BAB I. MATRIKS

DAFTAR ISI
BAB I. MATRIKS
BAB II. DETERMINAN
BAB III. INVERS MATRIKS
BAB IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN
BAB I. MATRIKS
Matriks berupa sekelompok bilangan yang disusun empat persegi dan dibatasi tanda




 terdiri dari baris dan kolom

Notasi matriks: Satu huruf besar atau huruf kapital : A, B, C
Contoh:
2 1 3  baris ke-1
A

7 5 4  baris ke-2
↓ ↓ ↓
k1 k2 k3
Bilangan yang menyusun disebut elemen matrik.
Elemen matrik : 2, 5, 7, 1, 3, 4
Ukuran matriks ditunjukkan dengan jumlah baris x jumlah kolom
Secara umum :
 
A  a ij
dimana : aij
i = 1, 2, 3, …, m
j = 1, 2, 3, …, n
m : jumlah baris
n : jumlah kolom
Penulisan :
 a 11
a
A   21
 

a m1
a 12
a 22

a m2
a 13  a 1n 
a 23  a 2n 
   

a m3  a mn 
Macam-macam matrik
1. Matrik Bujur Sangkar
Jika m =n
2 1 
1 2


 2  2
1  2 1 
 2 7 4


2  1 5
 3  3
2. Matrik Segitiga Atas
Jika aij = 0 untuk i > j
1  2 1 
0 7 4 


0 0 5
3. Matrik Segitiga Bawah
Jika aij = 0 untuk setiap i < j
1 0 0 
 2 7 0


2  1 5
4. Matrik Dagonal
Jika aij = 0 untuk i ≠ j
2
1 0 0
0 7 0 


0 0 5
5. Matrik Skalar
Jika aij = 0 untuk i ≠ j dan aij bernilai sama untuk i = j
7 0 0 
0 7 0 


0 0 7 
6. Matrik Satuan (Identitas)
Jika aij = 0 untuk i ≠ j dan aij = 1 untuk i = j
1 0 0
I 3  0 1 0
0 0 1
In = matrik identitas dengan ukuran n x n
OPERASI MATRIKS
1. Kesamaan dua matrik
A = [aij]
B = [bij]
A = B jika aij = bij untuk setiap i dan j dan kedua matrik mempunyai ukuran yang
sama.
2. Penjumlahan
A = [aij]
B = [bij]
C = [cij]
3
A + B = C jika aij + bij = cij untuk setiap i dan j dan kedua matrik mempunyai
ukuran yang sama.
2 3 1  7 8 9   9 11 10
4 5 6  10 11 12  14 16 18

 
 

3. Perkalian
(a) Perkalian dengan bilangan skalar
2 3  8 12 
4


5 7 20 28
α = bilangan skalar
A = [aij]
B = [bij]
B = αA jika bij = α × aij untuk setiap i dan j
(b) Perkalian dua matrik
A = [aij]
B = [bij]
C = [cij]
n
C = A × B jika c ij   a ik  b kj untuk setiap i dan j
k 1
Syarat untuk dilakukan perkalian antar matrik adalah jumlah kolom matrik
pertama = jumlah baris matrik kedua.
 3
2 3 1   31
4 5 6  7  71

  4  
 
A(2×30) B(3×1) C(2×1)
Jika A (m×n), B (p×q) dan p = n maka C (m×q)
4
c11 = a11 · b11 + a12 · b21 + a13 · b31
n
c ij   a ik  b kj ; n adalah jumlah kolom matrik I atau jumlah baris matrik II.
k 1
Cij = ai1 b1j + ai2 b2j + … + ain bnj
k=1
k=2
k=n
 3 1 3 2
2 3 1 
  31 9 19 23

7
2
4
5
 4 5 6 

 

 4 1 1 4 71 20 38 57


Secara umum : AB ≠ BA
4. Matrik transpose
A = [aij]
B = [bij]
B = AT jika bij = aji untuk setiap i dan j
T
2 1 
 2 3
 3 4   1 4 




A
B
b11 = a11; b12 = a21; b21 = a12; b22 = a22
T
1 2 3 
1 4 7 
 4 5 6   2 5 8 




7 8 9
3 6 9
Soal!
Hitunglah:
a. 4A + AB
b. ATB - BI3
c. A2 – I3
Dengan:
5
 1 2 1
A   2 - 1 3
- 3 4 2
dan
1 1 2 
B  2 3 1
1 - 1 5
Penyelesaian:
a.
2 1  1
2
1



4A  AB  4   2  1 3   2  1
 3 4 2  3 4
8
4  6 6
 4

 8
 4 12  3  4
 12 16 8  7 7
 10 14 13 
  11  8 30
 5 23 16 
1  1 1 2 
3  2 3 1 
2 1  1 5
9
18
8 
b.
1
A B  BI 3  2
1
2
 4
9
1
 2
8
T
2
1
3
10
5
8
9
8
9
 3 1 1 2 1 1 2 1 0 0
4   2 3 1  2 3 1  0 1 0
2  1  1 5 1  1 5 0 0 1
 11 1 1 2
23   2 3 1 
15  1  1 5
 13
22 
10 
c.
6
1 2  3 1 2
A  I 3  2  1 4   2  1
1 3
2  1 3
4 9  1 0
2

  9 17 5   0 1
  1  2 13 0 0
4 9
1

  9 16 5 
  1  2 12
2
 3 1 0 0
4   0 1 0
2  0 0 1
0
0
1
7
BAB II
DETERMINAN
Determinan matrik A diberi lambang atau notasi det A atau |A|
Nilai determinan suatu matrik merupakan bilangan skalar.
Determinan didefinisikan pada matriks bujur sangkar.
Cara menghitung nilai determinan:
I. Ukuran 2  2
a b 
A

c d 
Nilai |A| = det A = ad – bc
Contoh:
1 2
3 4  1  4  2  3  2


II. Ukuran 3  3
Perkalian elemen searah diagonal
a b c 
A  d e f 
g h i 
Nilai |A| = det A, dilakukan sebagai berikut:
8
a


d


g
b
c
a
e
f
d
h
i
g
b


e   aei  bfg  cdh - ceg - afh - bdi


h 
Keterangan:
= dijumlahkan
= dikurangkan
Catatan:
Menghitung nilai determinan dengan cara ini hanya berlaku untuk
matrik 3x3, tidak dapat dilakukan bila ukuran 4x4 atau lebih.
SOAL
1 2 3
2 3 4 =?
3 5 7
Penyelesaian:
1 2 3 1 2
2 3 4 2 3  21  24  30  27  20  28  0
3 5 7 3 5
Matrik yang determinannya = 0 disebut matrik singular
1 2 3 
 2 3 4


3 5 7 
Selisih det  0 disebut non singular
9
Sifat determinan:
1. Nilai determinan suatu matriks tidak berubah jika matriks tersebut ditranspose
|AT| = |A|
2. Nilai determinan akan berubah tanda bila salah satu baris atau kolom
dipertukarkan dengan baris atau kolom lain.
2 5 0
3 2 1 3 2 1
3 2 1  2 5 0  1 2 4
1 2 4
1 2 4
2 5 0
3. Nilai determinan akan berubah menjadi k kali jika setiap elemen suatu baris
atau kolom dikalikan dengan k.
2 5 0
72 75 70 2 5 70
3 2 1 7  3
2
1  3 2 7 1
1 2 4
1
2
4
1 2 74
MINOR DAN KOFAKTOR
Minor
Minor dari matrik A  [aij] = Mij
Mij adalah matrik yang berasal dari matrik yang baris ke-I dan kolom ke-j
dihilangkan.
Misal:
 a 11 a 12
A  a 21 a 22
a 31 a 32
a 13 
a 23  ; M12 = ?
a 33 
M12 : dari matrik A, baris ke-1 dan kolom ke-2 dihilangkan.
a 23 
a
M12   21

a 31 a 33 
10
a 12 
a
M 23   11

a 31 a 32 
a
M 31   12
a 22
a 13 
a 23 
Kofaktor
Aij = (-1)i+j |Mij|
Dengan i : nomor baris
j : nomor kolom
Misal:
 a 11 a 12
A  a 21 a 22
a 31 a 32
a 13 
a 23 
a 33 
Maka:
A12  (1)1 2
a 21 a 23
a 31 a 33
 a 21  a 33  a 23  a 31 
 a 23  a 31  a 21  a 33
A31  (1)31
a12
a13
a 22
a 23
 a12  a 23  a13  a 22
Nilai determinan matrik A dapat dihitung dengan menggunakan minor Mij dan
kofaktor Aij

Ekspansi baris pertama atau kedua
11
A  a11A11  a12 A12  a13 A13
A  a21A21  a22 A22  a23 A23

Ekspansi kolom pertama
A  a 12A12  a 22A 22  a 32A 32
CONTOH SOAL
1. Hitung determinan matriks di bawah ini dengan minor dan kofaktor
1 2 3 
 2 3 4


1 5 1 
Penyelesaian:

Cara 1
Mengitung nilai minor dan kofator dilanjutkan dengan ekspansi baris
A 11  
3 4
 17
5 1
A 21  
2 3
 13
5 1
A 31  
2 3
 1
3 4
A  a 11A11  a 21A 21  a 31A 31
 1  (17)  2  13  1  1
8

Cara 2, langsung ekspansi baris ke-3
12
A  1
2 3
3 4
5
1 3
2 4
1
1 2
2 3
 1  10  1
8
2. Hitung determinan dari (4x4)
2
1

2

1
1 3 1
0 2 5
1 1 3

3 0 2
Penyelesaian

2
1

2
1





1 3 1



0 2 5



1 1 3



3 0 2
Ekspansi baris ke-2
1 3 1
2 3 1
2 1 1
2 1 3
A  1  1 1 3  0  2 1 3  2  2 1 3  5  2 1 1
3 0 2
1 0 2
1 3 2
1 3 0
1 3 1 1 3
2 1 1 2 1
2 1 3 2 1
  1 1 3 1 1  2 2 1 3 2 1  5 2 1 1 2 1
3 0 2 3 0
1 3 2 1 3
1 3 0 1 3
 (1  1  2  3  3  3  1  1  3  3  1  2)  2(2  1  2  1  3  1  1  2  3  1  1  1  2  3  3  1  2  2)
 5(1  1  1  3  2  3  3  1  1  2  1  3)
 (2  27  3  6)  2(4  3  6  1  18  4)  5(1  18  3  6)
 20  20  50
 50
3. Hitung determinan dari
13
0
2

1

2
3 1 0
2 1 1 
0 2 3

3 1 2
Penyelesaian:

0
2

1
2






3 1 0



2 1 1



0 2 3



3 1 2
Ekspansi baris ke-1
2 1 1
2 1 1
2 2 1
2 2 1
A  0  0 2 3  3  1 2 3  1 1 0 3  0  1 0 2
3 1 2
2 1 2
2 3 2
2 3 1
2 1 1 2 1
2 2 1 2 2
 3  1 2 3 1 2  1  1 0 3 1 0
2 1 2 2 1
2 3 2 2 3
 3(2  2  2  1  3  2  1  1  1  1  2  2  2  3  1  1  1  2)  1(2  3  2  1  1  3  2  3  3  2  1  2)
 3(8  6  1  4  6  2)  1(12  3  18  4)
 9  7
 16

Ekspansi kolom ke-1
14
2 1 1
3 1 0
3 1 0
3 1 0
A  0  0 2 3  2  0 2 3  1 2 1 1  2  2 1 1
3 1 2
3 1 2
3 1 2
0 2 3
3 1 0 3 1
3 1 0 3 1
3 1 0 3 1
 2  0 2 3 0 2  1  2 1 1 2 1  2  2 1 1 2 1
3 1 2 3 1
3 1 2 3 1
0 2 3 0 2
 2(3  2  2  1  3  3  3  3  1)  (3  1  2  1  1  3  3  1  1  1  2  2)  2(3  1  3  3  1  2  1  2  3)
 2(12  9  9)  (6  3  3  4)  2(9  6  6)
 24  2  6
 16
OPERASI BARIS ATAU KOLOM
Nilai determinan tidak berubah jika salah satu baris / kolom, elemennya ditambah
dengan suatu bilangan skalar dikalikan elemen baris atau kolom yang lain.
Contoh:
1 2 3 
2 3 4 Hitung determinannya!


1 5 7 
Operasi baris: Ob(21)(-2)  elemen baris ke-2 ditambah dengan (-2) kali elemen
baris pertama
Penyelesaian
15
1 2 3
1
2
3
2 3 4  2  (2)  1 3  (2)  2 4  (2)  3
1 5 7
1
5
7
1 2
3
 0 1  2
1 5
7

Dengan determinan biasa
1
2
3
1
2
0 1 2 0 1  [1  (1)  7  2  (2)  1  3  (1)  1  1  (2)  5)
1
5
7
1
5
2

Dengan ekspansi kolom ke-1
1 2
3
1  2
2 3
2 3
0  1  2  1
 0
 1
5
7
5 7
5 7
1 5
7
 (7  10)  (14  15)
2

Dengan Ob (31)(-1) untuk hasil (matrik) Ob (21)(-2)
1 2
3
1
2
3
0 1  2 
0
1
2
1 5
7
(1)  (1)  1 5  (1)  2 7  (1)  3
1 2
3
 0 1  2
0 3
4
16
Penyelesaian:
Dengan ekspansi kolom ke-1
1 2
3
1  2
0  1  2  1
3
4
0 3
4
 1  (4  6)
2
SOAL
0
2
1. 
1

2
3 1 0
2 1 1 
Hitunglah determinannya!
0 2 3

3 1 2
Penyelesaian:
0
2

1

2
3 1 0
2 1 1 
Dengan Operasi kolom: Ok (23)(-3)
0 2 3

3 1 2
0
2

1

2
3  (3)  1 1 0
2  (3)  1 1 1

0  (3)  1 2 3

3  (3)  1 1 2
Jawab:
0 0
2  1

1  6

2 0
1 0
1 1 
2 3

1 2
Dengan ekspansi baris 1
17
2 1 1
2 1 1 2 1
1  1 6 3  1  1 6 3 1 6
2 0 2
2 0 2 2 0
 1  [2  (6)  2  (1)  3  2  1  (6)  2  (1)  1  2]
 24  6  12  2
 16
2. Dari soal contoh setelah Ob (310(-1) dilakukan Ob(32)(3)
3
1 2
0  1  2 


0 3
4 
Penyelesaian:
1
2
3
3

 1 2




0
1
2

  0  1  2 
0  (3)  0 3  3  (1) 4  (3)  (2) 0 0  2
Dengan sifat matrik segitiga atas |A| : elemen diagonal
Maka:
|Matrik di atas| = 1(-1)(-2) = 2
3. Hitunglah determinan dari
3
2

 1

4
2 3 3
4 5 2
dengan Ok (13)(-1) dan Ok(43)(-1)
3 2 4

2 3 2
Penyelesaian
18
 3  (1)  3
 2  (1)  5

 1  (1)  2

 4  (1)  3
2 3 3  (1)  3   0
4 5 2  (1)  5  3

3 2 4  (1)  2  3
 
2 3 2  (1)  3  
2 3 0
4 5  3
3 2 2

2 3  1
Dengan ekspansi baris ke-1
3 5 3
2  3 2
1
3 4 3
2  3  3 3
3 1
1
3 5 3 3 5
2  2  3 2
2 1
1
3 4 3 3 4
2 3 2  3  3 3
3 1 1
3
1
2 3 3
2 1 1
 28
19
2
BAB III
INVERS MATRIKS
A = [aij]
B = [bij]
B dikatakan invers A jika AB = BA = I
Invers matrik A diberi simbol A-1 atau
1
A
Misal:
A=2
B=½
AB = 2 · ½ = 1
BA = ½ ·2 = 1
Ax = B
x = B/A
Ax = B
x = A-1B
Sifat:
1. (A-1)-1 =A
2. (AB)-1 = B-1A-1
Cara menghitung matrik invers
A1 
adjoin A
det A
Adjoin A adalah transpose dari matriks kofaktor A.
20
Contoh:
 2 3  4
Jika A  0  4 2  , maka A-1 = ?
1  1 5 
Jawab:
Menghitung kofaktor
  4 2
A11   
  18
  1 5
2 3 
A 23   
5
1  1
= -4.5 - 2.(-1) = -20 +2 =-18
 3  4
A 31   
  10
 4 2 
0 2 
A12   
2
1 5
 2  4
A 32   
  4
0 2 
0  4
A13   
4
1  1
2 3 
A 33   
  8
0  4
 3  4
A 21   
  11
 1 5 
 2  4
A 22   
  14
1 5 
Menghitung adjoin A:
 A11
Adjoin A  A 21
 A 31
 A11
 A12
 A13
 18
  2
 4
T
A13 
A 22 A 23 
A 32 A 33 
A 21 A 31 
A 22 A 32 
A 23 A 33 
 11  10
14  4 
5
 8 
A12
21
det A  1(-10)  (-1)(-4)  5(-8)
 -10  4 - 40
 - 46
 18  11
1 
A    2
14
46
 4
5
11
 18
46
 46
2
14

  46 5  46
 4  46
 46
-1
 10
 4 
 8 
10 
46
4 
46
8 
46 
Cek!
10  2 3  4
11
 18
 1 0 0
46
46 
 46

14
4   0  4 2   0 1 0   I 3
2
 


46

46
46  





5
8
4
1

1
5
0
0
1
 
  46
 46
46  
Contoh:
1. Berapa matrik invers untuk matrik
1 2
3 4


Jawab:
 4 - 2
adjoint A  

- 3 1 
A11 = 4
A21 = -2
22
A12 = -3
A22 = 1
Det A = -2
Maka:
1  4  2
A 1    
2  3 1 
1 
 2
 3
1 
 2  2 
Cek!
1  1 2 1 0
 2
3


1 
 2  2  3 4 0 1
Rumus sederhana untuk 2x2:
A
1
a b 


c d 

1
1  d  b
ad  bc  c a 
2. Berapa invers matrik dari
1 3 2 
1 4 6 


2 5 7 
Jawaban
1 3 2 
1 4 6 


2 5 7 
1
23
4 6
A11   
  2
5 7 
1 2
A 22   
3
2 7 
4 6
A11   
  2
5 7 
1 3
A 23   
 1
2 5
1 6 
A12   
5
2 7
 3 2
A 31   
  10
4 6
1 4
A13   
  3
2 5
1 2
A 32   
  4
1 6
3 2
A 21   
  11
5 7
1 3
A 33   
 1
1 4
det A = 1(-2) + 3(5) + 2(-3) = 7
maka:
1
 adjoint A
det A
 a 11 a 12
1

 a 21 a 22
det A 
a 31 a 32
A 1 
a 13 
a 23 
a 33 
Maka:
A 1
 2  11 10
1
  3
3 4
7
3 1
1
 8 7  11 7 10 7
 57
37
4 7
3 7 1 7
17
24
Cek!
A-1 A = I
 8 7  11 7 10 7 1 3 2 1 0 0
57
37
4 7  1 4 6  0 1 0
3 7
17
17
2 5 7
0 0 1
3. Berapa invers matrik dari
1 2 3 
B  2 3 4
1 5 7 
Jawaban
1 2 3 
B  2 3 4
1 5 7 
B11 
3 4
1
5 7
B12  
B 22 
1 3
4
1 7
B 23  
B 31 
2 4
 10
1 7
B13 
2 3
7
1 5
B 21  
B 33 
2 3
1
5 7
1 2
 1
2 3
1 2
 3
1 5
2 3
 1
3 4
B 32  
1 3
2
2 4
25
b11
adjoint B  b12
b 21
b 22
b 31
1
b 32   10
b13
b 23
b 33
3 4
 2
2 4
Det A  1 
5 7
1 7
2 3
1 5
 1  20  21
2
1
 adjoint
det B
1
1
1
   10 4
2
7
3
B 1 
12
12
B
1
2
1
1 2
 5
2
1
7 2  3 2 1 2
Cek!
B-1 B = I
12
5
12
2
1 2 1 2 3 1 0 0
1 2 3 4 0 1 0
7 2  3 2 1 2 1 5 7
Metode Operasi Baris
 a 11 a 12
A  a 21 a 22
a 31 a 32
a 13 
a 23 
a 33 
1
2
 3 1
7
 3
1
4
0 0 1
BA
1
 b11 b12
 b 21 b 22
b 31 b 32
A

a
a
12
 11
a 21 a 22

a 31 a 32

b13 
b 23 
b 33 
I3

a 13 1 0 0
a 23 0 1 0

a 33 0 0 1

Dengan operasi baris diupayakan agar terbentuk matrik sebagai berikut
1 0 0 b11 b12
0 1 0 b
b 22
21

0 0 1 b 31 b 32
b13 
b 23 
b 33 
Dengan demikian matrik B = [bij] merupakan invers dari matriks A = [aij]
Contoh:
Hitunglah nilai invers dari matriks berikut


1 2 3 
2 3 4 


1 5 7 


Jawab:
I3
 A

1
2
3
1
0 0

 2 3 4 0 1 0


1 5 7 0 0 1 


Langkah Operasi baris
1. Membentuk matriks segitiga atas.
2. a21 dijadikan nol.
3. Baris ke-2 ditambah dengan (-2) baris ke-1 (baris ke-2 + baris ke-1 kali –2
atau O21(-2))
(i)
27
1


I. O 21 (2) 2  (2)  1I
II. O 31 (1) 1  (1)  1II
2
3  (2).2 I
3
4  (2)  3 I
1
0  (2)  1I
0
1  (2)  0 I
5  (1)  2 II
4  (1)  3 II
0  (1)  1II
0  (1)  0 II
0
0
1
3
1 0 0
1 2
0  1  2  2 1 0 


0 3
4  1 0 1
(ii)
2
1

III. O 2 (1) 0 (1)  (1) III
IV. O 32 (3) 0 3  (3)  (1) IV
3
(2)  (1)  4 III
4   1 2 
IV
1
(2)  (1) III
0
(1)  (1) III
(1)  (3)  (2) IV
0  (3)  (1) IV
0
0
1
1
0 0
1 2 3
0 1 2
2  1 0

0 0  2  7 3 1
(iii)
3
1 2

V. O 23 (1) 0 1 2  (1)  (2) V
VI
VI. O 3 ( 1 2 ) 0 0 (-2)   1 2 
1
2  (1)  (7) V
0
(1)  (1)  3 V
(7)  ( 1 2 ) VI
(3)  ( 1 2 ) VI
0

V
0  (1)(1) 
1( 1 2 ) VI 
0
0 
1 2 3 1
0 1 0  5
2
1 

0 0 1  7 2  3 2  1 2 
(iv)
1 2  (2)  1VII

VII. O 21 (2) 0
1
0
0

3 1  (2)  (5) VII
0
5
1
 72
0  (2)  2 VII
2
 32
0  (2)  1VII 

1


 12

28
1 0 3 11  4  2 
0 1 0  5
2
1 

0 0 1  7 2  3 2  1 2 
(v)
1 0 3  (3)  1VIII 11  (3)( 7 2 ) VIII

VIII. O13 (3) 0 1
0
5
0 0
1
 72

(4)  (3)( 3 2 ) VIII
2
 32
(2)  (3)( 1 2 ) VIII 

1


 12

1
 12
1 0 0 1 2
2
0 1 0  5
2
1 

0 0 1  7 2  3 2  1 2 
SOAL
Hitung matrik invers dari
1 3 2 
1 4 6 


2 5 7 
29
BAB IV
PENYELESAIAN PERSAMAAN
LINEAR SIMULTAN
Persamaan Linear
Persamaan yang memunyai pangkat tertinggi variabel = 1
Contoh:
ax  b  0
(1.1)
ax  by  cz  d
(1.2)
a1 x1  a 2 x 2  ...  a n x n  b
(1.3)
x
: variabel  persamaan 1.1
x, y dan z
: variabel  persamaan 1.2


: koefisien
 persamaan 1.3
: konstanta (ruas kanan) 

x1 , x 2 , , x n : variabel
a1 , a 2 ,  , a n
b
Persamaan Linear Simultan:
Beberapa persamaan linier yang penyelesaiannya harus dilakukan secara
serentak (simultan).
Penulisan persamaan linear simultan secara umum:
a11 x1  a12 x 2    a n x n  b1
a 21 x1  a 22 x 2    a 2n x n  b 2

a n1 x1  a n 2 x 2    a nn x n  b n
30
Dapat ditulis
 a11
a
 21
 

a n1
a12  a1n   x1   b1 
a 22  a 2n   x 2   b 2 


       
    
a n 2  a nn   x n   b n 
AX = B
Keterangan:
A = Matrik koefisien
X = Matrik variabel
B = Matrik konstanta
Macam persamaan linear
AX =B Jika: B = 0  homogen
B ≠ 0  non homogen
Penyelesaian persamaan linear simultan:
Menghitung nilai masing-masing variabel yang memenuhi semua
persamaan yang ada.
Metode penyelesaian:
1. eliminasi dan substitusi
2. cramer
3. invers matrik
4. iterasi
Macam penyelesaian: Jika (det ≠ 0) persamaan mempunyai jawab tunggal.
Jika (det = 0) persamaan bisa mempunyai jawab banyak
atau bisa tidak punya jawab.
CONTOH SOAL
Persamaan linier simultan terdiri dari 2 persamaan dengan 2 variabel
Selesaikan persamaan linier simultan
31
3x + 5 y = 13
x+
y=3
Penyelesaian:
 Eliminasi
3x  5y = 13
x+ y = 3
1
3
3x  5y = 13
3x  3y = 9

2y = 4
y =2
x =1
 Subtitusi
3x  5y = 13
x+ y = 3
 x=3-y
3 (3  y)  5y = 13
9  3y  5y  13
2y  4
y2
x 1
 Cramer : untuk determinan ≠ 0.
3x  5y  13
xy3
3 5  x  13
1 1   y    3 

    
32
13 5
3 1 2
x

1
3 5
2
1 1
3 13
1 3
4
y

2
3 5
2
1 1
 Invers Matrik
Ax = B  x = A-1 B
A 1
 1 5
5 
 1
 1 3 
1  1 5   2  2 



  

3 5
2  1 3   1
3 
2
 2
1 1
5 
 1
 x    2  2  13
 
 y   1
 
3  3
2
 2
 13
15 
2
2


 13

9

2
 2
1 
 
2
Persamaan linier simultan terdiri dari 3 persamaan dengan 3 variabel
1. Selesaikanlah:
2x  5y  2z  7
x  2y  4z  3
3x  4y  6z  5
Eliminasi:
2x  5y  2z  7
1
x  2y  4z  3
2
 2x  5y  2z  7
2x  4y  8z  6


 9y + 10z = 1
....... (iv)
33
x  2y  4z  3
3
3x  4y  6z  5
1
9y  10z  1
 10
10y  6z  4
9
 3x  6y  12z  9
3x  4y  6z  5


10y  6z = 4
....... (v)
 90y  ( 100)z  10
90y  54z  36


46z =  46
z 1
Substitusi nilai z ke dalam persamaan
10y  6z  4
10y  6  1  4
10y  10
y 1
Substitusi nilai z dan y ke dalam persamaan
x  2y  4z  3
x  2 1  4 1  3
x24 3
x5
Jadi penyelesaian persamaan di atas, x = 5; y = 1 dan z = 1.
Contoh beberapa macam penyelesaian:
1. Selesaikan
3x  2y  5
xy2
Penyelesaian
3x  2y  5
1
 3x  2y  5
xy2
2
 2x  2y  4

x 1
y 1
 Jawab tunggal
Dua garis lurus saling berpotongan.
2. Selesaikan
34
2x  3y  7
4x  6y  13
Penyelesaian
2x  3y  7
2
 4x  6y  14
4x  6y  13
1
 4x  6y  13

0x  0y  1
 Tidak punya jawab
Dua garis lurus sejajar.
3.
3x  2y  8
2

6x  4y  16
6x  4y  16
1
 6x  4y  16

0x  0y  0
 Jawab banyak nilai x dan y yang memenuhi.
Dua garis berimpit.
3x  2y  8
x
0
8
3
y
4
0
Maka dimisalkan:
xp
8  3p
y
2
Cramer, syaratnya determinan ≠ 0
3x  2y  5
 det  1
xy2 
2x  3y  7 
 det  0
4x  6y  13
Dalam koordinat x - y, persamaan linear dapat digambarkan sebagai garis
lurus.
Persamaan linear dengan 2 variabel
35
 garis lurus berimpit dengan satu bidang datar
 garis lurus pada koordinat x - y
x
y
x
y
0
5
2
0
2
1
1
1
1
2 
1
2 0
2
Contoh:
1. Selesaikanlah
x  2y  3z  12 

3x  6y  z  42  det  0
y  z  5 
(1) ...
(2) ...
x  2y  3z  12
3x  6y  z  42
3
1
3x  6y  9z  36
3x  6y  z  42

8z  6
z  3
4
36

yz 5
y 3
4
5
y  5 3
 23
4
4
x  2y  3z  12
 4   3   3 4   12
x  2 23
x  23  9  12
2
12
x  11
4
37