Mekanika Analitik

Mekanika Analitik
Muhammad Farchani Rosyid
1/22/2013
Kelompok Penelitian Kosmologi, Astrofisika,
dan Fisika Matematik,
Jurusan Fisika,
Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta
1
”Die Mathematiker sind eine Art Franzosen; redet man
zu ihnen, so übersetzen sie es in ihre eigene Sprache,
und dann ist es alsobald etwas ganz anderes.”
(Johann Wolfgang von Goethe)
(Mathematicians are a kind of Frenchmen. Whenever you say anything or talk
to them, they translate it into their own language, and right away it is
something completely different.)
1/22/2013
2
”Die Geometrie ist eine Wissenschaft, welche im
Wesentlichen so weit fortgeschritten ist, dass alle ihre
Tatsachen bereits durch logische Schlüsse aus früheren
abgeleitet werden können. ...
Nach dem Muster der Geometrie sind nun auch alle
anderen Wissenschaften in ester Linie Mechanik,
hernach aber auch Optik, Elektrizitätstheorie usw. zu
behandeln.”(David Hilbert)
(Geometry is a science which essentially has developed to such a state that all
its facts may be derived by logical deduction from previous ones. ...
Now also all other sciences are to be treated following the model of geometry,
first of all mechanics, but then also optics and electricity theory.)
1/22/2013
Pengantar
1/22/2013
4
Berikut berapa pandangan tentang kaitan antara
fisika dan matematika:
Pertama, pandangan yang paling lunak mendudukkan
matematika hanya sebagai peranti yang memudahkan fisika
dan sebagai bahasa untuk mengungkapkan hukum-hukum
fisika.
(Persamaan bukan segalanya, ada esensi lain dalam suatu
hukum fisika yang tidak dapat dirumuskan secara
matematis)
Semua fisikawan eksperimental dan sebagian
fisikawan teoretis mengambil posisi ini.
Einstein:
”Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit
beziehen, sind sie nicht sicher, und sofern sie sicher sind, beziehen
sie sich nicht auf die Wirklichkeit.”
(If a theorem of mathematics refers to a reality, it
is not rigorous. If it is rigorous, it does not refer to
a reality)
1/22/2013
6
Kedua, adalah pandangan yang mendudukkan matematika
sebagai tujuan, fisika adalah upaya memilih atau membangun
struktur matematik yang cocok untuk menggambarkan pola-pola
keteraturan gejala alamiah.
Jadi, fisika dipahami sebagai upaya menemukan realitas
matematis sebagai model yang mewakili realitas fisis.
Matematika adalah kerangka bagi sebuah teori fisika.
Kenyataan mengajarkan kepada kita bahwa semakin
sempurna sebuah teori dalam fisika, semakin canggih
matematika yang dibutuhkan untuk menjadi kerangka bagi
teori itu.
Ketiga, adalah pandangan radikal bahwa fisika adalah upaya
menemukan matematika alam, yakni matematika yang
mengatur alam semesta ini, keseluruhannya.
Alam semesta ini sebagai bangunan matematis, satu koheren
dengan yang lain dalam kerangka matematika yang sama.
Minggu Pertama

Kilas Balik: Mekanika Newton dan segala
keterbatasannya
Menguasai dan mampu menerapkan Hukum Newton.
Dapat menjelaskan kesulitan-kesulitan yang muncul dalam
penyelesaian masalah-masalah mekanika melalui hukum Newton.
Dapat menjelaskan pentingnya terobosan guna mengatasi
kesulitan-kesulitan itu.
1/22/2013
9

Hukum Newton :

Hukum Pertama :
Setiap benda akan terus berada pada keadaan diam atau
bergerak dengan kelajuan tetap sepanjang garis lurus jika tidak
dipaksa untuk merubah keadaan geraknya itu oleh gaya-gaya
yang bekerja padanya.

Hukum Kedua :
Resultan gaya yang bekerja pada suatu benda mengakibatkan
terjadinya perubahan momentum. Perubahan momentum tiap satu
satuan waktu yang dialami oleh benda itu berbanding lurus dengan
resultan gaya yang bekerja padanya:
𝑑𝐩
𝐅=
𝑑𝑡
1/22/2013
10

Hukum Ketiga :
Apabila suatu benda (sebut benda pertama) mengerjakan gaya
pada benda lain (sebut benda kedua), maka benda kedua akan
melakukan gaya pada benda pertama yang besarnya sama tetapi
arahnya berlawanan dengan gaya yang dikerjakan oleh benda
pertama pada benda kedua.
Gaya aksi dan gaya reaksi tidak pernah bekerja pada benda yang
sama. Gaya reaksi bekerja pada benda yang melakukan gaya aksi.
1/22/2013
11

Karena 𝐩 = 𝑚𝐯, maka
𝑑𝐩
𝑑𝑚
𝐅=
= 𝑚𝐚 +
𝐯
𝑑𝑡
𝑑𝑡

Jika massa benda yang bergerak itu tetap, maka
𝑑𝑚
𝑑𝑡
= 0.
Akibatnya, hukum kedua dapat dituliskan sebagai
𝐅 = 𝑚𝐚

Secara umum benda yang bergerak mengalami
perubahan massa : roket, meteorit, komet, dll.
1/22/2013
12

Hal-hal penting yang harus selalu diperhatikan dalam
penerapan hukum Newton kedua :
Ruas kiri persamaan (1) merupakan jumlahan vektor semua gaya yang
bekerja pada sistem mekanis yang ditinjau. Apabila persamaan (1)
hendak diterapkan hanya pada suatu bagian dari suatu sistem mekanis,
maka lupakanlah gaya-gaya yang tidak bekerja pada bagian itu.
Gaya-gaya yang bekerja pada sistem mekanik sangat bervariasi. Gayagaya itu dapat berupa gaya-gaya konstan. Tetapi, pada umumnya, gayagaya itu bergantung pada posisi dan waktu serta beberapa parameter
yang lain (lihat Fowles mulai hal. 40). Meskipun demikian, semua gaya
yang terlibat dalam mekanika dapat dikembalikan ke empat gaya
mendasar : gaya gravitasi, gaya elektromagnetik, gaya kuat dan gaya
lemah.
1/22/2013
13



Apabila hukum Newton diterapkan pada suatu sistem
mekanis, maka akan diperoleh persamaan gerak.
Jawaban persamaan ini adalah koordinat benda sebagai
fungsi waktu : x(t), y(t), dan z(t). Fungsi-fungsi ini
sangat bergatung pada syarat awal, yakni diketahuinya
posisi dan kecepatan benda pada suatu saat tertentu
(biasanya saat t = 0).
Keterbatasan Hukum Newton:


1/22/2013
dari segi kecepatan
dari segi kompleksitas sistem (munculnya kendala)
14

Kendala:
Mampu menjelaskan konsep kendala dan pengaruhnya pada
masalah-masalah mekanika.
Mampu merumuskan persamaan-persamaan kendala.
Mampu menjelaskan jenis-jenis kendala
Mampu menentukan jenis kendala yang ada pada setiap
masalah mekanika.
1/22/2013
15

Seluruh masalah dalam mekanika secara prinsip dapat
dikembalikan ke persamaan
𝑑 2 𝑥𝑖
𝑑𝑡 2
𝑑 2 𝑦𝑖
𝑑𝑡 2
𝑑 2 𝑧𝑖
𝑑𝑡 2
=
1
𝑚𝑖
𝑖
𝐹
𝑖 𝑥
=
=
+
𝑖𝑗
𝑁
𝑗=1 𝐹𝑥
,
1
𝑚𝑖
𝑖+
𝐹
𝑦
𝑖
𝑖𝑗
𝑁
𝐹
𝑗=1 𝑦
,
1
𝑚𝑖
𝑖
𝑖 𝐹𝑧 +
𝑖𝑗
𝑁
𝐹
𝑗=1 𝑧
.
dengan i,j = 1, 2, 3, ..., N adalah indeks/nomor partikel.
1/22/2013
16


Prosedur penyelesaiannya seolah-olah tampak jelas :
memasukkan komponen-komponen gaya yang terlibat,
mencari jawaban persamaan diferensial dan yang
terakhir menentukan tetapan-tetapan berdasarkan
syarat awal.
Tetapi, tidak semuanya sederhana. Masalah muncul
apabila terdapat kendala-kendala (constraints). Kendalakendala ini membatasi partikel-partikel untuk saling
bebas.
1/22/2013
17

Jenis-jenis kendala :
Kendala Holonomik:
Apabila kendala dapat dituliskan sebagai persamaan-persamaan
yang menghubungkan posisi-posisi partikel dalam bentuk
𝑓𝟏 𝐫1 , 𝐫2 , … , 𝐫𝑁 = 0,
𝑓2 𝐫1 , 𝐫2 , … , 𝐫𝑁 = 0,
.......
𝑓𝑘 𝐫1 , 𝐫2 , … , 𝐫𝑁 = 0,
(2)
maka kendala semacam ini disebut kendala holonomik.
1/22/2013
18


Kendala Nonholonomik adalah kendala yang tidak
holonomik. Artinya, kendala yang tidak dapat dituliskan
sebagai persamaan-persamaan seperti di atas.
Contoh :
 Sebuah benda yang dikukung dalam tangki berbentuk
silinder berjari-jari a dan tinggi h mengalami kendala
x2 + y2 − a2 < 0

dan
0 < z < h.
Sebuah benda yang berada di luar sebuah bola
berjari-jari a2 terkekang oleh kendala yang hanya
dapat dituliskan dalam bentuk ketidaksamaan
x2 + y2 + z2 − a2 ≥ 0.
1/22/2013
19

Koordinat Umum:
Dapat menjelaskan konsep derajat kebebasan.
Dapat menentukan derajat kebebasan terkait dengan suatu
sistem mekanik.
Dapat menjelaskan konsep koordinat umum.
Dapat membangun sistem koordinat umum yang sesuai bagi
suatu sistem mekanik.
Dapat menjelaskan konsep transformasi koordinat.
Dapat merumuskan persamaan-persamaan terkait dengan
transformasi koordinat.
20

Adanya kendala mengakibatkan dua masalah dalam
penyelesaian masalah mekanika :
Pertama, koordinat xi, yi dan zi tidak lagi bebas satu dari yang lain
sehingga persamaan-persamaan (1) tidak bebas satu dari yang lain.
Kedua, adanya gaya kendala yang tidak dapat ditentukan terlebih
dahulu sebab gaya tersebut termasuk ke dalam masalah yang
harus diselesaikan.

Untuk kendala yang holonomik, masalah pertama dapat
diselesaikan dengan memperkenalkan koordinat
umum.
1/22/2013
21


Andaikan sistem mekanis yang ditinjau tersusun atas N
buah partikel. Oleh karena itu diperlukan 3N koordinat
(x1, y1, z1, x2, y2, z2, ..., xi, yi, zi, ..., xN, yN, zN) untuk
menggambarkan konfigurasi sistem (yakni posisi
masing-masing partikel). Hal ini berarti terdapat 3N
derajat kebebasan. Apabila terdapat k buah persamaan
kendala
f1(x1, y1, z1, x2, y2, z2, ..., xi, yi, zi, ..., xN, yN, zN) = 0,
f2(x1, y1, z1, x2, y2, z2, ..., xi, yi, zi, ..., xN, yN, zN) = 0
.............
fk(x1, y1, z1, x2, y2, z2, ..., xi, yi, zi, ..., xN, yN, zN) = 0,
maka derajat kebebasan sistem menyusut menjadi 3N −
k.
1/22/2013
22


Dalam hal ini diperlukan sistem koordinat umum yang
terdiri dari 3N − k koordinat, katakanlah
(q1, q2, ..., q3N − k).
Terdapat transformasi koordinat
r1 = r1(q1, q2, ..., q3N − k)
......
.......
ri = ri(q1, q2, ..., q3N − k)
......
.......
rN = rN(q1, q2, ..., q3N − k).
1/22/2013
(3)
23

Prinsip d’Alembert dan persamaan EulerLagrange:
Mampu menjelaskan konsep pergeseran maya.
Mampu mengkonstruksi pergeseran maya yang konsisten
dengan kendala.
Mampu menjelaskan prinsip usaha maya.
Mampu menerapkan prinsip usaha maya untuk berbagai
masalah statika.
Mampu menjelaskan prinsip d’Alembert.
Mampu menerapkan prinsip d’Alembert.
Mampu menjelaskan bahwa penerapan prinsip d’Alembert
dengan koordinat umum menghasilkan persamaan Eulerlagrange.
1/22/2013
24

Pergeseran Maya


Suatu pergeseran maya suatu sistem adalah
perubahan konfigurasi (posisi atau orientasi) sistem
sebagai akibat pergeseran infinitisimal ri (i = 1,2, ...,
N) yang konsisten dengan gaya-gaya dan kendala
yang bekerja pada sistem itu pada saat t.
Penting : Pergeseran maya terjadi tanpa
membutuhkan waktu.
1/22/2013
25

Prinsip kerja maya pada sistem yang berada dalam
keseimbangan
Fi(a)• ri + fi•ri = 0,

dengan Fi(a) adalah gaya luar total yang bekerja pada
partikel nomor i dan fi adalah gaya kendala yang
bekerja pada partikel nomor i.
Bila sistem yang ditinjau sedemikian rupa sehingga gaya
kendala tegaklurus dengan pergeseran maya yang
mungkin, maka suku kedua persamaan terakhir lenyap.
Jadi,
Fi(a)• ri = 0.
1/22/2013
26


Prinsip d’Alembert
Prinsip d’Alembert merupakan perluasan prinsip usaha
maya dengan menambahkan suku tambahan untuk gaya
total pada tiap partikel menjadi
Fi(a) + fi + pi
sehingga
(Fi(a) + fi + pi) • ri = 0.
1/22/2013
27

Dengan asumsi bahwa gaya kendala selalu tegak lurus
terhadap pergeseran maya, maka didapat
(Fi(a) + pi) • ri = 0.

Karena r1, r2, ..., rN tidak bebas satu dari yang lain
(akibat adanya) kendala, maka tidak serta merta
dapat disimpulkan bahwa
Fi(a) + pi = 0.

Melalui transformasi koordinat (3) masalah ini dapat di
atasi.
1/22/2013
28

Persamaan Lagrange

Melalui transformasi koordinat (3) didapatkan
𝑑 𝜕𝐿
𝜕𝐿
𝑛𝑜𝑛𝑘𝑜𝑛 = 0,
−
−
𝑄
𝛼
𝑑𝑡 𝜕𝑞 𝛼
𝜕𝑞 𝛼
dengan 𝐿 = 𝑇 − 𝑉 tenaga kinetik total sistem dikurangi
energi potensial total sistem dan 𝑄𝛼𝑛𝑜𝑛𝑘𝑜𝑛 gaya umum
yang tak konservatif yang diberikan oleh
𝑄𝛼𝑛𝑜𝑛𝑘𝑜𝑛
=
𝑖
1/22/2013
𝜕𝐫𝐢
𝒂,nonkon
∙
𝐅
.
𝐢
𝛼
𝜕𝑞
29

Penerapan Persamaan Euler-Lagrange:
Mampu menjelaskan perihal persamaan Euler-Lagrange.
Mampu menjelaskan domain persamaan Euler-Lagrange.
Mampu menerapkan persamaan Euler-Lagrange untuk
berbagai masalah mekanika sederhana dengan kendala
holonomik.
Mampu menerapkan persamaan Euler Lagrange untuk
berbagai masalah dengan potensial umum.
Mampu menerapkan persamaan Euler Lagrange untuk
berbagai masalah yang terkait dengan fungsi disipasi.
1/22/2013
30

Contoh :

Bandul Matematis : Sebuah bola bermassa m dan
digantung dengan sebuah batang yang ringan pada
atap sebuah ruangan. Panjang batang penggatunga
itu l. Ujung batang tersambung dengan atap melalui
sebuah engsel sehingga bandul tersebut bebas
mengayun pada bidang vertikal (bidang XY). Gambar
di bawah memperlihatkan posisi bola pada suatu saat
sembarang. Bola mendapatkan kendala
x2 + y2 = l 2
1/22/2013
dan
z = 0.
31

Bandul matematis yang berayun pada manik-manik
yang diuntai pada kawat mendatar : Sebuah manikmanik bermassa m1 diuntai pada kawat lurus datar
sehingga bebas bergerak sepanjang kawat itu.
Sebuah bola bermassa m2 ditempelkan pada ujung
sebuah batang yang ringan. Ujung batang yang lain
ditempelkan pada manik-manik melalui engsel titik
sehingga dapat berayun pada semabarang arah.
Panjang batang l.
1/22/2013
32
Dalam koordinat kartesius tentunya ada enam koordinat
(x1, y1, z1, x2, y2, z2), dengan sumbu z keluar bidang
gambar. Tetapi manik-manik selalu berada pada garis
yang sama, yakni kawat mendatar. Jika pada kawat
mendatar itu ditempelkan sumbu y, maka posisi manikmanik selalu berada pada sumbu y. Oleh karena itu
x1 = 0
1/22/2013
dan
z1 = 0.
33

Prinsip Variasi dan Persamaan Lagrange:
Mampu menjelaskan prinsip Hamilton.
Mampu menerapkan prinsip Hamilton.
Mampu menjelaskan bahwa persamaan Euler-Lagrange dapat
diturunkan dari prinsip Hamilton (prinsip variasi).
Mampu menjelaskan konsep kalkulus variasi (prinsip variasi).
Mampu menerapkan kalkulus variasi (prinsip variasi).
Menjelaskan kelebihan menggunakan prinsip variasi
1/22/2013
34

Perluasan Prinsip Hamilton dan Kesetangkupan
(Simetri) dan Hukum Kelestarian pada Mekanika
Lagrange:
Mampu menjelaskan perluasan prinsip Hamilton untuk sistem
mekanik dengan kendala nonholonomik.
Mampu menyelesaikan masalah mekanika dengan kendala
nonholonomik.
Mampu menjelaskan konsep kesetangkupan dalam mekanika
Lagrange.
Mampu menjelaskan hukum kelestarian dalam mekanika Lagrange.
Mampu menerapkan kesetangkupan dan hukum kelestarian dalam
mekanika Lagrange.
1/22/2013
35

Persamaan Gerak Hamilton:
Mampu menjelaskan konsep ruang fase kecepatan dan ruang fase
momentum.
Mampu mengkonstruksi ruang fase kecepatan dan ruang fase
momentum suatu sistem mekanik.
Mampu menjelaskan transformasi Legendre.
Mampu menerapkan transformasi Legendre.
Mampu menerapkan formulasi Hamilton untuk berbagai masalah
mekanika yang sesuai.
Mampu menjelaskan konsep koordinat siklis dan kaitannya dengan
hukum kelestarian.
Mampu menentukan koordinat siklis dalam berbagai masalah
mekanika
1/22/2013
36

Momentum Umum
Jika L Lagrangan suatu sistem fisis dengan siatem
koordinat umum (q1, q2, ..., q3N − k). Maka besaran p
dengan ( = 1, 2, ..., 3N−1) yang didefiniskan sebagai
𝑝𝛼 ≔
𝜕𝐿
𝜕𝑞 𝛼
disebut momentum umum atau momentum kanonik
pasangan bagi koordinat q.
1/22/2013
37

Transformasi Legendre
Transformasi Legendre adalah transformasi
𝐿↦𝐻≔
𝑞 𝛼 𝑝𝛼 − 𝐿
Fungsi 𝐻 disebut Hamiltonan. 𝐻 tidak lagi bergantung
pada . Fungsi H bergantung pada (q1, q2, ..., q3N − k, p1, p2,
..., p3N − k, t). Hal ini dapat dipahami sebab
𝜕𝐻
𝜕𝑞 𝛼
= 0,
untuk setiap 𝛼
(Buktikan).
Jadi,
H = H(q1, q2, ..., q3N − k, p1, p2, ..., p3N − k, t).
1/22/2013
38

Persamaan gerak Hamilton
Meskipun telah dilakukan transformasi Legendre, masih
akan muncul variable-variabel 𝑞 𝛼 dalam ungkapan
untuk H. Namun ungkapan untuk H dapat segera
dibersihkan dari 𝑞 𝛼 dengan melakukan subtitusi dari
persamaan-persamaan
𝑝𝛼 ≔
𝜕𝐿
𝜕𝑞 𝛼
Persamaan gerak Hamilton diberikan oleh
𝑞𝛼 ≔
𝜕𝐻
𝜕𝑝𝛼
dan
𝑝𝛼 ≔ −
𝜕𝐻
𝜕𝑞𝛼
,
untuk ( = 1, 2, ..., 3N−1). Jadi, akan terdapat 6N − 2
persamaan.
1/22/2013
39

Kalkulus Variasi dan persamaan Hamilton dan
Transformasi Kanonik :
Mampu menjelaskan penurunan persamaan Hamilton dari
prinsip variasi.
Mampu menjelaskan prinsip aksi terkecil.
Mampu menerapkan prinsip aksi terkecil.
Mampu menjelaskan konsep transformasi kanonik.
Mampu menentukan kanonik tidaknya suatu transformasi
1/22/2013
40

Transformasi Kanonik (lanjutan):
Mampu menjelaskan konsep fungsi pembangkit.
Mampu mengkonstruksi fungsi pembangkit.
Mampu mengkonstruksi transformasi kanonik.
Mampu memilih fungsi pembangkit yang sesuai dalam
penyelesaian masalah mekanika.
Mampu menentukan sajian/wakilan matriks suatu transformasi.
Mampu memastikan/menentukan keanggotakan suatu matriks
dalam grup simplektik.
Mampu menjelaskan formulasi simplektik transformasi kanonik.
Mampu menjelaskan peranan kurung. Poisson dan invariansi
kanonik dalam masalah mekanika
1/22/2013
41

Persamaan Gerak dalam formulasi kurung Poisson:
Mampu menjelaskan formulasi persamaan gerak dengan kurung
Poisson.
Mampu menyajikan persamaan gerak suatu sistem mekanik dengan
kurung Poisson.
Mampu menjelaskan kelebihan formulasi persamaan gerak dengan
kurung Poissaon.
Mampu menjabarkan kaitan komponen-komponen momentum
sudut dengan kurung poisson.
Mampu menjelaskan kaitan kurung Poisson dengan dinamika sistem
mekanik.
Mampu menerapkan konsep kesetangkupan dalam penyelesaian
masalah mekanika.
Menjelaskan Teorema Liouville.
1/22/2013
42

Teori Hamilton-Jacobi:
Mampu menjelaskan persamaan Hamilton-Jacobi untuk Funsi
Hamilton Utama.
Mampu menjabarkan persamaan Hamilton-Jacobi.
Mampu menerapkan teori Hamilton Jacobi pada masalah-masalah
mekanika (getaran selaras sebagai contoh).
Mampu menjabarkan persamaan Hamilton-Jacobi untuk fungsi
karakteristik Hamilton.
Mampu menerapkan metode pemisahan peubah pada persamaan
Hamilton-Jacobi.
1/22/2013
43

Terapan mekanika analitik:
Mampu menerapkan mekanika analitik untuk sebuah benda yang
berada dalam medan gaya terpusat.
Mampu menerapkan mekanika analitik untuk masalah dua benda.
Mampu menjelaskan gerak planet-planet, satelit-satelit, dll.
1/22/2013
44

Masalah Dua Benda dan Medan Sentral
Contoh masalah dua benda: Bintang ganda biasa,
Pluto dan pasangannya, sistem Bumi-Bulan, Bintang
Ganda sinar-X, dll.
Dengan memahami orbit bintang ganda, kita dapat mengukur gaya
gravitasi yang bekerja pada masing-masing kedua bintang itu.
Pada akhirnya, kita dapat menentukan massa masing-masing
bintang itu atau rasio massa keduanya.
Jenis-jenis bintang ganda berdasarkan cara pengamatan : bintang
ganda optis, bintang ganda visual, bintang ganda spektral, bintang
ganda gerhana, bintang ganda astrometrik.

Medan Sentral
Ditinjau partikel bermassa m yang berada di bawah
pengaruh medan gaya terpusat:
Momen gaya medan gaya relatif terhadap pusat
koordinat (0,0,0) tersebut lenyap:
N = r × F = 0.
Akibatnya, momentum sudut partikel itu tetap :
L = r × mv= tetapan.

Akibatnya selanjutnya, partikel itu bergerak pada
bidang yang melalui titik pangkal (0,0,0) dan tegak
lurus pada vektor L.

Bidang tersebut ditentukan dari posisi awal dan
kecepatan awal partikel.


Andaikan bidang-xy dipilih sebagai bidang orbit.
Vektor L mengarah ke sumbu-z positif  Lz = L.
Koordinat polar (r, ) :
Komponen momentum sudut sepanjang sumbu-z
diberikan oleh
Apa akibat tetapnya besar momentum sudut partikel?
dS = r2d/2
dS
d
r
O
Teorema : Laju perubahan luas wilayah yang disapu
oleh vektor posisi,
bersifat tetap.
S2
O
S1

Setiap partikel yang berada di bawah
pengaruh medan gaya terpusat selalu terkait
dengan energi potensial V(r) sedemikian rupa
sehingga

Dari hukum kedua Newton didapat
Dengan tenaga potensial V tersebut persamaan Euler-Lagrange
memberikan:
Jika didefinisikan
maka
Energi keseluruhan partikel itu dapat dihitung :
Jika  sebagai fungsi waktu bersifat monoton, maka
 memiliki invers.
Karenanya dari ungkapan tenaga didapatkan
Hubungan antara r dan  (persamaan orbit)
diperoleh dari
dengan r0 = r(0).
Dengan subtitusi r = 1/u ke dalam persamaan
didapat bentuk lain persamaan orbit, yaitu
dan

Potensial Kepler
Energi potensial Kepler diberikan oleh
Potensial efektif diberikan oleh
Dengan mensubtitusikan potensial efektif ke dalam
persamaan orbit, didapatkan
Jawaban persamaan homogen terakhir adalah
Sementara, jawaban khususnya adalah
Jawaban terakhir ini terkait dengan orbit melingkar
dengan jari-jari
dan energi
Oleh karena itu, persamaan orbit, pada akhirnya
diberikan oleh
atau
dengan e  0 disebut eksentrisitas dan ditentukan
oleh
Untuk orbit yang berupa ellips, sumbu panjang dan
sumbu pendek ditentukan dari persamaan
Luas ellips tentu saja sama dengan laju sapuan
vektor posisi partikel dikalikan dengan periode T :
Mengingat
dan
maka didapatkan
atau
(Hukum ketiga Kepler !)
Masalah Dua Benda
m1
r = r2− r1
r1
R
r2
m2
Dengan persamaan gerak untuk masing-masing
benda
Dengan mengurangkan persamaan-persamaan itu
didapat
Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa
Ini berarti bahwa pusat massa bergerak dengan
kecepatan tetap.
Persamaan
dapat dituliskan sebagai
dengan
Terlihat bahwa persamaan gerak tersebut tidak lain
adalah persamaan gerak benda di bawah pengaruh
medan terpusat Kepler
dengan
Jadi, jawabannya adalah
Jika penyelesaiaanya ellips, maka
Diamati dari pusat massa, posisi masing-masing
benda adalah

Terapan mekanika analitik:
Mampu menjelaskan hakekat benda tegar.
Mampu menjelaskan gerak benda tegar.
Mampu menerapkan mekanika analitik dalam bidang-bidang lain:
teknik, kedokteran, dll.
1/22/2013
78

Konsep Benda Tegar


-
-
-
-
Batasan : Benda tegar adalah sebuah benda
sedemikian rupa sehingga jarak antar titik-titik massa
pada benda itu tidak berubah (tetap).
Contoh :
Gas yang berada di dalam sebuah balon mainan bukan
merupakan benda tegar sebab jarak partikel-partikel gas itu satu
dari yang lain berubah-ubah.
Sepotong pipa paralon yang menggelinding (tanpa tergencet)
merupakan benda tegar.
Sistem tata surya kita bukan merupakan benda tegar karena
jarak satu planet dengan planet yang lain maupun jarak masingmasing planet dari matahari selalu berubah-ubah.
Beberapa bola kecil yang dihubungkan dengan batang-batang
yang kukuh (lihat gambar di bawah) merupakan benda tegar.
1/22/2013
79
1/22/2013
80

Pertanyaan :
Apakah bumi kita merupakan benda tegar. Mengapa?
Jelaskan!
Dapatkah sekumpulan partikel-partikel yang
bergerak-gerak dikatakan bukan merupakan benda
tegar?
Perhatikan gambar di bawah ini. Gambar tersebut
memperlihatkan kedudukan sistem tiga partikel pada
saat t1, t2 dan t3 sembarang. Dapatkah sistem tiga
partikel itu dikatakan sebagai benda tegar?
t = t2
t = t1
1/22/2013
t = t3
81

Pusat Massa Benda Tegar
Batasan : Pusat massa sebuah benda tegar adalah
suatu titik dalam ruang yang menjadi posisi
terpusatnya seluruh massa benda tegar itu. Jadi,
pusat massa sebuah benda tegar adalah posisi
sebuah partikel titik yang memiliki massa sebesar
benda tegar itu.
1/22/2013
82

Pertanyaan :
Haruskan pusat massa sebuah benda tegar berada di
dalam benda tegar itu?
Perkirakanlah kedudukan titik pusat massa bendabenda berikut ini.
1/22/2013
83

Rotasi Terhadap Sumbu Tetap
Anda telah belajar tentang gerak lurus, gerak
parabola dan gerak melingkar. Gerak-gerak semacam
itu disebut gerak translasi.
Pada gerak translasi, hal yang menjadi pokok
perhatian adalah posisi dan pergeseran. Benda
dikatakan bergerak bila posisinya berubah. Artinya,
benda itu mengalami pergeseran. Kecepatan
(sesaat), misalnya didefinisikan sebagai pergeseran
posisi tiap satu satuan waktu. Konsep setelah
kecepatan adalah percepatan, yakni perubahan
kecepatan persatusatuan waktu. Gerak kemudian
diklasifikasikan berdasarkan perilaku percepatan ini.
Ada gerak lurus beraturan ada gerak lurus berubah
beraturan, dan lain sebagainya.
1/22/2013
84
Rotasi adalah gerak yang menyangkut
orientasi dan perputaran. Jadi, orientasi
merupakan padanan posisi dan perputaran
adalah padanan pergeseran.
Sumbu rotasi : tempat kedudukan titik-titik
yang tidak bergeming terhadap perubahan
orientasi.
1/22/2013
85
Pengertian Dasar : momen inersia adalah
kelembaman (inersia) untuk gerak rotasi. Jadi, momen
inersia menunjukkan keengganan untuk melakukan
perubahan rotasi.
Penting : Momen inersia bergantung pada sumbu
rotasi yang dipilih.
1/22/2013
86