lembar kerja siswa

IDENTITAS TRIGONOMETRI
Indikator :  Siswa dapat menggunakan Identitas Trigonometri dalam penyelesaian soal
 Siswa dapat membuktikan beberapa Identitas Trigonometri yang sederhana
Materi : 1. Hubungan Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut
( LENGKAPILAH ISIAN BERIKUT )
Lihat Gambar :
Y
 OPP1 siku-siku di P1
......
......
......
Cos o =
......
Sin o =
P(x,y)
r
y
Tan o =
o
x
O
......
......
Berlaku Rumus Pythagoras : X2 + y2 = ..........
)
x2
r2
)
Jika kedua ruas dibagi r2 :

y2
r2

r2
r2
2
2
y
x
      ....
r
 ... 

X
P1
 (Cos o)2 + (Sin o)2 = ....
 Cos2 o + Sin2 o = .........
) Jika kedua ruas dibagi y2 :
2
2
2
Dengan cara sama :
x
y
2
y

y
2

y
x
 
x
 ... 
       
 ... 
 ... 
 
2
 (Cot o)2 + 1 = ....... o
 Cot
2
x
2
2
2

r
) Jika kedua ruas dibagi x2 :
2
2
2
o + 1 = .........
2

y
x
2

2
r
x2
2





y
 ... 
      
 ... 
 ... 


1+ (tan o)2

1 + Tan 2 o = .........
2
= ....... o
Identitas Trigonometri dasar yang menghubungkan satu perbandingan trigonometri dengan
perbandingan trigonometri yang lain, pernah kita bahas...  sehingga
kita mendapatkan rumus-rumus dari keterangan di atas antara lain :
Untuk Setiap sudut  berlaku hubungan :
1. Rumus Phytagoras :
a. Cos 2  + Sin 2  = 1

 Cos 2  = 1 – Sin 2 
 Sin 2  = . . . .
b. Tan 2  + 1 = Sec 2 
Cot 2  + 1 = Csc 2 

 Tan 2  = Sec 2  – 1
 Cot 2  = . . . .
2. Rumus Perbandingan :
sin 
Tan  =
cos 
Cot  =
2. Rumus Kebalikan :
Sec  =
1
cos 
Cosec  =
Cot  =
1
sin 
1
tan 



Sec2  =
1
cos2 
....
Cosec2  =
....
Cot2  =
1
tan 2 
cos 
sin 


Tan2  =
Cot2  =
sin2 
cos2 
....
....
Contoh :
Gunakan Identitas Trigonometri tersebut untuk menyelesaiakan soal berikut :
1. Nyatakan bentuk trigonometri berikut ke bentuk sinus :
b. 4 cos2 x – 4
a. tan x cos x
Jawab :
a. tan x cos x
=
sin x
. Cos x
cos x
= sin x
b. 4 cos2 x – 4
= 4 (1 – Sin 2 x ) – 4
= 4 – 4 sin2 x – 4
= – 4 sin2 x
2. Tentukan hasil bentuk trigonometri : tan2 x cos2 x + cos2 x
Jawab :
tan2 x cos2 x + cos2 x
=
sin2 x
2
cos x
. cos2 x + cos2 x
= sin2 x + cos2 x
= 1
Materi : 2. Membuktikan Identitas Trigonometri yang Sederhana.
Identitas trigonometri adalah Identitas yang memuat perbandingan trigonometri.
Untuk meunjukkan kebenaran suatu identitas dapat dilakukan dengan
Pilih yang
mana ??



Mengubah ruas kiri supaya menjadi sama dengan ruas kanan.
Mengubah ruas kanan supaya menjadi sama dengan ruas kiri.
Mengubah kedua ruas persamaan, shg menjadi bentuk yg sama.
Dalam Aljabar berlaku Identitas-identitas (rumus-rumus) sbb:
 ( x + y )2 = .......... ............
 x2 – y2
= .......... ............
 x3 + y3
= ( x + y )( x2 + xy + x2 )
 x3y2 + x2y = .......... ............
dan berlaku dalam Trigonometri, seperti yg telah kita bahas di atas....
Contoh :
1. Buktikan Kebenaran Identitas Trigonometri berikut :
a. ( cos  + sin  )2 – 2 sin  cos  = 1
b. 3 + 5 sin2x = 8 – 5 cos2x
2. Buktikan Identitas Trigonometri berikut :
a. ( 1 + cos  ) ( 1 – cos  ) = sin  cos  tan 
b. Tan  =
Cot   sec 2 
1  cot 2 
Penyelesaian :
1a.
Ruas kiri :
( cos  + sin  )2 – 2 sin  cos 
= (cos2  + 2cos .sin  + sin2  ) – 2 sin  cos 
= (cos2  + sin2  + 2cos .sin ) – 2 sin  cos 
= (1 + 2cos .sin ) – 2 sin  cos 
= 1 = ruas kanan ( terbukti )
b.
Ruas kiri :
atau : Ruas kanan
8 – 5 cos2 x
= 8 – 5 ( 1 – sin2 x )
3 + 5 sin2x
= 3 + 5 ( 1 – cos2 x )
= 3 + 5 – 5 cos2 x
= 8 – 5 cos2 x
= Ruas kanan ( terbukti )
Penyelesaian :
2a. ( 1 + cos  ) ( 1 – cos  ) = sin  cos  tan 
Ruas kiri :
( 1 + cos  ) ( 1 – cos  )
=
8 – 5 + 5 sin2 x
=
3 + 5 sin2 x
= Ruas kiri ( terbukti )
2b. Tan  =
1  cot 2 
= 1– cos 
= sin2 
cos 
1

sin  cos2 
cos ec 2
=
Ruas kanan :
sin  cos  tan 
sin 
cos 
 1 cos  
= 
.
. sin2 
2
 sin  cos  
= sin 
 sin2  cos  
.
= 
.
2

 sin  cos  
Jadi Ruas kiri = Ruas kanan
Soal lain …. Buktikan Identitas berikut !
1. tan  + cot  = csc .sec 
2. tan β sin β = sec β – cos β
cos x
1  sin 
cos 
1

sin  cos2 
1
sin2 
=
2
3. sec x + tan x =
1  cot 2 
Ruas kanan :
Cot  sec 2 
2
= sin  cos 
Cot   sec 2 
 sin  1 
= 
.
.
 1 cos  
=
sin 
cos 
= tan  = ruas kiri ( terbukti )
2
cos A
=1
1  sin A
cos 
cos 

5.
= 2 sec θ
1  sin   sin
4. sin A +
 SELAMAT MENGERJAKAN 