topologi - Repository UNIKAMA

TOPOLOGI
Dra. Retno Marsitin, MPd.
TOPOLOGI
 BAB I
SET DAN RELASI
 BAB II
FUNGSI
 BAB III
RUANG TOPOLOGI (TOPOLOGICAL SPACES)
 BAB IV
BASIS & BASIS BAGIAN
 BABV
KONTINUITAS DAN TOPOLOGI EQUIVALEN
 BAB VI
KONTABILITAS
 BAB VII
AKSIOMA PEMISAH
 BAB VIII
KETERHUBUNGAN (CONNECTEDNESS)
 BAB IX
KEKOMPAKAN (COMPACTNESS)
BAB I
SET DAN RELASI
 SET, ELEMEN (UNSUR)
 SUBSET & SUPERSET
 SET UNIVERSAL DAN SET KOSONG
 KELAS, KOLEKSI, FAMILI DAN RUANG
 OPERASI-OPERASI PADA SET
 PRODUK DARI SET-SET
 RELASI
 RELASI EQUIVALEN
 KOMPOSISI DARI RELASI
SET, ELEMEN (UNSUR)
 Pernyataan “𝑝 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝐴” 𝑎𝑡𝑎𝑢 “𝑝 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘 𝑑𝑖 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝐴”
dinotasikan “𝑝 ∈ 𝐴”.
 Negasi dari 𝑝 ∈ 𝐴 ditulis “𝑝 ∉ 𝐴” dan ini berarti “p bukan elemen A atau
p tidak termasuk di dalam A”
 Ada dua cara untuk menyatakan suatu set, yaitu:
Bila mungkin semua anggota ditulis (cara Roster),
misal 𝐴 = 𝑎, 𝑖, 𝑢, 𝑒, 𝑜
Menyatakan suatu set dengan notasi pembentuk set (cara Rule),
misal 𝐵 = 𝑥: 𝑥 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡
Interval pada garis real yang didefinisikan berikut sering muncul dalam
matematika. Berikut ini a dan b bilangan real dengan
:
 Interval buka dari a sampai b
 Interval tutup dari a sampai b
 Interval buka-tutup dari a sampai b
 Interval tutup-buka dari a sampai b
Interval buka-tutup dan tutup buka disebut juga interval setengah buka.
Dua set A dan B disebut sama, ditulis
sama, A. Negasi dari A = B adalah
, bula A dan B mempunyai unsur-unsur
.
Suatu set disebut terhingga (finite), bila set tersebut memuat n unsur (elemen)
yang berbeda, dimana n sebarang bilangan bulat positif, yang lainnya disebut tak
hingga (infinite). Set yang memuat tepat satu anggota disebut set singleton.
SUBSET & SUPERSET
 Definisi:
Dua set A dan B adalah sama bila dan hanya bila
𝐴 ⊂ 𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝐵 ⊂ 𝐴.
Dalam hal 𝐴 ⊂ 𝐵 tetapi 𝐴 ≠ 𝐵, dikatakan bahwa A adalah
subset murni dari B atau B memuat A.
 Teorema I:
Bila A, B dan C sebarang set maka:
𝐴⊂𝐴
𝐵𝑖𝑙𝑎 𝐴 ⊂ 𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝐵 ⊂ 𝐴 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐴 = 𝐵
𝐵𝑖𝑙𝑎 𝐴 ⊂ 𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝐵 ⊂ 𝐶 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐴 ⊂ 𝐶
SET UNIVERSAL DAN SET KOSONG
 Dalam teori set, semua set dibentuk oleh subset-subset dari
suatu set tetap. Set tetap seperti itu disebut set universal atau
semesta pembicaraan dan dinotasikan dengan U. Ada pula set
yang tidak mempunyai anggota dan set ini disebut set kosong
dengan notasi ∅ 𝑎𝑡𝑎𝑢
, yang merupakan set terhingga dan
merupakan subset dari setiap set. Jadi untuk sebarang set A
maka ∅ ⊂ 𝑨 ⊂ 𝑼.
KELAS, KOLEKSI, FAMILI DAN RUANG
 Anggota-anggota dari suatu set adalah set, misalnya tiap-tiap garis di dalam
suatu set dari garis-garis adalah set dari titik-titik. Set yang anggotanya terdiri
dari set-set disebut Kelas, Koleksi atau Famili, misalkan 𝑃 = 𝑎, 𝑏 , 𝑐 bukanlah
kelas karena mengandung elemen c yang bukan set (himpunan).
 Pada umumnya koleksi atau family digunakan untuk member nama dari set
yang anggotanya kelas-kelas. Pengertian subkelas, subkoleksi, dan subfamili
mempunyai arti yang sama dengan subset. Misalkan A adalah suatu set. Set
Kuasa (Power Set) dari A ditulis 𝓟(𝑨) atau 𝟐𝑨 adalah kelas dari semua subset
dari A.
 Umumnya, apabila A terhingga dengan n unsur di dalamnya maka 𝓟(𝑨) = 𝟐𝒏
anggota.
 Kata ruang (spaces) artinya suatu set yang tidak kosong yang anggotanya
beberapa bentuk struktur matematika, seperti ruang vektor, ruang metrik atau
ruang topologi.
OPERASI-OPERASI PADA SET
 Teorema 2:
Hukum-hukum Aljabar set:
Hukum sama kuat:
𝐴∪𝐴 =𝐴 ,
𝐴∩𝐴=𝐴
Hukum Asosiatif:
𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) ,
Hukum Komutatif:
𝐴∪𝐵 = 𝐵∪𝐴 ,𝐴∩𝐵 = 𝐵∩𝐴
𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)
Hukum Distributif: 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐴 ∪ 𝐶 , 𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝐴 ∩ 𝐵 ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)
Hukum Identitas:
𝐴∪∅=𝐴, 𝐴∩𝑈 =𝐴 , 𝐴∪𝑈 =𝑈, 𝐴∩∅=∅
Hukum Komplemen: 𝐴 ∪ 𝐴𝐶 = 𝑈 , 𝐴 ∩ 𝐴𝐶 = ∅ , 𝐴𝐶
Hukum De Morgan:
 Teorema 3:
𝐴∪𝐵
𝐶
𝐶
= 𝐴 , 𝑈 𝐶 = ∅ , ∅𝐶 = 𝑈
= 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐶 , (𝐴 ∩ 𝐵)𝐶 = 𝐴𝐶 ∪ 𝐵𝐶
𝐴 ⊂ 𝐵 bila hanya bila:
𝐴∩𝐵 =𝐴
𝐴∪𝐵 =𝐵
𝐵𝐶 = 𝐴𝐶
𝐴 ∩ 𝐵𝐶 = ∅
𝐵 ∪ 𝐴𝐶 = 𝑈
PRODUK DARI SET-SET
 Misalkan A dan B adalah set-set tertentu. Produk dari set A dan
B ditulis 𝑨𝑿𝑩, memuat semua pasangan terurut (a,b) dengan
𝑎 ∈ 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑏 ∈ 𝐵 𝑦𝑎𝑖𝑡𝑢 𝐴 𝑋 𝐵 =
𝑎, 𝑏 : 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝑏 ∈ 𝐵 .
 Produk suatu set dengan dirinya sendiri, misalkan 𝐴 𝑋 𝐴
dinotasikan dengan 𝐴2 .
 Contoh: 𝐴 = 1,2,3 𝑑𝑎𝑛 𝐵 = 𝑎, 𝑏 , tentukan 𝐴 𝑋 𝐵!
RELASI
Relasi biner (relasi) R dari set A ke set B menentukan tiap pasangan
di dalam
tepat memenuhi satu pernyataan berikut:
 a berelasi dengan b ditulis
&
a tak berrelasi dengan b
ditulis
Suatu relasi dari set A ke set A lagi disebut relasi di dalam A.
Relasi A ke B secara khusus didefinisikan sebagai subset R* dari A
X B sebagai berikut:
, sebaliknya sebarang subset R* dari
A x B didefinisikan sebagai suatu relasi R dari A ke B sbb:
.
Korespondensi antara relasi-relasi R dari A ke B dengan subsetdidefinisikan “Suatu Relasi R dari A ke B adalah
subset dari
subset dari
.
Domain (daerah asal) dari relasi R dari A ke B adalah
set dari koordinat pertama pasangan di dalam R dan
range (daerah hasil) adalah set dari koordinat kedua
di dalam R yaitu:
Domain 𝑅 = 𝑎: 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅
& Range 𝑅 = 𝑏: 𝑎, 𝑏 ∈
RELASI EQUIVALEN
Suatu relasi R di dalam set A yaitu subset dari A X A
disebut
relasi
equivalen
bila
hanya
bila
memenuhi
ketiga aksioma berikut:
a.
Untuk tiap
b.
Bila
c.
Bila
sifat refleksif
sifat simetris
sifat transitif
Secara singkat dapat dikatakan bahwa suatu relasi disebut
relasi
equivalen
bila
dan
hanya
bila
relasi
tersebut
refleksif, simetris dan transitif.
Contoh:

Apakah
relasi
(subset
dari)
didalam
suatu
set
inklusi merupakan relasi equivalen?

Didalam geometri Euclid, kesebangunan segitiga-
segitiga adalah relasi eqiuvalen. Buktikan!
 Bila R suatu relasi equivalen di dalam A maka kelas equivalen dari 𝑎 ∈ 𝐴 𝑑𝑖𝑡𝑢𝑙𝑖𝑠 𝑎 adalah
set dari elemen-elemen yang berrelasi dengan a yaitu: 𝑎 = 𝑥: (𝑎, 𝑥) ∈ 𝑅 .
 Koleksi dari kelas-kelas equivalen dari A ditulis A/R disebut faktor (quotient) A oleh R yaitu
A/R= 𝑎 : 𝑎 ∈ 𝑅 .
 Set faktor A/R memenuhi sifat-sifat berikut:
 Teorema 4.
Misal R adalah relasi equivalen di dalam A dan 𝑎 adalah kelas equivalen dari
𝑎 ∈ 𝐴 maka:
Untuk setiap 𝑎 ∈ 𝐴 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑎 ∈ 𝑎
𝑎 = 𝑏 bila dan hanya bila (a,b) ∈ 𝑅
Bila 𝑎 ≠ 𝑏 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑎 ⋂ 𝑏 = 𝜙
Suatu kelas 𝒜 dari subset-subset tidak kosong dari A disebut partisi dari A bila dan
hanya bila :
Tiap 𝑎 ∈ 𝐴 termasuk anggota dari 𝒜
Anggota-anggota dari 𝒜 sepasang-sepasang saling lepas (disjoint)
 Teorema 5.
Bila R suatu relasi equivalen dalam A maka set faktor (quotient) A/R adalah partisi
dari A.
KOMPOSISI DARI RELASI
 Misal U adalah relasi dari A ke B dan V suatu relasi dari B ke C yaitu 𝑈 ⊂ 𝐴𝑋𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝑉 ⊂
𝐵𝑋𝐶 maka relasi dari A ke C sedemikian hingga untuk sebarang 𝑏 ∈ 𝐵.
𝑎, 𝑏 ∈ 𝑈 𝑑𝑎𝑛 (𝑏, 𝑐) ∈ 𝑉 disebut komposisi dari U dan V ditulis 𝑉 ∘ 𝑈.
Notasi pembentuk set, komposisi dari U dan V ditulis:
𝑉∘𝑈 =
𝑥, 𝑦 : 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐶, 𝑏 ∈ 𝐵, 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑥, 𝑏 ∈ 𝑈, (𝑏, 𝑦) ∈ 𝑉 .
 Contoh:
Misalkan 𝐴 = 1,2,3,4 , 𝐵 = 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤 , 𝐶 = 5,6,7,8
𝑈 = (1, 𝑥), 1, 𝑦 , 2, 𝑥 , 3, 𝑤 , (4, 𝑤) dan 𝑉 =
𝑦, 5 , 𝑦, 6 , 𝑧, 8 , (𝑤, 7)
U adalah relasi dari A ke B dan V adalah relasi dari B ke C.
Gambarkan kedua relasi tersebut dan tentukan 𝑉 ∘ 𝑈!
BAB II
FUNGSI
FUNGSI
FUNGSI SATU-SATU, IDENTITAS & INVERS
KOMPOSISI FUNGSI
SET BERINDEKS
ALJABAR DARI FUNGSI BERNILAI REAL
FUNGSI
 Misalkan tiap-tiap elemen dari set A dipasangkan dengan tepat satu elemen yang unik dari
set B, suatu koleksi f yang memasangkan elemen-elemen tersebut disebut fungsi
𝑓
(mapping/pemetaan) dari A ke B ditulis 𝑓: 𝐴 → 𝐵 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐴→𝐵.
 Elemen yang ada dalam B sebagai pasangan dari 𝑎 ∈ 𝐴 𝑑𝑖𝑡𝑢𝑙𝑖𝑠 𝑓(𝑎) disebut nilai f pada a
atau bayangan (image) dari a di bawah f. Domain (daerah asal) f adalah A dan kodomain
(daerah kawan) dari f adalah B. Tiap-tiap fungsi 𝑓: 𝐴 → 𝐵 berkorespondensi dengan relasi di
dalam A X B dinyatakan oleh (𝑎, 𝑓 𝑎 : 𝑎 ∈ 𝐴 .
 Set tersebut dikatakan sebagai grafik dari f. Daerah hasil dari f (range f) ditulis 𝑓 𝐴 adalah set
dari semua bayangan (peta) dari a oleh f yaitu 𝑓 𝐴 = 𝑓 𝑎 : 𝑎 ∈ 𝐴 .
 Dua fungsi 𝑓: 𝐴 → 𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝑔: 𝐴 → 𝐵 adalah sama ditulis 𝑓 = 𝑔 bila dan hanya bila 𝑓 𝑎 = 𝑔(𝑎)
untuk tiap 𝑎 ∈ 𝐴 yaitu bila dan hanya bila kedua grafik sama.
FUNGSI SATU-SATU, IDENTITAS & INVERS
 Fungsi 𝑓: 𝐴 → 𝐵 disebut satu-satu atau 1 – 1 bila elemen-elemen dalam A mempunyai
peta yang berbeda dalam B yaitu bila: 𝑓 𝑎 = 𝑓 𝑎′ ⟹ 𝑎 = 𝑎′
 Fungsi 𝑓: 𝐴 → 𝐵 disebut onto (kepada) bila tiap 𝑏 ∈ 𝐵 adalah bayangan dari sebarang 𝑎 ∈
𝐴 yaitu bila: 𝑏 ∈ 𝐵 ⟹ 𝑎 ∈ 𝐴 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑓 𝑎 = 𝑏. Jadi bila f onto 𝑓 𝐴 = 𝐵.
 Umumnya, relasi invers 𝑓 −1 dari suatu fungsi 𝑓 ⊂ 𝐴𝑋𝐵 tak perlu merupakan fungsi. Apabila f
suatu fungsi yang onto dan satu-satu maka 𝑓 −1 adalah fungsi dari B kepada A dan 𝑓 −1
disebut fungsi invers.
 Relasi identitas (diagonal) ∆𝐴 ⊂ 𝐴𝑋𝐴 adalah suatu fungsi yang disebut fungsi identitas pada
A. Fungsi identitas dinotasikan oleh 𝐼𝐴 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐼. Dalam hal ini, 𝐼𝐴 𝑎 = 𝑎 untuk tiap 𝑎 ∈ 𝐴.
 Selanjutnya bila f : A→ 𝐵 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐼𝐵 ∘ 𝑓 = 𝑓 = 𝑓 ∘ 𝐼𝐴 , bila f satu-satu dan onto dengan invers
𝑓 −1 maka 𝑓 −1 ∘ 𝑓 = 𝐼𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑓 ∘ 𝑓 −1 = 𝐼𝐵
 Proporsi 1:
misal 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝑔 ∶ 𝐵 → 𝐶 sehingga 𝑔 ∘ 𝑓 = 𝐼𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝐼𝐵 maka:
𝑓 −1 ∶ 𝐵 → 𝐴 𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝑔 = 𝑓 −1
KOMPOSISI FUNGSI
Misalkan
f : A B
dan
g :B C
adalah fungsi, maka dapat
ditunjukkan bahwa komposisi dari f dan g,
fungsi dari A ke C. Jika a A dan b = f(a)

c = g(b)


f g
, adalah
B sedangkan
C, maka ( f  g )(a) = g(f(a)); sehingga:
( f  g )(a) = g(f(a)) = g(b) = c
ALJABAR DARI FUNGSI BERNILAI REAL
 Misal F (X,R) notasi untuk koleksi dari semua fungsi bernilai real yang didefinisikan pada
sebarang set X. Beberapa operasi di dalam F (X,R) berkorespondensi dengan operasioperasi di dalam R.
 Bila 𝑓: 𝑋 → 𝑅 𝑑𝑎𝑛 𝑔: 𝑋 → 𝑅 𝑑𝑎𝑛 𝑘 ∈ 𝑅 maka didefinisikan:
𝑓 + 𝑔 : 𝑋 → 𝑅 𝑜𝑙𝑒ℎ 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥)
𝑘. 𝑓 : 𝑋 → 𝑅 𝑜𝑙𝑒ℎ 𝑘. 𝑓 𝑥 = 𝑘(𝑓 𝑥 )
𝑓 : 𝑋 → 𝑅 𝑜𝑙𝑒ℎ 𝑓
𝑥 = 𝑓(𝑥)
𝑓𝑔 : 𝑋 → 𝑅 𝑜𝑙𝑒ℎ 𝑓𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥)
𝑓 + 𝑘 : 𝑋 → 𝑅 𝑜𝑙𝑒ℎ 𝑓 + 𝑘 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑘
 Teorema:
Koleksi 𝐹 𝑋, 𝑅 dari semua fungsi bernilai real didefinisikan pada set tidak kosong X
dengan operasi-operasi yang didefinisikan di atas memenuhi aksioma ruang
vector real linear berikut:
Operasi tambahan (adisi) dari fungsi-fungsi f dan g memenuhi sifat-sifat:
𝑓 + 𝑔 + ℎ = 𝑓 + (𝑔 + ℎ)
𝑓+𝑔 =𝑔+𝑓
𝔷𝑂 ∈ 𝐹 𝑋, 𝑅 𝑦𝑎𝑖𝑡𝑢 𝑂: 𝑋 → 𝑅 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑓 + 𝑂 = 𝑓
Untuk tiap 𝑓 ∈ 𝐹 𝑋, 𝑅 , 𝑎𝑑𝑎 − 𝑓 ∈ 𝐹(𝑋, 𝑅)
Operasi perkalian skalar k.f dari fungsi f dengan bilangan real k memenuhi sifat:
𝑘. 𝑘 ′ . 𝑓 = 𝑘. 𝑘 ′ 𝑓
1. 𝑓 = 𝑓
Operasi penjumlahan dan perkalian skalar memenuhi sifat:
𝑘. 𝑓 + 𝑔 = 𝑘. 𝑓 + 𝑘. 𝑔
𝑘 + 𝑘 ′ . 𝑓 = 𝑘. 𝑓 + 𝑘 ′ . 𝑔
BAB III
RUANG TOPOLOGI (TOPOLOGICAL SPACES)
 RUANG TOPOLOGI (TOPOLOGICAL SPACES)
 TITIK KUMPUL (ACCUMULATION POINTS)
 HIMPUNAN TERBUKA & HIMPUNAN TERTUTUP (OPEN SETS & CLOSED SETS)
 PENUTUP DARI SET (CLOSURE OF A SET)
 INTERIOR, EKSTERIOR & BOUNDARY
 LINGKUNGAN & SISTEM LINGKUNGAN
 TOPOLOGI KORSER DAN TOPOLOGI FAINER
 RUANG BAGIAN, TOPOLOGI RELATIF
 EKUIVALENSI DARI DEFINISI TOPOLOGI
RUANG TOPOLOGI (TOPOLOGICAL SPACES)
 Misal 𝑋 adalah suatu set tidak kosong. Suatu kelas 𝜏 yang
anggotanya subset-subset dari 𝑋 disebut topologi pada X, bila
dan hanya bila 𝜏 memenuhi ketiga aksioma berikut:
𝑋 𝑑𝑎𝑛 ∅ termasuk dalam 𝜏
Gabungan dari set-set anggota dari 𝜏 adalah anggota 𝜏
Irisan dari dua set anggota 𝜏 adalah anggota 𝜏
 Anggota –anggota dari 𝜏 disebut set – set buka dari 𝜏, dan 𝑋
bersama 𝜏 yaitu (𝑿, 𝝉) disebut ruang topologi.
 Apabila D adalah kelas dari semua subset dari 𝑋 atau 𝐷 = 2𝑥
atau dapat dikatakan D adalah himpunan kuasa (power set)
dari 𝑋 maka 𝐷 adalah topologi pada 𝑋 karena memenuhi ketiga
aksioma pada topologi sehingga disebut topologi diskrit dan
(𝑋, 𝐷) disebut ruang topologi diskrit atau secara singkat disebut
ruang diskrit., sedangkan himpunan kuasa (power set) dari X
yaitu himpunan yang anggota-anggotanya adalah semua
himpunan bagian dari 𝑋.
 Suatu topologi pada 𝑋 harus memuat set 𝑑𝑎𝑛 ∅ . Kelas 𝑌 = 𝑋, ∅
yang hanya memuat 𝑋 𝑑𝑎𝑛 ∅ adalah topologi pada X, sehingga
𝑌 = 𝑋, ∅ disebut topologi indiskrit dan (𝑿, 𝒀) disebut ruang
topologi indiskrit atau ruang indiskrit.
 Apabila (𝑋, 𝜏) ruang topologi dan 𝜏1 adalah kelas yang
anggotanya semua komplemen dari set-set buka dari 𝜏 maka 𝜏1
adalah topologi kofinit.
 𝑇1 𝑑𝑎𝑛 𝑇2 adalah topologi pada X maka 𝑇1 ∩ 𝑇2 juga merupakan topologi pada 𝑋 tetapi
𝑇1 ∪ 𝑇2 belum tentu (tak perlu) merupakan topologi. Gabungan dari set-set kosong
adalah set kosong dan irisan kosong dari subset-subset dari 𝑋 adalah 𝑋 sendiri.
 Elemen suatu topologi 𝑇 pada 𝑋 disebut himpunan terbuka. Suatu himpunan bagian 𝐴
dari 𝑋 yang komplemennya ada di dalam 𝑇 (𝐴𝑐 ∈ 𝑇) merupakan himpunan yang
tertutup atau dapat dikatakan komplemen dari himpunan-himpunan yang terbuka
adalah himpunan-himpunan yang tertutup. Jadi suatu himpunan 𝐴 disebut tertutup jika
hanya jika 𝐴𝑐 adalah terbuka.
 Apabila 𝑇 adalah suatu topologi pada 𝑋 maka kelas himpunan bagian yang tertutup
dari 𝑋 mempunyai sifat :
𝑋 𝑑𝑎𝑛 ∅ adalah himpunan-himpunan yang tertutup
Irisan dari sejumlah sebarang himpunan yang tertutup adalah tertutup
Gabungan dari setiap dua himpunan yang tertutup adalah tertutup
TITIK KUMPUL (ACCUMULATION POINTS)
Misal
dari
adalah ruang topologi. Suatu titik
adalah titik kumpul
bila dan hanya bila setiap set buka
memuat suatu titik yang berbeda dengan
yang memuat
atau “bila G buka,
”. Set dari titik-titik kumpul dari A ditulis
maka
,
dan
disebut set derive dari A.
Apabila
ruang diskrit yaitu
buka yang memuat sebarang
dengan
. Jadi
setiap subset dari
, kecuali set kosong
titik-titik kumpul
adalah:
maka
adalah set
adalah titik kumpul dari
dan set
. Jadi set dari
HIMPUNAN TERBUKA & HIMPUNAN
TERTUTUP (OPEN SETS & CLOSED SETS)
 Definisi:
Untuk sebarang ruang topologi (𝑋, 𝜏). Anggota-anggota dari 𝜏 dikatakan himpunan terbuka.
 Teorema:
Untuk sebarang ruang topologi (𝑋, 𝜏) maka: 𝑋 𝑑𝑎𝑛 ∅ adalah set-set buka
Irisan dari set-set buka adalah buka
Gabungan dari dua set-set buka adalah buka
 Selanjutnya jika ada yang terbuka pastilah ada yang tertutup yaitu komplemen dari himpunan terbuka.
Misal 𝑋 adalah ruang topologi. Subset 𝐴 dari 𝑋 disebut set tertutup bila dan hanya bila komplemen 𝐴𝑐
adalah set buka.
 Definisi:
Untuk sebarang ruang topologi (𝑋, 𝜏) , suatu himpunan bagian 𝐴 dari 𝑋 dikatakan himpunan tertutup
jika komplemennya
merupakan himpunan terbuka pada (𝑋, 𝜏) .
 Apabila 𝑋 adalah ruang diskrit yaitu setiap subset dari 𝑋 adalah buka maka setiap subset dari 𝑋 adalah
juga tutup, karena komplemennya selalu buka. Dengan kata lain, setiap subset dari X adalah buka dan
𝑐
tutup. Ingat bahwa 𝐴𝑐 = 𝐴, untuk setiap subset 𝐴 dari 𝑋 maka diperoleh proposisi berikut:
 Dalam ruang topologi 𝑋, subset 𝐴 dari 𝑋 adalah buka bila dan hanya bila komplemennya tutup.
 Aksioma dari ruang topologi dan hukum De Morgan memberikan teorema berikut:
Bila 𝑋 ruang topologi maka kelas dari subset-subset tutup dari 𝑋 memiliki sifat-sifat
yaitu:
𝑋 𝑑𝑎𝑛 ∅ adalah set-set tutup
Irisan dari set-set tutup adalah tutup
Gabungan dari dua set tutup adalah tutup
 Set-set tutup dapat pula dinyatakan dengan menggunakan pengertian titik
kumpul sebagai berikut, dengan teorema:
 Subset 𝐴 dari ruang topologi 𝑋 adalah tutup bila dan hanya bila A memuat semua
titik kumpul dari 𝐴.
 Dengan kata lain bahwa set A adalah tutup bila dan hanya bila set derive 𝑨′ dari A
adalah subset dari A yaitu 𝑨′ ⊂ 𝑨
PENUTUP DARI SET (CLOSURE OF A SET)
 Misal 𝐴 subset dari ruang topologi 𝑋. Penutup dari A (closure of A) ditulis 𝑨 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝑨−
adalah irisan dari semua superset tutup dari A. Dengan kata lain, bila 𝐹𝑖 ∶ 𝑖 ∈ 𝐼 adalah
kelas semua subset tutup dari 𝑋 yang memuat 𝐴 maka 𝐴 = ∩𝑖 𝐹𝑖
 Perhatikan bahwa 𝐴 adalah tutup karena 𝐴 adalah irisan dari set-set tutup. Selanjutnya
juga, 𝐴 adalah superset tutup terkecil dari 𝐴, dengan demikian bila 𝐹 adalah set tutup
yang memuat 𝐴 maka 𝑨 ⊂ 𝑨 ⊂ 𝑭.
 Berdasarkan hal tersebut, set 𝐴 adalah tutup bila dan hanya bila 𝐴 = 𝐴 dan diperoleh
pernyataan berikut dengan dalil (proposisi):
 Bila 𝐴 penutup dari set maka:
𝐴 adalah penutup
Bila 𝐹 superset tutup dari A maka 𝐴 ⊂ 𝐴 ⊂ 𝐹
𝐴 adalah tutup bila dan hanya bila 𝐴 = 𝐴
 Misal 𝑋 adalah ruang topologi kofinit yaitu komplemen dari set-set
terhingga dan ∅ adalah set-set buka maka set-set tutup dari
topologi tersebut adalah set-set terhingga dari 𝑋 dengan 𝑋.
 Jadi bila 𝐴 ⊂ 𝑋 terhingga, penutup dari 𝐴 adalah 𝐴 sendiri karena 𝐴
tutup. Sebaliknya bila 𝐴 ⊂ 𝑋 tak hingga maka 𝑋 adalah superset
tutup dari 𝐴, jadi 𝐴 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑋 .
 Operator penutup yang menghubungkan tiap-tiap subset A dari X
dengan penutup 𝐴 ⊂ 𝑋 yang memenuhi 4 sifat seperti ditunjukkan
pada proporsisi berikut, yang disebut Aksioma Penutup Kuratowski
dengan dalil (proposisi):
∅ = ∅,
𝐴⊂𝐴
𝐴∪𝐵 = 𝐴∪𝐵
𝐴−
−
=𝐴
INTERIOR, EKSTERIOR & BOUNDARY
 Misal 𝐴 subset dari ruang topologi 𝑋. Titik 𝑝 ∈ 𝑋 disebut titik interior dari 𝑨 bila 𝒑
termasuk set buka 𝑮 subset dari 𝑨, yaitu ∈ 𝑮 ⊂ 𝑨 , 𝑮 set buka.
 Set dari titik-titik interior dari A ditulis int (A), 𝑨 atau 𝑨° , disebut interior dari A.
 Interior dari A dapat dinyatakan sebagai berikut, dengan dalil (proporsisi):
 Interior dari set A adalah gabungan dari semua subset dari A, selanjutnya juga
bahwa: 𝐴° adalah buka
 𝐴∘ subset buka terbesar dari 𝐴; yaitu bila 𝐺 subset buka dari 𝐴 maka 𝐺 ⊂ 𝐴∘ ⊂ 𝐴
 A adalah buka bila hanya bila 𝐴 = 𝐴∘
 Eksterior dari 𝑨 ditulis eks (𝑨) adalah interior dari komplemen A yaitu int (𝑨𝒄 ).
Boundary (batas) dari 𝑨 ditulis b(𝑨) adalah set dari titik-titik yang tidak termasuk
interior dan tidak termasuk eksterior dari 𝑨.
 Berikut ini hubungan interior, eksterior, dan penutup dengan teorema:
 Misal A subset dari ruang topologi X maka penutup dari A adalah gabungan dari
interior dan batas dari A yaitu 𝑨 = 𝑨∘ ∪ 𝒃(𝑨).
LINGKUNGAN & SISTEM LINGKUNGAN
 Misal 𝑝 adalah titik dalam ruang topologi 𝑋. Suatu subset 𝑁 dari 𝑋 disebut lingkungan dari
𝑝 jika dan hanya jika 𝑵 adalah suatu superset dari set buka 𝑮 yang memuat 𝒑 yaitu: 𝒑 ∈
𝑮 ⊂ 𝑵 dengan 𝑮 set buka. Dengan kata lain relasi “N adalah lingkungan dari p” adalah
invers dari “p adalah titik interior N”. Kelas dari semua lingkungan dari 𝑝 ∈ 𝑋 𝑑𝑖𝑡𝑢𝑙𝑖𝑠 𝑁𝑝
disebut sistem lingkungan (neighborhood system) dari 𝑝. Untuk suatu sistem lingkungan 𝑁𝑝
dari suatu titik 𝑝 ∈ 𝑋 ada 4 sifat yang dinyatakan dalam proporsi berikut yang disebut
aksioma lingkungan sebagai berikut:
 Proporsisi: a. 𝑁𝑝 ≠ ∅ dan p termasuk ke dalam tiap anggota 𝑁𝑝
Irisan dari dua anggota 𝑁𝑝 termasuk 𝑁𝑝
Setiap superset dari anggota 𝑁𝑝 termasuk 𝑁𝑝
Tiap anggota 𝑁 ∈ 𝑁𝑝 adalah superset dari anggota 𝐺 ∈ 𝑁𝑝 dengan G adalah
lingkungan dari tiap-tiap titik dari G yaitu 𝐺 ∈ 𝑁𝑔 untuk tiap ∈ 𝐺
TOPOLOGI KORSER DAN TOPOLOGI FAINER
 Misal 𝜏1 dan 𝜏2 adalah topologi pada set tidak kosong X dan tiap-tiap set buka
anggota 𝜏1 subset dari X adalah anggota 𝜏2 subset dari X. Dengan demikian,
bahwa 𝜏1 adalah kelas bagian dari 𝜏2 yaitu 𝜏1 ⊂ 𝜏2 , sehingga dikatakan bahwa
𝜏1 adalah lebih kasar (Coarser) atau lebih kecil (smaller) atau lebih lemah
(weaker) terhadap 𝜏2 atau 𝜏2 lebih halus (finer) atau lebih besar (larger)
terhadap 𝜏1 . Perhatikan bahwa 𝑇 = 𝜏1 koleksi dari topologi-topologi adalah
terurut parsial dan dapat ditulis 𝜏1 ≾ 𝜏2 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝜏1 ⊂ 𝜏2 dan dikatakan bahwa
kedua topologi pada X tidak dapat dibandingkan bila topologi yang satu
bukan korser terhadap yang lainnya.
RUANG BAGIAN, TOPOLOGI RELATIF
 Misal A adalah subset tidak kosong dari ruang topologi (𝑋, 𝜏).
Kelas 𝜏𝐴 yaitu kelas dari semua irisan dari A dengan subset-
subset buka 𝝉 pada X adalah topologi pada A dan topologi
tersebut disebut topologi relative pada A atau relatifisasi 𝜏
terhadap A dan ruang topologi (𝐴, 𝜏𝐴 ) disebut ruang bagian
dari (𝑋, 𝜏). Dengan kata lain, subset H dari A adalah set buka
dari 𝜏𝐴 , yaitu relative buka ke A, bila dan hanya bila ada subset
buka G dari X dan 𝐺 ∈ 𝜏 sedemikian hingga 𝐻 = 𝐺 ∩ 𝐴
EKUIVALENSI DARI DEFINISI TOPOLOGI
 Definisi dari ruang topologi memberikan aksioma untuk set-set buka dalam ruang
topologi dan digunakan set buka sebagai pengertian (ide) sederhana untuk topologi.
Teorema berikut menunjukkan alternatif lain untuk definisi topologi pada suatu set
dengan menggunakan pengertian sederhana dari lingkungan dari suatu titik dan
penutup suatu set :
 Bila X adalah set tidak kosong dan untuk tiap 𝑝 ∈ 𝑋 , 𝒜𝑝 kelas dari subset-subset dari X
memenuhi aksioma berikut:
𝒜𝑝 tidak kosong dan p termasuk ke dalam anggota dari 𝒜𝑝
Irisan dari dua anggota 𝒜𝑝 termasuk dalam 𝒜𝑝
Setiap superset dari anggota 𝒜𝑝 termasuk 𝒜𝑝
Setiap anggota 𝑁 ∈ 𝒜𝑝 adalah superset dari anggota 𝐺 ∈ 𝒜𝑝 sedemikian
hingga 𝐺 ∈ 𝒜𝑔 untuk tiap 𝑔 ∈ 𝐺 maka ada satu dan hanya satu topologi 𝜏
pada X sedemikian hingga 𝒜𝑝 adalah sistem lingkungan 𝜏 dari titik ∈ 𝑋 .
 Bila X adalah set tidak kosong dan k adalah operasi yang
menghubungkan tiap subset A dari X dengan subset Ak dari X yang
memenuhi aksioma penutup kuatowski berikut:
∅𝑘 = ∅
𝐴 ⊂ 𝐴𝑘
(𝐴 ∪ 𝐵)𝑘 = 𝐴𝑘 ∪ 𝐵𝑘
(𝐴𝑘 )𝑘 = 𝐴𝑘
maka ada satu dan hanya satu topologi 𝜏 pada X sedemikian hingga 𝐴𝑘
adalah penutup subset A dari X.
BAB IV
BASIS & BASIS BAGIAN
BASIS UNTUK TOPOLOGI
BASIS BAGIAN
TOPOLOGI YANG DIBANGUN OLEH KELAS DARI SET
BASIS LOKAL
BASIS LIMIT
BASIS UNTUK TOPOLOGI
 Definisi:
Misal 𝑋, 𝜏 suatu ruang topologi. Suatu kelas 𝔹 yang terdiri dari subset-subset buka
dari X yaitu 𝔹 ⊂ 𝜏 adalah basis untuk topologi 𝜏 bila dan hanya bila setiap set
buka 𝐺 ∈ 𝑟 adalah gabungan dari anggota-anggota .
 Definisi tersebut equivalen dengan pernyataan berikut “𝔹 ⊂ 𝜏 adalah basis untuk
topologi 𝜏 bila dan hanya bila untuk setiap titik p yang termasuk pada set buka G ada
𝐵 ∈ 𝔹 dengan ∈ 𝐵 ⊂ 𝐺 .
 Dengan definisi lain:
Apabila diberikan ruang topologi (𝑋, 𝜏) , suatu koleksi 𝛽 dari himpunanhimpunan terbuka pada X maka dikatakan basis pada topologi 𝜏 jika setiap
himpunan terbuka adalah gabungan dari elemen-elemen pada 𝛽 .
 Teorema berikut memberikan syarat yang perlu dan cukup
untuk kelas dari set-set yang merupakan basis untuk suatu
topologi, yaitu:
 Misal 𝔹 adalah kelas dari subset-subset dari set tidak kosong X
maka 𝔹 adalah basis untuk suatu topologi pada X bila dan
hanya bila memenuhi dua sifat:
𝑋 = ∪ 𝐵: 𝐵 ∈ 𝔹
∗
𝐵 ∈
𝔹 , 𝐵 ∩ 𝐵 ∗ adalah gabungan dari
Untuk suatu B,
anggota-anggota 𝔹 atau bila 𝑝 ∈ 𝐵 ∩ 𝐵∗ maka 𝔷𝐵𝑝 ∈ 𝔹
sedemikian hingga 𝑝 ∈ 𝐵𝑝 ⊂ 𝐵 ∩ 𝐵∗ .
 Jika 𝐵2 merupakan suatu basis untuk topologi 𝜏 pada 𝑋 dan 𝐵2
merupakan koleksi dari himpunan terbuka pada 𝑋 dimana 𝐵1 ⊂
𝐵2 maka 𝐵2 adalah juga basis untuk topologi .
BASIS BAGIAN
 Misal (𝑋, 𝜏) suatu ruang topologi. Kelas 𝛼 yang anggotanya subset-subset buka dari 𝑋 yaitu
𝛼 ⊂ 𝜏 adalah basis bagian untuk topologi 𝜏 pada 𝑋 bila dan hanya bila irisan terhingga
dari anggota-anggota 𝛼 membentuk basis untuk 𝜏
Contoh:
 Perhatikan bahwa setiap interval buka (a,b) dalam garis real R adalah irisan dari dua
interval buka tak hingga (𝑎, ∞) dan −∞, 𝑏 : 𝑎, 𝑏 = 𝑎, ∞ ∩ (−∞, 𝑏) . Interval-interval
bukanya membentuk basis untuk topologi pada R, jadi semua kelas dari semua interval
buka tak hingga adalah basis bagian untuk R.
 Irisan dari suatu pita buka interval dan horizontal tak hingga pada bidang R2 adalah
persegi panjang buka seperti buka, dimana persegi panjang – persegi panjang buka
membentuk basis untuk topologi pada R2 . Kelas 𝛽 dari semua pita buka tak hingga
adalah basis bagian untuk R2.
TOPOLOGI YANG DIBANGUN OLEH KELAS DARI SET
 Misal 𝒜 adalah kelas dari subset-subset dari set tidak kosong. Kemungkinan 𝒜 bukan
merupakan basis untuk topologi pada 𝑋 . Jadi 𝒜 selalu merupakan pembangunan dari
topologi pada 𝑋 seperti dikemukakan pada teorema berikut:
 Suatu kelas 𝒜 yang terdiri dari subset-subset dari set tidak kosong 𝑋 adalah basis bagian
untuk suatu topologi 𝜏 yang unik pada 𝑋. Jadi irisan tak hingga dari anggota-anggota
𝒜 membentuk basis untuk topologi 𝜏 pada .
 Misal 𝑅 subset-subset dari set tidak kosong 𝑋. Meskipun 𝑅 bukan basis tapi 𝑅 dapat
membentuk topologi dengan cara:
Ditentukan semua irisan hingga dalam 𝑅 yang merupakan basis dari suatu
topologi.
Dilakukan gabungan dari basis tersebut yang merupakan topologi yang dicari.
 Topologi yang dibangun oleh kelas dari set-set dapat dinyatakan pula seperti proposisi
berikut:
Bila 𝒜 adalah kelas subset-subset dari set tidak kosong 𝑋 maka topologi 𝜏 pada 𝑋
yang dibangun oleh 𝒜 adalah irisan dari semua topologi pada 𝑋 yang memuat
𝒜.
BASIS LOKAL
 Misal 𝑝 adalah sebarang titik di dalam ruang topologi X . Kelas 𝔹𝑝 dari subset-subset
buka yang memuat p disebut basis lokal pada 𝑝 bila dan hanya bila untuk tiap set
buka 𝐺 yang memuat
𝑝 ada 𝐺𝑝 ∈ 𝔹𝑝 sedemikian hingga 𝑝 ∈ 𝐺𝑝 ⊂ 𝐺
 Berikut ini hubungan antara basis untuk topologi dan basis lokal pada suatu titik
dengan proposisi:
 Bila 𝔹 basis untuk topologi 𝜏 pada X dan 𝑝 ∈ 𝑋 maka anggota dari basis 𝔹 yang
memuat p membentuk basis lokal di p.
 Titik p di dalam ruang topologi X adalah titik kumpul dari 𝐴 ⊂ 𝑋 bila dan hanya bila
tiap-tiap anggota suatu basis lokal 𝔹𝑝 pada p memuat suatu titik A yang berbeda
dengan p.
 Barisan (𝑎1 , 𝑎2 , … ) dari titik-titik dalam ruang topologi X konvergen ke 𝑝 ∈ 𝑋 bila dan
hanya bila tiap anggota dari sebarang basis lokal 𝔹𝑝 pada p memuat semua sukusuku dari barisan itu.
 Ketiga proposisi diatas memberikan corollary berikut:
 Bila 𝔹 suatu basis untuk topologi 𝜏 pada X maka :
𝑝 ∈ 𝑋 adalah titik kumpul dari 𝐴 ⊂ 𝑋 bila dan hanya bila tiap set basis buka
𝐵 ∈ 𝔹 yang memuat p, memuat suatu titik dari A yang berbeda dengan p.
 Barisan (𝑎1 , 𝑎2 , … ) dari titik-titik dalam X konvergen ke 𝑝 ∈ 𝑋 bila dan hanya bila tiap
set basis buka 𝐵 ∈ 𝔹 yang memuat p, memuat semua suku-suku dari barisan itu.
 Definisi basis lokal lainnya:
Diberikan (X,T) merupakan ruang topologi dan 𝑎 ∈ 𝑋 maka koleksi 𝐵𝑎
dikatakan basis lokal pada suatu titik a jika milik sebuah himpunan terbuka G
terdapat anggota 𝛽 dari B sehingga 𝑎 ∈ 𝐵 ⊆ 𝐺.
 Remark/Keterangan:
It may be noted that every bases for a topology is also a local base at each
point of ground set but the converse may not be true (Setiap basis untuk
topologi juga merupakan basis lokal dalam setiap titik tetapi tidak sebaliknya
mungkin tidak benar).
 Union of all bases froms bases for topology 𝜏 defined on the any non-empty set X
(Persatuan dari semua basis lokal membentuk basis untuk topologi 𝜏, setiap tidak
kosong X set).
BASIS LIMIT
 Basis limit dengan teorema sebagai berikut:
 B1 merupakan koleksi interval terbuka tertutup pada garis bilangan riil yaitu 𝐵1 =
𝑎, 𝑏 ∕ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑎 < 𝑏 dan 𝑎, 𝑏 = 𝑥 ∈ 𝑅 ∕ 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏 . R adalah himpunan bilangan riil.
Karena setiap bilangan riil 𝑟 ∈ 𝑅 terletak pada suatu interval terbuka tertutup dari B1
maka R merupakan gabungan (union) dari anggota-anggota B1. Selanjutnya irisan dari
dua interval terbuka tertutup adalah kosong atau merupakan suatu interval terbuka
tertutup lagi yang berarti juga anggota dari B1. Jika A merupakan koleksi interval
terbuka tertutup (a,b] maka A merupakan suatu topologi pada R sehingga B1
merupakan basis untuk topologi A dan disebut topologi limit atas (upper limit
topology).
 Bila 𝐵2 = 𝑎, 𝑏 𝑎 , 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑎 < 𝑏 yaitu kelas interval tertutup terbuka pada garis bilangan
riil R dimana [𝑎, 𝑏) = 𝑥 ∈ 𝑅 ∕ 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏 maka B2 merupakan suatu basis untuk topologi
pada R dan disebut topologi limit bawah (lower limit topology) pada R.
 Bila 𝐵3 = 𝑎, 𝑏 𝑎 , 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑎 < 𝑏 yaitu koleksi interval terbuka pada garis riil R dimana
𝑎, 𝑏 = 𝑥 ∈ 𝑅/𝑎 < 𝑥 < 𝑏 maka B3 merupakan basis untuk topologi usual U pada garis
bilangan riil R.
BAB V
KONTINUITAS DAN TOPOLOGI EQUIVALEN
 FUNGSI-FUNGSI KONTINU
 FUNGSI KONTINU DAN KETERTUTUPAN SEBARANG
 KONTINU PADA SUATU TITIK
 KEKONTINUAN BARISAN DI SUATU TITIK
 FUNGSI BUKA DAN FUNGSI TUTUP
 RUANG HOMEOMORPHIS
 SIFAT-SIFAT TOPOLOGI
 TOPOLOGI DARI FUNGSI-FUNGSI
FUNGSI-FUNGSI KONTINU
 Misalkan (𝑋, 𝜏) dan (𝑌, 𝜏 ∗ ) adalah ruang topologi-ruang topologi. Suatu fungsi f
dari X ke dalam Y disebut kontinu relative ke 𝜏 𝑑𝑎𝑛 𝜏 ∗ atau kontinu 𝜏 − 𝜏 ∗ atau
kontinu bila dan hanya bila bayangan invers 𝑓 −1 [𝐻] dari tiap 𝜏 ∗ dengan H
subset buka dari Y adalah anggota 𝜏 merupakan subset buka dari X atau bila
dan hanya bila 𝐻 ∈ 𝜏 ∗ 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓 −1 [𝐻] ∈ 𝜏 .
 Ditulis 𝑓: 𝑋, 𝜏 → (𝑋, 𝜏 ∗ ) untuk suatu fungsi di dalam topologi. Dengan kata lain
(𝑋, 𝜏) dan (𝑌, 𝜏 ∗ ) merupakan ruang topologi-ruang topologi. Fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑌
disebut kontinu 𝑇1 − 𝑇2 jika untuk setiap himpunan terbuka H anggota 𝑇 ∗
berlaku 𝑓 −1 [𝐻] anggota dari 𝑇1 .
 Proposisi:
Fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑌 adalah kontinu bila hanya bila invers dari tiap anggota basis 𝔹
untuk Y adalah subset buka dari X.
Teorema:
 Misal 𝜏 adalah basis bagian untuk ruang topologi Y maka fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑌 adalah
kontinu bila hanya bila invers tiap-tiap anggota 𝜏 adalah sub set buka dari 𝑋.
 Fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑌 adalah kontinu bila hanya bila bayangan invers dari tiap subset tutup
dari Y adalah tutup dari X.
Beberapa dalil yang berkaitan dengan fungsi kontinu:
 Suatu fungsi 𝑓: 𝑅 → 𝑅 adalah kontinu jika hanya jika bayangan invers dari setiap set
yang terbuka adalah set yang terbuka.
 Jika suatu fungsi 𝑓: 𝑅 → 𝑅 adalah konstan yaitu 𝑓 𝑥 = 𝑘 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅 maka f
adalah kontinu.
 Jika suatu fungsi 𝑓: 𝑅 → 𝑅 adalah fungsi identitas yaitu 𝑓 𝑥 = 𝑥 maka f adalah
kontinu.
 Jika suatu fungsi 𝑓: 𝑅 → 𝑅 dan 𝑔: 𝑅 → 𝑅 adalah fungsi-fungsi kontinu maka 𝑓 ∘ 𝑔 ∶ 𝑅 → 𝑅
adalah juga kontinu.
FUNGSI KONTINU DAN KETERTUTUPAN SEBARANG
 Misal X adalah ruang topologi. Titik 𝑝 ∈ 𝑋 disebut tutup sebarang (arbitrarily
close) terhadap set 𝐴 ⊂ 𝑋 bila 𝑝 ∈ 𝐴 dan p adalah titik kumpul dari A
 Ingat bahwa 𝐴 = 𝐴 ∪ 𝐴′ ; jadi penutup dari A memuat titik di dalam X yang
merupakan tutup sebarang terhadap A. Ingat juga bahwa 𝐴 = 𝐴∘ ∪ 𝑏(𝐴) ,
jadi p adalah tutup sebarang terhadap A karena p adalah titik interior
atau titik batas dari A.
 Fungsi-fungsi kontinu dapat pula dinyatakan sebagai fungsi-fungsi dengan
tutup sebarang utuh dengan teorema seperti berikut:
Fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑌 adalah kontinu bila dan hanya bila untuk
𝑝 ∈ 𝑋 𝑑𝑎𝑛 𝐴 ⊂ 𝑋;
p tutup sebarang ke A maka f(p) tutup sebarang ke f[A] atau 𝑝 ∈ 𝐴
maka 𝑓(𝑝) ∈ 𝑓[𝐴] atau 𝑓[𝐴] ⊂ 𝑓[𝐴] .
KONTINU PADA SUATU TITIK
 Suatu fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑌 adalah kontinu di titik 𝑝 ∈ 𝑋 bila hanya bila
bayangan invers 𝑓 −1 𝐻 dari tiap set buka 𝐻 ⊂ 𝑌 yang memuat
f(p) adalah superset dari set buka 𝐺 ⊂ 𝑋 yang memuat p, atau
nila dan hanya bila bayangan invers dari tiap-tiap lingkungan
dari f(p) adalah lingkungan dari p yaitu 𝑁 ∈ 𝑁𝑓(𝑝) ⟹ 𝑓 −1 [𝑁] ∈ 𝑁𝑝 .
Teorema:
 Misal X dan Y masing-masing ruang topologi maka fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑌
adalah kontinu bila dan hanya bila 𝑓: 𝑋 → 𝑌 kontinu pada tiap
titik dari X.
KEKONTINUAN BARISAN DI SUATU TITIK
 Fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑌 adalah barisan kontinu di titik 𝑝 ∈ 𝑋 bila dan hanya bila untuk tiap barisan
(an) dalam X konvergen ke p, barisan (f(an)) dalam Y konvergen ke f(p), yaitu:
𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑎𝑛 → 𝑝 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑎𝑛 ) → 𝑓(𝑝)
 Barisan kontinu dan kontinu di suatu titik berrelasi yaitu bila fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑌 kontinu di titik
𝑝 ∈ 𝑋 maka 𝑓: 𝑋 → 𝑌 adalah barisan kontinu di titik p.
Catatan:
 Konvers dari proposisi diatas adalah tidak benar. Misalnya, perhatikan topologi 𝜏 pada
garis real R yang terdiri ∅ dan komplemen dari set-set kontabel. Ingat kembali suatu
barisan (an) konvergen ke p bila dan hanya bila barisan itu berbentuk
(𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛𝑜, 𝑝, 𝑝, 𝑝, … ), maka untuk suatu fungsi 𝑓: 𝑅, 𝜏 → (𝑋, 𝜏 ∗ ) , (f(an)) = (f(a1), f(a2), … ,
f(ano), f(p), f(p), f(p),…) konvergen ke f(p). Dengan kata lain, setiap fungsi pada (𝑅, 𝜏)
adalah barisan kontinu. Sebaliknya, fungsi 𝑓: 𝑅, 𝜏 → (𝑅, 𝑈) yang didefinisikan oleh 𝑓 𝑥 =
𝑥, yaitu fungsi identitas, adalah bukan kontinu 𝜏 − 𝑢 karena 𝑓 −1 0,1 = (0,1) bukan
subset buka 𝜏 dari R.
FUNGSI BUKA DAN FUNGSI TUTUP
 Fungsi kontinu mempunyai sifat bahwa bayangan invers dari tiap set buka dan
bayangan invers dari tiap set tutup adalah tutup. Definisi dari fungsi buka dan tutup
didefinisikan sebagai berikut:
 Fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑌 disebut fungsi buka (fungsi interior) bila bayangan (peta) dari tiap set
buka adalah buka.
 Fungsi 𝑔: 𝑋 → 𝑌 disebut fungsi tutup bila bayangan (peta) dari tiap set tutup adalah
tutup.
 Pada umumnya fungsi-fungsi buka, tidak perlu tutup, dan sebaliknya.
Contoh:
 Fungsi konstan 𝑓(𝑥) = 1 merupakan fungsi tertutup dan kontinu, tidak terbuka.
 Fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 merupakan fungsi tidak terbuka karena misalnya 𝐺 = (−1,1) interval
buka maka 𝑓 𝐺 = [0,1) tidak terbuka.
RUANG HOMEOMORPHIS
Definisi:
 Dua
ruang
topologi
hanya bila
dikatakan
homeomorphis
bila
dan
yang bijektif (one-one onto) sedemikian hingga f dan
f-1 kontinu.
atau
 Fungsi f disebut suatu kontinu bila f terbuka dan kontinu sehingga f
homeomorphisme
f bikontinu dan bijektif.
Proporsi:
 Relasi di dalam suatu koleksi dari ruang topologi-ruang topologi yang
didefinisikan oleh “X homeomorphis dengan Y” adalah relasi equivalen.
 Relasi homeomorphis adalah relasi yang equivalen dan berlaku sifat:
a. Refleksif
homeomorphik dengan dirinya sendiri
b. Simetris
bila S1 homeomorphis S2 maka S2 homeomorphis S1
c. Transitif
bila S1 homeomorphis S2 maka S2 homeomorphis S3
maka S1 homeomorphis S3
SIFAT-SIFAT TOPOLOGI
 Sifat P dari set-set disebut topologi atau topologi invarian, bila ruang
topologi (𝑋, 𝜏) mempunyai sifat P maka setiap ruang yang
homeomorphis dengan (𝑋, 𝜏) juga mempunyai sifat P.
Berikut, “keterhubungan” didefinisikan dan ditunjukkan oleh sifat topologi:
 Ruang topologi (𝑋, 𝜏) disebut tidak terhubung (disconnected) bila dan
hanya bila X adalah gabungan dari dua subset buka yang tidak kosong
dan subset-subset yang lepas yaitu 𝑋 = 𝐺 ∪ 𝐻 dengan 𝐺, 𝐻 ∈ 𝜏 𝑑𝑎𝑛 𝐺 ∩ 𝐻 =
∅, 𝑡𝑒𝑡𝑎𝑝𝑖 𝐺, 𝐻 ≠ ∅.
 Bila 𝑓: 𝑋 → 𝑌 suatu homemorphisma maka 𝑋 = 𝐺 ∪ 𝐻 bila dan hanya bila
𝑌 = 𝑓 𝐺 𝑈𝑓[𝐻] dan Y adalah tidak terhubung bila dan hanya bila X tidak
terhubung. Ruang topologi (𝑋, 𝜏) adalah terhubung (connected) bila
dan hanya bila (𝑋, 𝜏) tidak tak terhubung
TOPOLOGI DARI FUNGSI-FUNGSI
 Misal (𝑌𝑖 , 𝜏𝑖 ) adalah koleksi dari ruangtopologi-ruang topologi dan untuk tiap 𝑌𝑖
terdapat fungsi 𝑓𝑖 = 𝑋 → 𝑌𝑖 yang didefinisikan pada sebarang set tidak kosong X.
 Untuk memeriksa topologi–topologi pada X yang berturut-turut semua fungsi fi adalah
kontinu, ingat kembali bahwa fi adalah kontinu relative terhadap sebarang topologi
pada X maka invers bayangan dari tiap-tiap subset buka dari 𝑌𝑖 adalah subset buka
dari X.
 Jadi kelas-kelas dari subset-subset dari X adalah =∪𝑖 𝑓 −1 𝐻 : 𝐻 ∈ 𝜏𝑖 .
 Dengan demikian, 𝛿 memuat invers bayangan dari tiap-tiap subset dari setiap ruang
topologi 𝑌𝑖 . Topologi 𝜏 pada X yang dibangun oleh 𝛿 disebut topologi yang dibangun
leh fungsi 𝑓𝑖 . Sifat-sifat topologi seperti itu mempunyai sifat-sifat berikut dengan
teorema:
a.
Semua fungsi 𝑓𝑖 adalah kontinu relative terhadap 𝜏 .
b.
𝜏 adalah irisan dari semua toplogi pada X dengan fungsi-fungsi 𝑓𝑖 adalah kontinu.
c.
𝜏 adalah terkecil yaitu coarser topologi pada X yang masing-masing fungsi 𝑓𝑖
adalah kontinu.
d.
𝛿 adalah basis bagian untuk topologi 𝜏.
BAB VI
KONTABILITAS
RUANG KONTABEL / RUANG TERHITUNG
TEOREMA LINDELOF
RUANG TERPISAH
 SIFAT-SIFAT HEREDITER
RUANG KONTABEL / RUANG TERHITUNG
 Ruang topologi X disebut ruang kontabel pertama bila memenuhui aksioma yang disebut
aksioma pertama dari kontabilitas yaitu: Untuk setiap 𝑝 ∈ 𝑋 ada kelas dari set-set buka yang
kontabel 𝐵𝑝 yang memuat p sedemikan hingga tiap set buka G yang memuat p juga memuat
anggota dari 𝐵𝑝 . Dengan kata lain, ruang topologi X adalah ruang kontabel pertama bila dan
hanya bila basis lokal pada tiap titik 𝑝 ∈ 𝑋, dimana aksioma diatas merupakan sifat basis lokal
dari ruang topologi X .
 Dapat juga dikatkan, diberikan (X,T) ruang topologi maka X dikatakan ruang dihitung pertama
jika untuk setiap 𝑝 ∈ 𝑋 memiliki basis lokal dihitung yaitu setiap 𝑝 ∈ 𝑋, 𝐵𝑝 yang dapat dihitung.
 Teorema: Fungsi yang didefinisikan pada ruang kontabel pertama X adalah kontinu di 𝑝 ∈ 𝑋 bila
dan hanya bila fungsi itu adalah barisan kontinu di p.
 Dengan kata lain dapat dinyatakan bahwa bila X memenuhui aksioma diatas maka 𝑓: 𝑋 → 𝑌
kontinu di 𝑝 ∈ 𝑋 bila dan hanya bila tiap barisan (an) konvergen ke p dalam X, barisan (f(an))
konvergen ke (fp) dalam Y yaitu “bila 𝑎𝑛 → 𝑝 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑎𝑛 ) → 𝑓(𝑝)”.
Catatan:
 Bila 𝔹𝑝 merupakan basis local kontabel pada titik 𝑝 ∈ 𝑋 maka dapat ditulis 𝔹𝑝 = 𝐵1 , 𝐵2 , 𝐵3 , …
dan bila 𝐵1 ⊃ 𝐵2 ⊃ 𝐵3 , … , maka 𝔹𝑝 disebut tumpukan basis lokal pada p.
Ruang Kontabel Kedua / Ruang Terhitung
Kedua (Second Countable Spaces)
 Ruang topologi (𝑋, 𝜏) disebut ruang topologi kedua bila memenuhi
aksioma berikut yang disebut aksioma kedua dari kontabilitas, yaitu: ada
basis kontabel 𝔹 untuk topologi .
 Teorema: Setiap ruang kontabel kedua adalah ruang kontabel pertama
 Sebaliknya, garis real R dengan topologi diskrit tidak memenuhi aksioma
kedua menurut contoh 2 pada bagian B tentang kontabel kedua diatas
tetapi memenuhi aksioma pertama pada bagian A tentang kontabel
pertama, sehingga konvers dari teorema 2 adalah benar.
TEOREMA LINDELOF
Sebelumnya ada beberapa istilah/pengertian berikut:
 Bila 𝐴 ⊂ 𝑋 dan 𝒜 adalah kelas dari subset-subset dari X sedemikian hingga 𝐴 ⊂ 𝑈 𝐸: 𝐸 ∈ 𝒜
maka 𝒜 disebut sampul (cover) dari A atau 𝒜 disebut sampul A.
 Bila anggota-anggota dari 𝒜 adalah subset buka dari X maka 𝒜 disebut sampul buka dari
A.
 Bila 𝒜 memuat sampul dari A maka 𝒜 disebut tereduksi ke suatu sampul kontabel
(terhingga) atau 𝒜 disebut memuat sampul bagian yang kontabel (terhingga).
Ruang kontabel kedua termuat di dalam kedua teorema berikut:
 Bila A subset dari ruang kontabel kedua X maka tiap sampul buka A tereduksi ke sampul
kontabel
 Bila X ruang kontabel kedua maka tiap basis 𝔹 untuk X tereduksi ke basis kontabel X.
Kedua teorema diatas selanjutnya dipakai untuk mendefinisikan ruang Lindelof berikut:
 Ruang topologi X disebut Ruang Lindelof bila tiap sampul buka dari X tereduksi ke sampul
kontabel. Jadi setiap ruang kontabel kedua adalah Ruang Lindelof.
RUANG TERPISAH
 Ruang topologi X disebut terpisah bila ruang topologi X tersebut memenuhi aksioma:
X memuat subset padat yang kontabel
 Dengan kata lain, X adalah terpisah bila dan hanya bila ada subset terhingga atau
subset denumerabel A dari X sedemikian hingga penutup A sama dengan X yaitu 𝐴 =
𝑋
Contoh:
 Garis real R dengan topologi biasa adalah ruang terpisah karena set bilangan rasional
Q adalah denumerabel dan padat di dalam R yaitu 𝑄 = 𝑋
 Garis real R dengan toplogi diskrit D. Ingat kembali bahwa setiap subset dari R adalah
D buka dan D tutup, dimana D merupakan subset padat dari R dalam R sendiri dan R
bukan set kontabel, sehingga (R,D) bukan ruang terpisah.
 Teorema: Bila X memenuhi aksioma kedua dari kontabilitas maka X adalah terpisah.
 Garis real R dengan topologi yang dibangun olrh interval tutup buka [a,b) adalah
contoh klasik (biasa) dari ruang terpisah yang tidak memenuhi aksioma kedua dari
kontabilitas. Dengan demikian maka konvers dari teorema diatas pada umumnya
tidak benar.
SIFAT-SIFAT HEREDITER
 Sifat P dari ruang topologi X disebut herediter bila dan hanya
bila setiap ruang bagian dari X mempunyai sifat P. Setiap ruang
bagian dari ruang kontabel kedua adalah kontabel kedua dan
setiap ruang bagian dari ruang kontabel pertama adalah
kontabel pertama. Dengan kata lain aksioma pertama dan
kedua, kedua-duanya herediter, tetapi ruang bagian dari
ruang terpisah tidak perlu terpisah yaitu terpisah bukan berarti
herediter.
BAB VII
AKSIOMA PEMISAH
RUANG – T1
RUANG HAUSDORFF (RUANG – T2)
RUANG REGULER (RUANG – T3)
RUANG NORMAL (RUANG – T4)
LEMMA URYSOHN’S DAN TEOREMA METRISASI
FUNGSI TITIK-TITIK TERPISAH
RUANG REGULER LENGKAP
RUANG – T1
 Ruang topologi X disebut Ruang regular bila dan hanya bila memenuhi aksioma [R]:
 Bila F subset tutup dari X dan 𝑝 ∈ 𝑋 bukan anggota F maka ada set-set buka G dan H
yang saling lepas (disjoint) sedemikian hingga 𝐹 ⊂ 𝐺 𝑑𝑎𝑛 𝑝 ∈ 𝐻
 Suatu Ruang Regular tak perlu Ruang – T1 dan Ruang regular X yang memenuhi
aksioma pemisah T1 atau Ruang – T1 disebut Ruang – T3 dengan contoh berikut:
 Misal X adalah ruang T3 maka X adalah ruang Hausdorff yaitu ruang T2 dapat
ditunjukkan dengan dimisalkan (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑋 titik-titik yang berbeda. Karena X ruang T1
maka 𝑎 adalah set tutup dan karena a dan b berbeda maka 𝑏 ∉ 𝑎 . Menurut [R],
ada set-set buka G dan H yang lepas sedemikian hingga 𝑎 ⊂ 𝐺 𝑑𝑎𝑛 𝑏 ∈ 𝐻 sehingga
a dan b berturut-turut termasuk ke dalam set-set buka G dan H yang lepas.
 Topologi 𝜏 = 𝑋, ∅, 𝑎 , 𝑏, 𝑐 pada set = 𝑎, 𝑏, 𝑐 . Perhatikan bahwa subset-subset tutup
dari X adalah 𝑋, ∅, 𝑎 , 𝑏, 𝑐 dan (𝑋, 𝜏) memenuhi [R] tetapi (𝑋, 𝜏) bukan ruang T1
karena ada set terhingg 𝑏 tidak tutup.
RUANG HAUSDORFF (RUANG – T2)
 Ruang topologi X disebut Ruang hausdorff atau Ruang – T2 bila dan hanya bila
memenuhi aksioma [T2]:
Setiap pasang titik yang berbeda 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑋 berturut-turut termasuk ke dalam set-set
buka yang lepas (disjoint)
 Dengan kata lain (T2), ada set-set buka G & H sedemikian hingga:
𝒂 ∈ 𝑮, 𝒃 ∈ 𝑯 𝒅𝒂𝒏 𝑮 ∩ 𝑯 = ∅
 Teorema: Setiap ruang metrik adalah ruang hausdorff
 Pada umumnya, barisan (a1,a2, ...) dari titik-titik di dalam ruang topologi konvergen ke
lebih dari satu titik. Hal ini tidak berlaku bila X Ruang Hausdorff seperti dinyatakan
dalam teorema berikut:
Bila X ruang hausdorff maka setiap barisan konvergen dalam X mempunyai limit
yang unik (konversnya tidak benar)
Bila X adalah ruang kontabel pertama maka X adalah Ruang Hausdorff bila dan
hanya bila setiap barisan konvergen mempunyai limit yang unik.
RUANG REGULER (RUANG – T3)
 Ruang topologi X disebut Ruang regular bila dan hanya bila memenuhi aksioma [R]:
H
Bila F subset tutup dari X dan 𝑝 ∈ 𝑋 bukan anggota F maka ada set-set buka G
yang saling lepas (disjoint) sedemikian hingga 𝐹 ⊂ 𝐺 𝑑𝑎𝑛 𝑝 ∈ 𝐻
dan
 Suatu Ruang Regular tak perlu Ruang – T1 dan Ruang regular X yang memenuhi aksioma
pemisah T1 atau Ruang – T1 disebut Ruang – T3 dengan contoh berikut:
 Misal X adalah ruang T3 maka X adalah ruang Hausdorff yaitu ruang T2 dapat
ditunjukkan dengan dimisalkan (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑋 titik-titik yang berbeda. Karena X ruang T1
maka 𝑎 adalah set tutup dan karena a dan b berbeda maka 𝑏 ∉ 𝑎 . Menurut [R], ada
set-set buka G dan H yang lepas sedemikian hingga 𝑎 ⊂ 𝐺 𝑑𝑎𝑛 𝑏 ∈ 𝐻 sehingga a dan b
berturut-turut termasuk ke dalam set-set buka G dan H yang lepas.
 Topologi 𝜏 = 𝑋, ∅, 𝑎 , 𝑏, 𝑐 pada set = 𝑎, 𝑏, 𝑐 . Perhatikan bahwa subset-subset tutup
dari X adalah 𝑋, ∅, 𝑎 , 𝑏, 𝑐 dan (𝑋, 𝜏) memenuhi [R] tetapi (𝑋, 𝜏) bukan ruang T1 karena
ada set terhingg 𝑏 tidak tutup.
RUANG NORMAL (RUANG – T4)
 Ruang topologi X disebut ruang normal bila dan hanya bila
memenuhi aksioma berikut:
 Bila F1 dan F2 saling lepas dan merupakan subset-subset buka G
dan H yang saling lepas sedemikian hingga 𝐹1 ⊂ 𝐺 𝑑𝑎𝑛 𝐹2 ⊂ 𝐻.
 Ruang normal mempunyai sifat dengan teorema berikut:
 Ruang topologi X adalah Ruang Normal bila dan hanya bila
untuk setiap set tutup F dan set buka H yang memuat F, ada set
buka G sedemikian hingga 𝐹 ⊂ 𝐺 ⊂ 𝐺 ⊂ 𝐻
LEMMA URYSOHN’S DAN TEOREMA METRISASI
Teorema Lemma Urysohn’s:
 Misal F1 dan F2 salin lepas dan merupakan subset-subset tutup dari
ruang normal X maka ada fungsi kontinu 𝑓: 𝑋 → [0,1] sedemikian
hingga 𝑓 𝐹1 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑓 𝐹2 = 1 .
Teorema Metrisasi Urysohn:
 Setiap Ruang – T1 normal kontabel kedua adalah metrisabel.
FUNGSI TITIK-TITIK TERPISAH
Misal 𝒜 = 𝑓𝑖: 𝑖 ∈ 𝐼 adalah kelas dari fungsi-fungsi dari
set X ke dalam set Y. Kelas 𝒜 dari fungsi-fungsi disebut
titik-titik terpisah bila dan hanya bila untuk suatu
pasangan dari titik-titik yang berbeda 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑋 ada fungsi
f dalam 𝒜 sedemikian hingga 𝑓(𝑎) ≠ 𝑓(𝑏) dengan
proposisi:
Bila C(X,R) kelas dari semua fungsi kontinu bernilai real
pada ruang topologi terpisah X, maka X adalah Ruang
Hausdroff.
RUANG REGULER LENGKAP
 Ruang topologi disebut ruang regular lengkap bila dan hanya bila memenuhi aksioma:
Bila F subset tutup dari X dan 𝑝 ∈ 𝑋 bukan anggota dari F maka ada fungsi kontinu
𝑓: 𝑋 → [0,1] sedemikian hingga 𝑓 𝑝 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑓 𝐹 = 1.
 Proporsisi: Ruang Reguler Lengkap adalah Ruang Reguler
 Ruang regular lengkap X yang memenuhi [T1] yaitu ruang T1 reguler lengkap disebut Ruang
Tychonoff. Berdasarkan atas Lemma Urysohn, ruang – T4 adalah Ruang Tychonoff dan
menurut proposisi bahwa Ruang Tychonoff adalah Ruang T3 sehingga Ruang Tychonoff
yaitu Ruang – T1 Reguler Lengkap, kadang-kadang disebut Ruang – T3 ½.
 Salah satu sifat penting dari Ruang Tychonoff adalah teorema berikut:
(X,R) yaitu kelas dari semua fungsi kontinu bernilai real ada Ruang – T1 – Reguler Lengkap
X adalah titik-titik pisah.
BAB VIII
KETERHUBUNGAN (CONNECTEDNESS)
SET-SET TERPISAH
SET TERHUBUNG
RUANG TERHUBUNG
KOMPONEN
RUANG TERHUBUNG LOKAL
SET-SET TERPISAH
Dua set A dan B dari ruang topologi X disebut terpisah, bila:
 A dan B saling lepas (disjoint) dan
 Titik kumpul dari A tidak termasuk anggota set B dan sebaliknya.
Dengan kata lain, A dan B terpisah bila dan hanya bila 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ 𝑑𝑎𝑛 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅.
Contoh:
 Perhatikan interval-interval pada garis real R berikut: A=(0,1) , B=(1,2) dan C=[2,3)
A dan B terpisah karena 𝐴 = 0,1 𝑑𝑎𝑛 𝐵 = 1,2 𝑑𝑎𝑛 𝑗𝑢𝑔𝑎 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ 𝑑𝑎𝑛 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅
Tetapi B dan C tidak terpisah karena 2 ∈ 𝐶 adalah titik kumpul dari B sehingga
𝐵 ∩ 𝐶 = 1,2 ∩ 2,3 = 2 ≠ ∅ .
 Perhatikan subset-subet pada bidang R2 berikut:
𝐴=
1
0, 𝑦 : 2 ≤ 𝑦 ≤ 1
𝐵=
1
𝑥, 𝑦 : 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 , 0 < 𝑥 ≤ 1
Tiap-tiap titik dalam A adalah titik kumpul dari B sehingga A dan B bukan set-set
terpisah.
SET TERHUBUNG
 Subset A dari ruang topologi X disebut tidak terhubung (disconnected) bila ada subset-subset buka G
dan H dari X sedemikian hingga 𝐴 ∩ 𝐺 𝑑𝑎𝑛 𝐴 ∩ 𝐻 merupakan set-set tidak kosong yang saling lepas dan
gabungannya sama dengan A. Dalam hal ini, 𝐺 ∪ 𝐻 disebut tak terhubung dari A. suatu set disebut
terhubung (connected) bila set tersebut tidak tak terhubung.

Perhatikan bahwa: 𝐴 = 𝐴 ∩ 𝐺 ∪ 𝐴 ∩ 𝐻 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑑𝑎𝑛 ℎ𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝐴 ⊂ 𝐺 ∪ 𝐻
∅ = 𝐴 ∩ 𝐺 ∩ 𝐴 ∩ 𝐻 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑑𝑎𝑛 ℎ𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝐺 ∩ 𝐻 ⊂ 𝐴𝑐
 Oleh karena itu 𝐺 ∪ 𝐻 tak terhubung bila dan hanya bila:
𝐴 ∩ 𝐺 = ∅, 𝐴 ∩ 𝐻 = ∅, 𝐴 ⊂ 𝐺 ∪ 𝐻 𝑑𝑎𝑛 𝐺 ∩ 𝐻 ⊂ 𝐴𝑐

Catatan:
Set kosong ∅ dan set singleton 𝑝 selalu terhubung.
Contoh:
 Perhatikan topologi pada 𝑋 = 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 dengan 𝜏 = 𝑋, ∅, 𝑎, 𝑏, 𝑐 , 𝑐, 𝑑, 𝑒 , 𝑐
 Set 𝐴 = 𝑎, 𝑑, 𝑒 adalah tak terhubung karena untuk 𝐺 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 dan 𝐻 = 𝑐, 𝑑, 𝑒 maka 𝐴 ∩ 𝐺 = 𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝐴 ∩
𝐻 = 𝑑, 𝑒 merupakan set-set lepas yang tidak kosong dan gabungannya =A (G dan H tidak lepas).
Hubungan dasar antara keterhubungan dan keterpisahan dengan teorema;
 Suatu set disebut terhubung bila dan hanya bila set tersebut buka merupakan gabungan dari set-set
terpisah yang tidak kosong.
 Bila A dan B set-set terhubung yang tidak terpisah maka 𝐴 ∪ 𝐵 adalah terhubung.
RUANG TERHUBUNG
Keterhubungan adalah sifat mutlak dari suatu set dengan teorema:
 Bila A subset dari ruang topologi (𝑋, 𝜏) maka A terhubung
terhadap 𝜏 bila dan hanya bila A terhubung terhadap topologi
relative 𝜏𝐴 pada A.
 Ruang topologi X adalah terhubung bila dan hanya bila:
 X bukan gabungan dari dua set buka tidak kosong yang lepas;
atau
 Hanya 𝑋 𝑑𝑎𝑛 ∅ merupakan subset-subset dari X yang keduanya
set buka dan tutup.
 Bayangan kontinu dari set terhubung adalah terhubung
KOMPONEN
 Komponen E dari ruang topologi X adalah subset terhubung maksimal dari X sehingga E
terhubung dan E bukan subset murni dari suatu subset terhubung dari X. Jelaslah E tidak
kosong.
Teorema:
 Komponen-komponen dari ruang topologi X membentuk suatu partisi dari X sehingga
komponen-komponen tersebut saling lepas dan gabungannya adalah X. Setiap subset
terhubung dari X termasuk ke dalam sebarang komponen.
 Produk (perkalian) dari ruang terhubung adalah terhubung.
Contoh:
 Bila X terhubung maka X mempunyai tepat satu komponen yaitu X itu sendiri.
 Perhatikan topologi pada 𝑋 = 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒
 dengan 𝜏 = 𝑋, ∅, 𝑎 , 𝑐, 𝑑 , 𝑎, 𝑐, 𝑑 , 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒
 Komponen dari X adalah 𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 .
 Subset terhubung dari X , seperti 𝑏, 𝑑, 𝑒 adalah satu subset dari komponen-komponen.
RUANG TERHUBUNG LOKAL
 Ruang topologi X disebut terhubung lokal di 𝑝 ∈ 𝑋 bila dan hanya bila setiap set buka yang
memuat p termasuk dalam set buka terhubung yang memuat p yaitu bila set-set terhubung
buka yang memuat p membentuk basis lokal di p. X disebut terhubung lokal bila X
terhubung lokal di setiap titik atau bila subset-subset terhubung dari X membentuk basis
untuk X.
Contoh:
 Setiap ruang diskrit X adalah terhubung lokal karena bila 𝑝 ∈ 𝑋 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑝 adalah set
terhubung buka yang memuat p, yang termasuk ke dalam setiap set buka yang memuat p.
Catatan: X tak terhubung bila X memuat lebih dari satu titik.
 Perhatikan subset-subet pada bidang R2 berikut
1
𝐴 = 0, 𝑦 : ≤ 𝑦 ≤ 1
2
1
𝐵 = 𝑥, 𝑦 : 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 , 0 < 𝑥 ≤ 1
𝑥
𝐴 ∪ 𝐵 adalah set-set terhubung, tetapi 𝐴 ∩ 𝐵 bukan terhubung lokal di 𝑝 = (0,1).
BAB IX
KEKOMPAKAN (COMPACTNESS)
SAMPUL (COVER)
SET KOMPAK
SUBSET DARI RUANG KOMPAK
KEKOMPAKAN DAN RUANG HAUSDORFF
SAMPUL (COVER)
 Misalkan 𝒜 = 𝐺𝑖 adalah kelas dari subset-subset dari X sedemikian hingga 𝐴 ⊂ 𝑈𝑖𝐺𝑖
untuk sebarang 𝐴 ⊂ 𝑋. Ingat kembali bahwa 𝒜 disebut sampul (cover) dari A dan 𝒜
disebut sampul buka bila tiap 𝐺𝑖 adalah buka. Selanjutnya, bila suatu kelas bagian
terhingga dari 𝒜 merupakan sampul juga dari A yaitu ada 𝐺𝑖1 , … , 𝐺𝑖𝑚 ∈ 𝒜 sedemikian
hingga 𝐴 ⊂ 𝐺𝑖1 ∪ 𝐺𝑖2 ∪ ⋯ ∪ 𝐺𝑖𝑚 , maka 𝒜 disebut tereduksi ke sampul terhingga atau
memuat sampul bagian terhingga.
 Teorema Heine-Borel: Setiap sampul buka dari interval tutup terbatas A=[a,b] adalah
tereduksi ke sampul terhingga.
Contoh:
 Misal kelas 𝒜 = 𝐷𝑝 : 𝑝 ∈ 𝐵𝑥𝐵 , B set bilangan-bilangan bulat, Dp: daerah buka pada
bidang R2 dengan jari-jari 1 dan pusatnya p = (m,n), dimana 𝑚, 𝑛 ∈ 𝐵 maka 𝒜 adalah
sampul dari R2 yaitu setiap titik dalam R2 termasuk ke paling sedikit anggota dari 𝒜
tetapi kelas dari daerah-daerah buka 𝔹 = 𝐷𝑝∗ : 𝑝 ∈ 𝐵𝑥𝐵 , dengan Dp mempunyai pusat
p dan jari-jari ½ bukan sampul dari R2.
1 1
 Diambil contoh, titik (2 , 2) ∈ 𝑅2 tidak termasuk ke suatu anggota dari 𝔹.
SET KOMPAK
 Definisi:
Subset A dari ruang topologi X disebut kompak bila setiap
sampul (cover) buka dari A
tereduksi ke sampul terhingga.
 Dengan kata lain, bila A kompak dan 𝐴 ⊂ 𝑈𝑖𝐺𝑖 dengan Gi set-set
buka maka dapat terpilih terhingga banyaknya set-set buka
misalkan 𝐺𝑖1 , … , 𝐺𝑖𝑚 , 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝐴 ⊂ 𝐺𝑖1 ∪ ⋯ ∪ 𝐺𝑖𝑚 .
 Teorema: Bayangan-bayangan kontinu dari set-set kompak
adalah kompak.
 Bila A subset dari ruang topologi (𝑋, 𝜏) maka A adalah kompak
terhadap 𝜏 bila dan hanya bila A kompak terhadap toplogi relatif
𝜏𝐴 pada A.
SUBSET DARI RUANG KOMPAK
Subset dari ruang kompak tidak perlu kompak, misalnya,
interval unit tutup [0,1] adalah kompak menurut
teorema Heine-Borel, tetapi interval buka (0,1) subset
dari [0,1] tidak kompak.
Teorema: Bila F subset tutup dari ruang kompakX maka
F juga kompak
KEKOMPAKAN DAN RUANG HAUSDORFF
 Berikut ini relasi konsep kekompakan dengan sifat pemisah dari ruang hausdorff dengan
teorema:
 Setiap subset kompak dari ruang Hausdorff adalah tutup (tidak berlaku umum misalkan
untuk ruang topologi seperti set-set terhingga selalu kompak tetapi ada ruang topologi
yang terdiri dari subset-subset terhingga yang tidak semuanya tutup).
 Bila A dan B saling lepas dan merupakan subset-subset kompak dari ruang Hausdorff
maka ada set-set buka yang lepas G dan H sedemikian hingga 𝐴 ⊂ 𝐺 𝑑𝑎𝑛 𝐵 ⊂ 𝐻.
 Bila f fungsi satu-satu yang kontinu dari ruang kompak X ke dalam ruang Hausdorff Y
maka X dan f[X] adalah Homoemorphik (sangat penting dalam geometri tetapi tak
berlaku umum).
 Dalam keadaan khusus, bila X ruang Hausdorff dan kompak, dan F1 dan F2 subset-subset
tutup saling lepas dari X maka F1 dan F2 adalah kompak sehingga F1 dan F2 adalah
subset-subset dari dua set buka yang saling lepas dengan dinyatakan dalam Corollary:
Setiap ruang Hausdorff kompak adalah normal.
KONTABILITAS SET KOMPAK
 Subset A dari ruang topologi X disebut kontabel kompak bila dan hanya bila setiap subset tak
hingga B dari A mempunyai titik kumpul dalam A.
Teorema Bolzano – Weierstrass :
 Setiap set tak hingga yang terbatas dari bilangan-bilangan real
mempunyai titik kumpul.
Teorema;
 Misal A subset dari ruang topologi X. Bila A kompak atau barisan kompak maka A kontabel
kompak.
Contoh:
 Misal 𝜏 adalah topologi pada 𝑁 = 1,2,3, … yang terdiri dari set-set 1,2 , 3,4 , 5,6 , …
 Misal A adalah subset tak kosong dari N dan 𝑛0 ∈ 𝐴 dan bila 𝑛0 ganjil maka 𝑛0 + 1 adalah titik
kumpul dari A dan bila bila 𝑛0 genap maka 𝑛0 − 1 adalah titik kumpul dari A. Dalam kedua hal
ini, A mempunyai titik kumpul sehingga (𝑁, 𝜏) adalah kontabel kompak.
 Tetapi (𝑁, 𝜏) tidak kompak karena 𝒜 = set 1,2 , 3,4 , 5,6 , … adalah sampul buka dari N yang
bukan sampul bagian terhingga dan selanjutnya (𝑁, 𝜏) bukan barisan kompak karena barisan
1,2,3, … tidak memuat barisan bagian yang konvergen.
RUANG KOMPAK LOKAL
 Ruang topologi X disebut ruang kompak local bila dan hanya bila setiap titik dalam X
mempunyai lingkungan kompak.
Contoh:
 Perhatikan garis real R pada topologi biasa dan perhatikan bahwa tiap-tiap titik 𝑝 ∈ 𝑅
merupakan titik interior dari interval tutup 𝑝 − 𝛿, 𝑝 + 𝛿 dan interval tutup tersebut
kompak menurut teorema Heine – Borel. Jadi R adalah ruang kompak local tetapi R
bukan ruang kompak karena untuk kelas 𝒜 = … , −3, −1 , −2,0 , −1,1 , 0,2 , 1,3 , …
adalah sampul buka dari R tetapi tidak memuat sampul bagian terhingga.
 Dengan demikian terlihat bahwa ruang kompak lokal tak perlu merupakan ruang
kompak, tetapi katena suatu ruang topologi adalah lingkungan dari tiap-tiap titik maka
konvers dari definisi diatas benar dengan proposisi sebagai berikut:
 Setiap ruang kompak adalah kompak lokal.