e. sdof get bebas dgn redaman

STRUKTUR SINGLE
DEGREE OF FREDOM
DENGAN GETARAN
BEBAS DAN EFEK
REDAMAN
EQUATION OF MOTION

DIFERENTIAL
EQUATION OF MOTION
..
.
my + cy + ky = 0
dimana :
m = massa struktur
c = faktor redaman
y = perpindahan
.. .
y, y = kecepatan dan percepatan
sebagai turunan pertama dan kedua
dari perpindahan
TRIAL SOLUTION


Dicoba fungsi yang dapat
memenuhi persaman tersebut
yaitu fungsi eksponensial : y = C
ept
Dengan memasukkan kedalam
pers. Sebelumnya didapat
m Cp2 ept + c Cp ept + k C ept = 0
Karakteristik Equation : ( Same faktor
= C ept)
mp2 + cp + k = 0
PENYELESAIAN PERSAMAAN

AKAR DARI PERSAMAAN KUADRAT
p1,p2 = -c/2m + √ (c/2m)2 – k/m
Sehingga Solusi Umum untuk
persamaan tersebut adalah :
y(t) = C1ept + C2 ept
Dimana C1 dan C2 adalah
konstanta integrasi
SISTEM REDAMAN

1.
2.
3.
ADA TIGA JENIS REDAMAN :
Sistem redaman kritis (Critical
Damped System)
Sistem redaman superkritis
(Overdamped System)
Sistem redaman subkritis
(Underdamped System)
Redaman kritis


Terjadi jika ekspresi dibawah tanda
akar persamaan adalah = 0
( ccr/2m)2 – k/m = 0
ccr = 2 √km
Dimana Ccr = harga redaman kritis
karena frekwensi natural sistem tak
teredam dinyatakan oleh ω = √k/m
maka koefisien redaman kritis
ccr = 2m ω = 2k / ω
Redaman Kritis
Harga akar persamaan adalah sama
yaitu p1 = p2 = - ccr /2m
 Sehingga solusi yang dapat
digunakan adalah :
y1(t) = C1 e-(ccr/2m)t dan
y2(t) = C2 t e-(ccr/2m)t
Superposisi dari keduanya :
y(t) = (C1 + C2 t) e-(ccr/2m)t

REDAMAN SUPERKRITIS
(overdamped system)



Terjadi jika c > ccr
Dan ekspresi dibawah tanda akar
adalah bernilai positif. Sehingga
nilai p1 dan p2 nya adalah bernilai
real dan berlainan
Sehingga solusi persamaanya
adalah y(t) = C1 ep1t + C2 ep2t
REDAMAN SUB KRITIS (underdamped
system)



Terjadi jika c < ccr
Karena ekpresi dibawah tanda akar
bernilai negatif sehingga nilai p1
dan p2 akan bernilai imaginer
Untuk penyelesaian persamaan
digunakan persamaan euler yang
menghubungkan fungsi
eksponensial dengan trigonometrik.
Fungsi Trigonometri


Substitusi untuk solusi persamaan :
eix = cos x + i sin x
e–ix = cos x – i sin x
Sehingga solusi umumnya menjadi
y(t) = e-(c/2m)t (A cos wDt +B sin wDt)
A dan B adalah konstanta integrasi
wD adalah frekwensi redaman sistem
FREKWENSI TEREDAM
Nilai Frekwensi Teredam dinyatakan
oleh :
wD = √ (k/m – (c/2m)2)
Atau dapat diekspresikan dalam w dan ξ
wD = w √ (1- ξ2)
Dimana telah diketahui bahwa
ξ = C/Ccr
w = √ k/m

PERPINDAHAN
Solusi Umum Untuk Perpindahan yang
terjadi pada sistem getaran bebas teredam
y(t)= e-(c/2m)t (A cos wDt+Bsin wDt)
 Dimana Frekwensi System:
wD =√ { k/m – (c/2m)2}
atau
wD = w √(1-ξ2)
Dengan w = √ k/m ( frekwensi Natural)
ξ = c / cr ( Ratio Redaman)

Dan
c
= adalah redaman yang terjadi
(kondisi subkritis)
Persamaan Gerak dengan Syarat
Kondisi Awal
Apabila ditentukan kondisi awal (Initial Condition) yo dan vo
(perpindahan dan kecepatan awal)
y(t) = e-ξwt (yo cos wDt + vo+wyoξw sin wDt)
Atau y(t) = C e-ξwt cos (wDt –a)
Dimana :
C = √(yo2 + (vo+yoξw)2/wD2)
tan a = (vo+yoξw)/wDyo)
wD adalah frekwensi sistem dengan redaman Apabila
ditentukan kondisi awal (Initial Condition) yo dan vo
(perpindahan dan kecepatan awal)
y(t) = e-ξwt (yo cos wDt + vo+wyoξw sin wDt)
Atau y(t) = C e-ξwt cos (wDt –a)
Dimana :
C = √(yo2 + (vo+yoξw)2/wD2)
tan a = (vo+yoξw)/wDyo)
wD adalah frekwensi sistem dengan redaman

Tugas