Ketaksamaan Cauchy-Schwarz, ketaksamaan Bessel, dan

Ketaksamaan Cauchy-Schwarz, Ketaksamaan Bessel, dan
Kesamaan Parseval di Ruang n-Hasilkali Dalam Baku
Hendra Gunawan
Departemen Matematika, ITB, Bandung 40132
[email protected]
1
Abstrak
Beberapa hasil penelitian terkini tentang ruang n-hasilkali
dalam, di antaranya adalah generalisasi dari ketaksamaan CauchySchwarz, ketaksamaan Bessel, dan kesamaan Parseval di ruang
n-hasilkali dalam baku, akan disajikan.
2
Pendahuluan
Untuk kemudahan, kita hanya akan bekerja dengan ruang
hasilkali dalam real, walaupun sesungguhnya fakta-fakta yang
dikemukakan di sini berlaku di ruang hasilkali dalam kompleks.
Misalkan H ruang vektor real yang dilengkapi dengan hasilkali
dalam h·, ·i : H × H → R, yang memenuhi
(1) hx, xi ≥ 0 ∀ x ∈ H; hx, xi = 0 j.h.j. x = 0,
(2) hx, yi = hy, xi ∀ x, y ∈ H,
(3) hαx, yi = αhx, yi ∀ x, y ∈ H, ∀ α ∈ R, dan
(4) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi ∀ x, y, z ∈ H.
Dalam perkataan lain, (H, h·, ·i) merupakan ruang hasilkali dalam.
3
Pada (H, h·, ·i), berlaku ketaksamaan Cauchy-Schwarz:
hx, yi2 ≤ hx, xihy, yi.
Selanjutnya, kita dapat mendefinisikan norm k·k : H → R dengan
kxk := hx, xi1/2.
Periksa bahwa k · k memenuhi
(5) kxk ≥ 0 ∀ x ∈ H; kxk = 0 j.h.j. x = 0,
(6) kαxk = |α| kxk ∀ x ∈ H, ∀ α ∈ R, dan
(7) kx + yk ≤ kxk + kyk ∀ x, y ∈ H.
Ketaksamaan pada (7) dikenal sebagai ketaksamaan segitiga.
4
Pada (H, h·, ·i), berlaku hukum Pythagoras:
kx + yk2 = kxk2 + kyk2
asalkan hx, yi = 0, dan kesamaan polarisasi:
kx + yk2 − kx − yk2 = 4hx, yi,
serta hukum jajarangenjang:
kx + yk2 + kx − yk2 = 2kxk2 + 2kyk2.
Kesamaan terakhir merupakan ciri sebuah norm yang diperoleh
dari hasilkali dalam.
5
Misalkan I suatu himpunan indeks (biasanya merupakan himpunan terhitung).
Himpunan {ei : i ∈ I}, dengan ei 6= 0 ∀ i ∈ I, dikatakan ortogonal
apabila hei, ej i = 0 untuk setiap i 6= j.
Himpunan ortogonal {ei : i ∈ I} dikatakan ortonormal apabila
keik = 1 ∀ i ∈ I.
Himpunan ortonormal {ei : i ∈ I} dikatakan lengkap apabila x =
P
i∈I hx, eiiei untuk setiap x ∈ H.
6
Jika {ei : i ∈ I} merupakan himpunan ortonormal di H, maka
untuk setiap x ∈ H berlaku ketaksamaan Bessel:
X
hx, eii2 ≤ kxk2.
i∈I
Jika himpunan ortonormal {ei : i ∈ I} lengkap, maka untuk setiap
x ∈ H berlaku kesamaan Parseval:
X
hx, eii2 = kxk2.
i∈I
Sebaliknya juga benar: jika kesamaan Parseval berlaku, maka
{ei : i ∈ I} lengkap.
7
Ruang n-hasilkali dalam
Misalkan H ruang vektor real berdimensi d ≥ n (n ≥ 2). Sebarang fungsi bernilai real h·, ·|·, . . . , ·i pada H n+1 yang memenuhi
kelima sifat berikut:
H1. hx1, x1|x2, . . . , xni ≥ 0; hx1, x1|x2, . . . , xni = 0 jhj x1, x2, . . . , xn
bergantung linear;
H2. hx1, x1|x2, . . . , xni = hxi1 , xi1 |xi2 , . . . , xin i untuk tiap permutasi
(i1, . . . , in) dari (1, . . . , n);
H3. hx0, x1|x2, . . . , xni = hx1, x0|x2, . . . , xni;
H4. hαx0, x1|x2, . . . , xni = αhx0, x1|x2, . . . , xni, α ∈ R;
8
H5. hx0+x00, x1|x2, . . . , xni = hx0, x1|x2, . . . , xni+ hx00, x1|x2, . . . , xni,
disebut n-hasilkali dalam pada H, dan pasangan (H, h·, ·|·, . . . , ·i)
disebut ruang n-hasilkali dalam.
Pada ruang n-hasilkali dalam (H, h·, ·|·, . . . , ·i), berlaku ketaksamaan
Cauchy-Schwarz
hx0, x1|x2, . . . , xni2 ≤ hx0, x0|x2, . . . , xnihx1, x1|x2, . . . , xni,
dengan kesamaan dipenuhi j.h.j.
linear (lihat [G1]).
x0, x1, x2, . . . , xn bergantung
8
Selanjutnya, fungsi k·, . . . , ·k yang didefinisikan pada H n oleh
kx1, x2, . . . , xnk := hx1, x1|x2, . . . , xni1/2
merupakan suatu n-norm pada H, yang memenuhi keempat sifat
berikut:
N1. kx1, . . . , xnk ≥ 0; kx1, . . . , xnk = 0 jhj x1, . . . , xn bergantung
linear;
N2. kx1, . . . , xnk invarian terhadap permutasi;
N3. kαx1, x2, . . . , xnk = |α| kx1, x2, . . . , xnk, α ∈ R;
N4. kx0 + x1, x2, . . . , xnk ≤ kx0, x2, . . . , xnk + kx1, x2, . . . , xnk.
9
Contoh. Jika (H, h·, ·i) merupakan ruang hasilkali dalam, maka
H dapat pula dilengkapi dengan n-hasilkali dalam baku
hx , x i hx , x i . . . hx , xni
0 1
0 2
0
hx , x i hx , x i . . . hx , x i
2 2
2 n
hx0, x1|x2, . . . , xni := 2 .. 1
.
...
.
..
..
.
hxn, x i hxn, x i . . . hxn, xni
1
2
dan n-norm baku
kx1, x2, . . . , xnk := hx1, x1|x2, . . . , xni1/2.
Perhatikan bahwa
kx1, . . . , xnk2 = G(x1, . . . , xn),
yang merupakan determinan Gram (lihat [FRG] and [MPF]).
Secara geometris, kx1, . . . , xnk menyatakan volume paralelpipedium berdimensi n yang direntang oleh x1, . . . , xn.
10
Catatan. Konsep ruang n-norm dikembangkan lebih dahulu oleh
Gähler pada tahun 1960-an sebagai generalisasi dari konsep panjang, luas dan volume di ruang vektor real (lihat [Ga1], [Ga2]
and [Ga3]).
Konsep ruang n-hasilkali dalam dikembangkan belakangan oleh
Diminnie, Gähler dan White [DGW1] dan [DGW2] (untuk n = 2)
pada tahun 1970-an, serta Misiak [M1] (untuk n ≥ 2) pada akhir
tahun 1980-an.
11
Seperti halnya ruang hasilkali dalam, ruang n-hasilkali dalam
(H, h·, ·|·, . . . , ·i) mempunyai sejumlah sifat yang bagus.
Selain ketaksamaan Cauchy-Schwarz, kita juga mempunyai kesamaan polarisasi:
kx0 + x1, x2, . . . , xnk2 − kx0 − x1, x2, . . . , xnk2 = 4hx0, x1|x2, . . . , xni,
dan hukum jajarangenjang:
kx0 + x1, x2, . . . , xnk2 + kx0 − x1, x2, . . . , xnk2 =
2(kx0, x2, . . . , xnk2 + kx1, x2, . . . , xnk2),
yang merupakan ciri sebuah n-norm yang diperoleh dari n-hasilkali
dalam.
12
Kemudian, dari kesamaan polarisasi dan sifat (H2), kita peroleh
hx0, x1|x2, . . . , xni = hx0, x1|xi2 , . . . , xin i
untuk tiap permutasi (i2, . . . , in) dari (2, . . . , n).
Selanjutnya, jika x0 atau x1 merupakan kombinasi linear dari
x2, . . . , xn, maka
hx0, x1|x2, . . . , xni = 0,
dan dalam hal ini kita peroleh
kx0 + x1, x2, . . . , xnk2 = kx0, x2, . . . , xnk2 + kx1, x2, . . . , xnk2.
13
Sebelumnya kita telah mengetahui bahwa pada ruang hasilkali
dalam (H, h·, ·i), kita dapat mendefinisikan n-hasilkali dalam baku.
Sebaliknya, pada ruang n-hasilkali dalam (H, h·, ·|·, . . . , ·i), kita
juga dapat mendefinisikan suatu hasilkali dalam.
Persisnya, ambil sebarang himpunan bebas linear {a1, . . . , an} di
H. Lalu, untuk setiap x, y ∈ H, definisikan
hx, yi :=
X
hx, y|ai2 , . . . , ain i.
{i2 ,...,in}⊆{1,...,n}
Maka h·, ·i merupakan hasilkali dalam pada H. Pengamatan lebih
lanjut tentang hal ini dapat dilihat di [G2] dan [G3].
14
Catatan. Walaupun ruang n-hasilkali dalam ternyata merupakan
ruang hasilkali dalam, generalisasi dari ketaksamaan CauchySchwarz, ketaksamaan Bessel, dan kesamaan Parseval di ruang
n-hasilkali dalam baku, yang berupa ketaksamaan/kesamaan determinantal, cukup menarik untuk dibahas. Di samping memberikan kemudahan dalam penyajian, konsep n-hasilkali dalam
ternyata membuka jalan bagi penemuan baru.
15
Ketaksamaan dan kesamaan
di ruang n-hasilkali dalam baku
Misalkan (H, h·, ·i) ruang hasilkali dalam yang juga dilengkapi
dengan n-hasilkali dalam baku h·, ·|·, . . . , ·i. Maka kita mempunyai
teorema berikut tentang ketaksamaan Cauchy-Schwarz di H:
Teorema 1. Ketaksamaan Cauchy-Schwarz
hx0, x1|x2, . . . , xni2 ≤ kx0, x2, . . . , xnk2kx1, x2, . . . , xnk2
ekivalen dengan ketaksamaan determinantal
hx , x i hx , x i . . . hx , xni
0 0
0 1
0
hx , x i hx , x i . . . hx , x i
1 0
1 1
1 n
.
.
...
.
..
..
..
hxn, x i hxn, x i . . . hxn, xni
0
1
≥ 0.
16
Catatan. Kebenaran masing-masing ketaksamaan dalam Teorema 1 merupakan hal yang trivial. Untuk n = 1 atau 2, ekivalensi di antara kedua ketaksamaan tersebut mudah dilihat.
Teorema 1 merupakan konsekuensi dari fakta berikut:
Fakta. Setiap matriks A1 = [aij ] berukuran N × N (N ≥ 3), dengan determinan submatriks Am = [aij ]i,j=m,...,N (m = 3, . . . , N )
bernilai tak nol, mestilah memenuhi
|A1||A3| = |A11||A22| − |A12||A21|
dimana Aij adalah matriks (N − 1) × (N − 1) yang diperoleh dari
A1 dengan menghapus baris ke-i dan kolom ke-j. (Khususnya,
jika A1 simetris, maka |A1||A3| = |A11||A22| − |A12|2.)
17
Teorema 2. Jika {ek } merupakan himpunan ortonormal di H,
maka untuk setiap x1, . . . , xn ∈ H berlaku ketaksamaan Bessel:
he , x i he , x i
k 1
k 2
X hx , x i hx , x i
2 1
2 2
.
...
..
k hxn, x1i hxn, x2i
hx1, x1i . . . hx1, xni ...
...
...
·
hxn, x1i . . . hxn, xni 2
. . . hek , xni . . . hx2, xni ...
...
. . . hxn, xni ≤
hx2, x2i . . . hx2, xni ...
...
...
.
hxn, x2i . . . hxn, xni (1)
Jika, sebagai tambahan, {ek } lengkap, maka kesamaan berlaku.
18
Catatan. Untuk n = 1, ruas kanan disepakati terdiri dari suku
pertama saja: ketaksamaan di atas tak lain merupakan ketaksamaan Bessel di ruang hasilkali dalam, sementara kesamaannya
dikenal sebagai kesamaan Parseval.
Dengan menggunakan notasi n-hasilkali dalam baku, ketaksamaan
(1) dapat dituliskan sebagai
X
hek , x1|x2, . . . , xni2 ≤ kx1, x2, . . . , xnk2kx2, . . . , xnk2
n−1 ,
k
dengan k·, . . . , ·kn−1 menyatakan (n − 1)-norm baku pada H.
Seperti halnya Teorema 1, Teorema 2 dapat dibuktikan pula
dengan menggunakan fakta tadi. Sketsa buktinya adalah sebagai
berikut.
19
Sketsa Bukti Teorema 2 (untuk n ≥ 2). Pertama catat jika
x1, x2, . . . , xn bergantung linear, maka kedua ruas (1) bernilai 0
dan karenanya tak ada yang harus dibuktikan. Jadi, untuk selanjutnya asumsikan bahwa x1, x2, . . . , xn bebas linear. Untuk setiap
k, tinjau (n + 1) × (n + 1) matriks simetris berikut





hek , ek i hek , x1i
hx1, ek i hx1, x1i
...
...
hxn, ek i hxn, x1i
. . . hek , xni
. . . hx1, xni
...
...
. . . hxn, xni



.

Maka, dengan menggunakan fakta tentang determinan matriks,
kita mempunyai
hek , x1|x2, . . . , xni2 = kek , x2, . . . , xnk2kx1, x2, . . . , xnk2−
2
kek , x1, x2, . . . , xnk2
kx
,
.
.
.
,
x
k
n
n−1 .
n+1 2
20
Sekarang bagi kedua ruas dengan kx1, x2, . . . , xnk2kx2, . . . , xnk2
n−1
untuk memperoleh
hek , x1|x2, . . . , xni2
=
2
2
kx1, x2, . . . , xnk kx2, . . . , xnkn−1
2
kek , x2, . . . , xnk2 kek , x1, x2, . . . , xnkn+1
−
.
2
kx
,
x
,
.
.
.
,
x
k
kx2, . . . , xnk2
n
1 2
n−1
Selanjutnya kita tinggal menunjukkan bahwa, dengan menggerakkan nilai k, jumlah dari suku-suku di ruas kanan lebih kecil daripada 1 (atau, dalam kasus di mana {ek } lengkap, sama
dengan 1). Semua ini dapat dilakukan dengan bantuan intuisi
geometris dari n-norm baku, proyeksi ortogonal, proses GramSchmidt, dan hukum Pythagoras, serta ketaksamaan Bessel (dan
kesamaan Parseval) di ruang hasilkali dalam (lihat [G4]).
21
Rujukan
[DGW1] C. Diminnie, S. Gähler and A. White, “2-inner product
spaces”, Demonstratio Math. 6 (1973), 525-536.
[DGW2] C. Diminnie, S. Gähler and A. White, “2-inner product
spaces. II”, Demonstratio Math. 10 (1977), 169-188.
[Ga1] S. Gähler, “Lineare 2-normietre Räume”, Math. Nachr.
28 (1965), 1-43.
[Ga2] S. Gähler, “Untersuchungen über verallgemeinerte m-metrische Räume. I”, Math. Nachr. 40 (1969), 165-189.
[Ga3] S. Gähler, “Untersuchungen über verallgemeinerte m-metrische Räume. II”, Math. Nachr. 40 (1969), 229-264.
22
[FRG] F.R. Gantmacher, The Theory of Matrices, Vol. I, Chelsea
Publ. Co., New York (1960), 247–256.
[G1] H. Gunawan, “On n-inner products, n-norms, and the Cauchy-Schwarz inequality”, Sci. Math. Japon. 55 (2002), 53–60.
[G2] H. Gunawan, “On n-inner product spaces”, preprint.
[G3] H. Gunawan, “An inner product that makes a set of vectors
orthonormal, Austral. math. Soc. Gaz. 28 (2001), 194-197.
[G4] H. Gunawan, “A generalization of Bessel’s inequality and
Parseval’s identity”, akan terbit di Per. Math. Hungar.
[M1] A. Misiak, “n-inner product spaces”, Math. Nachr. 140
(1989), 299-319.
[MPF] D.S. Mitrinović, J.E. Pečarić and A.M. Fink, Classical
and New Inequalities in Analysis, Kluwer Academic Publishers,
Dordrecht (1993), 595–603.
22