Integral

Integral (Grade XII)
Fungsi Logaritma Asli dan Eksponen Asli
Logaritma Asli
Jika y = ln x maka y’ = 1/x dengan x > 0
Dalam bentuk umum
f(x) = ln g(x) maka f’(x) = g’(x)/g(x)
contoh:
Tentukan turunan pertama dari
1. f(x) = ln 3x
2. g(x) = ln (3x2 + 4x -7)
3. h(x) = ln (3x – 4)4
4. w(x) = ln sin2 3x
Jawaban:
1. f(x) = ln 3x maka f' (x) 
1
1
.3 
3x
x
1
6x  4
(6x  4) 
2
3x  4x  7
3x  4x  7
1
12
3
3. h(x) = ln (3x – 4)4 maka h'(x) 
43x  4  .3 
4
3x  4 
3x  4
1
6 cos 3x
4. w(x) = ln sin2 3x maka w'(x) 
2sin 3x .cos 3x 3 
 6 cot 3x
2
sin 3x
sin 3x
2. g(x) = ln (3x2 + 4x -7) maka g' (x) 
2
Eksponen Asli
Bilangan e  2,718281828459045 (bilangan Euler) dan ln e = 1.
Balikan (invers) dari logaritma asli adalah eksponen asli yang dinyatakan dengan e.
Jadi x = ey  y = ln x
Selanjutnya bahwa:
 eln x = x, dengan x > 0
 ln (ex) = x
Jika y = ex maka y’ = ex
Dalam bentuk umum
f(x) = eg(x) maka f’(x) = eg(x).g’(x)
Contoh:
Tentukan turunan pertama dari
1. f(x) = e3x
2
2. g(x)  e 3x  4x7
1
Integral (Grade XII)
3. h(x) = esin 3x
Jawaban:
1. f(x) = e3x maka f’(x) = e3x.3 = 3e3x
2
2
2
2. g(x)  e 3x  4x7 maka g' (x)  e 3x  4x7 (6x  4)  (6x  4)e 3x  4x7
3. h(x) = esin 3x maka e sin3x(cos3x).3  3 cos 3x e sin 3x
Soal Latihan 1
Tentukan turunan pertama setiap fungsi yang diberikan berikut ini (anggaplah dalam
setiap kasus bahwa x dibatasi sehingga ln terdefinisi)
1. f(x) = ln (x2 + 3x + )
2. f(x) = ln (x – 4)3
3. f(x) = 3 ln x
4. g(x)  ln(6x  x 2  4 )
5. f(x) = ln (cos 2x)
6. f(x) = x ln (5x + 4)
7. f(x) = ln 3x + ln 5x2
8. f(x) = ln 7x4 – ln x3
Tentukan turunan pertama setiap fungsi yang diberikan berikut ini
1. f(x) = e2x + 6
2. f(x) = e3 ln x
3. f(x)  e  e
4. f(x) = ex ln x
1
1
x2
5. f(x)  e  x 2
e
2
x
6. f(x) = x e
7. f(x) = e3
8. f(x) = xe
x2
x2
Integral Tak Tentu
Suatu fungsi F merupakan antiturunan fungsi f pada suatu interval jika F’(x) = f(x)
pada interval tersebut. Hal ini ditulis sebagai
F(x) = ∫ f(x) dx
Hal ini merupakan “integral tak tentu”
Sebagai contoh G(x) = 2x4 – 4x + 5 maka G’(x) = g(x) = 8x3 – 4. Dalam hal ini G(x)
dikatakan antiturunan/integral dari g(x).
Jika F’(x) = f(x) dan f(x) = axn dengan x  –1 maka
2
Integral (Grade XII)


F(x)  f(x)dx  ax n dx 
a n1
x  c,
n 1
dengan n  1
Untuk fungsi trigonometri diketahui bahwa f(x) = sin x dan g(x) = cos x maka
f’(x) = cos x dan g’(x) = -sin x. Sehingga
 cos x dx  sin x  c
 sin x dx  cos x  c dan
Operator Linear pada Pengintegralan
Andaikan f dan g mempunyai antiturunan (integral tak tentu) dan andaikan k suatu
konstanta, maka:
 ∫ k.f(x) dx = k ∫ f(x) dx
 ∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
 ∫ [f(x) - g(x)] dx = ∫ f(x) dx - ∫ g(x) dx
Contoh:
1.
 4x
2.
 5x
2
2
2x 3
4
x 3 1  c  x 4  c
3 1
dx 
3
dx 
5
x 21  c  5x 1  c
 2 1
5
2
3.

4.
 7 sin t dt  7 cos x  c
1
1
 (x  x ) dx  2 x  4 x  c
1
 (cos x  x ) dx  sin x  5 x  c
5.
6.
5
1
2
2 3
6
dx  2
x3  c  5 x  c  x 3  c
1
5
3
3
2
3
4
4
5
Soal Latihan 2
Tentukanlah
1.  x dx
2
2.
 6x
3.
 6 dx
5
dx
4. ∫ 5 dt
5.  t dx
6.
 x dt
 xt d(xt)
8.  7x dx
9.  - 8x dx
4
10.  dx
x
7
11. 
dx
9x
7.
2
3
3
2
3
Integral (Grade XII)
2
dx
7x  2
3
dx
x 3
1
3

34.  x 2  7x 4  dx

13. 
14.  x dx
15.  4x dx
16.  2x dx
17.  - 3x dx
18.  x dx
19.  x dx
20.  x dx
21.  2 x dx
7
22. 
dx
x
12.

35.  2
37.  2x  1 x  2 dx
38.  x  1 2x  4 3x  2 dx
3
4
39.  4x  3 dx
2
3
5
5
3
40.  7x  x  dx
7
2
41.  5  x  dx
2
1
42.  sin t dt
3
43.  cos θ dθ
44.  sin 7x d(7x)
5
2
 7 x dx
24.  x x  1 dx
25.  6  6x  x  dx
26.  4x  5x  dx
27.  x - x  x  dx
28.  7x - 5x  2x  dx
2
3
3
4
2
4
2
29. ∫ (x2 – x) dx
30. ∫ (4x5 + x4 – 3x3 – 7x2 + 8x – 10)
dx
31. ∫ (x – 4) dx
 3 2
32.  2  3  dx
x 
x
6
4
 4x  3x 
33. 
 dx
x3



2
3
3
4
23.
 dx
2 3 3 2 
 x  dx
 x3 x2

2
3

x x
36.  
3
4


3
45.  cos 8t d(8t)
46.  sin x d(sin x)
47.  cos x d(cos x)
48.  sin x d(sin x)
2
49.  7  3cos x dx
50.  sin x - x  dx
2
51.  cos 7x  sin 7x  d(7x)
52.  3  x - 2sin x  cos x dx
2
53.  sint  t - cos t  dx
3
 t  2cos t dt
55.  sin θ  cos θ dθ
54.
2

Teknik Pengintegralan
Ada beberapa teknik pengintegralan, di antaranya adalah:
 aturan pangkat
4
Integral (Grade XII)
 substitusi (aturan pangkat yang digeneralisir)
 konversi trigonometri
 intergral parsial
Akan diuraikan teknik-teknik tersebut berikut ini.
 aturan pangkat
bentuk umum yaitu
a
 ax dx  n  1 x
n
n 1
 c dengan n ≠ –1 dan hal ini telah
diuraikan terdahulu. Teknik pengintergal menggunakan aturan pangkat
merupakan teknik dasar yang juga digunakan pada teknik lainnya.
 substitusi (aturan pangkat yang digeneralisir)
Andaikan g suatu fungsi yang terdiferensialkan dan anggaplah F antiturunan
dari f. Jika u = g(x) ditentukan bahwa
 f(g(x)).g'(x)dx   f(u)du  F(u)  c  F(g(x)) c
Contoh:
Carilah  x
3
2x 4  11 dx
Agar bentuk integralnya menjadi
 f(g(x)).g'(x)dx , kita misalkan u = 2x4 + 11
dan du = 8x3 dx yang ekuivalen dengan (1/8) du = x3 dx.
Maka

x 3 2x 4  11 dx 
 2x

4
 11 2 x3 dx
1
1
du
8
1
 u2
1
1
1
1
 .
u2  c
8 1 
  1
2 


1 2 32
. u c
8 3
3
1
2x 4  112  c
12
Tidak ada aturan bahwa Anda harus menuliskan substitusi u. Jika Anda dapat
melakukannya dalam pikiran, itu baik. Berikut adalah ilustrasi untuk hal
tersebut

x 3 2x 4  11 dx 
 2x

 2x

1
8
4
 11 2 x3 dx
1
4
1
1

 11 2  d2x 4  11 
8

 2x
4
 11 2 d2x 4  11 dx 
1
1
1
1
2x 4  112 1  c
 .
8 1 
  1
2 
5
Integral (Grade XII)

3
1
2x 4  112  c
12
Soal Latihan 3
Hitunglah integral yang diberikan berikut ini.
1.  x  2  dx
17.  3x dx
5
 5x  10 dx
3.  7  6x  dx
4.  3  9x  dx
5.  x x  1 dx
6.  14x7x  12 dx
7.  4x x  27  dx
8.  3x  5x x  x
9.  3x 8x  1 dx
10.  7  3x dx
2.
18.  x 1- x dx
2
2
4
19.
7x 2

7x 3  1
2x 3
7
2
5
2
2
2
2
3
4
3
5

4
dx

12.  10x  1 dx
13.  3x 4  3x
x
dx
14. 
7x  3
2
2
15. 
3
3
3
3
2 5
4
3
2
4
2x  3
dx
4
11.
 2  3x dx
21.  sin 4x dx
22.  cos 5x dx
23.  sin x.cos x dx
24.  x sin(x  3) dx
25.  3x cos(4x  2) dx
1
1
26.  4x  4x  sin x  x  dx
2 
4
27.  cos6x  5.sin6x  5 dx
cos x
28. 
dx
sin x
20.
2
3
dx
dx
1 4 1 2
 x  x 
2 
4
2
2
2
2
x3  x
4
dx
29.

30.

sin 1 x
dx
1 x
x 2 cosx 3  2 
dx
sin 2 x 3  2 
16.  x x  2  dx
2
4
Integral yang Hasilnya Berupa Fungsi Logaritma Asli
Jika f(x) = ln g(x) maka f ' (x) 
1
.g'(x) . Perhatikan untuk pengintergalan fungsi
g(x)
logaritma asli.
Misal u = g(x) maka du = g’(x) dx
f(x) = ln u
6
Integral (Grade XII)
1
du
u
1
f ' (x) dx 
du
u
f ' (x) dx 



f (x)  c  u-1 du  ln u  c

ln u  c  u -1 du
Jadi
u
-1
du  ln u  c
Soal Latihan 4
Hitunglah:
1.
2.
3.
4.
5.



1
dx
2x  2
x
dx
2
x 2
x2
dx
x3  2
6x  9
dx
2
 9x
t 1
dt
2
 4t  8
 3x
 2t
6.
7.
8.
x4
dx
2x 5  π
1
dx
x x 2
x -3
dx
x -2  2

 


Beberapa Integral Trigonometri
Untuk pengintegralan fungsi trigonometri selain sin x dan cos x digunakan formulaformula yang berlaku pada trigonometri.
Perlu diingat kembali turunan fungsi trigonometri
y = sin x maka y’ = cos x
y = cos x maka y’ = –sin x
y = tan x maka y’ = sec2 x
rumus-rumus trigonometri
sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2x = cos2 x – sin2 x
= 2 cos2 x – 1
= 1 – 2 sin2 x
sin (a + b) = sin a. cos b + sin b. cos a
cos (a + b) = cos a.cos b – sin a.sin b
2 sin a.cos b = sin (a + b) + sin (a – b)
2 cos a.cos b = cos (a + b) + cos (a – b)
2 sin a.sin b = cos (a – b) – cos (a + b)
Rumus-rumus tersebut akan digunakan dalam pengintegralan fungsi trigonometri yang
sesuai
7
Integral (Grade XII)
Contoh 1:
1
 sin x dx   2 1- cos 2x dx
2



1
1
dx 
cos 2x dx
2
2
1
1 1
 x  . cos 2x d2x 
2
2 2
1
1
 x  sin 2x  c
2
4

Contoh 2:
 cos x. sin 2x dx   cos x(2 sin x.cos x) dx
 2  cos x.sin x dx
 2  cos x d(cos x)
2
2
3
3
1
 2. cos4 x  c
4
1
 cos4 x  c
2
Soal Latihan 6
Tentukan setiap integral berikut ini
1.  cos x dx
 cos 4x.sin 3x dx
8.  cos 3x.cos 5x dx
sin 3x  cos x
9. 
dx
cos 3x  sin x
10.  cos x - sin x  dx
7.
2
2.
3.
4.
5.
6.
 sec x dx
 cos x - sin x  dx
 sin x.cos 2x dx
 sin 5x.cos x dx
 sin2x.sin 3x dx
2
2
2
2
4
2
 Konversi Trigonometri
Bentuk umum

du
a u
2
2
dan
a
2
du
. Dalam kasus ini bentuk penyebut dari
 u2
integran dikonversi ke bentuk trigonometri yang merujuk pada segitiga sikusiku yang panjang sisinya adalah penyebut pada integran yang dimaksud.
Panjang sisi ini melibatkan teorema Phytagoras.
Contoh
Tentukan

3
16  9x 2
dx
8
Integral (Grade XII)
Perhatikan bentuk 16  9x  4  3x  . Jika dibandingkan dengan
2
2
2

du
a  u2
2
tampak bahwa a = 4 dan u = 3x.
Pikirkan suatu segitiga siku-siku yang panjangnya adalah bentuk tersebut yang
melibatkan teorema Phytagoras. Panjang segitiga yang dimaksud tampak
seperti pada gambar.
Pada gambar tersebut nilai panjang sisinya dapat

dibuat perbandingan trigonometri. Dalam bentuk
4
sinus ataupun cosinus baik sudut  atau .
3x
Misalkan untuk sin  = 3x/4
 3x = 4 sin 

 sin  = (3/4)x
2
4 2  3x 
  = arc sin(3x/4) …………….…………….(1)
3 dx = 4 cos  d ………………………..……. (2)
4 2  3x 
4
2
cos  =
4 cos θ  16  9x 2 ..……………………………..(3)
Berdasarkan persamaan (2) dan (3) diperoleh

3
16  9x
2
dx 

3 dx
16  9x 2
4 cos θ dθ
 4 cos θ
  dθ

=  + c (berdasarkan persamaan (1))
= arc sin
Soal Latihan 5
3x
c
4
Hitunglah integral berikut ini menggunakan teknik konversi trigonometri
x2
1.  1  x dx
7.
dx
2

2
2.
3.
4.
5.
6.





4  4x dx
2
25  16x 2 dx
1
dx
1 x 2
2
3
 x  9 dx
3
9. 
dx
4x  16
7
10.
 25x  1 dx
11.  - 7 dx
x 4
8.
2
2
2
9  x2
2x 2
1  9x
1 x
2
dx
2
dx
12.
x
1
x2 1
dx
9
Integral (Grade XII)
13.
x
1
9x 2  1
dx
 Intergral Parsial
Jika pengintegralan menggunakan teknik substitusi gagal, dimungkinkan
menggunakan substitusi ganda, yang lebih dikenal dengan integral parsial.
Metode ini didasarkan pada integrasi rumus untuk turunan hasil kali dua fungsi.
Andaikan u = u(x), v = v(x), dan f(x) = u(x).v(x) maka
f ‘(x) = u’(x).v(x) + u(x).v’(x)
u(x).v’(x) = f ‘(x) - u’(x).v(x)
 u(x).v'(x)dx   f ' (x)dx   v(x).u'(x)dx karena dv = v’(x) dx dan du = u’(x) dx
 u dv  f(x)  v du
 u dv  u.v   v du
maka
Di sini tampak bahwa bentuk integral harus diubah menjadi
 u dv dan kemudian

dihitung menggunakan rumus uv  v du .
Contoh
 x cos x dx
Bentuk  x cos x dx   x cos x dx 
Hitunglah

Misalkan u = x maka du = 1 dx dan dv = cos x dx maka v  cos x dx = sin x
Jadi
 u dv  uv   v du
 x cos x dx = x.sin x   sin x dx
= x sin x  (  cos x) + c
= x sin x + cos x + c
Cara lain tanpa pemisalan tetapi langsung membentuk
 u dv
 x cos x dx   xcos x dx  =  x dsin x 
= x sin x   sin x dx = x sin x + cos x + c
Cara lain menggunakan cara Tanzalin
Tanda
+1
1
+1
Diferensialkan
u
x
1
0
Integralkan
dv = cos x
sin x
 cos x
10
Integral (Grade XII)
Hasil pengintegralan diperoleh dari jumlah perkalian pasangan kolom yang sebaris
Maka
 x cos x dx = (1)(x)( sin x) + (  1)(1)(  cos x) + c = x sin x + cos x + c
Soal Latihan 7
Hitunglah setiap integral berikut menggunakan teknik integral parsial
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
 x 2x  7 dx
 x 4 - x dx
 x 3 x  10 dx
 8x  x  2 dx
 x 3 x  10 dx
4x
 2x  5 dx
 x x  3 dx
 x cos x dx
3
3
2
49
3
-4
49
2
 x sin 2x dx
10.  x cos x dx
11.  x cos x dx
12.  x sin x dx
13.  x cos3 x  1 dx
14.  x sin2x  1 dx
15.  sin x cos x dx
9.
2
2
2
2
2
3
Penggunaan Integral Tak Tentu
Contoh :
Gradien garis singgung kurva di titik (x,y) adalah 2x  7. Jika kurva tersebut melalui
titik (4,  2), tentukanlah persamaan kurvanya.
Jawab:
Gradient garis singgung = f’(x) = 2x  7 sehingga
y= f(x) =  2x  7  dx = x2  7x + c
karena kurva melalui titik (4,  2) maka
f(4) = 42  7(4) + c =  2
16 – 28 + c =  2
c =  2  16 + 28
c = 10
Jadi, persamaan kurvanya adalah y = x2  7x + 10
Soal Latihan 8
1. Gradient garis singgung kurva y = f(x) di sebarang titik (x,y) adalah 4x + 3. Jika
kurva melalui titik (0,5) tentukan persamaan kurvanya.
2. Tentukan f(x) jika diketahui sebagai berikut:
a. f’(x) = 2x + 5 dan f(2) = 6
b. f’(x) = 6x2 + 6 dan f(2) = 20
c. f’(x) = 3x2 + 6x + 6 dan f(1) = 5
d. f’(x) = ax + b, f(1) = 0, f(  1) = 4, dan f(3) = 8
11
Integral (Grade XII)
3. Gradient garis singgung kurva di titik (x,y) adalah 3x. JIkakurva tersebut
melalui titik (4,9) tentukan persamaan kurva ini.
4. Suatu persamaan kurva memenuhi syarat f’(x) = (x  3)(x + 1). Kurva tersebut
mempunyai nilai balik maksimum 17/3. Tentukan persamaan kurva tersebut
5. Kecepatan didefinisikan sebagai laju perubahan jarak terhadap waktu. Jika
kecepatan dilambangkan v, jarak dilambangkan s, dan waktu dilambangkan t,
maka v 
ds
. Misalkan sebuah bola bergerak dengan kecepatan v = (3t2  2t)
dt
m/dt. Jika pada saat t = 3 detik panjang s = 9 meter, tentukan rumus jarak
pada saat t detik.
6. Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus. Kecepatan benda itu pada setiap
saat adalah v = (6t2 + 4t) m/dt. Pada saat t = 0 panjang lintasan yang ditempuh
adalah s = 5 meter. Tentukan persamaan untuk s (ingat v 
7. Sebuah benda bergerak memenuhi persamaan kurva v 
ds
)
dt
ds
. Jika kurva tersebut
dt
melalui titik (  8,0), carilah persamaan kurva itu.
8. Dari sebuah titik awal, sebuah bola bergerak lurus kea rah kanan dengan
percepatan a = (6t – 24) m/det. Misalkan v0 = 36 m/det dan s0 = 10 meter
a. Tentukan rumus untuk kecepatan dan jarak
b. Jika v < 0 diartikan benda bergerak ke kanan, kapan benda bergerak ke kiri
Integral Tentu
b
Jika f terintegralkan pada suatu selang I lebih lanjut
 f(x) dx disebut integral tentu
a
b
Jika F(x) adalah antiturunan dari f(x) maka
 f(x) dx  F(b)  F(a)
a
2
Contoh 1: Hitunglah
 2x - 8 dx
2
-1
2
2
2x - 8 dx   2 x 3  8x  2 23  82   2  13  8 1
3
 1 3
3

-1


2
16
54
 2
 16  48 2 24
 16     8  
 

3
3
3
3
3
3


Perhatikan pada gambar di samping.
Tampak bahwa pada interval batas
pengintegralan yaitu  1 < x < 2 kurva
f(x) = 2x2  8 terletak di bawah sumbu x.
12
Integral (Grade XII)
2
Sedangkan hasil
 2x
2
 8 dx  
1
54
< 0. Pada fungsi lain yang semacam kasus ini
3
(kurvanya berada di bawah sumbu x) juga akan terjadi hasil pengintegralan yang
negatif asalkan batas pengintegralan fungsi tersebut pada interval di mana fungsi
tersebut kurvanya berada di bawah sumbu x.
Sebaliknya, jika suatu fungsi berada di atas sumbu x, hasil pengintergalannya positif
asalkan batas pengintegralan fungsi tersebut pada interval di mana fungsi tersebut
kurvanya berada di atas sumbu x
Contoh2 :
0
 x
Hitunglah
3
 5x  2 dx
-2
0
 x
-2
0
3
5
1 4 5 2
5
1

1

4
2
 5x  2 dx   x 4  x 2  2x   0   0   20     2   2  2 2
4
2
4
2
4
2

 2


16 20

  
 4  = 10
2
4

Perhatikan gambar di samping ini.
Pada interval  2 < x < 0 kurva f(x) berada
di atas sumbu x. Hasil pengintegral pada
interval tersebut adalah positif
Soal Latihan 9
Hitunglah:
1
1.
 2x
4
 3x 2  5 dx
0
3
2.
 5x
-1
3
3.
x
2
2
4.
2
3

 3 dx
x dx
dx
 x4
1
3
5.
 5
1 
 dx

3
x

1
  x
5
6.
 2x - 13x  2 dx
0
13
Integral (Grade XII)
4
7.
 x x  2
2
2
dx
0
3
8.
x
2
x dx
2
Tentukan nilai a dari integral tentu berikut ini
a
9.

a
x 3x  2 dx  48
10.
0

1
dx
x
2
Hitunglah:


4
4

11. cos 2x dx
13.
0
 sin 2x  cos 2x  dx

3
2

2

12. sin 2x dx
0
Sifat-sifat intergral tentu
Misalkan f(x) dan g(x) adalah fungsi kontinu maka berlaku:
a
a.
 f(x) dx  0
a
b.
c.
b
a
a
b
 f(x) dx   f(x) dx
b
b
a
a
 c.f(x) dx  c f(x) dx,
b
d.
b
b
 f(x)  g(x) dx   f(x) dx   g(x) dx
a
e.
dengan c adalah konstanta
a
a
b
c
c
a
b
a
 f(x) dx   f(x) dx   f(x) dx
Penggantian Batas Pengintegralan
Jika kita mengkonversi suatu integran dalam bentuk lainnya maka batas
pengintegralan harus dikonversi pula sesuai denga perubahan yang terjadi pada
integran.
Perhatikan contoh berikut ini.
2
Hitunglah
 x 4x
2
3
 7  dx
5
1
Untuk menghitung integral tersebut kita dapat menggunakan teknik substitusi
14
Integral (Grade XII)
Misal u = 4x3 + 7 maka du = 12x2 dx sehingga
1
du  x 2 dx
12
Untuk batas pengintegral digunakan u = 4x3 + 7.
Batas bawah x = 1 maka u = 4(1)3 + 7 = 11
Batas atas x = 2 maka u = 4(2)3 + 7 = 39
2
Sehingga

39
x 2 4x 3  7  dx  u5

5
1
11
39

1 1 6
1 1
1
u  
396  1 116   1 . 1 396  116
du 


12  6  11 12  6
6
12
 12 6

Hal ini akan sama jika pengintegralan dilakukan lebih dulu tanpa melibatkan batas
pengintegralan setelahnya batas pengintegralan diberlakukan. Perhatikan uraian
berikut ini
2
 x 4x
2
3
 7  dx
5
1
kita hitung dulu
 x 4x
2
3
 7  dx  u 5

5
1
du
12
1 1 6
. u c
12 6
1 1
6
 . 4x 3  7   c
12 6
2
2
1
1
6


5
x 2 4x 3  7  dx   . 4x 3  7   c
12 6
1
1






6
6
1 1
1 1

3
3
. 42  7  c   . 41  7  c
12 6
12 6

1 1
1 1
6
6
 . 32  7   . 4  7 
12 6
12 6
1 1
6
6
 . 39  11
12 6



Penggunaan Integral Tentu
Integral dapat digunakan untuk menentukan:
1. Luas daerah di bawah kurva
2. Volum benda putar
3. Panjang kurva atau lintasan
4. Kerja (terapan gaya)
5. Momen atau pusat massa
Dalam pembahasannya hanya akan diuraikan pada penggunaan untuk menentukan luas daerah
di bawah kurva dan volum benda putar.
1. Luas daerah di bawah kurva
15
Integral (Grade XII)
Misalkan L adalah luas daerah pada bidang Cartesius yang dibatasi oleh kurva y = f(x),
sumbu x, garis x = a, garis x = b (dengan a < b), seperti tampak pada gambar (daerah
yang diarsir).
b
Luas daerah L dapat ditentukan dengan L 
 f(x) dx
a
Contoh
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = 1 – x2, sumbu x, garis x = 1, dan
x=2
Jawab:
Pada gambar tampak bahwa luas
daerah yang diarsir merupakan luas
daerah yang dimaksud
b
Maka L 

a
 x
 2

1 3
x
3
2
1
2

f(x) dx  (1- x 2 ) dx
1
1
1


 2  (2 3 )  1  (13 ) 
3
3


6 8 3 1
8 
1
 1      
3  3
3 3 3 3
4 4

3 3
Jadi, luas daerah yang dimaksud adalah 4/3 satuan luas.
Misalkan L adalah luas daerah pada
bidang Cartesius yang dibatasi oleh
kurva y = f(x), sumbu x, garis x =
a, garis x = b (dengan a < b),
seperti tampak pada gambar
(daerah yang diarsir).
16
Integral (Grade XII)
Kondisi seperti tampak pada gambar mengharuskan kita mempartisi wilayah
pengintegralan yaiu di mana terjadi perubahan kurva di atas sumbu x dan di bawah
sumbu x. Terlihat perubahan itu terjadi saat x = b, sehingga pengintegralannya
dipartisi pada titik x = b. Dengan demikian luas daerah yang dimaksud adalah
b
c
 f(x) dx   f(x) dx
L
a
b
b
Walaupun menurut sifat integral tentu

a
c

c

f(x) dx  f(x) dx  f(x) dx dengan a < b < c
b
a
tetapi hal itu tidak dapat dilakukan seperti itu karena perhitungannya digunakan untuk
penentuan luas daerah, bukan sekedar perhitungan integral tentu.
Contoh
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 - 4x + 3, sumbu x, sumbu y, dan
garis x = 3.
Jawab
Wilayah yang dimaksud (sesuai soal) adalah dari x = 0 (sumbu y) hingga x = 3. Perlu
diperiksa apakah pada interval tersebut terjadi perubahan letak kurva (di atas atau di
bawah sumbu x).
Titik potong kurva terhadap sumbu x terjadi saat x2 – 4x + 3 = 0
(x – 1)(x - 3) = 0
x = 1 atau x = 3
karena x = 1 terdapat dalam interval tersebut berarti pengintegralan untuk penentuan
luas daeah harus dipartisi pada x = 1. Sehingga
1
L
 x
2
 4x  3 dx 
0
 x
2
 4x  3 dx
1
1

3
3
1 3
1
x  2x 2  3x  x 3  2x 2  3x
3
3
0
1
17
Integral (Grade XII)
1
3
1
1
1

1

 (1)3  2(1)2  3(1)   (0)3  2(0)2  3(0)  (3)3  2(3)2  3(3)   (1)3  2(1)2  3(1)
3
3
0 3
3
1

1
1

 2  3  0  9  18  9    2  3 
3
3


4
4
4 4 8

  
3
3
3 3 3
Jadi luas daerah yang dimaksud adalah
4
satuan luas
3
Soal Latihan 10
Hitunglah luas daerah yang diarsir pada gambar berikut ini
1.
2.
3.
4.
18
Integral (Grade XII)
5.
6.
7.
8.
9.
2.
19
Integral (Grade XII)
10.
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva yang diberikan berikut ini
(petunjuk : buat sketsa grafik atau analitik matematis perubahan letak kurva terhadap
sumbu x jika diperlukan)
1. y = 2x + 6, garis x = -2, garis x = 3, dan sumbu x
2. y = 4 – x2, garis x = -1, garis x = 3, dan sumbu x
3. y = x – 4, garis x = 3, sumbu y, dan sumbu x
4. y = x2 – x – 6, garis x = -1, garis x = 4, dan sumbu x
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva yang diberikan dan sumbu x
5. y = 9 – x2
6. y = x2 – 4x + 3
7. y = 3 – 4x - x2
8. y = x3 - 4x2 + x + 6
9. y = x4 – x3 – 7x2 + x + 6
2. Luas Daerah di antara Dua Kurva
Misalkan L adalah luas daerah
pada bidang Cartesius yang
dibatasi oleh kurva y = f(x),
y=
g(x) (dengan f(x) > g(x) untuk a <
x < b), seperti tampak pada
gambar (daerah yang diarsir).
Dalam kondisi seperti ini, luas
daerah sesugguhnya adalah luas
daerah di bawah kurva y = f(x)
dikurang luas daerah di bawah
kurva y = g(x). Dengan demikian
luas daerah yang diarsir adalah
20
Integral (Grade XII)
L
Berdasarkan sifat integral tentu
b
b
a
a
 fx  dx   gx  dx
b
b
b
a
a
a
 f(x)  g(x) dx   f(x) dx   g(x) dx
maka
b
L
 f(x)  g(x) dx
a
Contoh
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) = x2 dan g(x) = x + 2
Jawab
Dalam gambar tampak bahwa kurva g(x) = x + 2 berada di atas kurva f(x) = x2 atau g(x)
> f(x) pada interval antara kedua titik potong kedua kurva itu. Batas area yang ditinjau
terletak pada titik potong kedua kurva. Dengan demikian untuk batas pengintegralan
kita harus menentukan titik potong kedua kurva tersebut.
Untuk menentukan titik potong kedua kurva maka
x2 = x + 2
x2 – x – 2 = 0
(x – 2)(x + 1) = 0
x = 2 atau x = -1
b
2
2
1
1
Jadi, L  g(x)  f(x) dx  x  2  x 2  dx  x 2  2x  x 3
2
3
1
a
-1



1 2
1
1
1

(2)  2(2)  (2)3   (1) 2  2(1)  (1)3 
2
3
3
2

8 1
1
1
10 1
9
 2  83 
 
3 2
3
2
2 2
2
9
Jadi, luas yang dimaksud adalah satuan luas
2
 24
21
Integral (Grade XII)
Soal Latihan 11
Hitunglah luas daerah yang diarsir pada setiap gambar berikut ini
1.
2.
3.
4.
22
Integral (Grade XII)
5.
6.
6.
7.
Hitunglah luas daerah yang batas-batasnya diberikan berikut ini
8. y = 5x – x2, y = 0, di antara x =1 dan x = 3
9. y = (x – 4)(x + 2), y = 0, di antara x = 0 dan x = 3
10. y = (x – 3)(x – 1), y = x
11. y = x, y = x – 4, x = 0
23
Integral (Grade XII)
12. y = x2 – 2x, y = -x2
13. y = x2 – 9, y = (2x – 1)(x + 3)
14. y = x – 10, y = 0, di antara x = 0 dan x = 9
Hitunglah luas daerah yang diarsir pada setiap gambar berikut ini
15.
16.
17.
Hitunglah luas daerah yang batas-batasnya diberikan berikut ini
18. x = 8y – y2, x = 0
19. x = -6y2 + 4y, x + 3y – 2 = 0
20. x = y2 – 2y, x – y – 4 = 0
21. 4y2 – 2x = 0, 4y2 + 4x – 12 = 0
22. x = 4y4, x = 8 – 4y4
24
Integral (Grade XII)
23. x = (3 – y)(y + 1), x = 0
24. Carilah luas segitiga yang titik-titik sudutnya adalah (-1,4), (2,-2), dan (5,1) dengan
menggunakan integral.
1
25. Buktikan bahwa luas trapezium adalah (a  b)t dengan a,b adalah panjang sisi
2
yang sejajar, t panjang sisi yang tegak lurus dengan sisi yang sejajar tadi.
3. Volum benda putar
Apabila sebuah daerah rata, yang terletak seluruhnya pada satu sisi garis tetap dalam
bidangnya, diputar mengelilingi garis tersebut, daerah itu akan membentuk sebuah
benda putar. Garis tetap tersebut dinamakan sumbu benda putar.
Sebagai ilustrasi, jika daerah yang dibatasi oleh setengah lingkaran dan garis
tengahnya, diputar mengelilingi garis tengah tersebut, maka daerah tersebut
emmbentuk sebuah bola padat. Contoh lain, apabila daerah yang dimaksud di
dalam suatu segitiga siku-siku diputar mengelilingi salah satu sisi siku-sikunya,
daerah itu akan membentuk kerucut padar.
Ilustrasi inilah yang kemudian menjadi dasar pemikiran dalam penentuan volum
benda putar. Kondisi benda putar yang terjadi dalam kajian materi ini meliputi
sumbu putar di sumbu x dan di sumbu y. Sedangkan teknik perhitungannya
menggunakan metode cakram dan metode cincin.
Metode Cakram
Cakram merupakan sebuah bangun ruang
berbentuk tabung (tentu alasnya berupa
lingkaran berjari-jari r) dengan ketinggian yang
amat kecil (misal x). Maka volum cakram
tersebut adalah V = r2.x
Untuk menghitung volume benda putar dilakukan pemotongan benda putar yang
dilakukan tegak lurus terhadap sumbu putar sebanyak n cakram. Dengan
menghitung volume setiap satu lempengan cakram potongan itu. Misal volume
setiap cakram adalah Vi, maka volum setiap cakram adalah Vi = f2(x).x.
Sehingga volum benda putar yang ada (V) adalah jumlah volum semua
25
Integral (Grade XII)
n
lempengan cakram yang ada, yaitu V 
 πf 2 (x) dx . Jika potongan lempeng
i1
dibuat sebanyak-banyaknya (n  ∞) dengan membuat tinggi atau ketebalan
cakram diperkecil hingga mendekati 0 (x ∞) sehingga diperoleh
n
V  lim
n 
 πf 2 (x) dx .Bentuk ini dengan notasi integral ditulis sebagai
i1
y  f(x)
b

V  π f 2 (x) dx .
a
r  f(x)
x
x
Sesudah diputar
Volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x),
sumbu x, garis x = a, x = b diputar mengelilingi sumbu x adalah
b

V  π f 2 (x) dx
a
Contoh: Hitunglah volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi
oleh y = x – x2 dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu x
Jawab:
Daerah yang dimaksud adalah daerah antara kurva dan sumbu x. Karena sumbu
putarnya sumbu x, dengan demikian batas pengintegralannya adalah interval
yang terbentang x1 < x < x2 dengan x1 dan x2 adalah absis titik-titik potong
kurva terhadap sumbu x.
Titik potong kurva terhadap sumbu diperoleh dari
x – x2 = 0
x(1 – x) = 0
x = 0 atau x = 1
Jadi volum benda putar yang terjadi adalah
1

1

1

V  π f 2 (x) dx  π (x  x 2 ) 2 dx  π (x 2  2x 3  x 4 ) dx
0
0
0
26
Integral (Grade XII)

1
 
 

1
1
1
1 3 1 4 1 5
x  x  x
 π 13  0 3  14  0 4  15  05
3
2
2
3
2
2
0
1 1 1 1
π    π
3 2 2 3
1
Jadi volum benda putar yang terjadi adalah π satuan volum.
3
π
Soal Latihan 12
Tentukan volume benda putar dari daerah yang diarsir berikut ini jika diputar sejauh
3600 terhadap sumbu x
1.
3.
2.
4.
27
Integral (Grade XII)
Tentukan volume benda putar dari daerah yang diarsir berikut ini jika diputar sejauh
3600 terhadap sumbu x
5.
6.
7.
8.
28
Integral (Grade XII)
Tentukan volume benda putar dari daerah yang diarsir berikut ini jika diputar sejauh
3600 terhadap sumbu y
8.
9.
Tentukan volume benda putar dari daerah yang diarsir berikut ini jika diputar sejauh
3600 terhadap sumbu y
10.
11.
12.
29
Integral (Grade XII)
Soal Latihan 13
Tentukan volume benda putar dari daerah yang diarsir berikut ini jika diputar sejauh
3600 terhadap sumbu x
1.
2.
3.
4.
30
Integral (Grade XII)
5.
6.
Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah-daerah yang dibatasi oleh
kurva-kurva berikut diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600.
7. y = 2x + 1, sumbu y, sumbu x
8. y = 9x – x2 dan sumbu x
9. y = x2 dan y = x + 2
10. y = x2 – 6 dan y = 2 – x2
Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah-daerah yang dibatasi oleh
kurva diputar mengelilingi sumbu y sejauh 3600.
11. y = x – 2, sumbu y, y = 3, dan sumbu x
12. y = x + 6, garis y =2, dan garis y = 6
13. y = 2x2 dan sumbu y
31
Integral (Grade XII)
Metode Cincin
Ada kalanya pengirisan suatu benda putar menghasilkan cakram-cakram dengan
lubang di tengahnya. Daerah yang demikian kita sebut cincin. Karena bagian
tengahnya berlubang berarti volum benda putar tersebut berkurang sebesar volum
benda putar yang membentuk lubang itu. Ini terjadi misal daerah yang diputar adalah
daerah yang dibatasi oleh dua kurva yang keduanya berada di atas atau di bawah
sumbu x, jika sumbu putarnya adalah sumbu x. Seperti pada ilustrasi yang terlihat
pada gambar berikut ini.
y  f(x)
y  f(x)
r  f(x)
x
a
b
x
Sebelum diputar
Sesudah diputar
Jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), y = g(x), garis x = a, dan garis x = b
diputar mengelilingi sumbu x, maka volum benda putar yang terjadi tersebut adalah
b
V π
 f(x)  g(x)
2
dx
a
y  f(x)
y  f(x)
y  g(x)
a
a
b
b
Sesudah diputar
Sebelum diputar
32
Integral (Grade XII)
y  f(x)
y  f(x)
a
b
Sebelum diputar
x
Sesudah diputar
33