Pengintegralan Kompleks

Sutoyo, ST., MT
Teknik Elektro
FST Sains dan Teknologi
b

a
f ( z )dz
atau

f ( z )dz
(1)
c
Dinamakan integral garis kompleks atau
disingkat integral garis dari f(z) sepanjang
kurva C, atau integral tertentu dari f(z) dari a
ke b sepanjang kurva C.

Jika P (x,y) dan Q (x,y) adalah fungsi riil dari x
dan y yang kontinue disemua titik c, maka
integral garis riil dari Pdx + Qdy sepanjang
kurva C dapat didiefinisikan :
 Px, y dx  Qx, y dy
c
 Pdx  Qdy
c

Jika f(z) = u(x,y) + jv (x,y) = u + jv , maka
integral garis kompleks pada persamaan (1)
menjadi :
 f ( z=)   (u  idv)(dx  idy
c
c
 udx  vdy i  vdx  udy
c
c
(2)

1.
2.
3.
Jika f(z) dan g(z)
sepanjang C, maka ;
dapat
  f ( z)  g ( z)dz   f ( z)dz   g ( z)dz
c
c
 Af ( z)dz  A f ( z)dz
c
c
b
a
a
b
 f ( z)dz   f ( z)dz
diintegralkan
dimana A konstanta
c
4.
b
m
b
a
a
m
 f ( z)dz   f ( z)dz   f ( z)dz
pada C
5.
dimana a, b, m
 f ( z )dz  ML
c
 f ( z )dz  ML
Dimana
yaitu ML adalah
suatu batas dari
pada C, dan L
f (z )
adalah panjang nya C.
c


T, U, dan V adalah tiga titik yang berurutan
pada kurva, maka :
f ( z )dz    f ( z )dz

C1, dan C2 berturut
Jika C,
– berturut
TUV
VUT
menyatkan kurva dari a ke b, a ke m, dan m
ke b, maka C = C1 + C2 sehingga :

C1  C 2
f ( z )dz 
 f ( z )dz   f ( z )dz
C1
C2

Misalkan z = g ( µ ) adalah suatu fungsi
kontinue dengan peubah kompleks µ = u + jv
, andaikan kurva c di bidang z dikaitkan
dengan kurva c dibidang µ dan turunan g’(µ)
kontinue di c, maka :
 f ( z)dz   f g ( )g ' ( )d
c
c

a.
b.
c.
2
Hitunglah
sepanjang
2
y

x
)
dx

(
3
x

y
)
dy

0,3
Parabola :
Parabola x =2t, y = t2+ 3
Garis lurus dari (0,3) ke (2,3) dan kemudian
dari (2,3) ke (2,4)
Garis lurus dari (0,3) ke (2,4)
2, 4
2. Tentukan
dari z = 0 ke z = 4+2i
z
dz
c c yang diberikan oleh :
sepanjang kurva
a.
b.
z = t2 – it  dz = (2t + i) dt
Garis dari z = 0 ke z = 2i dan kemudian
garis dari z = 2i ke z = 4 + 2i

Untuk menyatakan integral f(z) dalam arah
positif. Jika contoh kasus pada sebuah
lingkaran maka arah positif berlawanan arah
dengan jarum jam, integral ini sering
dinamakan suatu integral countor (integral
lintasan).
 f ( z)dz
c

Misalkan P(x,y) dan Q(x,y) kontinu dan
memiliki turunan parsial kontinu dalam suatu
daerah R dan pada batas C. Teorema Green
menyatakan bahwa :
 Q P 
Pdx

Qdy

c
R    y dxdy

Misalkan F z, z  kontinu dan memiliki turuna
parsial yang kontinu dalam suatu daerah R.
Teorema Green dapat dibuat dalam bentuk
kompleks.
z = z + iy dan
z  x  iy
Dimana dA = dxdy
F
c F ( z, z )dz  2i R z dA
1.
Periksa Teorema green pada bintang,
Dimana C adalah suatu kurva tertutup dari
daerah yang dibatasi oleh
y = x2 dan y2 = x
(
2
xy

x
)
dx

(
x

y
)
dy

2
c
2
Thank U
Wassalam