Solusi Ujian 1 - FMIPA Personal Blogs

SOLUSI UJIAN 1 MA3231 PENGANTAR ANALISIS REAL
RABU, 18 FEBRUARI 2016, JAM 11.00 - 12.40
{
}
n2 + 1
: n ∈ N terbatas di bawah.
(1) (a) Buktikan bahwa himpunan A =
n2
(b) Tentukan inf A dan berikan buktinya.
Jawab:
2
(a) Untuk setiap n ∈ N, nn+1
≥ 1; jadi A terbatas di bawah (oleh 1).
2
(b) Klaim bahwa inf A = 1. Telah diperlihatkan pada bagian (a) bahwa 1 merupakan batas
bawah A. Selanjutnya, misalkan ϵ > 0 sembarang dan tinjau a = 1 + ϵ. Menurut Sifat
Archimedes, kita dapat memilih n ∈ N sedemikian sehingga n > √1ϵ . Untuk n ini, kita
2
mempunyai n12 < ϵ, sehingga nn+1
< 1 + ϵ. Jadi a bukan batas bawah A. Dengan demikian
2
1 adalah batas bawah terkecil dari A, yakni inf A = 1.
(2) (a) Tuliskan pernyataan Teorema Kepadatan Bilangan Rasional.
(b) Buktikan
√ jika x, y ∈ R dengan x < y, maka terdapat bilangan rasional r sedemikian sehingga
x < r 2 < y.
Jawab:
(a) Teorema Kepadatan Bilangan Rasional berbunyi: Untuk setiap x, y ∈ R dengan x < y,
terdapat r ∈ Q sedemikian sehingga x < r < y.
(b) Misal x, y ∈ R dengan x < y. Menurut Teorema Kepadatan Bilangan Rasional (yang akan
kita terapkan pada √x2 dan √y2 ), terdapat r ∈ Q sedemikian sehingga √x2 < r < √y2 . Kalikan
√
√
ketiga ruas dengan 2, kita peroleh x < r 2 < y.
n + 1 1
(3) (a) Tentukan N sehingga jika bilangan asli n > N , maka − < 0, 1.
2n
2
n+1
1
= .
(b) Dengan menggunakan definisi, buktikan lim
n→∞ 2n
2
Jawab:
(a) Pilih N = 5, maka untuk bilangan asli n > N berlaku:
n + 1 1
1
1
2n − 2 = 2n < 2N = 0, 1.
(b) Ambil ϵ > 0. Pilih N =
(4) Misalkan a1 > 0 dan an+1 =
1
, maka untuk bilangan asli n > N berlaku:
2ϵ
n + 1 1
1
1
2n − 2 = 2n < 2N = ϵ.
3
untuk semua n ∈ N.
2 + an
1
2
RABU, 18 FEBRUARI 2016, JAM 11.00 - 12.40
(a) Buktikan bahwa an > 0 untuk semua n ∈ N.
(b) Buktikan bahwa barisan {an } Cauchy dengan cara membuktikan barisan {an } kontraktif:
terdapat 0 < C < 1, sehingga untuk n ≥ 2 berlaku |an+1 − an | < C |an − an−1 |.
(c) Cari limit barisan {an }.
Jawab:
(a) Tulis P (n) : an > 0. Didapat pernyataan P (1) benar. Andaikan pernyataan P (n) benar,
maka
3
> 0,
an > 0 −→ 2 + an > 0 ←→ an+1 =
2 + an
sehingga diperoleh pernyataan P (n + 1) benar. Jadi pernyataan P (n) benar untuk semua
n ∈ N.
(b) Karena an > 0 untuk semua n ∈ N, maka untuk n ≥ 2 berlaku:
3
3
−
|an+1 − an | = 2 + an 2 + an−1 3
|an − an−1 |
(2 + an )(2 + an−1 )
3
|an − an−1 |.
<
4
Jadi barisan {an } kontraktif, yang mengakibatkan {an } Cauchy.
(c) Karena barisan {an } Cauchy, maka {an } konvergen. Tulis lim an = a, maka
=
n→∞
3
3
lim an+1 = lim
←→ a =
←→ a = −3 atau a = 1.
n→∞
n→∞ 2 + an
2+a
Karena an > 0 untuk semua n, maka a ≥ 0. Jadi lim an = 1.
n→∞
(5) (a) Tuliskan definisi deret
∞
∑
an konvergen ke S.
n=1
(b) Buktikan jika deret
∞
∑
an konvergen ke S, maka deret
n=1
Jawab:
(a) Tulis SN =
N
∑
∞
∑
an+1 konvergen ke S − a1 .
n=1
an jumlah parsial dari deret
n=1
∞
∑
an . Deret
n=1
∞
∑
an konvergen ke S apabila
n=1
lim SN = S.
N →∞
(b) Tulis SN =
deret
∞
∑
N
∑
an jumlah parsial dari deret
n=1
∞
∑
an dan TN =
n=1
N
∑
an+1 jumlah parsial dari
n=1
an+1 . Diketahui lim SN = S. Selanjutnya untuk N ∈ N berlaku TN = SN +1 − a1 ,
N →∞
n=1
sehingga lim TN = lim (SN +1 − a1 ) = S − a1 Jadi
N →∞
N →∞
∞
∑
n=1
an+1 konvergen ke S − a1 .