)*dx)+(i*dx))/2;
x3(i+1)=(((i+1)*dx)+(i*dx))/2;
A=find((u>=i*dx) & (u<(i+1)*dx));
B=find((u1>=i*dx) & (u1<(i+1)*dx));
C=find((u2>=i*dx) & (u2<(i+1)*dx));
D=find((u3>=i*dx) & (u3<(i+1)*dx));
N(i+1)=length(A);
N1(i+1)=length(B);
N2(i+1)=length(C);
N3(i+1)=length(D);
F(i+1)=N(i+1)/(1000*dx);
F1(i+1)=N1(i+1)/(10000*dx);
F2(i+1)=N2(i+1)/(100000*dx);
F3(i+1)=N3(i+1)/(1000000*dx);
i=i+1;
end
subplot(2,2,1)
plot(x,F,'.:r',x,F,'k-'),title('1000 Sampel')
axis equal
subplot(2,2,2)
plot(x1,F1,'.:r',x1,F1,'k-'),title('10000 Sampel')
axis equal
subplot(2,2,3)
plot(x2,F2,'.:r',x2,F2,'k-'),title('100000 Sampel')
axis equal
subplot(2,2,4)
plot(x3,F3,'.:r',x3,F3,'k-'),title('1000000 Sampel')
axis equal
Program 2. 2:
clf
randn('state',100)
u=randn(1000,1);u1=randn(10000,1);u2=randn(100000,1);u3=randn(1000000,1);
dx=0.05;
126
a=dx/2;b=-4+a;c=b+dx;x=b:dx:4; y=exp(-0.5*x.^2)/sqrt(2*pi);k=(8/dx)-1;
for i = 0:k
A=find((u>=-4+i*dx) & (u<-4+(i+1)*dx));
A1=find((u1>=-4+i*dx) & (u1<-4+(i+1)*dx));
A2=find((u2>=-4+i*dx) & (u2<-4+(i+1)*dx));
A3=find((u3>=-4+i*dx) & (u3<-4+(i+1)*dx));
N(i+1)=length(A);
N1(i+1)=length(A1);
N2(i+1)=length(A2);
N3(i+1)=length(A3);
F(i+1)=N(i+1)/(1000*dx);
F1(i+1)=N1(i+1)/(10000*dx);
F2(i+1)=N2(i+1)/(100000*dx);
F3(i+1)=N3(i+1)/(1000000*dx);
end
subplot(2,2,1)
plot(x,F,'^:r',x,F,'k-','MarkerSize',3),title('1000 Sampel')
hold on
subplot(2,2,1)
plot(x,y,'y-','linewidth',2)
grid on
subplot(2,2,2)
plot(x,F1,'^:r',x,F1,'k-','MarkerSize',3),title('10000 Sampel')
hold on
subplot(2,2,2)
plot(x,y,'y-','linewidth',2)
grid on
subplot(2,2,3)
plot(x,F2,'^:r',x,F2,'k-','MarkerSize',3),title('100000 Sampel')
hold on
subplot(2,2,3)
plot(x,y,'y-','linewidth',2)
grid on
subplot(2,2,4)
plot(x,F3,'^:r',x,F3,'k-','MarkerSize',3),title('1000000 Sampel')
hold on
subplot(2,2,4)
plot(x,y,'y-','linewidth',2)
grid on
Program 2. 3 :
M=9;
for i=1:M
127
p(i)=i/(M+1);
Z(i)=sqrt(2)*erfinv(2*p(i)-1);
end
x=linspace(-4,4,100);
y=exp(-0.5*x.^2)/sqrt(2*pi);
plot(x,y,'b-',Z,0,'*:r')
grid on
Program 2. 4 :
M=9;
for i=1:M
p(i)=i/(M+1);
Z(i)=sqrt(2)*erfinv(2*p(i)-1);
end
x=-5:0.5:5;
N=(1+erf(x/sqrt(2)))/2;
plot(x,N,'k-',Z,0,'*:r',Z,p,'. r')
grid on
Program 2.5 :
randn('state',100)
M=100;
sampel1=randn(M,1);
s1=sort(sampel1);
rand('state',100); %
sampel2=rand(M,1);
s2=sort(sampel2);
p=[1:M]/(M+1);
z1=sqrt(2)*erfinv(2*p-1);
z2=p;
subplot(2,2,1)
plot(s1,z1,'rx')
hold on
x=-5:0.001:5;
y=x;
plot(y,x,'g-')
title('N(0,1) sampel and Kuantil N(0,1)')
grid on
subplot(2,2,2)
plot(s1,z2,'rx')
hold on
128
x=-5:0.001:5;
y=x;
plot(y,x,'g-')
title('N(0,1) sampel and Kuantil U(0,1)')
grid on
subplot(2,2,3)
plot(s2,z1,'rx')
hold on
x=-5:0.001:5;
y=x;
plot(y,x,'g-')
title('U(0,1) sampel and Kuantil N(0,1)')
grid on
subplot(2,2,4)
plot(s2,z2,'rx')
hold on
x=-1:0.001:2;
y=x;
plot(y,x,'g-')
title('U(0,1) sampel and Kuantil U(0,1)')
grid on
Program 2.6 :
clf
clear
mu=0.5;sigma=sqrt(1/12);dx=0.5;x=linspace(-4,4,100);
y=exp(-0.5*x.^2)/sqrt(2*pi);centers=[-4:dx:4];n=10;M=50;
for k=1:M
S(k)=(sum(rand(n,1))/n-mu)/(sigma/sqrt(n));
end
N=hist(S,centers);
subplot(3,4,1);
bar(centers,N/(M*dx))
title('n=10 dan M=50')
hold on
plot(x,y,'r--','linewidth',2);
%%%%
n1=10;M1=100;
for k=1:M1
S1(k)=(sum(rand(n1,1))/n1-mu)/(sigma/sqrt(n1));
end
N1=hist(S1,centers);
subplot(3,4,2);
bar(centers,N1/(M1*dx))
129
title('n=10 dan M=100')
hold on
plot(x,y,'r--','linewidth',2);
n2=10;M2=1000;
for k=1:M2
S2(k)=(sum(rand(n2,1))/n2-mu)/(sigma/sqrt(n2));
end
N2=hist(S2,centers);
subplot(3,4,3);
bar(centers,N2/(M2*dx))
title('n=10 dan M=1000')
hold on
plot(x,y,'r--','linewidth',2);
n3=10;M3=10000;
for k=1:M3
S3(k)=(sum(rand(n3,1))/n3-mu)/(sigma/sqrt(n3));
end
N3=hist(S3,centers);
subplot(3,4,4);
bar(centers,N3/(M3*dx))
title('n=10 dan M=10000')
hold on
plot(x,y,'r--','linewidth',2);
n4=50;M4=10;
for k=1:M4
S4(k)=(sum(rand(n4,1))/n4-mu)/(sigma/sqrt(n4));
end
N4=hist(S4,centers);
subplot(3,4,5);
bar(centers,N4/(M4*dx))
title('n=50 dan M=10')
hold on
plot(x,y,'r--','linewidth',2);
n5=100;M5=10;
for k=1:M5
S5(k)=(sum(rand(n5,1))/n5-mu)/(sigma/sqrt(n5));
end
N5=hist(S5,centers);
subplot(3,4,6);
bar(centers,N5/(M5*dx))
title('n=100 dan M=10')
hold on
plot(x,y,'r--','linewidth',2);
n6=1000;M6=10;
for k=1:M6
S6(k)=(sum(rand(n6,1))/n6-mu)/(sigma/sqrt(n6));
130
end
N6=hist(S6,centers);
subplot(3,4,7);
bar(centers,N6/(M6*dx))
title('n=1000 dan M=10')
hold on
plot(x,y,'r--','linewidth',2);
n7=10000;M7=10;
for k=1:M7
S7(k)=(sum(rand(n7,1))/n7-mu)/(sigma/sqrt(n7));
end
N7=hist(S7,centers);
subplot(3,4,8);
bar(centers,N7/(M7*dx))
title('n=10000 dan M=10')
hold on
plot(x,y,'r--','linewidth',2);
n8=10;M8=10;
for k=1:M8
S8(k)=(sum(rand(n8,1))/n8-mu)/(sigma/sqrt(n8));
end
N8=hist(S8,centers);
subplot(3,4,9);
bar(centers,N8/(M8*dx))
title('n=10 dan M=10')
hold on
plot(x,y,'r--','linewidth',2);
n9=100;M9=100;
for k=1:M9
S9(k)=(sum(rand(n9,1))/n9-mu)/(sigma/sqrt(n9));
end
N9=hist(S9,centers);
subplot(3,4,10);
bar(centers,N9/(M9*dx))
title('n=100 dan M=100')
hold on
plot(x,y,'r--','linewidth',2);
n10=1000;M10=1000;
for k=1:M10
S10(k)=(sum(rand(n10,1))/n10-mu)/(sigma/sqrt(n10));
end
N10=hist(S10,centers);
subplot(3,4,11);
bar(centers,N10/(M10*dx))
title('n=1000 dan M=1000')
hold on
131
plot(x,y,'r--','linewidth',2);
%%%%
n11=10000;M11=10000;
for k=1:M11
S11(k)=(sum(rand(n11,1))/n11-mu)/(sigma/sqrt(n11));
end
N11=hist(S11,centers);
subplot(3,4,12);
bar(centers,N11/(M11*dx))
title('n=10000 dan M=10000')
hold on
plot(x,y,'r--','linewidth',2);
Program 2.7 :
clear
clf
clear
mu=0.5;sigma=sqrt(1/12);
n=10;M=50;
for k=1:M
S(k)=(sum(rand(n,1))/n-mu)/(sigma/sqrt(n));
p(k)=k/(M+1);
z=sqrt(2)*erfinv(2*p-1);
end
n1=10;M1=100;
for k=1:M1
S1(k)=(sum(rand(n1,1))/n1-mu)/(sigma/sqrt(n1));
p1(k)=k/(M1+1);
z1=sqrt(2)*erfinv(2*p1-1);
end
n2=10;M2=1000;
for k=1:M2
S2(k)=(sum(rand(n2,1))/n2-mu)/(sigma/sqrt(n2));
p2(k)=k/(M2+1);
z2=sqrt(2)*erfinv(2*p2-1);
end
n3=50;M3=10;
for k=1:M3
S3(k)=(sum(rand(n3,1))/n3-mu)/(sigma/sqrt(n3));
p3(k)=k/(M3+1);
z3=sqrt(2)*erfinv(2*p3-1);
end
n4=100;M4=10;
for k=1:M4
132
S4(k)=(sum(rand(n4,1))/n4-mu)/(sigma/sqrt(n4));
p4(k)=k/(M4+1);
z4=sqrt(2)*erfinv(2*p4-1);
end
n5=1000;M5=10;
for k=1:M5
S5(k)=(sum(rand(n5,1))/n5-mu)/(sigma/sqrt(n5));
p5(k)=k/(M5+1);
z5=sqrt(2)*erfinv(2*p5-1);
end
n6=10;M6=10;
for k=1:M6
S6(k)=(sum(rand(n6,1))/n6-mu)/(sigma/sqrt(n6));
p6(k)=k/(M6+1);
z6=sqrt(2)*erfinv(2*p6-1);
end
n7=100;M7=100;
for k=1:M7
S7(k)=(sum(rand(n7,1))/n7-mu)/(sigma/sqrt(n7));
p7(k)=k/(M7+1);
z7=sqrt(2)*erfinv(2*p7-1);
end
n8=1000;M8=1000;
for k=1:M8
S8(k)=(sum(rand(n8,1))/n8-mu)/(sigma/sqrt(n8));
p8(k)=k/(M8+1);
z8=sqrt(2)*erfinv(2*p8-1);
end
A=sort(S);A1=sort(S1);A2=sort(S2);A3=sort(S3);A4=sort(S4);A5=sort(S5);
A6=sort(S6);A7=sort(S7);A8=sort(S8);
subplot(3,3,1);plot(A,z,'rx')
hold on
x=-5:0.001:5;y=x;
plot(y,x,'g-')
title('n=10 dan M=50')
grid on
subplot(3,3,2);plot(A1,z1,'rx')
hold on
x=-5:0.001:5;y=x;
plot(y,x,'g-')
title('n=10 dan M=100')
grid on
subplot(3,3,3);plot(A2,z2,'rx')
hold on
x=-5:0.001:5;y=x;
133
plot(y,x,'g-')
title('n=10 dan M=1000')
grid on
subplot(3,3,4);plot(A3,z3,'rx')
hold on
x=-5:0.001:5;y=x;
plot(y,x,'g-')
title('n=50 dan M=10')
grid on
subplot(3,3,5);plot(A4,z4,'rx')
hold on
x=-5:0.001:5;y=x;
plot(y,x,'g-')
title('n=100 dan M=10')
grid on
subplot(3,3,6);plot(A5,z5,'rx')
hold on
x=-5:0.001:5;y=x;
plot(y,x,'g-')
title('n=1000 dan M=10')
grid on
subplot(3,3,7);plot(A6,z6,'rx')
hold on
x=-5:0.001:5;y=x;
plot(y,x,'g-')
title('n=10 dan M=10')
grid on
subplot(3,3,8);plot(A7,z7,'rx')
hold on
x=-5:0.001:5;y=x;
plot(y,x,'g-')
title('n=100 dan M=100')
grid on
subplot(3,3,9);plot(A8,z8,'rx')
hold on
x=-5:0.001:5;y=x;
plot(y,x,'g-')
title('n=1000 dan M=1000')
grid on
134
Program-Program untuk BAB III
Program 3.1 :
clf
sampel=[ Data IBM Harian];
[M,r]=size(sampel);%
for j=1:M-1
samp(j)=(sampel(j+1)-sampel(j))/sampel(j);
end
sampel1=samp;
mu=mean(sampel1);
sigma=std(sampel1);
sampel=(sampel1-mu)/sigma;
dx=0.5;
centers=[-4:dx:4];
N=hist(sampel,centers);
bar(centers,N/((M-1)*dx))
hold on
x=linspace(-4,4,100);
y=exp(-0.5*x.^2)/sqrt(2*pi);
plot(x,y,'r--','linewidth',2);
legend('N(0,1)density','Data IBM harian')
grid on
Program 3.2 :
clf
sampel=[ Data IBM Harian];
[M,r]=size(sampel);
for j=1:M-1
samp(j)=(sampel(j+1)-sampel(j))/sampel(j);
end
sampel1=samp;
mu=mean(sampel1);
sigma=std(sampel1);
sampel=(sampel1-mu)/sigma;
dx=0.5;
centers=[-4:dx:4]
N=hist(sampel,centers);
g=N/(M-1)
y=cumsum(g);
bar(centers,y)
135
hold on
x=-5:0.001:5;
y=(1+erf(x/sqrt(2)))/2;
plot(x,y,'r--','linewidth',2);
legend('N(0,1)density','Data IBM harian')
grid on
Program 3.3 :
clf
sampel=[ Data IBM Harian];
[M,r]=size(sampel1);
for j=1:M-1
samp(j)=(sampel1(j+1)-sampel1(j))/sampel1(j);
end
sampel=samp;
mu=mean(sampel);
sigma=std(sampel);
sampel2=(sampel-mu)/sigma;
s=sort(sampel2);
p=[1:(M-1)]/M;
z=sqrt(2)*erfinv(2*p-1);
plot(s,z,'rx')
hold on
x=-5:0.001:5;
y=x;
plot(y,x,'g-')
title('Data IBM harian dan N(0,1) quantile-quantile plot')
grid on
Program 3.4 :
clf
sampel=[ % data IBM mingguan ];
[M,r]=size(sampel);
for j=1:M-1
samp(j)=(sampel(j+1)-sampel(j))/sampel(j);
end
sampel1=samp;
mu=mean(sampel1);
sigma=std(sampel1);
136
sampel=(sampel1-mu)/sigma;
dx=0.5;
centers=[-4:dx:4];
N=hist(sampel,centers);
bar(centers,N/((M-1)*dx))
hold on
x=linspace(-4,4,100);
y=exp(-0.5*x.^2)/sqrt(2*pi);
plot(x,y,'r--','linewidth',2);
legend('N(0,1)density','Data IBM mingguan')
grid on
Program 3.5 :
clf
sampel=[ % data IBM mingguan ];
[M,r]=size(sampel);
for j=1:M-1
samp(j)=(sampel(j+1)-sampel(j))/sampel(j);
end
sampel1=samp;
mu=mean(sampel1);
sigma=std(sampel1);
sampel=(sampel1-mu)/sigma;
dx=0.5;
centers=[-4:dx:4];
N=hist(sampel,centers);
g=N/(M-1);
y=cumsum(g);
bar(centers,y)
hold on
x=-5:0.001:5;
y=(1+erf(x/sqrt(2)))/2;
plot(x,y,'r--','linewidth',2);
legend('N(0,1)density','Data IBM mingguan')
grid on
Program 3.6 :
Sampel1=[ % data IBM mingguan ];
[M,r]=size(sampel1);
137
for j=1:M-1
samp(j)=(sampel1(j+1)-sampel1(j))/sampel1(j);
end
sampel=samp;
mu=mean(sampel);
sigma=std(sampel);
sampel2=(sampel-mu)/sigma;
s=sort(sampel2);
p=[1:(M-1)]/M;
z=sqrt(2)*erfinv(2*p-1);
plot(s,z,'rx')
hold on
x=-5:0.001:5;
y=x;
plot(y,x,'g-')
title('Data IBM mingguan dan N(0,1) quantile-quantile plot')
grid on
Program 3.7 :
clf
rand('state',100)
n=1000;
M=10000;
S=randn(M,1);
dx=0.5;
centers=[-4:dx:4];
N=hist(S,centers);
bar(centers,N/(M*dx))
hold on
x=linspace(-4,4,100);
y=exp(-0.5*x.^2)/sqrt(2*pi);
plot(x,y,'r--','linewidth',2);
legend('N(0,1)density','Sampel Random')
grid on
Program 3.8 :
clf
clear
sampel=randn(1000,1);
[M,r]=size(sampel);
dx=0.5;
138
centers=[-4:dx:4]
N=hist(sampel,centers);
g=N/(M-1);
y=cumsum(g)
bar(centers,y)
hold on
x=-5:0.001:5;
y=(1+erf(x/sqrt(2)))/2;
plot(x,y,'r--','linewidth',2);
legend('N(0,1)density','Sampel Random')
grid on
Program 3.9 :
rand('state',100)
M=1000;
sampel=randn(M,1);
s=sort(sampel);
p=[1:M]/(M+1);
z=sqrt(2)*erfinv(2*p-1);
plot(s,z,'rx')
hold on
x=-5:0.001:5;
y=x;
plot(y,x,'g-')
title('Sampel Random dan kuantil-kuantil plot')
grid on
Program 3.10 :
clf
x=linspace(.01,4,500);
t=1;S=1;mu=0.05;
sigma=0.3;
tempa=((log(x/S)-(mu-0.5*sigma^2)*t).^2)/(2*t*sigma^2);
tempb=x*sigma*sqrt(2*pi*t);
y1=exp(-tempa)./tempb;
plot(x,y1,'r-')
ylim([0 1.5])
hold on
sigma=0.5;
tempa=((log(x/S)-(mu-0.5*sigma^2)*t).^2)/(2*t*sigma^2);
139
tempb=x*sigma*sqrt(2*pi*t);
y2=exp(-tempa)./tempb;
plot(x,y2,'b:')
legend('\sigma=0.3','\sigma=0.5',1)
title('Densitas Lognormal,t=1,S0=1,\mu=0.05')
xlabel('x'),ylabel('f(x)')
grid on
Program 3.11 :
clf
x=linspace(.01,4,500);
t=3;S=1;mu=0.05;
sigma=0.3;
tempa=((log(x/S)-(mu-0.5*sigma^2)*t).^2)/(2*t*sigma^2);
tempb=x*sigma*sqrt(2*pi*t);
y1=exp(-tempa)./tempb;
plot(x,y1,'r-')
ylim([0 1.5])
hold on
sigma=0.5;
tempa=((log(x/S)-(mu-0.5*sigma^2)*t).^2)/(2*t*sigma^2);
tempb=x*sigma*sqrt(2*pi*t);
y2=exp(-tempa)./tempb;
plot(x,y2,'b:')
legend('\sigma=0.3','\sigma=0.5',1)
title('Densitas Lognormal,t=3,S=1,\mu=0.05')
xlabel('x'),ylabel('f(x)')
grid on
Program 3.12 :
randn('state',1000)
clf
So=1;mu=0.05;sigma=0.1;L=1000;T=3;dt=T/L;M=1;
t=[0:dt:T];
S=So*cumprod(exp((mu-0.5*sigma^2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(M,L)),2);
S=[So*ones(M,1) S];%add initial asset price
plot(t,S)
title('Diskret aset path')
xlabel('ti'),ylabel('Si')
140
Program 3.13 :
clf
So=1;mu=0.05;sigma=0.05;L=1000;T=3;dt=T/L;M=1;
t=[0:dt:T];
S=So*cumprod(exp((mu-0.5*sigma^2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(M,L)),2);
S=[So*ones(M,1) S];%add initial asset price
plot(t,S)
title('Diskret aset path')
xlabel('ti'),ylabel('Si')
grid on
Program 3.14 :
randn('state',100000)
clf
S0=1;mu=0.2;sigma=0.5;L=1000;T=3;dt=T/L;M=1;
t=[0:dt:T];
S=S0*cumprod(exp((mu-0.5*sigma^2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(M,L)),2);
S=[S0*ones(M,1) S];%add initial asset price
plot(t,S)
xlabel('ti'),ylabel('Aset')
Program 3.15 :
randn('state',100000)
clf
S0=1;mu=0.2;sigma=0.3;L=1000;T=3;dt=T/L;M=20;
t=[0:dt:T];
S=S0*cumprod(exp((mu-0.5*sigma^2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(M,L)),2);
S=[S0*ones(M,1) S];%add initial asset price
plot(t,S)
xlabel('ti'),ylabel('Aset')
Program 3.16 :
clf
clear
S0=1;mu=0.2;sigma=0.3;L=1000;T=3;dt=T/L;M=10000;
t=[0:dt:T];
S=mean(S0*cumprod(exp((mu0.5*sigma^2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(M,L)),2));
141
S=[S0*ones(1,1) S];%add initial asset price
y=S0*exp(mu*t);
plot(t,y,'r-');
hold on
plot(t,S,'b:')
legend(nilai harapan S(t)','rata-rata asset path',1)
xlabel('ti'),ylabel('Mean')
grid on
Program 3.17 :
clf
clear
randn('state',100);
S0=1;mu=0.2;sigma=0.3;L=1000;T=3;dt=T/L;
M=10;M1=100;M2=1000;M3=10000;
t=[0:dt:T];
S=mean(S0*cumprod(exp((mu0.5*sigma^2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(M,L)),2));
S=[S0*ones(1,1) S];
S1=mean(S0*cumprod(exp((mu0.5*sigma^2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(M1,L)),2));
S1=[S0*ones(1,1) S1];
S2=mean(S0*cumprod(exp((mu0.5*sigma^2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(M2,L)),2));
S2=[S0*ones(1,1) S2];
S3=mean(S0*cumprod(exp((mu0.5*sigma^2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(M3,L)),2));
S3=[S0*ones(1,1) S3];
y=S0*exp(mu*t);
subplot(2,2,1)%
plot(t,y,'r-');
hold on
subplot(2,2,1)
plot(t,S,'b:')
legend(nilai harapan S(t)','rata-rata asset path',1)
xlabel('ti'),ylabel('Mean')
title('10 path')
grid on
subplot(2,2,2)%
plot(t,y,'r-');
142
hold on
subplot(2,2,2)
plot(t,S1,'b:')
legend(nilai harapan S(t)','rata-rata asset path',1)
xlabel('ti'),ylabel('Mean')
title('100 path')
grid on
subplot(2,2,3)%
plot(t,y,'r-');
hold on
subplot(2,2,3)
plot(t,S2,'b:')
legend(nilai harapan S(t)','rata-rata asset path',1)
xlabel('ti'),ylabel('Mean')
title('1000 path')
grid on
subplot(2,2,4)%
plot(t,y,'r-');
hold on
subplot(2,2,4)
plot(t,S3,'b:')
legend(nilai harapan S(t)','rata-rata asset path',1)
xlabel('ti'),ylabel('Mean')
title('10000 path')
grid on
Program 3.18 :
clf
S=1;mu=0.05;sigma=0.5;L=100;T=1;dt=T/L;M=50;
tvals=[0:dt:T];
Svals=S*cumprod(exp((mu-0.5*sigma^2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(M,L)),2);
Svals=[S*ones(M,1) Svals];%add initial asset price
plot(tvals,Svals)
xlabel('ti'),ylabel('Aset')
Program 3.19 :
clf
clear
S=1;mu=0.05;sigma=0.5;L=10;T=1;dt=T/L;
143
M=10;M1=100;M2=1000;M3=10000;
S1=S*cumprod(exp((mu-0.5*sigma^2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(M,L)),2);
S1=[S*ones(M,1) S1];
S11=S*cumprod(exp((mu-0.5*sigma^2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(M1,L)),2);
S11=[S*ones(M1,1) S11];
S12=S*cumprod(exp((mu-0.5*sigma^2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(M2,L)),2);
S12=[S*ones(M2,1) S12];
S13=S*cumprod(exp((mu-0.5*sigma^2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(M3,L)),2);
S13=[S*ones(M3,1) S13];
for j=1:M
S2(j)=S1(j,L);
end
for j=1:M1
S21(j)=S11(j,L);
end
for j=1:M2
S22(j)=S12(j,L);
end
for j=1:M3
S23(j)=S13(j,L);
end
a=dt/2;
b=0+a;
x=b:dt:5;
k=(5/dt)-1;
for i = 0:k
A=find((S2>=0+i*dt) & (S2<0+(i+1)*dt));
A1=find((S21>=0+i*dt) & (S21<0+(i+1)*dt));
A2=find((S22>=0+i*dt) & (S22<0+(i+1)*dt));
A3=find((S23>=0+i*dt) & (S23<0+(i+1)*dt));
N(i+1)=length(A);
N1(i+1)=length(A1);
N2(i+1)=length(A2);
N3(i+1)=length(A3);
F(i+1)=N(i+1)/(M*dt);
F1(i+1)=N1(i+1)/(M1*dt);
F2(i+1)=N2(i+1)/(M2*dt);
F3(i+1)=N3(i+1)/(M3*dt);
end
ta=((log(x/S)-(mu-0.5*sigma^2)*T).^2)/(2*T*sigma^2);
tb=x*sigma*sqrt(2*pi*T);
y2=exp(-ta)./tb;
144
subplot(2,2,1)
bar(x,F)
title('10 path')
hold on
subplot(2,2,1)
plot(x,y2,'r-')
grid on
subplot(2,2,2)
bar(x,F1)
title('100 path')
hold on
subplot(2,2,2)
plot(x,y2,'r-')
grid on
subplot(2,2,3)
bar(x,F2)
title('1000 path')
hold on
subplot(2,2,3)
plot(x,y2,'r-')
grid on
subplot(2,2,4)
bar(x,F3)
title('10000 path')
hold on
subplot(2,2,4)
plot(x,y2,'r-')
grid on
Program 3.20 :
clf
clear
S=1;mu=0.05;sigma=0.5;L=100;M=1;
T=1;dt=T/L;
tvals=[0:dt:T];
Svals=S*cumprod(exp((mu-0.5*sigma^2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(M,L)),2);
Svals=[S*ones(M,1) Svals];%add initial asset price
subplot(3,1,1);
plot(tvals,Svals)
title('1 asset paths dalam interval [0,1]')
T1=0.1;
dt1=T1/L;
tvals1=[0:dt1:T1];
145
Svals1=S*cumprod(exp((mu-0.5*sigma^2)*dt1+sigma*sqrt(dt1)*randn(M,L)),2);
Svals1=[S*ones(M,1) Svals1];%add initial asset price
subplot(3,1,2);
plot(tvals1,Svals1)
title('1 asset paths dalam interval [0, 0.1]')
T2=0.01;
dt2=T2/L;
tvals2=[0:dt2:T2];
Svals2=S*cumprod(exp((mu-0.5*sigma^2)*dt1+sigma*sqrt(dt1)*randn(M,L)),2);
Svals2=[S*ones(M,1) Svals2];%add initial asset price
subplot(3,1,3);
plot(tvals2,Svals2)
title('1 asset paths dalam interval [0, 0.01]')
Program 3.21 :
clear
clf
So=1;mu=0.05;sigma=0.3;L=1000;T=0.5;dt=T/L;M=10;
t=[0:dt:T];
S=So*cumprod(exp((mu-0.5*sigma^2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(M,L)),2);
S=[So*ones(M,1) S];%add initial asset price
plot(t,S)
title('dt=5x10^-4')
xlabel('ti'),ylabel('Asset path')
Program 3.22 :
clear
clf
So=1;mu=0.05;sigma=0.3;L=10000;T=0.5;dt=T/L;M=10;
t=[0:dt:T];
S=So*cumprod(exp((mu-0.5*sigma^2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(M,L)),2);
S=[So*ones(M,1) S];%add initial asset price
plot(t,S)
title('dt=5x10^-4')
xlabel('ti'),ylabel('Asset path')
146
Program 3.23 :
clear
clf
mu=0.05;sigma=0.3;L=10000;T=0.5;dt=T/L;M=10;
r=cumsum((mu*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(M,L)).^2,2);
t=[0:dt:T-dt];
plot(t,r)
hold on
A=(sigma^2)*T;
plot(t,A,'b:')
xlabel('ti'),ylabel('Sum of square returns')