bab 5 RUANG BAGIAN

25
BAB 5
RUANG BAGIAN
5.1 KONSEP – KONSEP TOPOLOGI
Definisi 5.1
Diberikan (X,) adalah suatu ruang topologi pada X dan A  X
Diberikan  A = {G  A  G   } Maka A adalah suatu topologi pada A dan disebut topologi
relatif pada A. Ruang topologi (A, A ) dinamakan ruang bagian dari (X, ) Akan ditunjukan
bahwa A memenuhi kondisi
C1 .
Jelas bahwa    A dan A = X  A.
Karena    danv X   maka   A dan A  A.
C2.
Sekarang ambil bahwa U  A dan V  A
Maka terdapat G   dan H   sedemikian hingga
U=GA
Dari sini :
dan
V=HA
U  V = G  A  H  A.
= ( G  H )  A.
Karena G  H   maka jelas bahwa U  V  A.
C3 .
Ambil { Ui } I  I adalah klas dari anggota-anggota A.
Untuk setiap i  I. terdapat Gi   sedemikian sehingga Ui = Gi  A.
Dari sini  Ui =  ( Gi  A )
i 1
i 1
= (  Gi )  A
i 1
Karena  Gi   maka  Ui   A
i 1
i 1
Denganm demikian jelac C3 dipenuhi yaitu jika { Ui }i l adalah klas dari anggota-anggota A.
Maka  UI  A.
i 1
Contoh 5.1
1. Diberikan  = { , X, { b }, { a, b}, {b, c}} adalah topologi [ada X= Ambil A = {a ,b}
Maka untuk
G =  ==>   A = 
G = X ==> X  A ={a ,b}
G = { b } ==> { b }  A = { b }
G = { a, b } ==> { a, b }  A = { a, b }
G = { b, c } ==> { b, c }  A = { b }
Dari sini A = {  , { b }, { a, b }}. Adalah topologi pada A = {a, b }.
Ruang Bagian
Pengantar Topologi
26
Dan ( A, A ) adalah ruang bagian dari ( X,  )
5.1 BASIS UNTUK SUATU TOPOLOGI
Definisi 5.2
Diberikan ( X,  ) adalah ruang topologi dan B  P ( X ) . suatu klas himpunan B  
merupakan basis untuk Topologi  jika anggota dari  ( yaitu setiap himpunan terbuka dari X )
merupakan union (gabungan) dari sebarang anggota-anggota dari B .
Jadi jika B adalah basis untuk topologi  dan G   maka untuk setiap x  G terdapat BX  B
Sedemikian sehingga x  BX  G .
Contoh 5.2.
1. Diberikan  = { , X, {b}, {c},{b,c}, {a,b,c}, {b,c,d}}
adalah topologi pada X = {a, b,c,d}.
Jika B = {{b},{c], {a,b,c}, {b,c,d},} maka B merupakan basis untuk topologi  karena
setiap anggota dari  merupakan gabungan dari jumlah anggota B. ini dapat ditunjukan
demikan.

{ b }  { c } = { b,c }  

{ a, b, c }  { b, c,d } = { a,b,c,d }  

Untuk anggota  yang lain sudah jelas
2. Diberikan D = P (X) anggota tipologi diskrit pada X = {a,b,c }
Bila BI = {{ a }, {b }, { c }} maka BI merupakan basis untuk topologi diskrit D itu
Tetapi bila B2 = {{ a,},{b},{c}} maka B2 bukan merupakan basis untuk topologi diskrit D
karena terdapat anggota dari D (yaitu {b,c}} yang bukan merupakan gabungan dari anggotaanggota B2.
3. Diberikan B adalah koleksi interval terbuka pada garis bilangan riil R. yaitu B= {(a,b),  a,b
 R, a < b}, dimana (a,b) = {x R  A< x < b}. R adalah himpunan bilangan riil. Maka B
merupakan basis untuk topologi usual U pada garis bilangan riil R.
Karena setiap bilangan riil r  R pasti terletak pada suatu interval terbuka.
Sehingga R merupakan gabungan ( union ) dari anggota-anggota B.
Selanjutnya interseksi ( irisan ) dua interval terbuka sebarang anggota B adalah kosong atau
interval terbuka lagi, yang berarti bahwa juga merupakan anggota B.
Jadi jika U adalah koleksi interval terbuka ( a, b ), yang merupakan gabungan ( union )
anggota-anggota B maka U adalah suatu topologi pada R.
Ruang Bagian
Pengantar Topologi
27
Dengan kata lain, B merupakan basis untuk topologi U yang selanjutnya U disebut topologi
usual pada garis bilangan riil R.
syarat perlu dan cukup agar B  P ( X ) adalah basis untuk topologi  pada X diberikan oleh
teorema berikut ini :
Teorema 5.1.
Diberikan X   dan B  P ( X )
B adalah basis untuk topologi  pada X jika dan hanya jika
1. X =  { B  B  B }
2. Untuk setiap BI , B2  B ; jika x  B1  B2 maka terdapat BX  B sedemikian sehingga
x  BX  B1  B2.
Bukti :
1. (==>) Misalnya bahwa B adalah basis untuk topologi  dan X.
Karena menurut kondisi C1 dari definisi 2.1.1., X   maka X merupakan gabungan
dari anggota-anggota B.
Yang berarti bahwa X =  { B  B  B }
2. Jika B1 , B2  B maka B1, B2  .
Dan menurut definisi 2.1.1. maka B1  B2   .karena B adalah basis topologi  maka
B1  B2 merupakan gabungan dari anggota-anggota B. selanjutnya jika x  B1  B2
maka terdapat BX  B sedemikaian sehingga x  BX  B1  B2.
Misalnya kondisi 1 dan 2 dipenuhi :
Akan dibuktikan bahwa terdapat topologi  sedemikian sehingga B merupakan basis
untuk topologi . Diberikan  adalah koleksi yang terdiri dari  dan semua himpunan
bagian dari X yang dapat di nyatakan sebagai gabungan dari anggota –anggota B.
yang berarti bahwa setiap anggota dari  merupakan gabungan dari anggota – anggota
B.
Jika  adalah topologi pada X maka B merupakan basis bagi topologi . Sehingga akan
ditunjukkan bahwa  adalah topologi pada X
C1. Menurut kondisi 1., X =  B  B  B .
Dari sini jelas dipenuhi bahwa X  dan   
C2. Untuk menunjukkan bahwa kondisi
C2 Ddipenuhi, hanya perlu di tunjukkan
bahwa irisan dari dua anggota  adalah dapat di nyatakan sebagai gabungan dari
anggota-anggota B. Diberikan G1 , G2 ,   dan x  G1  G2. Maka terdapat B1, B2 
B dengan x  B1  G1 dan x  B2  G2.Yang berarti bahwa x  B1  B2  G1  G2.
Menurut kondisi 2, maka terdapat BX  B sedemikian sehingga x  BX  B1  B2 
Ruang Bagian
Pengantar Topologi
28
G1  G2. Dengan demikian G1  G2 dapat di nyatakan sebagai gabungan dari anggotaanggota B.
Yang berarti bahwa G1  G2  .
C3. Diberikan  Gi i  I dengan Gi  
Menurut definisi dari basis untuk suatu topologi. Maka untuk setiap i  I, Gi
merupakan gabungan dari anggota-anggota B.
Sehingga  Gi juga merupakan gabungan dari anggota-anggota B. yang berarti
bahwa  Gi  
Jadi jika  Gi  i I , Gi   maka  Gi  
Karena C1, C2, C3, dipenuhi maka iI terbukti bahwa  merupakan topolodi pada X.
Jadi teorema tersebut telah terbukti dengan lengkap.
Contoh 5.3.
1. Diberikan  =  , X, b, c, b, c, a, b, c, b, c, d
adalah topologi pada X = a,b,c,d.
Bila B =  b ,  c ,  a,b,c ,  b,c,d  maka B merupakan basis untuk topologi  pada X
Dengan menggunakkan teorema 2.5.1. akan ditunjukkan bahwa kiondisi 1 dan kondisi 2
dipenuhi.
Kondisi 1.
X =  b    c    a, b, c    b, c, d .
=  a, b, c, d .
Kondisi 2
Untuk B1 =  a, b, c , B2 = b, c, d .
Karena b  { a, b, c }  { b, c, d } maka terdapat { b }  B sedemikian sehingga b  { b }
 { a, b, c }  { b, c, d }.
Untuk B2 = { c }, B2 = { a, b, c}
Karena C  {c}  { a, b, c } maka terdapat { e }  B sedemikian sehingga C  {c}  {c}
 {a, b, c}
Untuk B1 = {b}, B2 = {a, b, c}.
Karena C  {b}  { a, b, c } maka terdapat { b }  B sedemikian sehingga b  {b}  {b}
 {a, b, c}
Untuk B1 = {b, c}, B2 = {a, b, c}
Karena b  {b, c}  { a, b, c } maka terdapat { b, c }  B sedemikian sehingga b  {b, c}
 {b, c}  {a, b, c}
Ruang Bagian
Pengantar Topologi
29
1. Diberikan B1 merupakan koleksi interval terbuka tertutup pada garis bilangan riil R, yaitu
B1 = {(a, b]  a, b  R, a < b }. Dimana (a, b] = { x  R  a < x < b }, R adalah himpunan
bilangan riil. Karena setiap bilangan riil r  R terletak pada suatu interval terbuka tertutup
dari B1. Maka R merupakan gabungan (union) dan anggota-anggota B1. Selanjutnya irisan
(interseksi) dari dua interval terbuka tertutup adalah kosong atau merupakan suatu interval
terbuka tertutup lagi.
Yang berarti juga anggota dari B1. Menurut teorema 2.5.1., jika A merupakan koleksi
interval terbuka tertutup (a, b] maka A merupakan suatu topologi pada R.
Dengan kata lain, B1 merupakan basis untuk topologi A. dan topologi ini dinamakan
topologi limit atas (upper limit topology) pada R.
2. Secara sama, bila B2 = {[a, b)  a, b  R, a < b} yaitu koleksi interval tertutup terbuka
pada garis bilangan riil R., dimana [ a, b ) = { x  R  a < x < b }.
Maka B2 merupakan suatu basis untuk topologi L pada R dan topologi ini dinamakan
topologi limit bawah (lower limit topologi) pada R.
3. Bila B3 = {(a, b) a, b  R, a < b} yaitu koleksi interval terbuka pada garis bilangan riil
R., dimana (a, b) – {x  R  a < x < b}.
Maka B3 merupakan basis untuk topologi usual U pada garis bilangan riil R.
4. Beitu juga, bila B4 adalah koleksi dari disc terbuka maka B4 merupakan basis untuk
topologi usual U pada bidang R2.
Demikian juga2 bila B5 adalah koleksi dari segi empat terbuka pada bidang R2 maka B5
juga merupakan basis untuk topologi usual U pada bidang R2.
Teorema 5.3
Jika B1 merupakan suatu basis untuk topologi  pada X dan B2 merupakan koleksi dari
himpunan terbuka pada X1 dimana B1  B2 maka B2 adalah juga merupakan basis bagi topologi
.
Bukti :
Misalnya G adalah himpunan bagian terbuka dari X. karena B1 merupakan suatu basis untuk
topologi  pada X maka G merupakan gabungan dari anggota-anggota B1
Yang berarti bahwa G =  B1 dimana B1  B1
i 1
Tetapi karena B1  B2 maka berlaku untuk setiap Bi  B1 juga merupakan anggota dari B2
Yang berarti bahwa G adalah merupakan gabungan dari anggota-anggota B2.
Dengan demikian B2 merupakan basis untuk topologi  pada X juga.
Ruang Bagian
Pengantar Topologi
30
Berdasarkan teorema 5.3 ini, dapat diambil kesimpulan bahwa basis untuk suatu topologi
adalah tidak tunggal.
Contoh 5.4.
1. Bila B1 = {{ a, b, c, d }, { a, c, d }, { a, d }, { d, e }, {d}, {e}}.
Maka 1 = { , X, { a, b, c, d }, { a, c, d }, { a, d }, { d, e }, {d}, {e}, {a, c, d, e}, {a, d,
e}}.
Adalah topologi pada X = {a, b, c, d, e}
Sekarang bila B2 = { X, {a, b, c, d}, {a, c, d}, {a, d, e}, {d}, {a, d}, (d, e}, {e}, {d, e}}
maka
2
={, X, {a, b, c, d}, {a, c, d, e}, {a, c, d}, {a, d, e }, {a, d}, (d, e}, {d},
{e}}.
Adalah topologi pada X = {a, b, c, d, e}.
Dari sini jelas terlihat bahwa B1  B2 dan 1 = 2.
Dengan demikian B1 dan B2 merupakan basis-basis untuk topologi yang sama.
5.2
Subbasis Untuk Suatu Topologi
Definisi 5.2
Diberikan (Xm ) adalah ruang topologi pada X dan Y  P (X). suatu klas himpunan Y  P (X)
merupakan subbasis untuk topologi  jika setiap anggota  (himpunan terbuka) merupakan
gabungan dari irisan berhingga anggota-anggota Y.
Dengan kata lain, Y merupakan subbasis untuk topologi  jika koleksi irisan berhingga dari
anggota-anggota Y merupakan basis untuk topologi .
Contoh 5.5
1. Misalnya X = { a, b, c }
Y = {{a}, {a, c}}
Maka
B = {{a}, {a, c}, X}
X  B karena X = I { Si  Y  I  }.
Dari sini dapat dibentuk suatu topologi pada X sebagai berikut :
 = {, {a}, {a, c}, X}
   karena  = I { Bi  B}  I  }.
2. Koleksi (I, Ib}, dengan Ia = { x  R  x > a, a  R} dan Ib = {x  R  x < b, b  R}
merupakan subbasis untuk topologi usual U pada garis bilangan riil R.
Karena Ia  Ib
Ruang Bagian
= (a, b)
Pengantar Topologi
31
= {x  R  a < x < b, a, b  R} dan bahwa
B = {(a, b)  a, b  R, a < b} merupakan basis untuk topologi usual U pada garis
bilangan riil R.
a. Irisan dari strip terbuka tak terhingga vertical dan strip terbuka tak terhingga
horizontal dalm bidang R2 merupakan segiempat terbuka seperti terlihat dalam
gambar. Karena segiempat terbuka adalah merupakan basis untuk topologi usual U
pada bidang R2 maka koleksi dari strip terbuka tak terhingga verikal dan horizontal
adalah subbasis untuk topologi usual U pada bidang R2.
Teorema 5.4.
Suatu klas A  P ( X ) pasti merupakan subbasis untuk suatu topologi  pada X
Bukti :
Teorema ini mengadung pengertian bahwa irisan berhingga dari anggoata-anggota A
membentuk suatu basis untuk topologi  pada X.
Oleh karena itu untuk membuktikan teorema ini, akan ditunjukan bahwa klas B dari irisan
berhingga anggota-anggota A memenuhi dua kondisi dari teorema 5.4.
1. Jelas dipenuhi karena menurut definisi yaitu
X = I {Ai  A  I   }, sehingga X =  {B  B  B }.
2. Jika B1, B2  B maka B1 dan B2 merupakan irisan berhingga dari anggota-anggota A. dari
sini B1  B2 juga merupakan irisan berhingga dari anggota-anggota A.
Dengan demikian B1  B2 merupakan anggota dari B Yang berarti bahwa B1  B2
merupakan anggota dari 
Dari sini terlihat jelas bahwa suatu B1, B2  B maka B1  B2 merupakan gabungan dari
anggota-anggota B.
Dengan demikian, B merupakan basis untuk topologi  pada X, untuk mana A sebagai
subbasis.
Ruang Bagian
Pengantar Topologi
32
Contoh 5.6
1. Diberikan X = {a, b, c, d, e } dan
A = {{ a, b, c}, {c, d}, {d, e}, {e}}.
Tentukan topologi  pada X yang dihasilkan oleh A
Penyelesaian :
Pertama kali dibentuk B yaitu klas dari semua irisan berhingga dari anggota-anggota A.
B = {X, {a, b, c}, {e, d}, {d, e}, {c}, {d}, }.
(X  B karena X = I (Ai  A  i  )).
Selanjutnya dibentuk  adalah klas dari anggota-anggota B
 = {X, {a, b, c}, {c, d}, {d, e}, {c}, {d}, , {a, b, c, d}, {c, d, e}}
Topologi  pda X = {a, b, c, d, e} adalah topologi yang dihasilkan oleh A.
2. Diberikan A merupakan klas dari semua setengah bidang terbuka H pada bidang R2 yaitu :
H = {<x, y >  a < x, x < b, c < y, y < d}
Dari A dibentuk A yaitu dengan membuat irisan keempat setengah terbuka (H1, H2, H3,
H4). Yang berarti bahwa setiap segiempat terbuka merupakan irisan keempat setengah
bidang terbuka, yaitu B = { <x, y>  a < x < b, c < y < d }.
Seperti terlihat dalam gambar berikut :
Ruang Bagian
Pengantar Topologi
33
Karena klas dari semua segiempat terbuka B adalah suatu basis untuk topologi usual
pada bidang R2 maka klas A merupakan subbasis untuk topologi usual U pada bidang
R2 yang berarti bahwa A menghasilkan topologi usual U pada bidang R2.
Berdasarkan teorema 5.4.1. diatas, dapat disimpulkan bahwa subbasis dari suatu topologi
adalah tidak tunggal. Hal dilihat pada contoh berikut ini :
Contoh 5.7
Diberikan
X = {a, b, c, d, e }
Misalnya
J1 = {{a, b, c, d{, {a, c, d}, {a, d}, {d, e}, {e}, X}.
J2 = {X, {a, b, c, d}, {a, c, d}, {a, d}, {d, e}, {d}, {e}, }.
Maka dapat dibentuk basis-basis untuk topologi yaitu :
B1
= {X, {a, b, c, d{, {a, c, d}, {a, d}, {d, e}, {d}, {e}, }.
B2
= {X, {a, b, c, d{, {a, c, d}, {a, d}, {d, e}, {d}, {e}, }.
Karena B1 = B2 maka dapat dibentuk suatu topologi pada X uang dihasilkan oleh J1 dan J2

= {X, {a, b, c, d{, {a, c, d}, {a, c, d,e}, {a, d, e}, {a, d}, {d, e}, {d}, {e}, }.
Ruang Bagian
Pengantar Topologi