5. Perkalian Vektor

PERKALIAN VEKTOR
1. Perkalian Skalar dengan Vektor
2. Perkalian vektor dengan Vektor
a. Perkalian Titik (Dot Product)
b. Perkalian Silang (Cross Product)
1
PERKALIAN SKALAR DGN VEKTOR
Perkalian Skalar dengan Vektor menghasilkan sebuah Vektor
v=ku
k : Skalar
u : Vektor
Vektor v merupakan hasil perkalian antara skalar k dengan
vektor u
 Jika k positif (k>0) arah v searah dengan u
 Jika k negatif (k<0) arah v berlawanan dengan u
v = 3u
u
Contoh :
k = 3,
v = -3u
u
k = -3,
2
PERKALIAN SKALAR DGN VEKTOR
a
Jika u    dan k bilangan real,
b
 a   ka 
maka : ku  k     
 b   kb 
Contoh Soal :
Diketahui
 2 
u
  3



:
Hitunglah
: 3u
Jawab
:
3
 2   6 
3u  3
  3
 
  9


 

LATIHAN SOAL 2
Diketahui
:
  2
 10 
u
 1 
 , v
  2





Hitunglah
1.
-3u
2.
6v
3.
4u + 3v
4.
7u– 2v
4
:
SIFAT OPERASI VEKTOR
 Diketahui k dan p merupakan bilangan skalar .
- Jika k = 0 maka ku = 0
- k(p u) = (kp)u = u(kp)
- (k+p)u = ku+pu
(bersifat distributif)
- k(u+v) = ku+kv
(bersifat distributif)
- u + (-1) v = u - v
5
DOT PRODUCT
 Perkalian dot atau titik disebut juga perkalian skalar
(scalar product). Hal itu dikarenakan perkalian
tersebut akan menghasilkan skalar meskipun kedua
pengalinya merupakan vektor.
 Perkalian skalar dari dua vektor A dan B dinyatakan
dengan A•B, karena notasi ini maka perkalian tersebut
dinamakan juga sebagai perkalian titik (dot product).
6
DOT PRODUCT
 Dalam bentuk komponen vektor, bila A = [a1,a2,a3] dan
B = [b1,b2,b3], maka :
A•B = a1b1 + a2b2+ a3b3
 Diketahui :
A = [1,2,3]
B = [4,5,6]
A•B = (1x4) + (2x5)+(3x6) = 4 + 10 + 18 = 32
7
DOT PRODUCT
Secara matematis perkalian skalar dua vektor dapat
ditentukan
dengan rumus
a . b = |a|.|b| cos θ
|a| = besar vektor a
|b| = besar vektor b
θ = sudut antara vektor a dan b.
8
DOT PRODUCT
 Perkalian dot product :
A•B = |A||B| cos θ
 Diketahui :
|A|= 5
|B| = 4
θ = 30˚
A•B = 5*4 cos 30 = 20 ( 1
2
9
3
)=
10 3
Contoh
Diketahui vektor A = 2î + 5ĵ + 4k̂ dan B = î + 2ĵ − 3k̂.
Sudut antara A dan B adalah
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
A.B = |A|.|B| cos θ
(2î + 5ĵ + 4k̂)(î + 2ĵ − 3k̂) = |A|.|B| cos θ
2(1) + 5(2) + (4)(-3) = |A|.|B| cos θ
2 + 10 − 12 = |A|.|B| cos θ
0 = |A|.|B| cos θ
cos θ
=0
θ = 90o
CROSS PRODUCT
 Perkalian silang (cross product) disebut juga sebagai
perkalian vektor (vektor product), karena perkalian ini
akan menghasilkan vektor lain.
 Perkalian vektor antara A dan B dinyatakan dengan
A x B.
11
Vektor Product (Cross Product)
 Dalam bentuk komponen vektor
v
v  [v1 , v2 , v3 ]
b
 [ a2b3  a3b2 , a3b1  a1b3 , a1b2  a2b1 ]

a
Utk mengingat rumus di atas (ingat rumus determinan matrik)
3
i  j    ijk k
i
a  b  a1
b1
j
a2
b2
k
a3
b3
i
a  b  a1
b1
j
a2
b2
k i
j
a3 a1 b2
b3 b1 b2
k 1
 ijk  1 if ijk  123,231,312
 ijk  1 if ijk  321,132,213
 ijk  0 if any two indices are alike
Sehingga:
v1=a2.b3 1- a3.b2
v2=a3.b1 2– a1.b3
v3=a1b2 – a2.b1
CROSS PRODUCT
 Diketahui :
A = [1,2,3]
B = [4,5,6]
i j k
1 2 3
4 5 6
AxB = 12i+12j+5k-8k-15i-6j = -3i+6j-3k
AxB = [-3 6 -3]
13
Jika dua vektor A dan B dinyatakan dengan :
A = 2î + 2ĵ − 3k̂, dan B = -2î + 3ĵ − 4k̂.
Buktikanlah bahwa A x B = -B x A.
A x B = -B x A
⇒ i + 14j + 10k = -(-i − 14j − 10k)
⇒ i + 14j + 10k = i + 14j + 10k (Terbukti).
CROSS PRODUCT
 Diketahui :
A = [3,5,1]
B = [2,-3,1]
 Ditanya :
1. A•B
2. B•A
3. A x B
4. B x A
15