Orbit Bintang Ganda Visual: Teori dan Aplikasi

S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
Orbit Bintang Ganda Visual:
Teori dan Aplikasi
Oleh
Dr.Suryadi Siregar DEA
Prodi Astronomi
FMIPA-ITB
Bandung, 2008
1
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
Kata Pengantar
Alasan didirikannya Observatorium Bosscha di Lembang pada tahun
1923 adalah untuk menyingkap tabir rahasia bintang bintang disebelah selatan
langit, bintang berdua visual adalah objek eksotis yang merupakan riset andalan
pada awal berdirinya Observatorium Bosscha. Itulah sebabnya kenapa teropong
Zeiss-60cm adalah instrument pertama yang diletakkan di atas sebuah bukit di
selatan desa Lembang. Tulisan ini merupakan upaya untuk mewariskan
pengalaman ketika mengerjakan Tugas Ahir dibawah bimbingan Dr. Elsa van
Albada van Dien dan Co-Pembimbing Dr.B.Hidayat, pada tahun tujuhpuluhan.
Pekerjaan itu diselesaikan penulis awal tahun 1976, yang merupakan salah satu
syarat untuk memperoleh gelar doktarandus. Kini tiga puluh tahun setelah itu,
domain telaah bintang ganda telah jauh berbeda. Teknologi Informasi sudah
merambah disemua segi kehidupan, mengimbas pada kemajuan teknologi, mulai
dari teknologi perekaman informasi, akuisisi data, basis data, system informasi
manajemen, teknologi digital, pengolahan citra dan segala ilmu yang bertautan
dengannya. Semua ini telah memungkinkan astronom menyelesaikan pekerjaan
dalam waktu yang relatif singkat, tepat dan cepat, dibandingkan dengan
tigapuluh tahun yang lalu. Tabel yang digunakan pada saat itu seperti tabel
logaritma, tabel Kepler, tabel presesi dan sebagainya kini tinggal kenangan
sejarah, yang hanya bisa kita temukan di museum.
Ada ungkapan kuno yang masih relevan, pisau yang baik hanya bisa
diperoleh dari pukulan dan tempaan, bukan dengan cara mengelus-elus.
Pekerjaan menentukan orbit bintang ganda visual bukan hanya melibatkan
kemahiran dalam menurunkan rumus, hitung menghitung, tapi ada sentuhan
perasaan dan kesabaran yang harus kita miliki. Metoda Least Square yang sering
digunakan untuk menentukan koefisien regresi suatu kurva, ternyata tidak dapat
diaplikasikan pada saat kita mencari konstanta Kepler. Komputer memang
membantu tapi tidak menentukan apakah kurva regresi itu sudah memenuhi
kaedah Keplerian. Menggambar kurva Kepler, lebih merupakan seni ketimbang
komputasi, inilah yang merupakan bagian tersulit dalam pekerjaan menghitung
orbit bintang ganda visual, penulis berharap ada peneliti yang mau menelaah
problema kurva Kepler. Akhir kata semoga catatan ini bisa memberikan manfaat
dan inspirasi dalam pekerjaan kita sebagai seorang astronom. Wassalam
Bandung, Awal 2008
Penulis
2
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
Daftar Isi
hal
Bab 1. Landasan Teori
1.1 Definisi
1.2 Metoda Pengamatan
1.3 Penurunan persamaan Ellips
1.3.1
Berdasarkan sifat suatu ellips
1.3.2
Berdasarkan hokum Kepler II
1.3.3
Konstanta Kepler C
1
1
2
2
3
4
5
1.4 Elemen yang menentukan suatu lintasan
1.4.1
Elemen yang menentukan lintasan pada bidang orbit
yang sebenarnya(P,T dan e)
1.4.2
Elemen yang menentukan orientasi (a,Ω,ω dan i )
6
6
7
1.5 Hubungan antara ellips benar dan ellips semu
1.6 Menentukan koordinat titik-titik utama ellips semu
1.7 Menentukan sumbu panjang dan sumbu pendek sebuah ellips
1.8 Menentukan persamaan dasar Thiele
1.9 Menentukan periode revolusi (P)
1.10
Menentukan anomali eksentrik (E) dan eksentrisitas (e)
1.11
Pengaruh presesi Luni-Solar terhadap lingkaran
jam dan sudut arah θ
1.12
Metoda Least Square untuk menghitung konstanta
Thiele dan Innes
1.13
Massa dan luminositas
7
10
13
14
15
17
18
Bab 2. Aplikasi pada bintang ganda visual ADS 1733
2.1 Urutan pekerjaan
2.1.1
Data yang diperlukan
2.1.2
Proses dasar
31
31
31
32
2.2 Pelaksanaan
2.2.1
Menentukan nilai μ = μ0
2.2.2
Menghitung eksentrisitas (e) dan anomaly eksentrik (E)
2.2.3
Menghitung saat komponen sekunder melalui periastron
2.2.4
Menghitung M,E,X dan Y pada tiap epoch
2.2.5
Menghitung konstanta Thiele dan Innes
2.2.6
Menentukan kesalahan konstanta Thiele dan Innes
2.2.7
Menghitung elemen orientasi
2.2.8
Hitung Massa dan jarak
2.2.9
Hasil akhir
2.2.10
Ephemeris bintang ganda ADS 1733
35
41
42
43
44
45
47
51
53
54
55
Bab 3. Proposal untuk pekerjaan selanjutnya
3.1 Sistem Bintang Ganda Visual ADS 8119 AB
57
57
3
20
22
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
3.2 Studi sebelumnya
3.3 Penentuan konstanta Kepler
59
59
Daftar Pustaka
63
Daftar Gambar
Gambar 1.1
Gambar 1.2
Gambar 1.3
Gambar 1.4
Gambar 1.5
Gambar 1.6
Gambar 1.7
Gambar 1.8
Gambar 1.9
Gambar 1.10
Gambar 2.1
Gambar 2.2
Gambar 2.3
Gambar 3.1
Gambar 3.2
Hal
Gambaran pasangan Bintang Ganda Visual lewat okuler
teleskop
Lingkaran Bantu Kepler untuk menurunkan parameter
orbit
Luas daerah yang disapu persatuan waktu adalah tetap.
S1t3t4=S1t1t2
Lingkaran Bantu Kepler, anomaly eksentrik dan
anomaly benar
Projeksi bidang orbit bintang ganda visual pada bidang
langit
Bidang orbit nyata dan lingkaran Bantu Kepler
Konstanta Thiele – Innes dan makna geometri
Orbit ellip, anomali eksentrik dan anomaly benar untuk
dua waktu yang berbeda
Akibat Presesi Luni-Solar mengubah sudut posisi
bintang ganda
Flowchart hitung massa dan paralak bintang ganda
visual
Panorama bintang ganda ADS 1733 (sumber
http://aladin.u-strasb.fr)
Lintasan bintang ganda visual ADS 1733 (Horeschi,
1958)
Separasi sudut dan sudut posisi untuk tiga epoch
Grafik separasi sudut (ρ) bintang ganda ADS 8119 AB
sebagai fungsi waktu
Grafik sudut posisi (θ) bintang ganda ADS 8119 AB
sebagai fungsi waktu
Daftar Tabel
Tabel
Tabel
Tabel
Tabel
Tabel
Tabel
Tabel
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
1
3
5
6
8
13
14
15
18
18
26
35
40
61
61
Hal
Elemen dinamik ADS 1733
Elemen orientasi ADS 1733
Ephemeris ADS 1733
Posisi ADS 1733 menurut Worley (1975)
Harga ρ dan θ yang telah dikoreksi
Hasil perhitungan untuk menentukan nilai Δqp
Hasil perhitungan untuk mencari μ0
4
33
34
34
36
38
40
41
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
Tabel
2.8
Tabel
2.9
Tabel
2.10
Tabel
2.11
Tabel
2.12
Tabel
2.13
Tabel
2.14
Tabel
2.15
Tabel
Tabel
Tabel
3.1
3.2
3.3
Hasil perhitungan untuk menentukan saat terakhir kali
lmelalui periastron
Hasil perhitungan dengan menggunakan (1.3.2-3),
(1.3.1-1) dan (1.3.1-2)
44
Hasil perhitungan dengan menggunakan persamaan
(1.12-3),(1.12-4) dan (1.12-6)
Menunjukkan hasil perhitungan untuk menentukan
kesalahan konstanta Thiele dan Innes
Elemen orbit bintang ganda ADS 1733 menurut
Siregar(1976)
Ephemeris bintang ganda ADS 1733 menurut
Siregar(1976) dari tahun 2006 sampai tahun 2020
Elemen orbit bintang ganda ADS 1733 menurut
Soderhjelm(1999)
Ephemeris bintang ganda ADS 1733 Soderhjelm(1999)
untuk semester II tahun 2006
Informasi system bintang ganda ADS 8119 AB
Elemen orbit hasil studi bintang ganda ADS 8119 AB
Nilai separasi sudut dan sudut posisi bintang ganda ADS
8119 AB
46
5
45
49
55
56
56
56
58
59
63
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
Bab 1
Landasan Teori
1.1 Definisi
Beberapa definisi yang digunakan pada studi bintang ganda visual antara lain:
1. Komponen primer (S1), adalah bintang yang paling terang dalam sistem
bintang ganda.
2. Komponen sekunder (S2), adalah komponen bintang yang memiliki cahaya
lebih lemah dari komponen primer.
3. Jarak sudut ( ρ ), adalah jarak yang diukur dari komponen primer ke
komponen sekunder dan dinyatakan dalam detik busur.
4. Sudut posisi/sudut arah ( θ ), adalah sudut yang diukur dari arah utara ke arah
komponen sekunder melalui timur. Sudut posisi dinyatakan dalam derajat.
Bayangan bintang yang dapat dilihat melalui teleskop digambarkan pada gambar 1.1-1
Gambar 1.1-1 Gambaran pasangan bintang ganda visual lewat okuler teleskop
6
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
x dan y menyatakan perbedaan asensiorekta ( α ) dan deklinasi ( δ ) dari komponen
primer dan sekunder. Hubungan komponen tersebut adalah
x = ρ sin θ = α cos δ y = ρ cos θ = δ ,
(1.1-1)
y = ρ cos θ = δ .
(1.1-2)
Beberapa nilai sudut arah yang khusus antara lain:
θ = θ = 90o bila komponen sekunder berada di Timur
θ = 180o bila komponen sekunder berada di Selatan
θ = 270o bila komponen sekunder berada di Barat
θ = 360o atau 0o, bila komponen sekunder berada di Utara
1.2. Metode Pengamatan
Bayangan yang kita lihat melalui teleskop adalah kedudukan bintang pada bidang
langit, bukan bidang orbit yang sebenarnya. Gerakan bintang ganda merupakan gerak
keplerian yang berarti bahwa orbitnya merupakan salah satu penampang irisan kerucut,
pada umumnya adalah ellips. Komponen primer berada pada salah satu titik fokusnya
dan komponen sekunder bergerak dalam orbit yang berbentuk ellips.
1.3. Penurunan Persamaan Ellips
Gambar 1.3.1 menggambarkan komponen sekunder (S2) yang bergerak dalam orbit
yang berbentuk ellips, dengan komponen primer pada salah satu titik fokusnya.
7
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
Gambar 1.3-1 Lingkaran bantu Kepler untuk menurunkan parameter orbit
Bentuk lingkaran pada gambar di atas merupakan lingkaran bantu Kepler dengan jejari
a. Sedangkan bentuk ellips merupakan orbit komponen sekunder. Elemen tambahan
pada sebuah lintasan antara lain, anomali benar (ν ), anomali eksentrik (E), radius
vektor (r), setengah sumbu panjang ellips (a), setengah sumbu pendek ellips (b).
1.3.1. Berdasarkan Sifat Suatu Ellips
Dengan menggunakan gambar 1.3-1, dan menerapkan sifat suatu ellips dapat dibuktikan
(Appendiks A) bahwa
X=
r
cosν = cos E − e ,
a
(1.3.1-1)
Y=
r
sinν = 1 − e 2 sin E ,
a
(1.3.1-2)
dan
tan
ν
2
=
1+ e
E
tan .
1− e
2
(1.3.1-3)
8
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
1.3.2. Berdasarkan Hukum Kepler II
Pada saat T, komponen sekunder berada pada titik A dan pada saat t kemudian pada
titik S2 (lihat gambar 1.3-1), periode revolusi dari komponen sekunder dinyatakan oleh
P. Dapat diturunkan bahwa
Luas S1S2A =
π ab
P
(t − T ) ,
⎛ 2π ⎞
⎜
⎟ (t − T ) ,
⎝ P ⎠
=
ab
2
=
abM a
.
2
Dimana didefinisikan M a = (t − T )
2π
.
P
(1.3.2-1)
Ma disebut anomali menengah. Selanjutnya akan dihitung luas S1S2A sebagai jumlah
luas S1S2K dan S2KA
Luas S1S2A = luas S1S2K + S2KA,
abM a
2
=
1
(S1K ×S 2K ) + b luas LKA,
2
a
=
1
b 1
1
r cos(ν )r sin(ν ) + ( a 2 E − a 2 sin E cos E ) ,
2
a 2
2
=
a
ab
(cos E − e)(b sin E ) + ( E − sin E cos E ) ,
2
2
M a = (cos E − e) sin E + ( E − sin E cos E ) .
Atau
M a = E − e sin E = μ (t − T ) ,
dengan μ =
(1.3.2-3)
2π
.
P
9
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
1.3.3. Konstanta Kepler C
Hukum Kepler II menyatakan bahwa luas daerah yang dilingkupi oleh radius
vektor yang dibentuk oleh sebuah titik yang bergerak pada orbit ellips dalam waktu
yang sama adalah konstan, C. Konstanta Kepler adalah
C = ρ2
dθ
.
dt
Gambar 1.3-2 Luas daerah yang disapu persatuan waktu adalah tetap
Dari gambar 1.3-2
c ρ 2 dθ
=
= luas ellips : periode revolusi
2 2 dt
=
Jadi
πab
P
.
C ρ 2 dθ πab
=
=
,
P
2
2 dt
atau C = ρ 2
=
dθ 2πab
=
,
dt
P
2πa 2 1 − e 2
.
P
(1.3.3-1)
10
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
1.4. Elemen yang menentukan suatu lintasan
1.4.1. Elemen yang Menentukan Lintasan pada Bidang Orbit yang
Sebenarnya (P, T, dan e)
Pada Bab ini didefinisikan beberapa besaran sebagai berikut:
P = Periode revolusi dalam tahun surya menengah.
T = Saat terakhir kali komponen sekunder melalui titik terdekat antara komponen
primer
dan sekunder (Periastron).
e = Eksentrisitas ellips yang merupakan lintasan sebenarnya (ellips benar).
Gambar 1.4.1-1 Lingkaran bantu Kepler, anomali eksentrik dan anomali benar
Dari gambar 1.4.1-1. kita dapat melihat bahwa Periastron terjadi bila E = ν = 0° .
1.4.2. Elemen yang Menentukan Orientasi (a, Ω, ω, dan i).
Elemen yang menentukan orientasi lintasan, antara lain
a = setengah sumbu panjang ellips benar.
11
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
Ω = sudut arah yang diukur dari garis simpul ke arah utara sepanjang lintasan. Sudut
arah mempunyai harga 0° ≤ Ω ≤ 180° .
ω = sudut posisi, diukur pada lintasan sebenarnya dari garis simpul ke periastron dalam
arah gerakan komponen sekunder. Sudut posisi mempunyai nilai 0° ≤ ω ≤ 360° .
i = inklinasi, sudut yang dibentuk oleh bidang lintasan sebenarnya dan bidang langit.
Untuk gerakan direct inklinasi mempunyai nilai 0° ≤ i ≤ 90° , sedangkan untuk
gerakan retrogade bernilai 90° ≤ i ≤ 180° .
1.5. Hubungan Antara Ellips Benar dan Ellips Semu
Arti geometri elemen orbital dan hubungan analitis elemen tersebut dapat kita
cari dengan menggunakan gambar 1.5-1, dan menggunakan hubungan trigonometri
yang berlaku.
Gambar 1.5-1 Projeksi bidang orbit bintang ganda visual pada bidang langit
12
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
Dapat dilihat bahwa:
ρ cos(θ − Ω) = r cos(ν + ω ) , dan
ρ sin(θ − Ω) = r sin(ν + ω ) cos i .
Persamaan di atas dapat dituliskan
ρ (cos θ cos Ω + sin θ sin Ω ) = r (cosν cos ω − sin ν sin ω ) ,
(1.5-1)
ρ (sin θ cos Ω + cos θ sin Ω ) = r (sin ν cos ω + cosν sin ω ) cos i .
(1.5-2)
Persamaan (1.5-1) dikalikan dengan cos Ω , dan persaman (1.5-2) dikalikan dengan
− sin Ω , kemudian dijumlahkan maka diperoleh:
ρ cos θ = r cosν (cos ω cos Ω − sin ω sin Ω cos i ) + r sin ν (− sin ω cos Ω − cos ω sin Ω cos i )
r
r
= cosν [a(cos ω cos Ω − sin ω sin Ω cos i )] + sinν [a(− sin ω cos Ω − cos ω sin Ω cos i )] .
a
a
Dari persamaan (1.1-1) dan (1.1-2) persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk
y = ρ cos θ = AX + FY ,
(1.5-3)
dengan
A = a(cos ω cos Ω − sin ω sin Ω cos i ) ,
F = − a(sin ω cos Ω + cos ω sin Ω cos i ) .
(1.5-4)
Selanjutnya persamaan (1.5-1) dan (1.5-2) masing-masing dikalikan dengan sin Ω dan
cos Ω , kemudian dijumlahkan diperoleh:
ρ sin θ = r cosν (cos ω sin Ω + sin ω cos Ω cos i ) + r sin ν (− sin ω sin Ω + cos ω cos Ω cos i )
r
r
= cosν [a(cos ω sin Ω + sin ω cos Ω cos i )] + sin ν [a(− sin ω sin Ω + cos ω cos Ω cos i )] .
a
a
Dan dengan menggunakan persamaan (1.1-1) dan (1.1-2) persamaan di atas dapat kita
tuliskan dalambentuk:
x = ρ sin θ = BX + GY ,
(1.5-5)
13
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
dimana
B = a(cos ω sin Ω − sin ω cos Ω cos i ) ,
F = a(− sin ω sin Ω + cos ω cos Ω cos i ) .
(1.5-6)
Dari persamaan (1.5-3), (1.5-4), (1.5-5), (1.5-6) dapat diturunkan (Appendiks B)
beberapa hubungan seperti di bawah ini:
A + G = 2a cos(ω + Ω ) cos 2
i
,
2
(1.5-7)
A − G = 2a cos(ω − Ω ) sin 2
i
,
2
(1.5-8)
B − F = 2a sin (ω + Ω ) cos 2
i
,
2
(1.5-9)
− (B + F ) = 2a sin (ω − Ω ) sin 2
i
,
2
(1.5-10)
tan(ω − Ω) =
B+F
,
G−A
(1.5-11)
tan(ω + Ω) =
B−F
.
G+A
(1.5-12)
Dari persamaan (1.5-11) dan (1.5-12) terlihat bahwa sin(ω-Ω) mempunyai tanda yang
sama dengan (B+F), demikian juga dengan sin(ω+Ω) mempunyai tanda yang sama
dengan (B-F). Akibatnya kuadran (ω-Ω) dan (ω+Ω) sudah tertentu.
Untuk menghitung i, dapat digunakan persamaan
tan 2
i A − G cos(ω + Ω )
=
.
2 A + G cos(ω − Ω )
(1.5-13)
Dalam rumus-rumus di atas A, B, F, dan G disebut konstanta Thiele dan Innes.
1.6. Menentukan Koordinat Titik-Titik Utama Ellips Semu
14
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
Ditinjau persamaan (1.5-5), (1.3.1-1), (1.3.2-1)
r
cosν = cos E − e
a
r
Y = sinν = 1 − e 2 sin E
a
X =
Pada periastron E = 0° dan Y = 0 . Jadi
X p = cos 0° − e = 1 − e
(1.6-1)
Yp = 0
Substitutsi (1.6-1) pada (1.5-3) dan (1.5-6), sehingga diperoleh
x p = BX p + GY p = (1 − e) B
(1.6-2)
y p = AX p + FY p = (1 − e) A
Pada Apastron E = 180° dan Y = 0
X A = cos180° − e = −(1 + e)
(1.6-3)
YA = 0
Substitutsi (1.6-3) pada (1.5-3) dan (1.5-6) sehingga diperoleh
x A = BX A + GY A = −(1 + e) B
(1.6-4)
y A = AX A + FY A = −(1 + e) A
Koordinat pusat ellips adalah
1
1
( x p + x A ) = [− (1 + e) B + (1 − e) B ] = −eB
2
2
1
1
y c = ( y p + y A ) = [− (1 + e) A + (1 − e) A] = −eA
2
2
xc =
Jadi
xc = −eB
(1.6-5)
y c = −eA
Pada posisi dimana nilai E = 90° , diperoleh
15
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
X 90° = cos 90° − e = −e
Y90° = 1 − e 2 sin 90° = 1 − e 2
Sehingga
x90° = BX 90 + GY90 = − Be + 1 − e 2 G
y 90° = AX 90 + FY90 = − Ae + 1 − e 2 F
Bila titik utama tersebut dihitung dari titik pusat ellips, maka diperoleh
1. Koordinat Periastron
x p ,0 = x p − xc
= (1 − e) B − (−eB) = B
y p ,0 = y p − y c ,
= (1 − e) A − (−eA) = A .
Jadi x p , 0 = B , dan y p ,0 = A .
(1.6-6)
2. Koordinat Apastron
x A, 0 = x A − x c ,
= −(1 + e) B − (−eB) = − B .
y A, 0 = y A − y c ,
= −(1 + e) A − (−eA) = − A .
Jadi x A,0 = − B , dan y A, 0 = − A .
3. Koordinat utuk nilai E = 90°
x90,0 = x90 − xc ,
(
)
= − Be + 1 − e 2 G − (−eB) ,
= 1 − e2 G .
16
(1.6-7)
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
y 90, 0 = y 90 − y c ,
(
)
= − Ae + 1 − e 2 F − (−eA) ,
= 1 − e2 F .
Jadi x90,0 = 1 − e 2 G , dan y 90, 0 = 1 − e 2 F .
(1.6-8)
Dari persamaan di atas (1.6-6), (1.6-8) dapat dilihat bahwa konstanta Thiele Innes A, B,
F, dan G menyatakan proyeksi koordinat siku-siku ekuatorial dari titik periastron dan
titik anomali eksentrik E = 90° yang terletak pada bidang orbit sebenarnya ke bidang
langit.
1.7. Menentukan Sumbu Panjang dan Sumbu Pendek Sebuah Ellips.
Untuk menentukan sumbu panjang ellips semu, dapat dilakukan langkah
berikut.
Gambar 1.7-1 Bidang orbit nyata dan lingkaran bantu Kepler
17
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
Gambar 1.7-1 menggambarkan bidang orbit yang sebenarnya dengan lingkaran bantu Kepler
yang memiliki jejari=1/2 sumbu panjang ellips.
Apabila gambar 1.7-1 diproyeksikan pada bidang langit akan diperoleh:
i. Lingkaran bantu Kepler menjadi ellips bantu Kepler. Dengan setengah sumbu panjang,
a dan setengah sumbu pendek, b. Dalam hal ini b = a cos i .
ii. Lintasan benar (ellips benar) menjadi lintasan semu (ellips semu).
Gambar 1.7-2 Konstanta Thiele-Innes dan makna geometri
Gambar 1.7-2 menunjukkan bahwa konstanta Thiele dan Innes A, B, F, dan G
menyatakan proyeksi periastron dan titik dimana E mencapai 90° . Dengan menerapkan
teorema Apollonius pada gambar tersebut, kita dapat memperoleh (Apendiks C).
a 2 (1 + cos 2 i ) = A2 + B 2 + F 2 + G 2 a 2 (1 + cos 2 i ) = A2 + B 2 + F 2 + G 2 ,
(1.7-1)
dan
U + V = E31 = E3 − E1 a 2 cos 2 i = AG − BF .
18
(1.7-2)
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
1.8. Menentukan Persamaan Dasar Thiele
Misalkan Δ qp menyatakan dua kali luas segitiga yang dibentuk oleh radius vektor pada
saat komponen sekunder bergerak dari epoch t p ke tq .
Gambar 1.8-1 Orbit elip, anomali eksentrik dan anomali benar
untuk dua waktu yangberbeda
Dengan menggunakan gambar 1.8-1, dan hasil yang sudah diperoleh dari 1.3.1, 1.3.2,
dan 1.3.3, dapat dibuktikan (Apendiks D) bahwa persamaan dasar Thiele mempunyai
bentuk
Δ qp
⎛
⎜ tqp −
C
⎝
⎞
⎟ μ = Eqp − sin Eqp ,
⎠
(1.8-1)
dengan
Δ qp = 2 x luas segitiga S1S 2 S 2' ,
tqp = tq − t p ,
(1.8-2)
Eqp = Eq − E p .
(1.8-3)
19
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
1.9. Menentukan Periode Revolusi (P)
Periode revolusi (P) dapat ditentukan dengan langkah sebagai berikut.
Diambil tiga buah titik pengamatan saat t1 , t2 , dan t3 . Dari persamaan dasar Thiele,
dapat diturunkan
Δ ⎞
⎛
E21 − sin E21 = μ ⎜ t21 − 21 ⎟ ,
C ⎠
⎝
(1.9-1)
Δ ⎞
⎛
E32 − sin E32 = μ ⎜ t32 − 32 ⎟ ,
C ⎠
⎝
(1.9-2)
Δ ⎞
⎛
E31 − sin E31 = μ ⎜ t31 − 31 ⎟ ,
C ⎠
⎝
(1.9-3)
Misalkan
U = E21 = E2 − E1 ,
V = E32 = E3 − E2 .
Jadi U + V = E31 = E3 − E1
(1.9-4)
Persamaan (1.9-1), ( 1.9-2), ( 1.9-3) dapat dituliskan menjadi
U − sin U = μ (t21 −
Δ 21
),
C
(1.9-5)
V − sin V = μ (t32 −
Δ 32
),
C
(1.9-6)
(U + V ) − sin (U + V ) = μ (t31 −
Δ 31
).
C
(1.9-7)
Karena harga t21 , t32 dan t31 diketahui, demikian juga
Δ
Δ 21 Δ 32
, dan 31 dapat
,
C
C
C
dihitung atau dengan perkataan lain, U dan V hanya bergantung pada harga μ yang
dipilih.
20
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
μ harus dipilih sehingga (U+V) yang diperoleh dari penjumlahan (1.9-5) dan (1.9-6)
sesuai dengan (U+V) yang diperoleh dari rumus (1.9-7). Nilai yang memenuhi syarat
tersebut dinyatakan dengan μ = μ0 , masing-masing dengan U0 dan V0 .
U = U 0 = E2 − E1 ,
V = V0 = E3 − E2 .
(1.9-8)
Periode revolusi P dihitung dari hubungan μ = μ0 =
2π
2π
atau dapat dinyatakan P =
.
μ0
P
1.10. Menentukan Anomali Eksentrik (E) dan Eksentrisitas (e)
Perhatikan persamaan (1.8-1) dan (1.8-3). Dengan memisalkan
e = sin ϕ , atau 1 − e 2 = cos ϕ ,
U = E2 − E1 ,
V = E3 − E2 ,
U + V = E3 − E1 ,
(1.10-1)
dengan memanipulasi (1.8-3) dan menggunakan (1.10-1) diperoleh hubungan
(Appendiks E)
sin ϕ sin E2 =
Δ 23 sin U − Δ12 sin V
,
Δ12 + Δ 23 − Δ13
(1.10-2)
sin ϕ cos E2 =
Δ 23 cos U + Δ12 cos V − Δ13
.
Δ12 + Δ 23 − Δ13
(1.10-3)
Penggabungan (1.10-2) dan (1.10-3) akan menghasilkan
tan E2 =
Δ 23 sin U − Δ12 sin V
.
−Δ12 cos V + Δ 23 cos U − Δ13
(1.10-4)
21
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
E2 dapat ditentukan dari persamaan di atas, bila ruas kanan bisa dihitung. Selanjutnya E1
dan E3 dapat diperoleh karena U dan V telah diketahui dari 1.9. Eksentrisitas dapat
dihitung dengan menggunakan (1.10-2) atau (1.10-3).
1.11. Pengaruh Presesi Luni-Solar Terhadap Lingkaran Jam dan
Sudut arah θ
Van de Kamp (1969) mendefinisikan Presesi Luni-Solar sebagi bergesernya
vernal equinox sepanjang ekliptika dengan mengecilnya longitude. Peristiwa ini terjadi
akibat gaya gravitasi diferensial Bulan dan Matahari terhadap Bumi. Pengaruh Presesi
Luni-Solar dapat dilihat pada gambar 1.11-1.
Gambar 1.11-1 Akibat presesi Luni-Solar pada sudut posisi bintang ganda
P1 = kutub ekuator sebelum mengalami presesi Luni-Solar.
22
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
P2 = kutub ekuator sesudah mengalami presesi Luni-Solar.
S1 = Titik potong lingkaran jam pada bidang ekuator sebelum mengalami presesi LuniSolar.
S2 = Titik potong lingkaran jam pada bidang ekuator sesudah mengalami presesi LuniSolar.
Δθ = perubahan sudut posisi selama satu tahun.
n = Pergeseran kutub P1 ke P2 selama satu tahun.
Hubungan matematis antara Δθ , n, α , dan δ dapat diperoleh dengan memperhatikan
segitiga bola SP1P2 :
sin Δθ
sin α
=
,
sin n
sin ( 90° − δ ' )
atau
sin Δθ sin α
=
; dapat juga dinyatakan
sin n
cos δ '
sin Δθ =
sin α
sin n .
cos δ '
Karena Δθ dan n mempunyai harga yang cukup kecil, maka persamaan di atas dapat
dinyatakan sebagai
Δθ = n sin α sec δ ' .
Newcomb (vide, Van de Kamp, 1969) memberikan harga n = 20".0495 /tahun atau
n = 0°.00557 /tahun. Nyatakan δ dengan δ ' maka 1.11-1 dapat dituliskan menjadi
Δθ = 0°.00557 sin α sec δ /tahun,
pada epoch 2000. Sehingga untuk menentukan Δθ pada epoch t, persamaan (1.11-2)
ditambah dengan faktor (2000-t), menjadi
Δθ = 0°.00557 sin α sec δ (2000 − t ) .
23
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
1.12. Metode Least Square untuk Menghitung Konstanta Thiele dan
Innes
Tinjau kembali persamaan (1.5-3) dan (1.5-5)
x = BX + GY
y = AX + FY
Pernyataan ini dapat ditulis sebagai
x BX
=
+G ,
Y
Y
(1.12-1)
y AX
=
+F.
Y
Y
(1.12-2)
Misalkan Δ menyatakan perbedaan nilai
x
y
atau
yang diamati dan nilai
Y
Y
⎛x⎞
⎜ ⎟
⎝Y ⎠
'
'
⎛ y⎞
atau ⎜ ⎟ yang dihitung dari persamaan (1.12-1) dapat dinyatakan:
⎝Y ⎠
Δ=
x ⎛ BX
⎞
−⎜
+G⎟,
Y ⎝ Y
⎠
kemudian dikuadratkan
2
⎡ x ⎛ BX
⎞⎤
Δ = ⎢ −⎜
+ G ⎟⎥ ,
⎠⎦
⎣Y ⎝ Y
2
untuk n pengamatan.
2
⎡ x ⎛ BX
⎞⎤
∑1 Δ = ∑1 ⎢⎣ Y − ⎜⎝ Y + G ⎟⎠ ⎥⎦ .
n
2
n
(1.12-3)
n
B dan G ingin ditentukan supaya harga
∑Δ
2
minimum, untuk itu persamaan (1.12-3)
1
kita turunkan terhadap B dan G dan kemudian hasilnya kita samakan dengan nol,
diperoleh:
24
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
2
⎛X⎞
⎛X
B∑ ⎜ ⎟ + G∑ ⎜
⎝Y ⎠
⎝Y
⎞
⎛ x ⎞⎛ X
⎟ = ∑⎜ ⎟⎜
⎠
⎝ Y ⎠⎝ Y
⎞
⎟,
⎠
2
x
⎛X⎞
B ∑ ⎜ ⎟ + nG = ∑ .
Y
⎝Y ⎠
B dan G dapat ditentukan dari determinan
⎛X⎞
∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠
⎛ X ⎞⎛ x ⎞ ⎛ X ⎞
∑ ⎜⎝ Y ⎟⎜
⎟∑⎜ ⎟
⎠⎝ Y ⎠ ⎝ Y ⎠
⎛x⎞
B=
n
∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠
⎛X⎞
∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠
2
⎛X⎞
∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠
, dan G =
2
⎛ x ⎞⎛ X ⎞
∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠ ⎜⎝ Y ⎟⎠
⎛X ⎞ ⎛x⎞
⎜ ⎟
⎝Y ⎠
∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠
⎛X⎞
∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠
⎛X⎞ n
∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠
2
⎛X⎞
∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠
.
⎛X⎞ n
∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠
Hal yang sama dapat kita lakukan pada (1.12-2) maka kita akan memperoleh nilai A dan
F.
Persamaan least square dari (1.12-2) adalah
2
⎛X⎞
⎛X
A∑ ⎜ ⎟ + F ∑ ⎜
⎝Y ⎠
⎝Y
⎞
⎛ y ⎞⎛ X ⎞
⎟ = ∑⎜ ⎟⎜ ⎟
⎠
⎝ Y ⎠⎝ Y ⎠
2
⎛X⎞
⎛ y⎞
A∑ ⎜ ⎟ + nF = ∑ ⎜ ⎟
⎝Y ⎠
⎝Y ⎠
A dan F dihitung dari determinan:
25
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
⎛Y ⎞
∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠
⎛ y ⎞⎛ Y ⎞ ⎛ X ⎞
∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠ ⎜⎝ Y ⎟⎠ ∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠
⎛ y⎞
A=
⎛X⎞
∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠
2
⎛X⎞
∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠
⎛ y ⎞⎛ X ⎞
∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠ ⎜⎝ Y ⎟⎠
⎛X⎞
n
∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠
2
, dan F =
⎛ y⎞
∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠ ∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠
⎛X⎞ n
∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠
⎛X⎞
∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠
2
⎛X⎞
∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠
.
⎛X⎞ n
∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠
1.13. Massa dan Luminositas
Dalam system bintang berdua visual dikenal beberapa pernyataan yang dapat digunakan
untuk menghitung jarak dan massa bintang
Paralak dinamik
p=
a
3
P 2 (M 1 + M 2 )
Dalam hal ini;
a-setengah sumbu panjang dalam detik busur
P-periode revolusi dinyatakan dalam tahun
Mi massa bintang ke- i
1) Hubungan magnitude bolometric (magnitude untuk seluruh panjang gelombang)
M b = mb + 5 + 5 Logp
Mb – magnitude absolute bolometric
mb – magnitude semu bolometrik
p –paralak
2) Hubungan massa-luminositas
Log M = 0,1 (4,6-Mb ) bila 0 < Mb < 7,5
Log M = 0,145 (5,2 - Mb ) bila 7,5 < Mb < 11
Dalam hal ini M – massa bintang
26
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
Flowchart hitung
masa dan luminositas
Start
a, p0, P, dan ε
,mb(1), mb(2)
2
For I=1,2
Mb (i) = mb (i) + 5 + 5Logp0
M b (1) = mb (1) + 5 + 5Logp 0
M ( 2)
( 2) 5 5 L
tidak
ya
M b ( I ) ≤ 7 ,5
LM ( I ) = 0,145 (5,2 − M b ( I ) )
LM ( I ) = 0,1(4,6 − M b ( I ) )
M ( I ) = 10 LM ( I )
Next I
p =
a
3 P (M (1) + M (2) )
2
1
27
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
1
│p-p0│≤ εp
2
p0 = p
p, Mb(1),Mb(2),
M(1),M(2)
Stop
Flowchart Hitung Massa dan Paralak Bintang Ganda Visual.
Data masukan:
p0 tebakan paralak dinamik awal. P – priode dalam tahun, ε presesi relatif . mb(1) –
magnitudo semu bolometrik bintang primary, mb(2)-magnitudo semu bolometrik secondary
dan a – setengah sumbu panjang dalam detik busur
Data keluaran
M(1)-massa bintang primary, M(2)- massa bintang secondary, paralak dinamik p, magnitudo
absolut bolometrik primary Mb(1) dan magnitudo absolut bolometrik secondary Mb(2).
Catatan : jarak d= 1/p dalam hal ini d jarak binang dalam parsek
28
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
Bab 2.
Aplikasi pada bintang ganda visual ADS 1733
Bintang ganda ADS 1733 sudah lama diketahui orang tentang orbitnya, bintang ini terletak
dibelahan langit selatan langit mudah diamati pada bulan September, informasi mengenai
separasi sudut, sudut posisi dan luminositas cukup tersedia di internet maupun di perpustakaan
Gambar 2. Panorama bintang ganda ADS 1733 (sumber http://aladin.u-starsbg.fr/)
2.1. Urutan Pekerjaan
Setelah diperoleh semua data yang diperlukan untuk menurunkan suatu lintasan,
barulah pekerjaan ini dapat kita selesaikan.
2.1.1. Data Yang diperlukan
29
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
i. Koordinat ekuatorial α dan δ pada epoch yang dipilih. Untuk pekerjaan ini diambil
pada epoch 2000.
ii. Sudut arah, θ, yang telah dikoreksi terhadap pengaruh presesi dan dinyatakan dalam
derajat.
iii. Jarak sudut,ρ, dinyatakan dalam detik busur.
iv. Saat pengamatan dilakukan, t.
2.1.2. Proses Dasar.
i. Kita buat grafik yang memberikan hubungan antara θ dan t. Demikian juga ρ
terhadap t, pada masing-masing epoch.
ii. Kemudian diperiksa apakah hukum kekekalan luas (Hukum Kepler II) dipenuhi yaitu
ρ t ρ t + Δt
dθ
= konstan = C
dt
Kalau belum, kita koreksi grafik sehingga hukum Kepler II dipenuhi.
iii. Harga ρ dan θ yang telah memenuhi syarat dapat segera dibaca dari grafik tadi.
iv. Langkah terakhir adalah menggunakan rumus pada Bab 1 untuk menentukan
konstanta dan elemen lintasan.
A. Tujuan Penelitian
Studi ini bertujuan untuk menentukan orbit sistem bintang ganda visual,
menurunkan beberapa besaran fisis pada sistem tersebut, dan memperkirakan
bagaimana sistem bintang ganda tersebut pada masa yang akan datang (ephemeris).
Studi ini menggunakan obyek ADS 1733 dengan koordinat (epoch 2000)
α = 2h15m.8
δ = -18o14’
30
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
Alasan dipilihnya objek ini adalah:
1. Lintasannya sudah dapat ditentukan
Data yang digunakan pada studi ini berasal dari data yang dikumpulkan oleh
Worley tahun 1975, dimana sebagian besar data terdiri dari data yang terdapat
pada studi oleh Horeschi (1958).
2. Kelas spektrum sudah diketahui
Studi oleh Horeschi menyatakan adanya tiga buah kelas spektrum untuk obyek ini
yang merupakan hasil dari tiga buah studi yang lain, yaitu:
a. Kelas spektrum K0 dari catalog Henry Draper.
b. Kelas spektrum dK4 dari studi oleh Wilson
c. Kelas spektrum K3 dari studi oleh Kuiper
Informasi mengenai kelas spektrum digunakan dalam salah satu langkah dalam
penentuan massa bintang.
B. Penyelidikan Sebelumnya
Horeschi (1958) telah mempelajari sistem ADS 1733 dan memperoleh elemen orbit
sebagai berikut:
Elemen dinamik:
Tabel 1. Elemen dinamik ADS 1733
Periode
P
168.6 tahun
Eksentrisitas
E
0.48
Inklinasi
i
± 31o.25
Elemen Orientasi:
31
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
Tabel 2. Elemen orientasi ADS 1733
Setengah sumbu panjang ellips benar
a
1”.70
Longitude Periastron
ω
71.72
Sudut posisi titik simpul naik
Ω
103o.13
Pergesaran sudut per tahun
μ
2o.135
Waktu pada saat komponen sekunder melewati
T
1987.0
Periastron
Ephemeris ADS 1733
Tabel 3. Ephemeris ADS 1733
t
θ
ρ
1958.0
61o.19
1”.567
1960.0
65 o.06
1”.525
1962.0
69 o.15
1”.482
1964.0
73 o.50
1”.435
1966.0
78 o.15
1”.386
1968.0
83 o. 15
1”.334
1970.0
88 o.57
1”.278
1987.0
172 o.00
0”.770
Pada gambar 1 ditunjukkan lintasan ADS 1733 dari studi oleh Horeschi (1958).
32
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
Gambar 1. Lintasan bintang ganda visual ADS 1733 (Horeschi, 1958)
2.2. Pelaksanaan
Diketahui : ADS 1733 = BDS 1179 = Hasting I = Lalande 4219
α = 2h15m.8
( Epoch 2000 )
δ = -18o14’
Untuk bintang tersebut diperlukan koreksi sudut arah sebesar
Δθ = 0.00557 sin α sec δ (2000 − t ) , dengan data di atas diperoleh
Δθ = 0.003145(2000 − t ) ,
dinyatakan dalam tiga desimal, menjadi
33
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
Δθ = 0.003(2000 − t ) .
(1.2-1)
Tabel I. Posisi ADS 1733, menurut Worley (1975).
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
t
1679.92
1885.04
1886.87
1887.06
1888.5
1889.95
1890.95
1890.95
1891.03
1891.76
1899.77
1903.63
1909.76
1915.4
1926.98
1928.65
1930.04
1930.54
1930.78
1933.11
1933.6
1933.79
1934.99
1936.86
1936.98
1937.81
1937.87
1938.67
1942.59
θ0
311.8
334.4
336.7
338.9
340.2
340.5
343.6
341.4
340.3
341.7
349.5
353.9
359.2
364.2
387.8
379.3
378.6
380.1
383.7
384.6
384.7
386.1
387
388.6
389.6
389
388
391.3
394.8
θc
312.16
333.74
337.04
340.54
340.83
343.93
343.93
341.73
340.63
342.03
349.81
354.19
359.47
364.45
388.02
379.51
378.81
380.31
383.91
384.8
384.9
386.3
387.2
388.79
389.79
389.2
388.2
391.49
395
ρ
2.22
2.299
1.96
2.18
2.8
2.36
2.06
2.21
2.21
2.09
2.22
2.42
2.1
2.06
1.87
2.04
2.19
2.07
1.7
1.19
1.94
2.06
1.98
1.92
1.78
1.92
2.3
1.89
1.89
OBS
HL
HL
LV
HL
LV
LV
HL
BU
LV
LV
DOO
Din
OL
OL
FIN
VOU
WAL
OL
BRT
WRH
VOU
VBS
B
SNW
FIN
KUI
VAT
VOU
VOU
Jum.
Malam
2
3
3
4
7
4
3
3
3
2
5
1
2
2
1
4
4
3
3
3
4
2
4
4
1
1
1
3
4
30
1945.85
399
399.16
1.88
GTB
1
31
1945.89
401.2
401.36
1.93
WCY
1
32
1945.92
401.5
401.66
1.74
GTB
1
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
1945.97
1946.37
1946.89
1948.76
1948.96
1949.79
1951.64
1953.76
1954.66
1955.93
403.1
404.1
401.5
403.8
405.5
405.87
408.46
410.33
413.22
418.6
403.26
404.26
401.66
404
405.65
406.02
408.6
410.47
416.36
418.73
2.03
1.9
1.78
1.66
1.71
1.737
1.726
1.628
1.659
3.14
GTB
BRT
WCY
VBS
B
LEM
LEM
LEM
LEM
MOH
1
4
1
2
4
1
34
Referensi
Mem.R.Astron.Soc. V44, 141
Pub. Univ. Pennsylvania V1, PT3
Pub. US. Naval Obs. V6, 117
Lick Obs. Bul. V5, 185
Astron. J. V30, 063, 157
Union Obs. Circ No 112, 104
Ann Bosscha Obs. Lembang V6, PT1
Ann Bosscha Obs. Lembang V6, PT2
Pub. Univ. Pennsylvania V5, PT1, sec 1
Pub. Univ. Pennsylvania V5, PT1, sec 2
Pub. Univ. Pennsylvania V6, PT4, 03
Ann Bosscha Obs. Lembang V6, PT4
Pub. Yerkes Obs. V8, 047
Union Obs. Circ No 94, 149
Ann Bosscha Obs. V9, PT1
Union Obs. Circ No 112, 104
Astrophys. J. Supp. V6, 001
Vatican Catalog 1930, Appendix 3
Ann Bosscha Obs. Lembang V6, PT4
Manuscript, see J. Obs. V38, 109.
Mem. Commonw. Obs. Mt. Stromlo, V2,
N4,19
Mem. Commonw. Obs. Mt. Stromlo, V2,
N4,19
Mem. Commonw. Obs. Mt. Stromlo, V2,
N4,19
Mem. Commonw. Obs. Mt. Stromlo, V2,
N4,19
Pub. Univ. Pennsylvania V7, PT1, sec 1
Mem. Commonw. Obs. Mt. Stromlo, V2, N09
Pub. Yerkes Obs. V8, 159
Union Obs. Circ No 111, 013
Ann. Bosscha Obs. Lembang, V9, PT2
Ann. Bosscha Obs. Lembang, V9, PT2
Ann. Bosscha Obs. Lembang, V9, PT2
Ann. Bosscha Obs. Lembang, V9, PT2
-
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
1956.02
1957.71
1957.73
1958
1959.87
1961.76
1961.94
1962.92
1964.29
1965.98
1965.98
1968.79
415.1
421.33
418.8
421.5
421.3
426.6
429.9
427.3
430.8
435.5
433.5
441.4
415.23
421.46
418.93
421.63
421.42
426.71
430.01
427.41
430.91
435.6
433.6
441.49
1.6
1.483
1.66
1.56
1.46
1.54
1.5
1.5
1.55
1.48
1.39
1.44
B
LEM
B
VBS
KNP
B
MRC
KNP
B
NBG
KNP
NBG
1
3
3
3
4
1
1
3
4
1
1
Union Obs. Circ No 115, 266
Ann. Bosscha Obs. Lembang, V9, PT2
Astrophys. J. Supp. V4, No. 36, 045
Pub. Yerkes Obs. V9, PT2
Union Obs. Circ No 119, 331
Astron. J. V67, 555
Obs. Nacional Brasil No.21, 1966
Rep. Obs. Circ. No. 122, 025.
Rep. Obs. Circ. No. 125, 093.
Rep. Obs. Circ. No. 125, 105.
Rep. Obs. Circ. No. 128, 177.
Rep. Obs. Circ. No. 128, 184.
Dimana Indeks nama yang terdapat pada kolom OBS adalah
BRT = Barton, S.G.
HL = Hall, A.
LV = Leavenworth, F.
WRH = Wilson, R.H., Jr.
WOY = Wolley, R.U.D.
BU = Burnham, S.W.
VBS = Van Biesbroeck, G.
LEM
B = Van den Bos, W.H.
Observatory)
DW = Dinwiddie, W.W.
SMW = Simonow, G.V.
MOH =
OL = Olivier, C.P.
KUI = Kuiper, G.P.
KNP = Knipe, G.H.G.
FW = Finsen, W.S.
VAT = Vatican
MRG = Morgan, H.R.
VOU = Voute
GTB = Gottlieb, K.
NBG = Newberg, I.L.
WAL = Wallenquist, A.
= Lembang (Bosscha DOO = Doolittle, E.
θo = harga θ yang diamati
θc = harga θ setelah dikoreksi terhadap pengaruh presesi
Selanjutnya kita baca nilai θ dan ρ dari grafik yang telah memenuhi Hukum Kepler II, dan
kemudian kita buat tabel 1.2-2.
35
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
Tabel 2.2-2. Harga θ dan ρ yang telah dikoreksi.
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
t
1902
1906
1910
1914
1918
1922
1926
1930
1934
1938
1942
1946
1950
1954
1958
1962
1966
θ
351.23
355.22
359.2
363.19
367.31
371.66
376.04
380.48
385.12
390.11
395.1
400.59
406.57
413.06
420.05
427.04
435
ρ
2.18
2.17
2.16
2.13
2.1
2.06
2.04
2.01
1.97
1.93
1.88
1.82
1.73
1.67
1.61
1.6
1.49
x
-0.332
-0.181
-0.03
0.119
0.267
0.416
0.564
0.703
0.836
0.968
1.081
1.184
1.256
1.335
1.395
1.473
1.439
dari tabel 2.2-2., terlihat bahwa :
36
y
2.155
Δθ
C
3.99
18.88
3.98
18.66
3.99
18.36
4.12
18.43
4.35
18.82
4.38
18.41
4.44
18.21
4.64
18.37
4.99
18.97
4.99
18.11
5.49
18.78
5.98
18.83
6.49
18.75
6.99
18.79
6.99
18.01
7.96
18.89
2.162
2.16
2.127
2.083
2.017
1.961
1.883
1.784
1.67
1.538
1.382
1.189
1.004
0.804
0.624
0.386
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
1. Dalam pekerjaan ini pengamatan sebelum tahun 1902 tidak diikut sertakan dalam
analisa, karena:
i. Kurang lengkapnya referensi; bagaimana data tersebut diperoleh.
ii. Pengamatan sebelum tahun 1902 dianggap mempunyai bobot ketelitian
yang kecil.
2. Dari Tabel 2.2-2., dapat diperoleh bahwa, C yang dapat diturunkan adalah: C =
18.585 [derajat][detik busur]2 /4 tahun,
σ = 0.313 [derajat][detik busur]2 /4 tahun.
Jika dinyatakan dalam satuan [radian][detik busur]2 pertahun, diperoleh
C = 0.081 [radian][detik busur]2 /tahun,
σ = 0.001 [radian][detik busur]2 /tahun.
C adalah C rata-rata yang dihitung dengan C =
∑C
n
i
. Sedangkan σ
adalah standard deviasi, ditentukan dengan menggunakan hubungan
∑ (C − C )
2
σ=
i
n −1
.
Selanjutnya akan ditentukan nilai
U o = E 21 = E 2 − E1
Vo = E32 = E3 − E 2
U o + Vo = E31 = E3 − E1
Dengan menggunakan tiga buah titik dari tabel 2.2-2. akan ditentukan harga Δqp.
Ketiga titik tersebut adalah
1. Titik ujung, epoch t= 1906
2. Titik tengah, epoch t=1936
3. Titik Akhir, epoch t = 1966.
37
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
Tabel 2.2-3. Hasil perhitungan untuk menentukan nilai Δqp
No
1
2
3
T
1906
1936
1966
θ
355.22
387.55
435
ρ
2.171
1.937
1.491
y
2.163
1.717
0.386
x
-0.181
0.896
1.44
Δqp
2.25
2.129
3.185
tqp
30
30
60
θqp
32.33
47.45
79.78
Arti notasi, yang terdapat pada tabel di atas dapat dilihat dengan memperhatikan gambar (2.21).
S 180o
t3=1966
ρ3
t2=1936
ρ2
S1
θ1 θ2 θ3
ρ1
t1=1906
U 0o
Gambar 2.2-1 Separasi sudut dan sudut posisi untuk tiga epoch acuan
Δ21 = 2 x luas segitiga s1t1t2 = 2.250 (detik busur)2,
Δ32 = 2 x luas segitiga s1t2t3 = 2.129 (detik busur)2,
Δ31 = 2 x luas segitiga s1t1t3 = 3.185 (detik busur)2.
Sedangkan
θ21 = θ2 - θ1 = 32o.33,
θ32 = θ3 - θ2 = 47o.45,
38
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
θ31 = θ3 - θ1 = 79o.78.
2.2.1. Menentukan nilai μ = μ0
Untuk menentukan μ = μ0, rumus yang akan digunakan adalah persamaan dasar Thiele
(1.8.1). Data untuk tqp dan Δqp diambil dari tabel 1.2-3 dan C = 0.081 [radian][detik busur]2
/tahun.
Tabel 2.2.1-1. Hasil perhitungan untuk mencari μ0
NO
t- Δqp/C
Eqp
μ=2o.135
μ=2o.137
μ=2o.139
1
2
3
30
30
60
E21
E32
E31
45.852
54.685
100.532
45.867
54.703
100.567
45.881
54.721
100.602
Dari tabel di atas dapat dilihat bahwa yang memenuhi syarat agar E31=E32+E21, adalah μ =
2o.139/tahun. Harga E yang memenuhi adalah:
E21 = 45o.881 = U,
E32 = 54o.721 = V,
E31 = 100o.602 = (U+V).
39
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
2.2.2. Menghitung eksentrisitas (e) dan anomali eksentrik (E).
Untuk menghitung e dan E, digunakan persamaan (1.10-2) dan (1.10-3). Sedangkan
data diambil dari tabel 2.2.1-1 kolom ketujuh.
sin φ sin E 2 =
Δ 23 sin U − Δ 12 sin V
,
Δ 12 + Δ 23 − Δ 13
=
2.129 sin(45°.881) − 2.250 sin(54°.721)
,
2.250 + 2.129 − 3.185
=
− 0.309
,
1.194
atau sin φ sin E 2 = −0.259 .
(2.2.2-1)
Hal yang sama kita lakukan pada persamaan yang berikut
sin φ cos E 2 =
Δ 23 cos U + Δ 12 cos V − Δ 13
,
Δ 12 + Δ 23 − Δ 13
akan diperoleh hasil sebagai berikut:
sin φ cos E 2 = −0.338 .
(2.2.2-2)
Dengan menggunakan (2.2.2-1) dan (2.2.2-2) diperoleh :
sin φ sin E 2 − 0.259
,
=
sin φ cos E 2 − 0.338
atau, tan E 2 = 0.776 ,
E 2 = 37°.462 + 180° k ; k=0,1,2,…
Untuk memilih harga k, E2 harus memenuhi persamaan (2.2.2-1) dan (2.2.2-2).
Dari persamaan (2.2.2-1)
sin φ =
− 0.259
− 0.259
atau e =
.
sin E 2
sin E 2
Jadi sin E 2 < 0 atau 180° < E 2 < 360° .
(2.2.2-3)
40
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
Dari persamaan (2.2.2-2)
sin φ =
− 0.259
− 0.259
atau e =
.
cos E 2
cos E 2
Berarti cos E 2 < 0 , jadi 90° < E 2 < 270° .
(2.2.2-4)
Dengan memperhatikan syarat (2.2.2-3) dan (2.2.2-4), dapat ditarik kesimpulan bahwa
180° < E 2 < 270° , atau dengan kata lain k yang memenuhi adalah k = 1.
E 2 = 37°.462 + 180° × 1 ,
= 217o.462.
Jadi dengan begitu E1 dan E3 dapat ditentukan dan diperoleh
E1 = 171o.581,
E3 = 272o.183.
Selanjutnya e dihitung dengan menggunakan hubungan
e cos E 2 = −0.338 ,
e=
− 0.338
,
cos(217°.462 )
e = 0.426.
2.2.3 Menghitung Saat Komponen Sekunder Melalui Periastron T
Rumus yang akan digunakan adalah persamaan (1.3.2-3)
M = E − e sin E = μ (t − T ) ,
sedangkan data diambil dari 2.1. dan 2.2. , dimana μ = 2o.139/tahun dan e = 0.426
41
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
Tabel 2.2.3-1. Hasil perhitungan untuk menentukan saat
terakhir kali melalui Periastron
No
1
2
3
t
1906
1936
1966
E
M
T0
171.481 168.007 1827.46
217.462 232.308 1827.39
272.183 296.379 1827.44
Dengan mengambil nilai rata-rata To dari tabel diatas, saat terakhir melalui Periastron dapat
ditentukan T0 = 1827.430, standard deviasi σ = 0.071. Karena periode P =
2π
μ
, maka P dapat
dihitung, yaitu
P=
360°
, atau
2°.139
P = 168.303 tahun.
Dengan ekstrapolasi dapat ditentukan saat berikutnya melalui Periastron, yaitu :
T = T0 + P,
= 1827.430 +168.303,
= 1995.733.
Jadi epoch Periastron T = 1995.733.
2.2.4. Menghitung M, E, X dan Y pada tiap Epoch.
Rumus yang akan digunakan adalah (1.3.2-3) , (1.3.1-1) dan (1.3.1-2). Sedangkan e =
0.426 dan μ = 2o.139/tahun. Hasil perhitungan diperlihatkan di bawah ini.
42
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
Tabel 2.2.4-1. Hasil perhitungan dengan menggunakan (1.3.2-3),
(1.3.1-1) dan (1.3.1-2)
No
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1902
1906
1910
1914
1918
1922
1926
1930
1934
1938
1942
1946
1950
1954
1958
1962
1966
M
E
159o.583 165o.583
168.061 171.618
176.617 177.627
185.173 183.618
193.729 189.642
202.285 195.686
210.841 201.783
219.397 207.955
227.953 214.226
236.509 220.619
245.065 227.166
253.621
233.9
262.177 240.859
270.733 248.089
279.289 255.645
287.845 263.591
296.401 272.009
X
Y
-1.395
-1.415
-1.425
-1.424
-1.412
-1.389
-1.355
-1.309
-1.235
-1.185
-1.106
-1.015
-0.913
-0.799
-0.674
-0.538
-0.391
0.225
0.132
0.037
-0.057
-0.152
-0.245
-0.336
-0.424
-0.509
-0.589
-0.664
-0.731
-0.79
-0.84
-0.877
-0.899
-0.904
2.2.5. Menghitung Konstanta Thiele dan Innes
Rumus yang digunakan adalah persamaan (1.12-3), (1.12-4), (1.12-5) dan (1.12-6).
Sedangkan data dari tabel 2.2.4-1.
43
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
Tabel 2.2.5-1. Hasil perhitungan dengan menggunakan persamaan
(1.12-3), (1.12-4) dan (1.12-6)
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
t
1902
1906
1910
1914
1918
1922
1926
1930
1934
1938
1942
1946
1950
1954
1958
1962
1966
Σ
x/X
y/Y
(x/Y)(X/Y) (y/Y)(X/Y)
X/Y
(X/Y)2
-6.2
38.44
-1.476
9.578
9.151
-59.384
-10.72 114.918 -1.371 16.379
14.697
-175.583
-38.514 1483.328 -0.811 58.378
31.235
-2284.37
24.982
624.1
-2.088 -37.316
-52.162
-932.228
9.289
86.294
-1.757 -13.704
-16.321
-127.296
5.669
32.142
-1.698 -8.233
-9.626
-46.673
4.033
16.263
-1.679 -5.836
-6.771
-23.537
3.087
9.531
-1.658 -4.441
-5.118
-13.709
2.462
6.061
-1.642 -3.505
-4.043
-8.629
2.012
4.048
-1.643 -2.835
-3.306
-5.704
1.666
2.776
-1.628 -2.316
-2.712
-3.858
1.389
1.929
-1.62
-1.891
-2.25
-2.627
1.156
1.336
-1.59
-1.505
-1.838
-1.74
0.951
0.904
-1.589 -1.195
-1.511
-1.136
0.769
0.951
-1.591 -0.917
-1.223
-0.705
0.598
0.358
-1.638 -0.694
-0.98
-0.415
0.433
0.187
-1.592 -0.427
-0.689
-0.185
3.062 2423.566 -27.071
-0.48
-53.467 -3687.779
Dengan menggunakan rumus-rumus dari 1.12 , nilai A, B, F dan G dapat
− 3 .651 .779
− 0 .480
dihitung A =
2423 .206
3 .062
3 .062
17
− 62078.773
=
,
3 .062
41185.126
17
A = -1”.507.
− 53.467
− 27.071
B =
2423.206
3.062
3.062
17
− 826.048
=
,
3.062
41185.126
17
B = -0”.020.
44
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
2423.206
3.062
F =
2423.206
3.062
=
10018.608
41185.126
− 3651.779
− 0.480
,
3.062
17
,
F = 0”.243,
2423.206 − 53.467
− 27.071
3.062
− 65434.894
=
,
G =
2423.206 3.062
41185.126
3.062
17
G = -1”.589.
2.2.6. Menentukan Kesalahan Konstanta Thiele dan Innes.
Untuk menentukan kesalahan A, B, F dan G dapat digunakan metode Worthing dan
Geffner (1943), dimana kesalahan dalam B adalah :
2
2
⎡ ⎧⎪
⎛ X ⎞ ⎛ X ⎞ ⎫⎪⎤
τ B = ⎢ n / ⎨n ∑ ⎜ ⎟ − ⎜ ∑ ⎟ ⎬⎥
⎝ Y ⎠ ⎝ Y ⎠ ⎪⎭⎥⎦
⎢⎣ ⎪⎩
1/ 2
τY .
1
Kesalahan dalam G adalah
2
2
⎡ ⎛ X ⎞ 2 ⎧⎪
⎛ X ⎞ ⎛ X ⎞ ⎫⎪⎤
τ G = ⎢ ∑ ⎜ ⎟ / ⎨n ∑ ⎜ ⎟ − ⎜ ∑ ⎟ ⎬⎥
⎝ Y ⎠ ⎝ Y ⎠ ⎪⎭⎥⎦
⎢⎣ ⎝ Y ⎠ ⎪⎩
1/ 2
τY ,
1
τ Y dapat dihitung dari :
1
τY
1
2
⎡ ⎧ x '
⎤
⎫⎪
x
⎪
⎞
⎛
⎛
⎞
⎢
= ∑ ⎨⎜ ⎟ − ⎜ ⎟⎬ /(n − 2)⎥
⎢ ⎪⎩⎝ Y ⎠ ⎝ Y ⎠⎪⎭
⎥
⎣
⎦
1/ 2
.
45
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
Persamaan Least square-nya adalah :
⎛x⎞
⎛X
⎜ ⎟ = B⎜
⎝Y ⎠
⎝Y
⎞
⎟+G,
⎠
⎛x⎞
⎛X
⎜ ⎟ = −0.020⎜
⎝Y ⎠
⎝Y
⎞
⎟ − 1.589 ,
⎠
(2.2.6-1)
'
⎛x⎞
⎛x⎞
⎜ ⎟ = nilai ⎜ ⎟ yang dihitung dari (2.2.6-1)
⎝Y ⎠
⎝Y ⎠
⎛x⎞
⎜ ⎟ = harga yang diamati, dari tabel 2.2.5-1
⎝Y ⎠
Hal yang sama untuk persamaan least square yang berbentuk :
⎛ y⎞
⎛X⎞
⎜ ⎟ = A⎜ ⎟ + F ,
⎝Y ⎠
⎝Y ⎠
⎛ y⎞
⎛X⎞
⎜ ⎟ = −1.507⎜ ⎟ + 0.243 .
⎝Y ⎠
⎝Y ⎠
(2.2.6-2)
Kesalahan dalam A adalah :
2
2
⎡ ⎧⎪
⎛ X ⎞ ⎛ X ⎞ ⎫⎪⎤
τ A = ⎢ n / ⎨n ∑ ⎜ ⎟ − ⎜ ∑ ⎟ ⎬⎥
⎝ Y ⎠ ⎝ Y ⎠ ⎪⎭⎥⎦
⎢⎣ ⎪⎩
1/ 2
τY .
2
Kesalahan dalam F adalah
2
2
⎡ ⎛ X ⎞ 2 ⎧⎪
⎛ X ⎞ ⎛ X ⎞ ⎫⎪⎤
τ F = ⎢ ∑ ⎜ ⎟ / ⎨n ∑ ⎜ ⎟ − ⎜ ∑ ⎟ ⎬⎥
⎝ Y ⎠ ⎝ Y ⎠ ⎪⎭⎥⎦
⎢⎣ ⎝ Y ⎠ ⎪⎩
1/ 2
τY 2 .
Sedangkan
τY
2
2
⎡ ⎧ y '
⎤
⎫⎪
y
⎪
⎛
⎞
⎛
⎞
⎢
= ∑ ⎨⎜ ⎟ − ⎜ ⎟⎬ /(n − 2)⎥
⎢ ⎪⎩⎝ Y ⎠ ⎝ Y ⎠⎪⎭
⎥
⎣
⎦
1/ 2
.
'
⎛ y⎞
⎛ y⎞
⎜ ⎟ = nilai ⎜ ⎟ yang dihitung dari (2.2.6-2)
⎝Y ⎠
⎝Y ⎠
46
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
⎛ y⎞
⎜ ⎟ = nilai yang diamati, dari tabel 2.2.5-1.
⎝Y ⎠
Dengan menggunakan rumus (2.2.6-1) dan (2.2.6-2), data dari tabel 1.2.5-1 dapat diturnkan
Tabel 2.2.6-1.
Tabel 2.6-1. Menunjukkan hasil perhitungan untuk menentukan
kesalahan konstanta Thiele dan Innes
t
X/Y
(X/Y)2
(x/Y)'
(x/Y)
1903.6
1909.76
1915.4
1926.98
1928.65
1930.04
1933.11
1934.99
1936.98
1938.67
1942.59
1945.85
1948.76
1951.64
1953.76
1955.93
1957.71
1959.87
1961.76
1964.29
1965.98
1968.79
-7.57
-31.756
15.889
3.787
3.384
3.104
2.605
2.357
2.132
1.967
1.636
1.412
1.236
1.08
0.975
0.873
0.791
0.696
0.617
0.513
0.443
0.326
57.303
1008.42
252.457
14.338
11.453
9.635
6.783
5.554
4.547
3.868
2.678
1.993
1.529
1.167
0.95
0.762
0.625
0.484
0.381
0.263
0.197
0.106
-1.438
-0.954
-1.907
-1.665
-1.657
-1.651
-1.641
-1.636
-1.632
-1.628
-1.622
-1.617
-1.614
-1.611
-1.609
-1.606
-1.605
-1.603
-1.601
-1.599
-1.598
-1.596
-1.317
-0.422
-1.778
-2.466
-1.733
-1.669
-1.023
-1.717
-1.599
-1.648
-1.615
-1.635
-1.497
-1.601
-1.506
-3.136
-1.491
-1.44
-1.576
-1.624
-1.478
-1.593
Σ
6.497
1385.49
-35.09
-35.564
2
2
⎡ ⎧⎪
⎛ X ⎞ ⎛ X ⎞ ⎫⎪⎤
τ B = ⎢ n / ⎨n ∑ ⎜ ⎟ − ⎜ ∑ ⎟ ⎬⎥
⎝ Y ⎠ ⎝ Y ⎠ ⎪⎭⎥⎦
⎢⎣ ⎪⎩
1/ 2
τY ,
1
47
(Δ x/Y)2
(Δ y/Y)2
(y/Y)'
(y/Y)
0.015
0.283
0.017
0.642
0.006
0
0.382
0.007
0.001
0
0
0
0.014
0
0.011
2.341
0.013
0.027
0.001
0.001
0.014
0
11.651
48.099
-23.702
-5.464
-5.343
-4.435
-3.683
-3.309
-2.97
-2.721
-2.222
-1.885
-1.62
-1.385
-1.226
-1.073
-0.949
-0.806
-0.687
-0.53
-0.425
-0.248
12.946
46.667
-22.822
-4.638
-4.893
-4.901
-2.213
-3.342
-2.725
-2.691
-2.307
-2.008
-1.551
-1.41
-1.242
-1.904
-0.811
-0.784
-0.678
-0.562
-0.435
-0.238
1.677
2.051
0.774
0.682
0.203
0.217
2.161
0.001
0.06
0.001
0.007
0.015
0.005
0.001
0
0.691
0.019
0
0
0.001
0
0
3.775
-4.933
-2.542
8.566
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
= [22 / (22 × 1385.488 − 42.211)] τ Y 1 ,
1/ 2
= [22 / (30438.525)] τ Y 1 ,
1/ 2
= [0.001] τ Y 1 ,
1/ 2
= 0.027τ Y 1 .
2
2
⎡ ⎛ X ⎞ 2 ⎧⎪
⎛ X ⎞ ⎛ X ⎞ ⎫⎪⎤
τ G = ⎢ ∑ ⎜ ⎟ / ⎨n ∑ ⎜ ⎟ − ⎜ ∑ ⎟ ⎬⎥
⎝ Y ⎠ ⎝ Y ⎠ ⎪⎭⎥⎦
⎣⎢ ⎝ Y ⎠ ⎪⎩
1/ 2
τY ,
1
= [1385.488 / (22 × 1385.488 − 42.211)] τ Y 1 ,
1/ 2
= [1385.488 / (30438.525)] τ Y 1 ,
1/ 2
= 0.213τ Y 1 .
Sedangkan τ Y 1 adalah
τY
1
2
⎤
⎡ ⎧ x '
⎫⎪
x
⎪
⎛
⎞
⎛
⎞
⎢
= ∑ ⎨⎜ ⎟ − ⎜ ⎟⎬ /(n − 2)⎥
⎥
⎢ ⎪⎩⎝ Y ⎠ ⎝ Y ⎠⎪⎭
⎦
⎣
⎡ 3.775 ⎤
=⎢
⎣ 20 ⎥⎦
1/ 2
,
1/ 2
,
= 0.434.
dan
τY
2
2
⎡ ⎧ y '
⎤
⎫⎪
y
⎪
⎛
⎞
⎛
⎞
= ⎢∑ ⎨⎜ ⎟ − ⎜ ⎟⎬ /( n − 2)⎥
⎢ ⎪⎩⎝ Y ⎠ ⎝ Y ⎠⎪⎭
⎥
⎣
⎦
⎡ 8.558 ⎤
=⎢
⎣ 20 ⎥⎦
1/ 2
,
1/ 2
,
= 0.654.
48
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
Jadi
τB = 0.027 x 0.434 = 0.012,
τG = 0.213 x 0.434 = 0.093.
Hal yang sama untuk kesalahan A dan F
τA = 0.027 x 0.654 = 0.018,
τF = 0.213 x 0.654 = 0.139.
Konstanta Thiele dan Innes dapat ditulis
A = -1”.507 ± 0”.018,
B = -0”.020 ± 0”.012,
F = 0”.243 ± 0”.139,
G = -1”.589 ± 0”.093.
2.2.7. Menghitung elemen Orientasi
Rumus- rumus yang digunakan adalah persamaan (1.5-11), (1.5-12) dan (1.5-13) dan
data dari bab 2.2.5. Dari rumus (1.5-11) dan (1.5-12)
tan (ω + Ω ) =
B − F − 0.263
=
= 0.085 ,
A + G − 3.096
(ω+Ω) = 4°.856 + k x 180°.
Sin (ω+Ω) bertanda sama terhadap B-F, dan B-F ≤ 0. Jadi sin (ω+Ω) ≤ 0, berada pada daerah
180° ≤ (ω+Ω) ≤ 360°. Dengan perkataan lain harga k yang memenuhi adalah k=1.
(ω+Ω) = 4°.856 + 180°,
= 184°.856 .
tan (ω − Ω ) =
(2.2.7-1)
− ( B + F ) − 0.223
=
= −2.720 ,
A−G
0.082
49
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
(ω-Ω) =-69°.814 + k x 180°.
Sin (ω-Ω) bertanda sama dengan -(B+F) dan –(B+F) ≤ 0. Jadi Sin (ω-Ω) ≤ 0, terletak pada
rentang 180° ≤ (ω-Ω) ≤ 360°. Harga k yang memenuhi adalah k = 2. Jadi
(ω-Ω) = -69°.814 + 360°,
= 290°.186.
(2.2.7-2)
Dari (1) dan (2)
ω = 237°.521,
Ω = -52°.665 .
Jadi nilai ω dan Ω yang memenuhi adalah
ω = 237°.521- 180°,
ω = 57°.521.
Ω = -52°.665 + 180°,
Ω = 127°.335 .
Untuk menghitung inklinasi, digunakan rumus
⎛ i ⎞ B + F sin(ω + Ω)
tan 2 ⎜ ⎟ =
,
⎝ 2 ⎠ F − B sin(ω + Ω)
=
0.223 sin(57°.521 + 127°.335)
,
0.263 sin(57°.521 − 127°.335)
=
0.223 × 0.085
,
0.263 × 0.939
=
0.019
,
0.247
= 0.077,
tan (i/2) = ± 0.277,
50
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
i/2 = ± 15.486.
Karena gerakannya direct maka i = 30°.972.
Selamjutnya untuk menghitung a, gunakan rumus (1.7-1)
a2 cos i = AG – BF,
Nilai A, G, B dan F dari 1.2.4 dan i = 30°.972.
a2 =
AG − BF
,
cos i
=
1.507 × 1.589 + 0.020 × 0.243
,
cos 30°.972
=
2.395 + 0.05
,
0.857
= 2.800,
a = 1”.673.
Untuk menghitung setengah sumbu pendek (b), gunakan hubungan
b = a 1 − e2 ,
= 1.673 1 − (0.426) 2 ,
= 1.673 x 0.905,
b = 1”.514.
2.2.8. Hitung massa dan jarak
Dengan menggunakan persamaan yang telah diturunkan pada paragraf sebelumnya dan
penerapan teknik iterasi pada persamaan tersebut, diperoleh hasil perhitungan sebagai
berikut:
51
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
Iterasi
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
p
0,04356
0,04699
0,049559
0,051372
0,052598
0,053402
0,05392
0,054248
0,054455
0,054585
0,054665
M1 + M2
2
1,593243
1,358145
1,219344
1,13605
1,085478
1,054529
1,035489
1,023737
1,016466
1,011963
1
Mb
6,305457
6,470037
6,585597
6,66363
6,714845
6,747805
6,768743
6,781931
6,790193
6,795352
6,798566
2
Mb
7,305457
7,470037
7,585597
7,66363
7,714845
7,747805
7,768743
7,781931
7,790193
7,795352
7,798566
M1
0,691367
0,654402
0,629634
0,613442
0,603042
0,596442
0,592287
0,589685
0,58806
0,587049
0,586419
M2
0,495118
0,468646
0,450909
0,439313
0,431865
0,427138
0,424163
0,422299
0,421136
0,420411
0,41996
Hasil iterasi r
1. Paralak dinamik dari bintang ganda tersebut adalah 0”,054;
2. Massa dari bintang ganda tersebut adalah M1 = 0,58 M0 dan M2 = 0,42 M0
3. Magnitudo absolut bolometrik bintang tersebut adalah 1Mb = 6,79 dan 2Mb = 7,79
2.2.9 Hasil Akhir
Dari perhitungan terdahulu diperoleh nilai-nilai sebagai berikut :
i. Elemen Dinamik
e = 0.426.
T = 1995.303.
P = 168.303 tahun.
ii. Elemen Orientasi
i = 30°.972 .
ω = 57°.521 .
Ω = 127°.335 .
iii. Konstanta Thiele dan Innes
A = -1”.507.
B = -0”.020 .
52
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
F = 0”.243 .
G = -1”.589 .
iv. Ukuran geometris dari Ellips
a = 1”.673 .
b = 1”.514 .
v. Gerakan sudut per tahun
μ = 2°.139
vi Jarak , massa dan luminositas
Karena paralak p = 0,054 → jarak r =
1
= 18,5 parsek
p
Massa bintang
bintang primer M1 = 0,58 M0 dan bintang sekunder M2 = 0,42 M0
Magnitudo absolut bolometrik
bintang primer 1Mb = 6,79 dan bintang sekunder 2Mb = 7,79
2.2.10 Ephemeris bintang ganda ADS 1733
Berikut diberikan ephemeris Bintang ADS 1733 untuk tahun 2006
Nama (designation) yang lain untuk bintang ini adalah : HD 14001, HIP 10542
Tabel 2.12 Elemen orbit bintang ganda ADS 1733
menurut Siregar(1976)
No
1
2
3
4
5
6
7
Elemen
P
Siregar (1976)
168.303 tahun
μ
e
i
ω
Ω
T
2.o139
0.426
30.972
57.521
127.335
1995.733
Ephemeris untuk elemen orbit bersangkutan diragakan pada table berikut ini
53
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
Tabel 2.13 Ephemeris bintang ganda ADS 1733 menurut
Siregar(1976) untuk semester II tahun 2006
No
t (tahun)
M (o)
E (o )
1
2
3
4
5
6
7
8
2006.25
2006.33
2006.41
2006.5
2006.58
2006.67
2006.75
2006.84
22.496
22.67
22.84
23.03
23.2
23.394
23.565
23.758
37.282
37.545
37.801
38.087
38.343
38.634
38.89
39.179
ν(o)
55.998
56.358
56.708
57.098
57.496
57.841
58.188
58.578
ρ (")
1.017
1.048
1.079
1.117
1.149
0.987
0.987
0.994
θ (o )
244.26
244.653
245.044
245.471
245.845
246.282
246.788
247.094
Sebagai pembanding berikut dilampirkan elemen orbit menurut Soderhjelm(1999). Data pada
epoch 2000.
Tabel 2.14 Elemen orbit bintang ganda ADS 1733
Menurut Soderhjelm(1999)
No
1
2
3
4
5
6
7
Elemen
P
Soderhjelm(1999)
225 tahun
μ
e
i
ω
Ω
T
1.o600
0.14
41.000
57.521
170.000
1803
Sedangkan ephemeris untuk elemen orbit table diatas diragakan pada table 2. 15
Tabel 2.15 Ephemeris bintang ganda ADS 1733 menurut
Soderhjelm(1999) untuk semester II tahun 2006
No t (tahun)
1
2
3
4
5
6
7
8
2006.25
2006.33
2006.41
2006.5
2006.58
2006.67
2006.75
2006.84
M (o)
E (o )
325.2
325.328
325.456
325.6
325.728
325.872
326
326.144
320.027
320.171
320.315
320.476
320.62
320.782
320.926
321.087
54
ν (o )
-45.442
-45.283
-45.123
-45.944
-45.785
-44.605
-44.445
-44.265
ρ (")
1.706
1.708
1.708
1.708
1.712
1.712
1.71
1.71
θ (o )
149.444
149.544
149.696
149.847
149.948
150.1
150.252
150.404
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
55
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
Bab 3.
Proposal untuk pekerjaan selanjutnya
3.1 Sistem Bintang Ganda Visual ADS 8119 AB
Bintang ganda visual ADS 8119 AB atau lebih dikenal dengan nama Xi Ursae Majoris
(ζ Uma) merupakan salah satu bintang ganda visual di rasi Ursa Mayor. Pasangan bintang ini
ditemukan oleh Sir William Herschel pada 2 Mei 1780 dan merupakan sistem bintang ganda
yang orbitnya berhasil dihitung pertama kali oleh Savary pada tahun 1828. Oleh karena itu
bintang ini mempunyai posisi historis yang sangat penting dalam studi bintang ganda visual.
Merupakan sistem bintang ganda yang pertama kali dihitung elemen orbitnya dan juga
merupakan sistem bintang ganda yang pertama kali digunakan untuk membuktikan kebenaran
kaedah hukum Kepler III.
Sistem ini terdiri dari dua buah bintang utama pada sistem ADS 8119 AB, yaitu
bintang HD 98231 (ADS 8119 A) sebagai komponen primer dan HD 98230 (ADS 8119 B)
merupakan komponen sekundernya (informasi mengenai sistem ini dapat dilihat pada tabel
3.1).
56
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
Tabel 3.1. Informasi Sistem Bintang Ganda ADS 8119 AB
No
Aspek
Data
1
Posisi
HD 98231
R.A.
= 11h 18m 10s.90
(J2000.0)
Deklinasi
= +310 31’ 44”.9
(J2000.0)
HD 98230
R.A.
= 11h 18m 10s.95
(J2000.0)
Deklinasi
= +310 31’ 45’’.7
(J2000.0)
2
Magnitudo (V)
HD 98231 = 4.41 magnitudo
HD 98230 = 4.87 magnitudo
3
Kelas Spektrum
HD 98231 = G0V
HD 98230 = F8.5V
4
Nama WDS
11182+3132
Kedua komponen utama ini juga merupakan sistem bintang ganda spektroskopik. Bintang
HD 98231 merupakan bintang ganda spektroskopi dengan periode 1.8 tahun sedangkan
bintang HD 98230 mempunyai periode yang lebih pendek, yaitu 3.98 hari .
Data yang akan digunakan pada pekerjaan ini diperoleh dari katalog WDS
(Washington Double Star). Dari data yang dikumpulkan sejak tahun 1780 sampai akhir tahun
2004 diperoleh jumlah pengamatan sebanyak 1536 buah dan sudah melengkapi orbit selama
tiga periode. Pada penentuan elemen orbit sistem bintang visual ini akan dipergunakan titiktitik data pada periode ketiga, yaitu antara tahun 1933.22 sampai dengan 1992.42 sejumlah
586 data pengamatan (data diberikan pada lampiran 1).
57
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
Kolom pertama merupakan epoch pada saat pengamatan dilakukan, kolom kedua
adalah sudut posisi dari pengamatan, sedangkan separasi sudutnya ditampilkan pada kolom
ketiga. Informasi mengenai jumlah pengamatan dan ukuran teleskop yang digunakan
diberikan pada kolom keempat dan kelima, berikutnya kolom keenam adalah informasi
mengenai referensi yang digunakan pada katalog WDS. Untuk kolom ketujuh yaitu informasi
mengenai koreksi sudut posisi karena presesi Luni-Solar, dan kolom kedelapan mengenai
sudut posisi yang sudah dikoreksi efek presesi, akan dijelaskan pada bagian III.
3.2 Studi Sebelumnya
Data pengamatan yang banyak menunjukkan juga jumlah studi yang telah dilakukan
mengenai sistem bintang ganda ADS 8119 AB. Hasil yang akan diperoleh pada ini akan
dibandingkan dengan hasil dari studi oleh Heintz (1967) dan Mason et al. (1995). Dari studi
keduanya diperoleh data menegenai elemen orbit sistem tersebut, sebagai berikut
Tabel 3.2. Elemen Orbit Hasil Studi Sistem Bintang Ganda ADS 8119 AB
No
1
2
3
4
5
6
7
Aspek
Periode, P [Tahun]
Setengah sumbu panjang, a ['']
Inklinasi , i [o]
Eksentrisitas, e
Longitude periastron , ω [o]
Sudut arah titik simpul naik, Ω [o]
Waktu terakhir melewati Perisatron,
T [YYYY,yy]
Heintz (1967) Mason et al. (1995)
59.84
59.878
2.53
2.536
122.65
122.13
0.414
0.398
127.53
127.94
101.59
101.85
1935.17
3.2 Penentuan Konstanta Kepler
58
1935.195
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
Metode yang digunakan pada penentuan elemen orbit sistem bintang ganda ADS 8119
AB pada studi ini adalah metode grafis, sehingga untuk menentukan konstanta Kepler juga
menggunakan grafik. Pada dasarnya tujuan menentukan konstanta Kepler adalah untuk
menentukan ellips yang tampak dari pengamatan. Langkah-langkah yang tempuh untuk
menentukan konstanta Kepler antara lain:
1. Membuat grafik separasi sudut (ρ), sudut posisi (θ) yang sudah dikoreksi terhadap efek
presesi sebagai fungsi waktu pengamatan. Kemudian digambarkan kurva garis yang
menggambarkan titik-titik data tersebut (lihat Gambar3.1 dan Gambar 3.2). Koreksi efek
presesi Luni-Solar mengikuti perumusan oleh Van de Kamp tahun 1969 . Koreksi sudut
posisi tersebut sebesar,
Δθ = 0.00557 sin α sec δ (2000 − t ) ,
dengan informasi mengenai posisi sitem bintang ganda ADS 8119 AB maka kita dapat
menetukan besarnya koreksi pada tiap waktu pengamatan. Hasilnya ditunjukkan pada
lampiran 1 kolom ketujuh (Δθ) dan kolom kedelapan (θc).
Berikut diperlihatkan kurva θ dan ρ sebagai fungsi dari waktu . Kurva ini belum
memenuhi hukum Kepler, baru memenuhi prinsip least-square
59
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
Kurva Rho Sebagai Fungsi Waktu
3.5
3
2.5
Rho
2
1.5
1
0.5
0
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
Tahun
Gambar 3.1. Grafik separasi sudut (ρ) sebagai fungsi waktu.
Kurva Theta Sebagai Fungsi Waktu
400
350
300
Theta
250
200
150
100
50
0
1930
1940
1950
1960
1970
1980
Tahun
Gambar 2. Grafik sudut posisi sebagai fungsi waktu.
2. Pada satu waktu tertentu hukum kekekalan luas harus dipenuhi, yaitu
60
1990
2000
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
h = ρ2
dθ
.
dt
(1)
Perubahan sudut posisi terhadap waktu ,
dθ
, dapat ditentukan dari grafik. Hasil yang
dt
diperoleh mempunyai satuan derajat per tahun dapat diubah ke satuan radian per tahun.
Untuk memenuhi persamaan (1) maka kita akan mengubah grafik pada ordinatnya dan
akan terus diubah sampai kita memperoleh nilai h yang sama untuk setiap waktu.
3. Setelah memperoleh nilai h, maka kita akan menentukan nilai konstanta Kepler dari titiktitik yang sudah memenuhi persamaan (1). Nilai separasi sudut (ρ) dan sudut posisi (θ)
yang sudah dikoreksi melalui grafik ditampilkan pada tabel 3.1.
4. Dengan menggunakan tabel 3.1, diperoleh nilai konstanta Kepler C untuk iterasi pertama
adalah
C = 39.073 [derajat][detik busur]2 /4 tahun,
C = 0.170 [radian][detik busur]2 / tahun.
Dengan standard deviasi-nya sebesar
σ = 6.763 [derajat][detik busur]2 /4 tahun,
= 0.029 [radian][detik busur]2 / tahun.
Hasil belum cukup memuaskan, karena bila dihitung kembal nilai C belum menunjukkan
harga yang konstan. Dalam arti standar deviasinya masih cukup besar
5. Koreksi terhadap kurva Kepler masih harus dilanjutkan
61
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
Tabel 3.1 Nilai separasi sudut (ρ) dan sudut posisi (θ)
No
1
Waktu
1934
θ [0 ]
335
ρ[″ ]
1.6
C
36
2
1938
290
2
36
3
1942
260
2.4
39
4
1946
235
2.7
40.625
5
1950
210
2.4
37.5
6
1954
185
2.4
31.2
7
1958
165
2.7
39
8
1962
145
3.1
41.625
9
1966
130
3.8
41.625
10
1970
125
3.8
56.25
11
1974
115
5.3
30
12
1978
110
5.3
45.6
13
1982
105
3.1
41.8
14
1986
85
2.7
30.8
15
1990
50
1.6
Selanjutnya akan dibicarakan kasus BGV lainnya WDS 04403-5857 berikut ini
62
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
3.5 BINTANG GANDA WDS 04403-5857
WDS 04403-5857 atau HR 1504 adalah bintang ganda yang sudah diamati sejak lama, bahkan
sejak tahun 1835. Bintang ganda ini terdiri dari dua buah bintang yang hampir sama terang.
Komponen primernya memiliki magnitudo visual sekitar 7 magnitudo dan kelas spektrumnya
G5V. Bintang ini dipilih sebagai bintang ganda yang akan ditentukan parameter orbitalnya
karena perlu dilakukan tinjauan ulang pada orbitnya. Diharapkan akan diperoleh parameter
orbital yang lebih baik dengan data yang lebih baru.
Sumber Data
Data lengkap dari WDS 04403-5857 diperoleh dari http://ad.usno.navy.mil/wds/ . Data yang
diambil dari website tersebut terdiri dari waktu dilakukannya pengamatan, sudut posisi,
separasi, magnitudo primer dan sekunder, referensi untuk tiap pengamatan, serta parameter
orbital dari bintang ganda tersebut.
Data WDS 04403-5857 yang akan digunakan untuk menghitung parameter orbitnya diberikan
pada lampiran.
Tujuan Penelitian
Pekerjaan ini dilakukan untuk menghitung kembali parameter orbit bintang ganda WDS
04403-5857. Melalui pekerjaan sebelumnya ternyata diketahui bahwa orbit bintang ganda ini
perlu dihitung ulang karena parameter orbit yang lama sudah tidak sesuai dengan data-data
terbaru.
63
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
Parameter Fisis
1. Koordinat (epoch 2000.0):
-
asensiorekta
: α = 04h 40m 17s.72
-
deklinasi
: δ = - 58° 56΄ 39˝.5
-
Observer code : HJ 3683
2. Elemen orbital (Brendley & Mason, 2006):
Parameter orbit
Simbol
Besar
Periode
P
326.17 tahun
Setengah sumbu semi-mayor
a
2˝.435
Inklinasi
i
100°.9
Sudut posisi simpul naik (node)
Ω
263.6
Waktu sekunder melewati
T
1919.36
Eksentrisitas
e
0.95
Longitude periastron
ω
338.1
Orbit grade
G
4 (preliminary)
periastron
3. Efemeris (Brendley & Mason, 2006):
t
θ
ρ
2005
89.8
3.526
2006
89.8
3.547
2007
89.8
3.568
2008
89.7
3.588
2009
89.7
3.608
Orbit Bintang Ganda
64
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
Dari studi terakhir yang dilakukan pada bintang ganda WDS 04403-5857 (2002) diketahui
bahwa orbit yang telah diturunkan sebelumnya sudah tidak cocok lagi dengan data-data
observasi terbarunya. Pada gambar 1 ditampilkan orbit bintang WDS 04403-5857 dari tahun
2002 dan 2006. Dari kedua gambar tersebut jelas terlihat bahwa parameter orbital bintang ini
harus diubah agar sesuai dengan data observasinya.
Gambar 1a. Orbit WDS 04403-5857 pada
tahun 2002, dengan data terakhir diambil
pada tahun 1999.
Gambar 1b. Orbit WDS 04403-5857 pada
tahun 2007, dengan data terakhir diambil
pada tahun 2002.
65
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
Lampiran
Data WDS 04403-5857
Observations
============
Date
P.A.
1835.48
81.2
1836.40
81.2
1874.38
74.4
1874.90
71.5
1879.10
79.1
1879.10
80.6
1891.02
77.0
1897.06
85.1
1897.07
79.5
1903.16
80.6
1913.96
77.4
1913.98
78.4
1914.92
83.4
1916.93
77.5
1920.93
72.2
1922.06
.
1922.93
59.
1922.94
63.9
1923.10
.
1925.06
115.2
1925.07
83.
1926.02
103.4
1926.70
92.2
1926.95
99.0
1928.05
97.4
1928.82
95.5
1928.92
96.4
1929.06
97.5
1930.04
94.5
1930.10
95.6
1930.14
96.4
1930.24
96.2
1930.82
95.4
1931.08
95.7
1931.64
93.6
1932.75
95.1
1934.10
95.0
1934.17
94.7
1934.49
94.7
1936.74
94.0
1938.39
94.1
1939.97
93.5
1942.22
93.2
1942.68
93.0
1943.22
93.0
1944.77
92.3
1945.07
93.1
1946.70
90.1
1946.94
91.7
1947.01
92.3
1947.06
93.7
1951.13
92.1
1951.883
91.36
1952.888
92.09
1952.912
91.49
1955.13
91.4
Sep. Mag-a Mag-b
3.
7.5
7.5
3.82
8.0
8.0
2.23
.
.
3.16
.
.
3.46
7.
7.
3.32
.
.
1.88
7.
7.
0.92
8.
7.8
1.00
.
.
1.54
.
0.1
1.14
.
.
1.04
.
0.2
0.91
8.0
7.5
0.91
7.9
8.0
0.60
7.8
8.0
.
.
.
0.15
.
.
0.12
.
.
.
.
.
0.47
.
.
0.3
.
.
0.36
.
0.3
0.63
.
.
0.57
.
0.4
0.67
.
0.3
0.77
.
.
0.75
.
0.2
0.71
.
0.2
0.88
.
.
0.80
.
0.2
0.75
.
0.2
0.88
.
0.2
0.82
.
.
0.91
7.6
7.7
0.95
7.5
7.7
0.99
6.7
6.7
1.05
7.2
7.4
1.08
7.6
7.7
1.15
7.0
7.1
1.18
.
.
1.32
6.8
6.9
1.22
.
.
1.69
.
.
1.57
.
.
1.47
.
0.0
1.57
7.1
7.4
1.58
.
0.1
1.93
.
0.1
2.02
.
.
1.67
.
.
1.86
.
.
1.82
7.0
7.3
1.782
.
.
1.973
.
.
1.981
.
.
2.07
7.0
7.3
#
2
2
1
5
1
1
2
3
2
1
4
2
1
4
4
2
1
1
1
1
1
4
5
2
4
5
4
4
4
3
4
2
4
3
3
6
4
3
5
4
3
2
1
3
3
4
3
3
3
3
1
4
1
1
1
1
RefCode Aperture
HJ_1847a
18
HJ_1847b
05
Gou1897A
Gou1897A
R__1871a
11
Hrg1871
07
Slr1893b
11
See1898c
24
Cog1898b
24
I__1905
18
Vou1925a
07
VdS1914
09
Hu_1912c
17
Daw1918
17
Daw1922
17
I__1948
09
Daw1937
17
Daw1937
17
Daw1937
17
I__1948
09
I__1948
09
B__1928b
26
Vou1926
07
B__1928b
26
B__1928b
26
Vou1932
24
B__1929a
09
Fin1929a
26
Wal1934
15
B__1932b
26
Fin1932a
26
Jsp1964
27
Vou1932
24
Daw1937
17
B__1932b
26
Fin1934b
26
B__1935c
26
Daw1937
17
Fin1936b
26
Smw1951
15
Fin1951a
26
Smw1951
24
Hir1943a
07
Vou1955
15
Hir1946
07
B__1950c
26
Hir1950
07
WoH1948
11
Woy1948a
09
Smw1948
09
Gtb1948
09
B__1953a
26
The1970
24
The1970
24
The1970
24
B__1956a
26
66
Method
B
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
H
H
H
A
Codes
S
S
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
1956.793
1957.713
1957.786
1959.03
1959.04
1964.08
1965.59
1975.071
1975.099
1975.12
1975.727
1977.327
1978.691
1979.03
1980.25
1980.710
1980.786
1981.18
1982.781
1983.155
1984.863
1986.825
1986.977
1987.711
1991.18
1991.25
1991.65
1994.051
1995.025
1995.8527
1996.168
1996.1832
1997.1005
1999.7790
1999.7844
1999.7845
1999.85
2001.8624
2001.8624
2001.8815
2001.8815
2001.8842
2001.8842
2001.8870
2001.8870
2001.8897
2001.8897
2002.704
91.43
92.45
91.80
89.6
90.5
91.1
91.5
89.7
91.0
91.9
91.0
89.31
90.50
90.9
91.8
90.78
90.5
92.0
91.19
91.9
91.50
90.4
91.77
88.73
90.7
90.1
90.2
90.8
91.77
90.2
90.2
.
90.1
90.0
90.1
90.3
89.1
89.5
89.4
89.3
89.4
89.3
89.5
89.4
89.6
89.4
89.2
89.3
2.128
2.134
2.158
2.08
2.09
2.32
2.36
2.83
2.69
2.65
2.85
2.822
2.852
2.78
2.96
2.878
3.17
3.06
2.945
3.00
2.995
2.91
3.126
3.11
3.05
3.217
3.257
3.22
3.25
3.351
3.54
.
3.341
3.47
3.44
3.44
2.71
3.501
3.503
3.505
3.520
3.510
3.508
3.507
3.507
3.494
3.479
3.37
.
.
.
.
.
.
7.0
7.3
.
.
7.0
7.2
7.0
7.2
.
.
.
0.0
.
0.0
.
0.1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
-0.1
.
.
.
0.3
.
.
.
.
.
.
7.32 7.53
7.33 7.45
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
1
4
2
4
4
1
4
3
2
2
2
3
4
1
1
3
1
2
1
4
1
1
2
1
1
4
5
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
The1970
The1970
The1970
B__1959d
Knp1960
B__1965a
B__1967
Rak1981
Hln1975b
Hln1976a
Wor1978
vAd1985
vAd1985
Val1980c
Fra1986
Jas1995
Tob2005a
WRH1982
vAd1987
Wor1989
Pan1991
Sca1989
Pan1991
Jas1994
Hei1992a
HIP1997a
TYC2000c
ADP1995
ADP1998
Hor2001b
Pri1997a
Msn1998b
Hor1997
Hor2000
Hor2000
Hor2000
TMA2003
Hor2006
Hor2006
Hor2006
Hor2006
Hor2006
Hor2006
Hor2006
Hor2006
Hor2006
Hor2006
Ant2004
Keterangan:
kolom 1 = tahun pengamatan
kolom 2 = sudut posisi
kolom 3 = separasi
kolom 4 = magnitudo komponen primer
kolom 5 = magnitudo komponen sekunder
kolom 6 = katalog observasi WDS
kolom 7 = kode referensi
kolom 8 = apertur
67
24
24
24
26
26
26
26
40
40
40
60
24
24
26
04
24
48
26
24
36
24
15
24
24
24
54
07
40
40
84
26
157
24
24
24
24
51
24
24
24
24
24
24
24
24
24
24
14
H
H
H
A
A
A
A
W
B
B
B
H
H
A
A
H
G
A
H
B
H
A
H
H
B
T
T
F
F
S
A
S
S
S
S
S
E
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
F
Q
Q
Q
S
R
K
R
R
R
R
B
S.Siregar
Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi
___________________________________________________________________________
kolom 9 = metode pengambilan data
kolom 10 = kode (catatan)
Daftar Pustaka
Argyle, B., 2004 Observing and Measuring Visual Double Stars, Springer-Verlag,
London
Brendley, M. & Mason, B., IAUDS, 160R, 1B (6th Orbit Catalog)
Heintz, W.D. 1967, Astronomische Nachrichten, 289, 269.
Horeschi, E. 1958. Astronomische Nachrichten. 284, 57
Mason, B.D. 1995, Astronomical Journal, 109, 332.
Siregar,S., 1976 Menentukan orbit ADS 1733 dengan koordinat α = 2h 15m.8 dan
δ = -180 14’ epoch 2000 dengan cra Thiele-Innes, Tugas Akhir Departemen
Astronomi ITB
Soderhjelm, S. 1999. Astronomy & Astrophysics. 341, 121.
68