Kalkulus – Vektor

Kalkulus 2
Vektor
ARI KUSYANTI
Besaran dan Satuan
 Besaran Pokok
 Besaran Turunan
 Besaran Skalar
 Besaran Vektor
Besaran Pokok
 Panjang
 Waktu
 Suhu
 Masa
 Intensitas Cahaya
 Arus
 Jumlah Zat
Simbol
o
o
o
Vektor digambarkan dengan suatu anak panah
Panjang anak panah menunjukkan besar vektor
Arah anak panah menunjukkan arah vektor
Notasi
o
o
Vektor sebagai bilangan pasangan dapat dituliskan
sebagai :
a
u = (a,b)
u   
b
a = komponen mendatar
b = komponen vertikal
Vektor sebagai kombinasi vektor satuan i dan j
u = ai+bj
Komponen Vektor
Kesamaan Vektor
o
Dua buah vektor dikatakan sama apabila keduanya
memiliki panjang dan arah yang sama
Misal
u = (a,b) dan v = (c,d)
o
Apabila vektor u sama dengan vektor v maka :



|u | = |v |
arah u = arah v
a=c dan b=d
a. Dua vektor sama jika arah dan besarnya sama
A
B
A=B
b. Dua vektor dikatakan tidak sama jika:
1. Besar sama, arah berbeda
A
B
A
B
A
B
A
B
2. Besar tidak sama, arah sama
A
3. Besar dan arahnya berbeda
A
B
B
Penjumlahan
Segitiga
Jajaran Genjang
Penjumlahan


Jika diketahui :
maka :
a
c


u
dan
v

b
d 

 
 
a  c   a  c 

u  v        
b   d  b  d 
Panjang u+v dapat dihitung :
| u  v | (a  c) 2  (b  d ) 2
Selisih

Selisih dua vektor u dan v ditulis u – v didefinisikan
sebagai u + (-v)
Selisih

Jika diketahui :
a
c


u
dan
v

b
d 

 
 

maka :
a   c   a  c 
  

u  v  u  (v)     
 b    d  b  d 
Panjang u-v dapat dihitung :
| u  v | (a  c) 2  (b  d ) 2
Selisih
Sifat Operasi
o Apabila terdapat dua buah vektor yaitu vektor a dan
vektor b maka berlaku sifat-sifat penjumlahan dan
pengurangan vektor seperti :
a+b=b+a
(a+b)+c = a + (b + c)
1a=a
0+a=a
a-a = 0
a – b = a + (-b)
(bersifat komutatif)
(bersifat asosiatif)
(0 merupakan vektor nol)
Perkalian
1. Perkalian Skalar dengan Vektor
2. Perkalian vektor dengan Vektor
a. Perkalian Titik (Dot Product)
b. Perkalian Silang (Cross Product)
Perkalian Vektor dengan Skalar
Perkalian Skalar dengan Vektor menghasilkan sebuah Vektor
v=ku
k : Skalar
u : Vektor
Vektor v merupakan hasil perkalian antara skalar k dengan
vektor u
 Jika k positif (k>0) arah v searah dengan u
 Jika k negatif (k<0) arah v berlawanan dengan u
v = 3u
u
Contoh :
k = 3,
v = -3u
u
k = -3,
Perkalian Vektor dengan Skalar
a
Jika u    dan k bilangan real ,
b
 a   ka 
maka : ku  k     
 b   kb 
Contoh Soal :
Diketahui
:
Hitunglah
: 3u
Jawab
:
 2 
u
  3



 2   6 
3u  3
  3
 
  9


 

Latihan
Diketahui
:
  2
 10 



u
, v



1

2




Hitunglah
1.
-4u
2.
5v
3.
2u + 4v
4.
5u– v
:
Sifat Operasi

Diketahui k dan p merupakan bilangan skalar .
- Jika k = 0 maka ku = 0
- k(p u) = (kp)u = u(kp)
- (k+p)u = ku+pu
(bersifat distributif)
- k(u+v) = ku+kv
(bersifat distributif)
- u + (-1) v = u - v
Dot Product


Perkalian dot atau titik disebut juga perkalian skalar (scalar
product). Hal itu dikarenakan perkalian tersebut akan
menghasilkan
skalar
meskipun
kedua
pengalinya
merupakan vektor.
Perkalian skalar dari dua vektor A dan B dinyatakan dengan
A•B, karena notasi ini maka perkalian tersebut dinamakan
juga sebagai perkalian titik (dot product).
Dot Product

Perkalian dot product :
A•B = |A||B| cos θ

Dalam bentuk komponen vektor, bila A = [a1,a2,a3] dan B =
[b1,b2,b3], maka :
A•B = a1b1 + a2b2+ a3b3

Diketahui :
A = [1,2,3]
B = [4,5,6]
A•B = (1x4) + (2x5)+(3x6) = 4 + 10 + 18 = 32

Perkalian dot product :
A•B = |A||B| cos θ

Diketahui :
|A|= 5
|B| = 4
θ = 30˚
A•B = 5*4 cos 30 = 20 (1
2
3
)=
10 3
Cross Product
o Perkalian silang (cross product) disebut juga sebagai
perkalian vektor (vektor product), karena perkalian ini
akan menghasilkan vektor lain.
o Perkalian vektor antara A dan B dinyatakan dengan
A x B.
Cross Product

Diketahui :
A = [1,2,3]
B = [4,5,6]
i
j k
1 2 3
4 5 6
AxB = 12i+12j+5k-8k-15i-6j = -3i+6j-3k
AxB = [-3 6 -3]
Latihan








Diketahui :
A = [3,5,1]
B = [2,-3,1]
Ditanya :
1.
A•B
2.
B•A
3.
Ax B
4.
BxA