Dadang Juandi dkk.PROGRAM STUDI

KALKULUS 1
UNTUK MAHASISWA
2009
CALON GURU MATEMATIKA
OLEH:
DADANG JUANDI, DKK
PROGRAM STUDI
PENDIDIKAN MATEMATIKA
FPMIPA
UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Sistem Bilangan Real
Dalam Uraian sitem bilangan real di bawah ini, dibicarakan tentang sifat lapangan
bilangan real, sifat kerapatan pada bilangan real, dan sifat urutan. Sifat lapangan memberikan
rumus-rumus aljabar elementer yang sering digunakan dalam perhitungan matematika. Sifat
urutan bilangan real menghasilkan bilangan positif, nol, dan bilangan negatif. Selain itu, sifat
urutan memberikan relasi antara dua bilangan real, yaitu kurang dari, sama dengan, atau
lebih dari yang melahirkan konsep pertidaksamaan dan nilai mutlak yang sama penting
dalam kalkulus. Sedangkan sifat kerapatan bilangan rasional pada bilangan real menyatakan
bahwa diantara dua bilangan real sebarang yang berlainan terdapat suatu bilangan rasional.
1.1.1
Sifat-Sifat Lapangan Bilangan Real
Sistem bilangan real dan sifat-sifatnya merupakan dasar dalam kalkulus. Sebelum
membicarakan sistem bilangan real tersebut, terlebih dahulu akan dimulai dengan
membicarakan sistem bilangan yang paling sederhana yaitu bilangan asli. Bilangan asli
adalah bilangan-bilangan
1, 2, 3, 4, 5, .
Jika negatif dari bilangan asli digabungkan dengan bilangan nol diperoleh bilangan
bulat. Bilangan bulat adalah bilangan-bilangan
…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 
Bilangan-bilangan bulat tersebut dapat ditulis dalam bentuk desimal dengan dikanan
koma desimal hanya terdiri nol, sebagai contoh
5 5, 0000
13 13, 0000
2
2, 0000
Tanda “bar” menyatakan angka 0 diulang.
Bilangan-bilangan bulat belum memadai, bila dihadapkan kepada bilangan-bilangan
hasil pengukuran yang memerlukan ketelitian. Demikian pula bilangan-bilangan bulat
tersebut tidak memadai bila dihadapkan kepada bilangan yang merupakan hasil bagi dari
bilangan-bilangan bulat, misalnya bilangan 1 2, 1 3, 13 5, 18 2, dan 15 3.
Bilangan-bilangan
18 2 dan
15 3 dikelompokkan
kedalam
bilangan-bilangan
yang
merupakan hasil bagi dari bilangan –bilangan bulat yang secara normal dengan bilanganbilangan 9 dan 5 . Tetapi 7 0 dan 9 0 tidak dikelompokkan kedalam bilangan- bilangan
yang merupakan hasil bagi dari bilangan-bilangan bulat, karena tidak dapat diartikan arti
lambang-lambang tersebut. Bilangan-bilangan yang merupakan hasil bagi dari dua bilangan
bulat kecuali pembagian oleh nol disebut bilangan rasional.
Secara umum, bilangan rasional adalah bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk
dengan p dan q bilangan bulat, q
p
q
0 . Bentuk desimal bilangan-bilangan rasional selalu
berulang, sebagai contoh
1
4
0,250 ;
23
15
1,53 ;
2
3
28
11
0,6
2,54
Selanjutnya, bilangan-bilangan real yang tak dapat dinyatakan sebagai
bilangan bulat dan q
p
dengan p, q
q
0 disebut bilangan tak rasional. Bentuk desimal dari bilangan-
bilangan tak rasional adalah tak berulang. Sebaliknya suatu desimal tak berulang menyatakan
suatu bilangna tak rasioanal, misalnya
CONTOH 1: Tunjukkan bahwa
2
1, 414213562
2 adalah bilangan tak rasional.
Bukti:
Andaikan
2 adalah bilangan rasional, maka
denagn a, b bilangan bulat, b
sini diperoleh 2b2
Namakan a
2 dapat ditulis sebagai
2
a
b
0 , dan pembagi sekutu terbesar dari a dan b adalah 1. Dari
a2 . Karena a 2 kelipatan dua, maka a juga merupakan kelipatan 2.
2k untuk suatu bilangan bulat k, sehingga diperoleh
2b2
2k
b2
2k 2
2
4k 2
Dengan cara yang sama dapat disimpulkan bahwa b kelipatan 2. Hal ini berarti bahwa
a dan b mempunyai pembagi sekutu terbesar berkelipatan 2 yang kontradiksi. Dengan
pengambilan a dan b di atas. Jadi, pengandaian
haruslah
2 bilangan rasional adalah salah, dan
2 adalah bilangan tak rasional.
Sekumpulan bilangan (bilangan rasional dan bilangan tak rasional) bersama-sama
dengan bilangan negatifnya dinamakan bilangan real. Bilangan real dapat digambarkan oleh
himpunan semua titik yang terletak pada suatu garis. Pertama dipilih sebuah titik O. titik ini
ditandai dengan 1 (satu). Situasi tersebut dapat dilihat pada garis bilangan berikut ini.
s satuan
4
3
2
r satuan
1
0
1
-s
2
3
4
r
Gambar 1.1.1
Cara ini digunakan untuk memberi skala pada garis bilangan dan juga untuk
mempertimbangkan letak setiap bilangan real. Sebagai contoh, setiap bilangan real positif r
terletak r satuan di sebelah kanan O, dan setiap bilangan real negatif -s dengan s 0 terletak
s satuan di kiri O.
Misalkan x dan y dua bilangan real yang berlainan, kemudian dibentuk bilangan real
z
x y 2 yang merupakan bilangan pertengahan di antara x dan y. situasi ini
diperlihatkan pada gambar dibawah ini.
z
x
y /2
x
y
Gambar 1.1.2
Dengan cara yang sama, diperoleh suatu bilangan s diantara x dan z, dan bilangan lain
t di antara z dan y. Proses ini dapat diulangi sampai tak berhingga kali, sehingga diantara dua
bilangan real sebarang (tdak perduli betapapun dekatnya) terdapat tak berhingga banyaknay
bilangan real lain. Akibatnya bahwa di antara dua bilangan rasional terdapat suatu bilangan
rasioanl, dan diantara setiap dua bilangan tak rasional terdapat suatu bilangan tak rasioanl.
Dengan kata lain, bahwa bilangan rasional dan tak rasional keduanya rapat sepanjang garis
bilangan real. Hal ini berarti bahwa setiap bilangan mempunyai tetangga bilangan rasional
dan bilangan tak rasioanl yang cukup dekat dengannya. Kedua jenis bilangan tersebut saling
berkaitan satu sama lain dan bergerombol bersama-sama. Sebagai ilustrasi bahwa bilangan
tak rasioanl
2 dapat dihampiri oleh suatu bilangan rasioanl sedekat mungkin dengan
2,
misalnya 1; 1,4; 1,41; 1,41121; 1,414213; … adalah bilangan rasional yang berada dekat
dengan
2.
Perlu diperhatikan bahwa terdapat lambang-lambang baku untuk mengenali impunan-
himpunan bilangan, misalnya:
R
x x bilangan real
N
x x bilangan asli
Z
x x bilangan bulat
Q
x x bilangan rasional
1, 2,3, 4,
, 2, 1,0,1, 2,3, 4,
Operasi penjumlahan dan perkalian pada R memenuhi sifat lapangan atau sifat
medan bilangan real. Adapaun sifat lapangan bilangan real adalah sebagi berikut:
Untuk setiap x, y, z R, berlaku
1.
Sifat komutatif
x y y x
x y y x
2.
Sifat asosiatif
x
y
z
x yz
3.
y
z
xy z
Sifat distributif kali terhadap tambah
x y z
4.
x
xy xz
Unsur kesatuan
Terdapat unsur 0 (unsur kesatuan tambah atau unsur nol) dan 1 (unsur kesatuan kali
atau unsur
satuan) yang memenuhi
x 0 0 x x
x 1 1 x x
5.
Unsur balikan (invers)
i.
Untuk setiap x R, terdapat
ii.
Untuk setiap x R, x
x R sehingga x
0 terdapat x
1
x
0 (-x lawan dari x)
R sehingga x x
1
1 (x
1
kebalikan
dari x)
Berdasarkan sifat lapangan pada bilangan real dapat didefinisikan operasi biner
lainnya, yaitu operasi pengurangan (-) dan pembagian ( ).
Definisi 1.1.1 (Pengurangan dan Pembagian Bilangan Real):
Misalkan x, y R.
(a).
Pengurangan dari bilangan real x dengan y ditulis x- y didefinisikan dengan
x y
(b).
x
y
Pembagian dari bilangan real x oleh y
dengan x : y
x
y
x y
y
0 ditulis x : y didefinisikan
1
Perlu diingat bahwa operasi pengurangan saling invers dengan operasi penjumlahan,
dan operasi pembagian saling invers dengan operasi perkalian. Selain itu, dari sifat lapangan
pada R dapat diturunkan rumus-rumus aljabar elementer yang disajikan pada teorema
berikut.
Teorema 1.1.2 (Sifat-sifat Aljabar Elementer Bilangan Real):
Misalkan a, b, c adalah bilangan real
(a). Jika a
b , maka a c
b c dan ac
(b). Jika a c b c , maka a
b
(c). Jika ac bc dan c 0 , maka a
a
(d).
(e).
a
a b c
(g).
a 0 0 a
(h).
a b
(i).
a
(l).
0
ab ac
0
a b
b
ab , khususnya
a
b
1a
a
ab
Jika ab 0 , maka a
(k). Jika
1.1.2
a, a
(f).
(j).
b
a
1
1
bc
a
b
c
, maka ad
d
c
d
ad bc
, b
bd
0 atau b
0
bc, b
0, d
0, d
0
0
Sifat Urutan pada Bilangan Real
Sifat urutan pada bilangan real menurunkan suatu konsep yang membandingkan di
antara bilangan real, sehingga diperoleh suatu bilangan real lebih dari atau kurang dari
bilangan real lainnya. Pada bilangan real R, jika b terletak di sebelah kanan dari a pada garis
bilangan, dikatakan b “lebih dari” a dan ditulis b > a. Sedangkan sebaliknya dikatakan a
“kurang dari” b dan ditulis a < b.
Bilangan real bukan nol dibedakan menjadi bilangan real positif dan bilangan real
negatif. Dari fakta tersebut dapat diperkenalkan relasi urutan “<” yang disajikan pada
definisi-definisi berikut.
Definisi 1.1.3:
Diberikan a, b R .
(1)
a
b berarti b a positif atau b a
(2)
a
b berarti a
b atau a
(3)
b
a berarti a
b atau b a positif
0
b
Berikut ini diperkenalkan aksioma urutan yang sering disebut dengan sifat trikotomi.
Adapun aksioma urutan tersebut disajikan seperti dibawah ini.
Aksioma 1.1.4 (Aksioma urutan):
(1)
Jika a R , maka salah satu dari pernyataanpernyataan berikut berlaku: a
0
, a positif, atau -a negatif.
(2)
Jumlah dua bilangan real positif adalah bilangan positif
(3)
Perkalian dua bilanagn real positif adalah bilangan positif
Selanjutnya, akan dibicarakan sifat-sifat urutan yang disajikan pada teorema berikut.
Teorema 1.1.5 (Sifat-sifat Urutan):
Diberikan x, y, z, c R .
(1) Jika x
y dan y
z , maka x
(2) Jika x
y , maka x c
(3) Jika x
y dan c 0 , maka cx cy (Sifat Perkalian)
(4) Jika x
y dan c 0 , maka cx cy (Sifat Perkalian)
z (Sifat Transitif)
y c (Sifat Penambahan)
Teorema ini akan dibuktikan hanya bagian (1) dan (2), sedangkan bagian yang
lainnya dikerjakan para pembaca sebagai latihan.
Bukti:
(1) x
y
y berarti y x 0 (definisi),
z berarti z
y
0 (definisi).
Dari sini diperoleh
y
x
z
y
0 (jumlah dua bilangan positif)
y
x
x
z
z
z
x
x
z
(2) Karena x
y
0
0
0
komutatif
definisi
y , maka berarti y x 0 (definisi),
Dari sini diperoleh
y
x c c 0
y c x c 0
y c
x c
x c
0
y c
definisi
Latihan 1.1
Untuk soal nomor 1 sampai dengan nomor 9, buktikan kebenaran dari setiap pernyataan yang
diberikan.
1.
3 adalah bilangan tak rasional.
2.
Jumlah dua bilangan rasional adalah rasional
3.
0 a b jika dan hanya jika a 2
4.
0 a b jika dan hanya jika
5.
Jika a b , maka a
6.
Hasilkali sebuah bilangan rasional yang tak nol dengan sebuah bilangan tak rasional adalah
a b
2
1
a
b2
1
b
b
takrasioanal
7.
8.
9.
Jika bilangan asli m bukan merupakan bentuk kuadrat sempurna, maka
6
m tak rasional
3 adalah bilangan tak rasional.
Hasil kali sebuah bilangan rasional (selain nol) dengan sebuah bilangan tak rasional adalah
tak rasional. Petunjuk: coba buktikkan melalui kontradiksi.
Untuk soal nomor 10 sampai dengan 14, selidiki apakah setiap pernyataan yang diberikan benar?
Jika benar, buktikan kebenaran pernyataan tersebut. Tetapi jika pernyataan tersebut salah,
berikan contoh penyangkal yang menyatakan bahwa pernyataan tersebut salah.
10.
a
b , maka a 4 b 4
11.
a
b , maka
a
b
12.
a
b , maka a 2
ab
13.
a
b , maka a3
a2b
14. Jumlah dua bilangan tak rasional adalah tak rasional
Untuk soal nomor 15 sampai nomor 18, ubahlah masing-masing desimal berulang menjadi suatu
hasil bagi dua bilangan bulat.
15.
2,56565656
16.
0,217171717
17.
0,399999
18. 3,92929292
19. Cari bilangan tak rasional antara 3,14159 dan
20. Apakah bilangan
3,141592
22
positif, negatif atau nol?
7
21. Apakah bilangan 0,1234567891011121314 rasoanl atau tak rasional?
Jelaskan yang
mendasri jawaban Anda
22. Cari dua bilangan tak rasional yang jumlahnya rasional
23. Suatu bilangan b disebut batas atas dari suatu himpunan bilangan S, bila x b untuk setiap
x
S . Sebagai contoh 5; 6,5; dan 13 adalah batas atas dari himpunan 1,2,3,4,5 . Angka
5 merupakan batas atas terkecil dari S. berdasarkan pengertian di atas, tentukan batas atas
terkecil dari setiap himpunan berikut:
a. S
10, 8, 6, 4, 2
b. S
2, 2,1, 2,11, 2,111,
c. S
2,4,2,44,2,444,2,4444
d. S
1 1 2,1 1 3,1 1 4,1 1 5,1 1 6
e. S
x:x
f. S
x : x2
1
n
1
, n bilangan bulat positif
n
2, x adalah bilangan rasional
24. Aksioma kelengkapan pada bilangan real: setiap himpunan bilangan real yang memiliki
batas atas, mempunyai sebuah batas atas terkecil berupa bilangan real.
a. Tunjukkan bahwa pernyataan di atas adalah salah bila kata real diganti dengan
rasionnal
b. Apakah pernyataan tersebut benar atau salah, bila kata real
1.2 Pertidaksamaan
Pertidaksamaan adalah hubungan matematika yang mengandung tanda salah satu dari
,
,
,
dan suatu variabel. Semua himpunan bilangan real yang memenuhi
pertidaksamaan dinamakan himpunan penyelesaian. Penyelesaian pertidaksamaan dapat
diperoleh dengan menggunakan sifat-sifat urutan yang telah dibicarakan pada pasal sebelumnya.
Hmpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan dapat dituliskan dalam bentuk notasi himpunan
atau
dala
notasi
interval.
Pertidaksamaan-pertidaksamaan
yang
akan
dibahas
adala
pertidaksamaan linear, pertidaksamaan kuadrat, dan pertidaksamaan rasional.
Sebelum membicarakan pertidaksamaan , terlebih dahulu akan dibahas mengenai
pengertian interval yang sangat erat kaitannya dengan penulisan himpunan penyelesaian suatu
pertidaksamaan.
Suatu interval adalah himpunana bagian tak kosong dari R yang memenuhi ketaksamaan
yang didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 1.2.1 (Interval Terbatas):
a, b
x
R a x b
(
)
a, b
x
R a x b
[
]
a, b
x
R a
x b
(
]
a, b
x
R a
x b
[
)
Definisi 1.2.2 (Interval Tak Terbatas):
a,
x
R x a
a,
x
R x a
x
R x b
,b
a
a
b
,b
x
,
R x b
x
R
b
x
berarti “membesar tanpa batas” dan lambang
Perlu diingat bahwa lambang
berarti ”mengecil tanpa batas”
CONTOH 1: Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
a. x 2 5
b.
3
x 9
2
Penyelesaian:
a.
Perhatikan bahwa
x 2 5
x 2
x
2
5
2
3
Himpunan penyelesaiannya adalah x
b.
R x 3
,3
Perhatikan bahwa
3
x
2
2
3
9
x
3
x
2
2
3
9
6
Himpunan penyelesaiannya adalah x
R x
6
, 6
CONTOH 2: Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan x 2
x 2
4
Penyelesaian:
Perhatikan bahwa
x2
x 2 4
x2
x 6 0
x 2 x 3
0 
1
Nilai batas pertidaksamaan ini adalah x
2 dan x 3 , yang membuat ruas kiri (1)
bernilai nol. Nilai batas pertidaksamaan tersebut membagi garis atas tiga interval. Diagram
berikut cara untuk menentukan tanda pertidaksamaan pada selang
, 2 ,
2,3 , dan 3,+
.
Karena penentuan tanda pertidaksamaan pada diagram berlaku untuk sebarang nilai x
pada setiap interval bagiannya, maka menentukan tandanya cukup dengan mengambil salah satu
anggota dari interval bagiannya, yaitu

Ambil x
4 , kemudian subtitusikan ke ruas kiri (1) dan diperoleh 4 2 4 3
Hal ini dapat disimpulkan bahwa pertidaksamaan pada interval 3,
6 0.
positif (mengapa?).
gambarkan tanda positif pada interval tersebut.

Kerjakan hal serupa untuk selang
2,3 dan
, 2 dengan memeriksa tanda ruas kiri
(1) untuk salah satu anggotanya.
Selanjutnya cara menetukan penyelesaian pertidaksamaan x 2
x 2
4 dilakukan
dengan memperhatikan ambar garis bilangannya, carilah interval bagian yang bertanda sama
dengan pertidaksamaan (1) yaitu positif atau nol. Dari sini diperoleh hasil
, 2
3,
yang merupakan penyelesaian pertidaksamaan tersebut.
Proses penyelesaian pertidaksamaan pada ilustrasi si atas ditulis secara singkat sebagai
berikut:
x2
x 2
4
2
x 6
0
x 2 x 3
0
x
Himpunan penyelesaian adalah
, 2
3,
CONTOH 3
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x3 x 1
2
x 2
0
Penyelesaian:
Nilai batas pertidaksamaan adalah x
0, x
2 . Gambarkan semua nilai pada
1 dan x
garis bilangan dan tentukan tandanya, diperoleh
Himpunan penyelesaiannya adalah
, 1
1,0
2,
.
,0
Catatan: Himpunan penyelesaian ini seringkali ditulis
2,
1 .
Aturan Umum Menentukan Tanda Pertidaksamaan
Untuk pertidaksamaan yang terdiri dari berhingga faktor linear di ruas kiri dengan ruas
kanannya nol, tandanya dapat ditentukan dengan cara berikut:

Tetapkan tanda dari suatu interval bagiannya .

Bila melintasi nilai batas yang berasal dari faktor linear berpangkat bilangan ganjil, maka
tanda interval bagian berikutnya berubah.

Bila melintasi nilai batas yang berasal dari faktor linear berpangkat bilangan genap, maka
tanda interval bagian berikutnya tetap.
CONTOH 4
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
2
x
x 1.
Penyelesaian:
Pada kasus ini, x
0 (mengapa ?). disini tidak boleh mengalikan kedua ruas pertidaksamaan
dengan faktor x (mengapa ?).
Perhatikan bahwa
2
x
x 1
x 1
2
x
0
x2
x 2
0
x
x 2 x 1
x
, 2
Himpunan penyelesaian adalah
0
0,1
Catatan: Lambang “ ” menyatakan tak terefinisi.
CONTOH 5
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan
x 1
2 x
x
x 3
.
Penyelesaian:
Perhatikan bahwa
x 1
2 x
x
x 3
x 1
x
0
2 x x 3
x 1 x 3 x 2 x
2 x x 3
x2
4x 3 2x x2
2 x x 3
2x2 2x 3
2 x x 3
Karena 2 x 2
0
0
0
2 x 3 definit positif (bernilai positif untuk setiap x), maka pertidaksamaan
terakhir setara (ekuivalen) dengan
1
2 x x 3
0
Dengan penyelesaian pertidaksamaan ini diperoleh tanda-tanda pada garis bilangan real
Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah interval
3,2
Latihan 1.2:
Untuk soal nomor 1 sampai dengan 6, carilah semua nilai x yang memenuhi sistem
pertidaksamaan yang diberikan.
1.
3x 7 1 dan 2x 1 3
2.
3x 7 1 dan 2x 1
4
3.
3x 7 1 dan 2x 1
4
4.
3x 7 1 dan 2x 1
5
5.
3x 7 1 dan 2x 1
8
6.
3x 7 1 dan 2x 1
8
Untuk soal nomor 7 sampai dengan 14, tentukan himpunan penyelesaian dari setiap
pertidaksamaan yang diberikan.
7.
x4
x2
8.
2
9.
x 2
x2
10.
x 1 x2
11.
x2 1
0
x2
x
6
x 1
x 3
2
2x 7
x2 1
7 x2 1
10 0
12. 1 x x2
x3  x99
13. 1
x 3
x2
2
14. x
2
x
4
x
2
1.3 Nilai Mutlak
0
(1)
Y
f x
cot x
y
f x
x
cot 1 x
2
1
1
(2) Grafik fungsi f x
X
1
2
sec x dan inversnya
Y
f x
f x
sec x
sec 1 x
2
f x
1
1
1
X
2
1
2
y
x
f x
sec x
sec 1 x
CONTOH 4: Hitunglah nilai fungsi invers berikut:
a.
cos
1
b.
sin
1
c.
tan
1
d.
sec
1
a. Misalkan cos
1
1
3
2
3
2
3
2
Penyelesaian:
Jadi cos
1
1
3
2
1
sin
1
3
3
3
6
.
.
2
1
1
3 . Diperoleh x
2
x , maka cos x
x , maka sin x
3
2
c. Misalkan tan
tan
6
3
2
1
b. Misalkan sin
Jadi sin
1
3
2
3
. Akibatnya sin x
2
1 atau x
2
.
.
x , maka tan x
3 . Dalam hal ini diperoleh x
3
. Jadi
.
d. Untuk menyelesaikan soal ini, akan lebih mudah dengan menggunakan hubungan
sec 1 x
cos
1
1
x
(mengapa?). jadi, diperoleh sec
CONTOH 5: Tunjukkan bahwa cos 2 tan 1 x
1 x2
1 x2
Penyelesaian:
Misalkan
cos 2 tan 1 x
tan 1 x , maka . dengan demikian diperoleh
cos 2
1
2
cos
1
1
2
3
.
2 cos 2
1
2
1
sec 2
2
1
1 tan 2
2
1
1 x2
1 x2
1 x2
CONTOH 6 : Diketahui f x
cos
1
2x 3
5
(a). Diketahui D f dan R f
(b). Tentukan invers dari fungsi f
(c). Gambar grafik fungsi f dan f
1
Penyelesaian:
(a). Daerah asal fungsi f adalah D f
Agar f x
x
R , syaratnya adalah 1
R f x
R .
2x 3
1 , sehingga diperoleh
5
2x 3
1
5
5 2x 3 5
2 2x 8
1 x 4
1
Jadi, daerah asal fungsi f adalah Df
Daerah nilai fungsi f adalah R f
Jika 1 x 4 maka 1
cos
1
0 cos
0
1
1
f x
cos
2x 3
5
1
2x 3
5
1, 4 .
f x x Df .
2x 3
1 (mengapa?). Akibatnya, diperoleh
5
cos 1 1
Jadi daeah nilai fungsi f adalah R f
0,
.
(b). Untuk mencari invers fungsi f , nyatakan x dan y seperti berikut.
Tulis y
cos
2x 3
, maka diperoleh
5
1
2x 3
5
cos y
2x 3
5cos y
x
5
cos y
2
f
1
x
3
2
5
3
cos y
2
2
Jadi, invers fungsi f adalah
f
1
x
5
1
cos x 1 , 0
2
2
1
(c). Grafik fungsi f
Grafik f dan f
x
dengan Rf 1
Df
1,4
diperoleh dengan mencerminkan fungsi f terhadap garis y
1
disajikan dalam gambar berikut ini.
Y
4
y
x
32
0
1
1
32
4
X
x.
Latihan 1.5:
1.
2.
Hitunglah nilai fungsi invers trigonometri tanpa menggunakan kalkulator
3
2
a.
sin
1
b.
tan
1
c.
arc cos
2
2
d.
arc tan
3
3
3
Tentukan rumus untuk fungsi invers f 1 , kemudian batasilah daerah asal f agar f
1
ada.
3.
a.
f x
3cos 2x
b.
f x
1
tan x
2
c.
f x
2sin 3x
d.
f x
sin
Buktikan bahwa
a.
b.
4.
1
x
4
4
3 tan
1
4 tan
1
1
4
tan
1
1
5
tan
1
5
99
1
239
Tentukan daerah asal fungsi f , daerah nilai fungsi f , dan fungsi invers f 1 . Kemudian
gambar grafik fungsi f dan f
a.
f x
2sin
b.
f x
cos
c.
f x
2 tan
1
x 1
2x 3
5
1
1
x 3
1
dalam satu sistem koordinat.