Universitas Indonesia Asimetri Isospin Pada Materi Quark Skripsi Ali

Universitas Indonesia
Asimetri Isospin Pada Materi Quark
Skripsi
Ali Ikhsanul Qauli
1006659123
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Program Studi Fisika
Depok
April 2014
Universitas Indonesia
Asimetri Isospin Pada Materi Quark
Skripsi
Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana
Ali Ikhsanul Qauli
1006659123
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Program Studi Fisika
Depok
April 2014
HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS
Skripsi ini adalah hasil karya saya sendiri,
dan semua sumber baik yang dikutip maupun yang dirujuk
telah saya nyatakan dengan benar.
Nama
:
Ali Ikhsanul Qauli
NPM
:
1006659123
Tanda tangan
:
Tanggal
:
iii
21 April 2014
Universitas Indonesia
i
HALAMAN PENGESAHAN
Skripsi ini diajukan oleh
Nama
: Ali Ikhsanul Qauli
NPM
: 1006659123
Program Studi : S1 Reguler Fisika
Judul Skripsi
: Asimetri Isospin Pada Materi Quark
Telah berhasil dipertahankan di hadapan Dewan Penguji dan diterima sebagai bagian persyaratan yang diperlukan untuk memperoleh gelar sarjana Sains pada Program Studi S1 Reguler Fisika,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Indonesia
DEWAN PENGUJI
Pembimbing I
:
Dr. Anto Sulaksono
(
)
Penguji I
:
Prof. Dr. Terry Mart
(
)
Penguji II
:
Dr. Agus Salam
(
)
Ditetapkan di
:
Depok
Tanggal
:
21 April 2014
Universitas Indonesia
v
HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI
TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Sebagai sivitas akademik Universitas Indonesia, saya yang bertanda tangan di
bawah ini;
Nama
: Ali Ikhsanul Qauli
NPM
: 1006659123
Program Studi
: S1 Reguler Fisika
Departemen
: Fisika
Peminatan
: Fisika Nuklir dan Partikel
Fakultas
: Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Jenis Karya
: Skripsi
demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada
Universitas Indonesia Hak Bebas Royalti Noneksklusif (Non-exclusive
Royalty Free Right) atas karya ilmiah saya yang berjudul :
Asimetri Isospin Pada Materi Quark
beserta perangkat yang ada (jika diperlukan). Dengan Hak Bebas Royalti
Noneksklusif ini Universitas Indonesia berhak menyimpan, mengalihmedia/formatkan, mengelola dalam bentuk pangkalan data (database), merawat,
dan memublikasikan tugas akhir saya selama tetap mencantumkan nama saya
sebagai penulis/pencipta dan sebagai pemilik Hak Cipta.
Demikian Pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.
Depok, 21 April 2014
Ali Ikhsanul Qauli
Universitas Indonesia
ABSTRAK
Nama
: Ali Ikhsanul Qauli
Program Studi : S1 Reguler Fisika
Judul Skripsi
: Asimetri Isospin Pada Materi Quark
Pada skripsi ini, kebergantungan persamaan keadaan materi quark terhadap
parameter isospin dikaji secara teoritik. Model materi quark yang digunakan
adalah pengembangan dari model CDDM (Confined Density Dependent Mass)
dengan menambahkan suku interaksi isospin pada massa quark. Selanjutnya
model ini disebut CIDDM (Confined Isospin Density Dependent Mass). Model
CIDDM diuji dengan membandingkan relasi massa-radius bintang yang dihasilkan dengan observasi astrofisika dan hasil prediksi tekanan materi quark
pada daerah nilai rapat bilangan baryon yang besar berdasarkan perhitungan
pQCD. Hasil yang kami dapatkan menunjukkan bahwa model CIDDM tidak
bisa menjelaskan hasil perhitungan pQCD pada daerah nilai densitas baryon
yang besar tetapi cukup konsisten dengan observasi bintang kompak dengan
massa dua kali massa matahari untuk set parameter DI-2500.
Kata kunci:
Materi quark, isospin, densitas baryon, pQCD, CDDM, CIDDM, bag
vii
Universitas Indonesia
ABSTRACT
Name
: Ali Ikhsanul Qauli
Program of Study : Undergraduate Program in Physics
Title
: Isospin Asymmetry In Quark Matter
In this bachelor thesis, the isospin dependence in quark matter’s equation of
state have been studied theoretically. The quark matter model used in this
study is an extended version of CDDM model where the isospin term in quark’s
mass is included. Then this model is called CIDDM (Confined Isospin Density
Dependence Mass). CIDDM model has been tested by comparing mass-radius
relation which come from astrophysical observation and the equation of state
obtained from perturbative QCD (Quantum Chromo Dynamics) calculation.
We have found that CIDDM model cannot explain the equation of state from
pQCD in large baryon density region but it’s maximum mass prediction is quite
consistent with the one from compact stars observation. Namely the pulsar’s
mass is about two times larger than solar mass if we use the parameter set
DI-2500.
Keywords:
Quark matter, isospin, baryon density, perturbative QCD, CDDM, CIDDM,
bag
viii
Universitas Indonesia
KATA PENGANTAR
Segala puji dan syukur kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan
rahmat, hidayah dan petunjuk-Nya kepada kita umat muslim. Shalawat dan
salam semoga senantiasa tercurahkan pada Nabi Muhammad SAW, keluarga,
para sahabat dan pengikutnya.
Berangkat dari waktu sekitar empat tahun lalu ketika penulis mengikuti
pelatnas TOFI (Tim Olimpiade Fisika Indonesia), banyak hal yang penulis
dapatkan dan pelajari terkait fisika. Selanjutnya keingintahuan akan suatu
topik fisika terkait benda angkasa menjadikan penulis melakuan penelitian
lebih lanjut di universitas. Skripsi ini terkait dengan peristiwa kenukliran
dalam suatu objek angkasa yang penulis telusuri lebih lanjut yang sebelumnya
pernah penulis temui dalam bentuk yang sederhana ketika mengikuti pelatnas.
Dalam penulisan skripsi ini, tak lepas dari bantuan dan dukungan berbagai
pihak sehingga penulisan skripsi bisa selesai sesuai dengan apa yang penulis
rencanakan. Oleh karena itu, patut kiranya penulis mengucapkan terimakasih
kepada berbagai pihak yang sudah membantu selama ini.
Penulis mengucapkan banyak terimakasih pada kolega di TOFI, pengetahuan awal tentang benda angkasa yang diberikan sungguh sangat membantu
dalam penulisan skripsi ini. Juga kepada guru pembina yang dengan sabar
dan tekun membina penulis sedari sekolah menengah, Pak Purwedi Bambang
Rusdiyanto, terimakasih pak telah merelakan waktu, tenaga dan pikiran untuk
membina kami.
Dukungan teman-teman fisika terutama fisika angkatan 2010 juga sangatsangat berpengaruh dalam studi yang penulis lakukan. Kepada sahabat penulis; Ihsan dan Jaka, waktu empat tahun ini terasa cepat, tetapi juga terasa
hebat berkat anda. Semoga silaturrahim tetap terjalin dengan baik.
Kepada dosen, Pak Muhammad Hikam, terimakasih sudah menjadikan penulis sebagai asisten mengajar selama kurang lebih 2 tahun, hal tersebut juga
merupakan pembelajaran bagi penulis agar bisa menyampaikan gagasan atau
ide kepada orang lain dengan tepat. Juga kepada dosen fisika nuklir dan partikel, Pak Terry, Pak Anto, Pak Handoko, Pak Imam, Pak Agus dan Pak
Handhika, terimakasih telah mengajarkan banyak hal terkait fisika nuklir dan
ix
Universitas Indonesia
x
partikel sehingga penulis sadar bahwa banyak misteri di alam ini yang belum
terungkap dan perlu diungkap.
Kepada rekan-rekan asisten laboratorium fisika lanjutan, ’joke’ dan diskusi
yang rekan-rekan berikan sunggu luar biasa tetapi juga tetap scientific. Keep
up the good work buddies!
Untuk teman-teman perantauan dari Madura, kak Desy, kak Danang, kak
Qamqam, Ramadhan, Melly, Nur Atika, Dani, Mulya, Ghafiqi, Edwin, Afifun, Kadir, dan semua adik-adik angkatan 2011, 2012, dan juga 2013 yang
tidak cukup jika saya sebutkan semua di sini, terimakasih sudah menunjukkan
bagaimana seharusnya orang Madura itu dengan baik, semoga akan semakin
banyak teman-teman kita dari Madura yang akan menyusul ke kampus ini.
Beberapa patah kata untuk meneruskan semangat pendahulu saya di kampus
ini, let’s dominate this university guys!.
Terimakasih juga penulis ucapkan untuk BATAN, yang telah memberikan
bantuan berupa beasiswa, pelatihan ,seminar dan berbagai kegiatan terkait
teknologi nuklir. Penulis menjadi paham betapa pentingnya pengembangan
teknologi nuklir di Indonesia, dan semoga kedepannya semua pihak bisa turut
serta mensukseskan pengembangan teknologi nuklir di Indonesia agar Indonesia bisa menjadi negara yang mandiri di sektor energi dan lingkungan.
Kepada keluarga di rumah, ayahanda Masdawi Dahlan, ibunda Indra Sulistyawati, adinda Basri Qomari, Azizah Kusuma Dara, dan Cahya Imani Fitri
yang sudah mendukung dan menemani penulis selama studi di fisika UI, penulis selalu mendoakan kebaikan untuk kita semua.
Akhir kata penulis berharap agar skripsi ini bisa membawa manfaat bukan
hanya untuk bagi pengembangan ilmu pengetahuan fisika secara umum tetapi
juga untuk pengembangan metode dan teknik perhitungan komputasi yang
lebih cepat dan efisien.
Depok, Mei 2014
Ali Ikhsanul Qauli
Universitas Indonesia
DAFTAR ISI
HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS
iii
HALAMAN PENGESAHAN
i
HALAMAN PERNYATAAN PERSUTUJUAN PUBLIKASI
v
ABSTRAK
vii
KATA PENGANTAR
ix
DAFTAR ISI
xi
DAFTAR GAMBAR
xiii
1 PENDAHULUAN
1
1.1
Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Perumusan masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4
Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.5
Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2 MATERI QUARK
3
2.1
Materi Quark dengan model bag MIT . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
Materi Quark Strange dengan model CDDM dan CIDDM
. . .
3
2.3
Persamaan keadaan Materi Quark . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.4
Persamaan TOV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3 METODE PERHITUNGAN
9
3.1
Perhitungan Persamaan Keadaan Materi Quark . . . . . . . . .
3.2
Metode Fixed-Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 HASIL PERHITUNGAN DAN ANALISIS
9
13
4.1
CIDDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2
Prediksi pQCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
xi
Universitas Indonesia
xii
5 KESIMPULAN
21
5.1
Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
DAFTAR ACUAN
23
A Persamaan TOV
24
B Materi Quark dengan CIDDM
28
Universitas Indonesia
DAFTAR GAMBAR
2.1
Prediksi tekanan pada materi quark, diambil dari referensi [8]. .
4.1
Fraksi quark up, down, strange dan elektron para model CI-
6
DDM dengan menggunakan set parameter DI-0. . . . . . . . . . 13
4.2
Fraksi quark dengan menggunakan set parameter DI-300. . . . . 13
4.3
Fraksi quark dengan menggunakan set parameter DI-2500. . . . 14
4.4
Persamaan keadaan materi quark dengan variasi DI berdasarkan
model CIDDM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.5
Relasi massa dan radius bintang. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.6
Prediksi tekanan sebagai fungsi potensial kimia baryon pada
materi quark berdasarkan model CIDDM. . . . . . . . . . . . . 17
4.7
Prediksi tekanan pada materi quark dengan model CIDDM dengan nilai parameter yang bervariasi pada DI-300. . . . . . . . . 18
4.8
Prediksi tekanan pada materi quark dengan model CIDDM dengan variasi parameter pada DI-2500. . . . . . . . . . . . . . . . 19
xiii
Universitas Indonesia
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Bintang neutron dipercaya sebagai hasil akhir dari ledakan supernova [1]
dan merupakan bintang dengan densitas massa yang sangat besar. Namun
ilmuwan percaya bahwa bintang neutron bukanlah satu-satunya hasil akhir
dari ledakan supernovae, melainkan ada jenis bintang lain yang lebih besar
densitas massanya yakni bintang quark.
Bintang quark bisa muncul dikarenakan densitas massa yang sangat besar
dapat memecah neutron menjadi quark-quark penyusunnya. Dari beberapa
penelitian menunjukkan bahwa materi quark, sebagai penyusun bintang quark,
memiliki kestabilan yang lebih baik dibandingkan dengan materi nuklir [2],
sehingga sangat dimungkinkan untuk terbentuk pada bintang quark.
Selanjutnya dengan model Bag MIT, ilmuwan mulai mempelajari struktur
dan dinamika bintang quark itu [3], [4], dan [5]. Selama beberapa waktu
model Bag MIT mengalami banyak pengembangan sampai dikenal suatu model
CDDM (Confined Density Dependent Mass) yang mengikut sertakan densitas
materi quark pada perumusannya.
Model CDDM awalnya digunakan untuk menganalisa materi quark yang
hanya terdiri dari quark up dan quark down saja [6], namun kemudian juga digunakan untuk materi quark yang terdiri dari tiga quark, yakni quark
up, down dan strange. Pada model CDDM massa quark diasumsikan dapat
berubah-ubah sesuai dengan densitas massa dari materi quark. Dalam hal ini
massa quark diparameterisasi dengan densitas bilangan baryon (nB ). Mirip
dengan model Bag MIT, model CDDM ini juga menganggap quark bergerak
bebas pada suatu hadron. Hanya saja, pada model CDDM massa quark bisa berubah-ubah sesuai dengan densitas massa disekitarnya sedangkan pada
model Bag MIT, massa quark diasumsikan tetap.
Dari semua model tersebut, terdapat suatu batasan, bahwa materi quark
yang terdiri dari 2 quark (u dan d) harus memiliki energi minimum per baryon
yang lebih besar dari pada 930 MeV, sedangkan untuk tiga quark (u, d dan s)
harus lebih rendah dari 930 MeV [2, 3].
1
Universitas Indonesia
2
1.2
Perumusan masalah
Pada penelitian ini, penulis menggunakan model lanjutan dari model CDDM
yakni mengikutsertakan isospin pada suku massa quark yakni CIDDM (Confined Isospin Density Dependent Mass). Hal ini dilakukan agar bisa menjelaskan
bagaimana karakteristik keadaan materi quark pada temperatur rendah dan
densitas baryon rendah. Selanjutnya persamaan keadaan dari materi quark
akan bandingkan dengan persamaan keadaan berdasarkan perturbative QCD
pada daerah densitas baryon besar untuk mengetahui seberapa baik model ini
memberikan perkiraan pada persamaan keadaan quark pada daerah dengan
densitas baryon yang besar.
1.3
Metode Penelitian
Penelitian dilakukan dengan analitik dan numerik. Asimetri isospin dan
pengaruh densitas baryon pada materi quark dipelajari dengan menambah
beberapa suku pada massa quark. Penambahan suku tersebut dikendalikan
dengan menggunkan parameter pengali yang disesuaikan sehingga bisa memperoleh limit massa dan radius bintang yang sesuai dengan pengamatan. Selanjutnya dengan menggunakan metode numerik parameter yang didapat akan
dicocokkan dengan perhitungan pQCD.
1.4
Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk mempelajari pengaruh isospin dan den-
sitas baryon pada bintang quark serta melakukan perbandingan dengan massa
maksimum bintang kompak dan mengkaji konsistensi model yang kami gunakan dengan perhitungan pQCD.
1.5
Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut:
Bab I berisi pendahuluan, Bab II membahs materi quark, Bab III mendis-
kusikan metode penelitian sedangkan hasil perhitungan dan analisa diberikan
di Bab IV. Bab V berisi penutup berupa kesimpulan dan saran.
Universitas Indonesia
BAB 2
MATERI QUARK
2.1
Materi Quark dengan model bag MIT
Materi quark pada model bag MIT dirumuskan dengan menggunakan pen-
dekatan, quark terkurung dalam sebuah bag dimana di dalam bag itu quark
bergerak bebas. Dalam penelitian ini, digunakan pendekatan pada suhu nol,
maka perumusan rapat energi untuk quark dalam bag menjadi
Z p
gi
i =
k 2 + mi 2 k 2 dk,
2
2π νi
(2.1)
dengan gi adalah faktok degenerasi untuk quark yang bernilai 6 , i = u, d, s.
Kemudian dengan menggunakan relasi termodinamika akan diperoleh [12]
Pi = ni
∂i
− i ,
∂ni
(2.2)
dengan faktor ∂i /∂ni yang dikenal dengan nama potensial kimia.
Selanjutnya untuk tekanan total dari materi quark [2]
P +B =
X
Pi
i
!
= −
X
i + B
i
+
X
i
ni
∂
,
∂ni
(2.3)
sehingga diperoleh rapat energi untuk materi quark adalah
=
X
i + B,
(2.4)
i
dimana B adalah konstanta bag.
2.2
Materi Quark Strange dengan model CDDM dan CIDDM
Pada model bag MIT, quark diasumsikan bermassa konstan dan bergerak
bebas dalam bag. Konstanta bag merupakan representasi interaksi dari quark
3
Universitas Indonesia
4
yang tidak dimasukkan ke dalam suku massa quark melainkan langsung diletakkan kedalam persamaan densitas energi quark. Pada model CDDM, massa
quark dengan densitas baryon nB didefinisikan sebagai:
mq = mq0 + mI = mq0 +
dengan mI =
D
nB z
D
,
nB z
(2.5)
adalah suku interaksi quark dan bentuk ini adalah bentuk
fenomenologis. Parameter D ditentukan dari argumen kestabilan materi quark
strange (Strange Quark Matter ). Parameter z merupakan parameter skala
quark, yang dibuktikan oleh [7] bahwa nilanya adalah z = 1/3. Pada penelitian
ini, penulis menggunakan bentuk massa quark dengan adanya kebergantungan
terhadap isospin sebagai
mq = mq0 +
D
nB 1/3
− τq δDI nαB e−βnB ,
(2.6)
dengan DI , α, β adalah parameter yang menentukan kebergantungan pada
isospin, δ adalah parameter asimetri isospin, τq adalah bilangan kuantum isospin pada quark, τq = 1 untuk q = u (quark up), τq = −1 untuk q = d (quark
down) dan τq = 0 untuk q = s (quark strange).
Densitas baryon didefinisikan sebagai
nB =
nu + nd + ns
,
3
(2.7)
yang mana setiap densitas baryon untuk quark didefiniskan sebagai
ni =
νi 3
π2
(2.8)
νi adalah momentum Fermi untuk tiap quark (i = u, d, s). Kemudian faktor
asimetri dari isospin didefinisikan sebagai:
δ=3
nd − nu
,
nd + nu
(2.9)
kemudian didapatkan
1
νu = (1 − δ/3) 3 ν,
(2.10)
νd = (1 + δ/3) 3 ν.
(2.11)
1
2.3
Persamaan keadaan Materi Quark
Penelitian ini, kami fokus pada materi dengan kondisi temperatur nol
(T = 0), sehingga beberapa besaran yang dicari pada materi quark dengan
Universitas Indonesia
5
model CIDDM atau CDDM secara umum ditulis dalam bentuk
X gi Z p
k 2 + mi 2 k 2 dk,
=
2
2π
νi
i
X
P = − +
ni µi ,
(2.12)
(2.13)
i=u,d,s,e
∂
.
(2.14)
∂ni
Dimana adalah densitas energi quark, P adalah tekanan dan µ adalah poµi =
tensial kimia. Untuk potensial kimia elektron dirumuskan sebagai
p
µ e = νe 2 + m e 2 .
(2.15)
Pada perumusan ini, persamaan keadaan untuk quark pada persamaan (2.12)
dan (2.13) tidak memasukkan konstanta bag B seperti pada model bag MIT.
Hal ini dikarenakan interaksi quark pada sudah dimasukkan kedalam massa
quark yang menjadi lebih berat dengan kenaikan kerapatan. Kemudian untuk
kondisi kesetimbangan potensial kimia yang terpenuhi adalah
µu + µe = µd = µs .
(2.16)
Kemudian bintang quark diasumsikan netral sehingga
2
1
1
nu = nd + ns + ne .
(2.17)
3
3
3
Dari perumusan (2.16), (2.17) dan (2.7) akan diperoleh beberapa persamaan yang nantinya akan digunakan untuk mendapatkan parameter momentum
Fermi untuk quark up, down dan strange yang digunakan untuk menghitung
persamaan keadaan dari bintang quark.
Dari hasil perhitungan peturbative QCD [8], dirumuskan suatu prediksi
tekanan materi quark pada kondisi nB sangat besar. Perumusan tekanan pada
kondisi tersebut adalah
PQCD (µB ) = PSB (µB ) c1 −
d1 X −ν1
(µB /GeV ) − d2 X −ν2
,
(2.18)
dengan nilai konstanta-konstanta di atas adalah
c1 = 0.9008
(2.19)
d1 = 0.5034
(2.20)
d2 = 1.452
(2.21)
ν1 = 0.3553
(2.22)
ν2 = 0.9101
(2.23)
Universitas Indonesia
6
dan nilai X bisa divariasikan dari 1 sampai 4.
Diperkenalkan suatu besaran yakni tekanan oleh tiga quark bebas (noninteracting) dan tak bermassa sebagai
3 µB 4
,
4π 2 3
= µu + µd + µs .
PSB =
µB
(2.24)
(2.25)
Kemudian digunakan perbandingan tekanan pada materi quark P dengan
tekanan tiga quark bebas PSB yang kemudian diperoleh grafik sebagai berikut
1
P/PSB
0.8
gluons
0.6
0.4
150MeV)
4
Free quarks
Bag model, B=(150MeV)
pQCD
0.2
0.8
0
0
1
2
3
µB [GeV]
4
5
4
6
ot three-flavor QGP
Fig. 2.—
Same tekanan
as in pada
Fig. materi
1, but
fordiambil
the pressure
of[8].zeroGambar
2.1: Prediksi
quark,
dari referensi
IT bag model (blue
temperature quark matter in β equilibrium as a function of the
band). The error
baryon chemical potential.
n the last result reor other, more elaborate model calculations to estimate
The quantities are
Persamaan
TOV
quarks and gluons 2.4 the
behavior
of the EoS. The matching of these EoSs to
the hadron resonance gas results can in addition be used
Persamaan
TOV menjelaskan
bagaimanalocation
tekanan pada
suatucrossover
benda yang
to determine
the approximate
of the
(Demorest et al. bermassa
besar bergantung
dengan
posisi of
atau
jarak dari
pusattobenda.
transition,
where the
degrees
freedom
used
describe
= 2.01 ± 0.04M ⊙
the system
from hadronic
to sebagai
partonic
Persamaan
TOVeffectively
ditulis dalamchange
bentuk persamaan
differensial
berhe situation in a
ikut ones.
Despite the obvious similarities
of the
two systems,
p
use the state-of3 p
G ρ + c2 Mbetween
+ 4πr c2 the description
there is one dp
crucial
difference
= −
,
(2.26)
of Kurkela et al.
MG
dr at high density
of QCD matter
high temperature:
r r − 2 cand
2
use EoS for cold
for the hot and
lattice QCD provides a relidM dilute QGP,
2
gh the diagram=
4πr
ρ.
(2.27)
able nonperturbative
first principles method to evaluate
dr
result is very inbulk thermodynamic quantities, and thus check the acoS into a simple
curacy of the perturbative and model predictions. This
an accurate deis illustrated in Fig. 1, where we plot the pressure of the
derivatives with
Indonesia
hot QGP at vanishing baryon numberUniversitas
density, normalwe will explicitly
ized to that of a free system. The figure exhibits a pery amenable to a
turbative band obtained from the so-called ‘Dimensional
7
Persamaan (2.26) dan (2.27) menggunakan satuan yang disesuaikan, yakni
h̄ = c = 1. Untuk menyelesaikan persamaan differensial tersebut, dibutuhkan
syarat batas sebagai berikut:
1. M (r = 0) = 0
2. p (r = R) = 0
3. Nilai (r = 0) dan p (r = 0) di pusat bintang bisa dipilih dari persamaan
keadaan untuk materi quark.
Untuk mendapatkan relasi massa dan jari-jari bintang dengan menggunakan persamaan differensial pada (2.26) dan (2.27), penulis menggunakan metode numerik Runge-Kutta orde 4.
Pada metode Runge-Kutta orde 4, persamaan (2.26) dan (2.27) dimodifikasi sedemikian hingga dalam proses perhitungan tidak muncul suatu nilai
yang sangat-sangat besar. Hal ini sangat penting mengingat pada penelitian
ini digabungkan antara dua skala yang sangat berbeda. Satu dari sektor nuklir
dimana interaksi quark terjadi pada skala Fermi, sedangkan satu lagi dari sektor gravitas bintang dimana materi quark terbentuk dengan skala kilometer.
Algoritma metode Runge-Kutta orde 4 untuk sistem persamaan differensial
adalah sebagai berikut: Sistem persamaan differensial orde satu yang didefinisikan sebagai
u0j =
du
= fj (t, u1 , u2 , ..., um ) ,
dt
(2.28)
dimana m adalah jumlah persamaan differensial dalam sistem persamaannya
yang berada pada daerah a ≤ t ≤ b dengan kondisi awal uj (a) = αj . Kemu-
dian definisikan atau inisialisasi interval nilai t dalam setiap perhitungan, kita
sebut h
h=
(b − a)
,
N
(2.29)
dengan N + 1 adalah jumlah titik yang akan dihitung dan terdapat N interval. Kita tentukan wj = αj , untuk kondisi mula-mula output yang dihasilkan
adalah (t, w1 , w2 , w3 , ..., wm ), sedangkan untuk langkah selanjutnya mengikuti
prosedur sebagai berikut:
Pada setiap langkah iterasi i = 1, 2, ..., N
1. Untuk tiap j = 1, 2, 3..., m
Universitas Indonesia
8
2. k1,j = hfj (t, w1 , w2 , w3 , ..., wm )
3. k2,j = hfj ([t + h/2] , [w1 + k1,1 /2] , [w2 + k1,2 /2] , ..., [wm + k1,m /2])
4. k3,j = hfj ([t + h/2] , [w1 + k2,1 /2] , [w2 + k2,2 /2] , ..., [wm + k2,m /2])
5. k4,j = hfj ([t + h] , [w1 + k3,1 ] , [w2 + k3,2 ] , [w3 + k3,3 ] , ..., [wm + k3,m ])
6. wj = wj + (k1,j + 2k2,j + 2k3,j + k4,j ) /6
7. Jadikan t = a + ih
8. Output (t, w1 , w2 , w3 , ..., wm ) .
Kemudian dari metode Runge-Kutta di atas, persamaan (2.26) dan (2.27)
dimodifikasi sedemikian hingga bisa didefinisikan
dp
dr
G ( (p) + p) (M + 4πr3 p)
= −
.
r r − 2 GM
r
f1 (p, M ) =
dM
dr
= 4π (p) r2 .
(2.30)
f2 (p) =
(2.31)
Densitas energy (p) didapat dari hasil fitting data pada persamaan keadaan
materi quark yang didapat sebelumnya.
Universitas Indonesia
BAB 3
METODE PERHITUNGAN
3.1
Perhitungan Persamaan Keadaan Materi Quark
Pada bab ini akan kami kompilasi hasil-hasil perhitungan analitik yang
kami dapat. Dari persamaan (2.12) dengan menggunakan proses integral
Z √
i
√
1h √ 2
k k + m2 2k 2 + m2 − m4 ln k + k 2 + m2 ,
k 2 + m2 k 2 dk =
8
diperoleh
#
" q
p
2
2
X gi 1
+
m
ν
+
ν
i
i
i
.
νi νi2 + m2i 2νi2 + m2i − m4i ln
=
28
2π
m
i
i
(3.1)
Kemudian dari persamaan potensial kimia (2.14) akan diperoleh :
potential kimia quark up sebagai
#
"
p
2 + m2
p
p
ν
+
ν
3
u
u
u
µu =
νu2 + m2u + 2 mu νu νu2 + m2u − m3u ln
2π
mu
( "
)
#
1
D
6n
d
α −βnB
−βnB
×
− 4/3 + δDI nα−1
(βnB − α) +
B e
2 DI nB e
3
(nd + nu )
3nB
"
#
p
q
νd + νd2 + m2d
3
3
2
2
+ 2 md νd νd + md − md ln
2π
md
( "
#
)
1
D
6n
d
α −βnB
−βnB
×
− 4/3 − δDI nα−1
(βnB − α) −
,
B e
2 DI nB e
3
(n
+
n
)
3nB
d
u
sedangkan untuk quark down adalah
"
#
p
q
2 + m2
p
ν
+
ν
3
u
u
u
νd2 + m2d + 2 mu νu νu2 + m2u − m3u ln
µd =
2π
mu
#
)
( "
D
6nu
1
α−1 −βnB
α −βnB
− 4/3 + δDI nB e
(βnB − α) −
DI nB e
×
3
(nd + nu )2
3nB
"
#
p
q
2
2
ν
+
ν
+
m
3
d
d
d
+ 2 md νd νd2 + m2d − m3d ln
2π
md
( "
#
)
1
D
6n
u
−βnB
α −βnB
(βnB − α) +
.
×
− 4/3 − δDI nα−1
B e
2 DI nB e
3
(n
+
n
)
3nB
d
u
9
Universitas Indonesia
10
Kemudian untuk quark strange adalah
"
#
p
2
2
p
p
ν
+
ν
+
m
3
u
u
u
νs2 + m2s + 2 mu νu νu2 + m2u − m3u ln
µs =
2π
mu
"
#
1
D
−βnB
× − 4/3 + δDI nα−1
(βnB − α)
B e
3
3nB
"
#
p
q
2
2
ν
+
+
m
ν
3
d
d
d
+ 2 md νd νd2 + m2d − m3d ln
2π
md
#
"
1
D
α−1 −βnB
(βnB − α)
× − 4/3 − δDI nB e
3
3nB
"
#
p
2 + m2
p
ν
+
ν
3
D
1
s
s
s
3
+ 2 ms νs νs2 + m2s − ms ln
−
.
2π
ms
3nB 4/3 3
sehingga selisih keduanya adalah
q
p
2
2
νu + mu − νd2 + m2d
µu − µd =
νd
6nu
6nd
νu
α −βnB
+DI nB e
−f
, (3.2)
f
mu nu + nd
md nu + nd
dan
µu − µs =
p
p
νu 2 + mu 2 − νs 2 + ms 2
6nd
νu
νd
−βnB
+DI nB e
nu − f
nd
2 f
mu
md
(nd + nu )
D
νs
+ 4/3 ns f
.
(3.3)
ms
9nB
Di sini f (x) didefinisikan sebagai
f (x) =
i
√
3 h √ 2
2+1
x
x
+
1
−
ln
x
+
x
.
2x3
Pada proses perhitungan, besaran yang menentukan persamaan keadaan materi quark adalah momentum Fermi untuk tiap konstituen (quark up, down,
strange dan electron). Selanjutnya dari momentum Fermi yang diperoleh nantinya akan didapatkan persamaan keadaan (tekanan dan densitas energi) dari
materi quark strange. Hasil dari persamaan keadaan yang didapat akan digunakan sebagai input untuk menghitung persamaan TOV.
Dari persamaan (2.16) dan (2.17) juga (3.2) dan (3.1) bisa diperoleh perumusan untuk perhitungan numerik. Pertama, dari (2.16) bisa diperoleh dua
Universitas Indonesia
11
persamaan sebagai berikut
nu f
νu
mu
− nd f
νd
md
6nd
+ µe = 0 (3.4)
(nu + nd )2
νd
νu
6nu
α −βnB
nd f
− nu f
= 0 (3.5)
Ed − Es + DI nB e
md
mu
(nu + nd )2
Eu − Es +
DI nαB e−βnB
dengan
Ei =
q
νi2 + m2i .
Dari tiga persamaan (3.4), (3.5), (2.7) dan (2.17) bisa dicari nilai momentum Fermi untuk masing-masing konstituen pada nilai densitas baryon tertentu. Secara umum, momentum Fermi masing-masing konstituen bisa ditemukan dengan cara mencari solusi untuk sistem persamaan non-linear. Metode
dalam perhitungan numerik yang dikerjakan dalam penelitian adalah metode
fixed-point.
3.2
Metode Fixed-Point
Pada metode fixed-point [10] sistem persamaan non-linear diselesaikan de-
ngan memberikan suatu nilai solusi tebakan. Kemudian dari solusi tebakan
di awal perhitungan tersebut, dicari solusi baru yang lebih akurat. Begitu
seterusnya sampai tercapai suatu keadaan konvergen, yakni ketika solusi yang
diperoleh pada setiap proses perhitungan sudah tidak mengalami perubahan
yang signifikan.
Tahap pertama adalah menentukan persamaan apa saja yang masuk dalam
sistem persamaan non-linear, dalam penelitian ini persamaan tersebut adalah
persamaan (3.4), (3.5), (2.7) dan (2.17). Ada 4 (empat) variable yang ingin
dicari, sehingga perlu ada 4 (empat) persamaan yang tersedia. Dalam hal ini
penulis menggunakan variable nB sebagai nilai input untuk menghitung νu ,
νd , νs dan νe . Namun dari keempat persamaan tersebut, bisa disederhanakan
menjadi 2 persamaan saja. Berikutnya persamaan yang digunakan ke dalam
teknis komputasi adalah
p
ν 2 + m2u − F1 (νu , νd ) = 0,
qu
νd2 + m2d − F2 (νu , νd ) = 0,
(3.6)
(3.7)
Universitas Indonesia
12
sehingga dihasilkan
νu =
νd =
q
F12 (νu , νd ) − m2u ,
(3.8)
q
F22 (νu , νd ) − m2d ..
(3.9)
Perumusan di atas menggunakan fungsi yang hanya bergantung dari νu dan
νd saja, karena variabel lain seperti νs dan νe sudah disubtitusi dari persamaan
(2.7) dan (2.17) ke persamaan (3.4) dan (3.5).
Selanjutnya dengan metode fixed-point, dari persamaan (3.8) dan (3.9)
menjadi
νui+1
νdi+1
=
νui
=
νdi
−C
νui
−C
νdi
q
− F12 (νui , νdi ) − m2u ,
(3.10)
q
2
i
2
− F2 (νui , νd ) − md ,
(3.11)
dengan i adalah iterasi perhitungan dan C adalah suatu konstanta tak berdimensi yang nilainya cukup kecil. Konstanta ini berguna untuk menghindari
perubahan nilai solusi yang signifikan. Semakin kecil nilai C maka semakin
akurat dalam pencarian solusi.
Kemudian syarat agar solusi bisa didapatkan adalah nilai berhenti dari
perhitungan menunjukkan hasil yang konvergen. Pada penelitian ini, penulis
menggunakan syarat konvergen saat hasil dari persamaan berikut
p
ν 2 + m2u − F1 (νu , νd ) ' 0,
qu
νd2 + m2d − F2 (νu , νd ) ' 0.
(3.12)
(3.13)
Universitas Indonesia
BAB 4
HASIL PERHITUNGAN DAN ANALISIS
4.1
CIDDM
Pada bab ini kami akan memberikan hasil-hasil perhitungan numerik ber-
dasarkan analisisnya. Dari hasil perhitungan, diperoleh beberapa hasil plot
yang kami tunjukkan pada Gambar 4.1 - 4.3.
(a) DI-0
0.6
u
d
s
e
0.5
Fraction
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
0.5
1
1.5
nB(fm-3)
Gambar 4.1: Fraksi quark up, down, strange dan elektron para model CIDDM dengan
menggunakan set parameter DI-0.
(a) DI-300
0.6
u
d
s
e
0.5
Fraction
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
0.5
1
1.5
-3
nB(fm )
Gambar 4.2: Fraksi quark dengan menggunakan set parameter DI-300.
13
Universitas Indonesia
14
(a) DI-2500
0.6
u
d
s
e
0.5
Fraction
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
0.5
1
1.5
-3
nB(fm )
Gambar 4.3: Fraksi quark dengan menggunakan set parameter DI-2500.
Pada Gambar 4.1, Gambar 4.2 dan Gambar 4.3 untuk set parameter DI −0
kami menggunakan parameter DI = 0, α = 0, β = 0, D1/2 = 156 MeV pada
perhitungan, set parameter ini merupakan parameter yang biasa digunakan
pada model CDDM [11]. Untuk set parameter DI − 300 set parameter yang
digunakan adalah DI = 300 MeV.fm3α , α = 1, β = 0.1 fm3 , D1/2 = 151
MeV dan untuk set parameter DI − 2500, parameter yang digunakan adalah
DI = 2500 MeV.fm3α , α = 0.8, β = 0.1 fm3 dan D1/2 = 144 MeV. Terlihat
bahwa fraksi quark up, down dan strange akan bernilai sama para kondisi rapat
bilangan baryon yang tinggi. Pada saat itu juga fraksi elektron bernilai sangat
kecil mendekati nol. Hal ini mengindikasikan bahwa pada kondisi nilai nB yang
besar untuk mencapai keadaan yang netral, lepton (dalam hal ini elektron)
tidak berperan penting. Sedangkan pada kondisi nB yang cukup kecil, terdapat
perbedaan nilai fraksi antara ketiga parameter isospin terutama pada fraksi
quark down, strange dan elektron. Pada parameter isospin yang lebih besar
kondisi keseimbangan dan netralitas tetap terpenuhi dimana efeknya dikontrol
oleh nilai dari parameter DI.
Dilihat dari persamaan keadaan yang dihasilkan dari model CIDDM, dari
Gambar 4.4 terlihat bahwa semua energi minimum materi quark strange berada di bawah nilai 930 MeV. Hal ini sesuai dengan prediksi dari referensi [3].
Dimana kestabilan materi quark membutuhkan energi minimum yang kurang
dari 930 MeV. Nilai dari tekanan pada daerah nilai nB → 0 menunjukkan nilai
negatif sedangkan pada rapat energi menunjukkan nilai positif. Hal ini sesuai
dengan kriteria model bag MIT yang mengindikasikan hal yang sama [7].
Plot relasi massa dan radius bintang pada Gambar 4.5. Terlihat bahwa
Universitas Indonesia
15
(a) DI-0
1250
1150
(b) DI-300
(c) DI-2500
P(MeV/fm-3)
E(MeV)
1050
950
850
750
650
550
450
350
250
150
50
0.4
0.8
1.2
nB(fm-3)
1.6
2
0.4
0.8 1.2
nB(fm-3)
1.6
2
0.4
0.8 1.2
nB(fm-3)
1.6
2
Gambar 4.4: Persamaan keadaan materi quark dengan variasi DI berdasarkan model
CIDDM.
pada persamaan keadaan yang kebergantungan pada isospinnya paling besar
memiliki massa maksimum paling besar. Pada hasil pengamatan massa pulsar
PSR J1614-2230 dengan massa 1.97 ± 0.04 massa solar menunjukkan bahwa
pada pulsar atau bintang quark yang memiliki massa maksimum lebih besar,
maka kebergantungan pada isospin juga semakin besar.
Selanjutnya dapat dilihat di Gambar 4.6, tekanan materi quark dengan tekanan quark bebas (free) menunjukkan nilai asimtotik yang berbeda dengan
hasil perhitungan pQCD (Gambar 2.1). Hasil dari model CIDDM memberikan prediksi bahwa pada nilai densitas baryon nB yang besar, materi quark
menjadi quark yang tidak saling berinteraksi. Hal ini diindikasikan dengan
nilai perbandingan P/PSB yang bernilai 1 dinilai nB yang besar.
Namun pada kondisi nilai rapat bilangan baryon nB yang kecil, berdasarkan
Gambar 4.8, kondisi awal materi quark lebih ditentukan oleh besarnya nilai
parameter D. Dengan memperbesar nilai D pada suku massa quark, maka
diperoleh grafik prediksi yang mulai pada nilai nB yang lebih besar.
Universitas Indonesia
16
2
M/Msun
1.5
1
J1614-2230
DI-0
DI-300
DI-2500
B1/4=154.5 MeV
0.5
2
4
6
8
Radius (km)
10
12
Gambar 4.5: Relasi massa dan radius bintang.
4.2
Prediksi pQCD
Dari kurva plot prediksi tekanan pada materi quark strange, bisa dilakukan
perumusan analitik bagaimana perilaku tekanan pada model CIDDM pada
kondisi rapat bilangan baryon (nB ) yang sangat besar.
Pada kondisi nilai nB yang cukup besar, maka terjadi kondisi
1. νu = νd = νs = ν
2. nu = nd = ns = nB =
ν3
π2
3. mu = md = m 6= ms = constant
juga pada perumusan potensial kimia pada materi quark menjadi
1. µu = µd '
2. µs '
√
√
ν 2 + m2
ν 2 + ms 2
3. µe ' 0
yang menyebabkan beberapa besaran seperti tekanan dan densitas energi bin-
Universitas Indonesia
17
1.2
1
P/PSB
0.8
0.6
0.4
DI-0
DI-300
DI-2500
0.2
0
1000
1500
2000 2500
µB(MeV)
3000
3500
Gambar 4.6: Prediksi tekanan sebagai fungsi potensial kimia baryon pada materi quark
berdasarkan model CIDDM.
tang perumusannya menjadi
X
ni µi ,
P = − +
i=u,d,s,e
"
!#
r 2
√
6
ν
ν
' − 2 ν ν 2 + m2 2ν 2 + m2 − m4 ln
+
+1
8π
m
m



s 2
p
3
ν
ν
− 2 ν ν 2 + ms 2 2ν 2 + ms 2 − ms 4 ln 
+
+ 1 
8π
ms
ms
ν3 √ 2
ν3 p 2
2+
ν
+
m
ν + ms 2 .
π2
π2
Dengan menggunakan pendekatan matematis berupa
+2
(4.1)
(1 + x)n ' 1 + nx,
untuk nilai x = m/ν << 1, sehingga persamaan (4.1) dengan menjaga orde
m/ν tidak lebih dari 2, menjadi
3
6
2
2
2
2ν ν + m −
2ν 2 ν 2 + ms 2
P ' −
2
2
8π
8π
ν 4 m2 ν 2 ms 2 ν 2
+
+
.
(4.2)
π2
π2
π2
Kemudian pada perumusan pressure untuk tiga quark tak bermassa
3 µB 4
PSB =
,
(4.3)
4π 2 3
µB = 3ν,
(4.4)
+3
Universitas Indonesia
18
DI-300
1
P/PSB
0.8
=1; =0.1; D=0.58
=2; =0.1; D=0.58
=2.5; =0.1; D=0.58
=3.0; =0.1; D=0.58
=1.0; =0.1; D=1.0
=1.0; =0.1; D=1.5
=1.5; =0.1; D=1.0
0.6
0.4
0.2
0
1000
1500
2000 2500
µB(MeV)
3000
3500
4000
Gambar 4.7: Prediksi tekanan pada materi quark dengan model CIDDM dengan nilai
parameter yang bervariasi pada DI-300.
sehingga
3 4
ν .
(4.5)
4π 2
Selanjutnya, rasio dari pressure P pada materi quark CIDDM model dePSB =
ngan PSB menjadi
P
PSB
=
− +
' 1−
P
i=u,d,s,e ni µi
,
3
(µB /3)4
4π 2
2 m2 1 ms 2
−
,
3 ν2
3 ν2
(4.6)
Dari perumusan dan hasil grafik bisa diperkirakan bahwa dari model CIDDM, pada kondisi rapat bilangan baryon nB yang sangat besar, quark cenderung bersifat bebas dan tak terikat satu sama lain. Hal itu ditunjukkan
pada persamaan (4.6) yang akan bernilai P/PSB ' 1 ketika nilai nB atau ν
menjadi sangat besar. Nilai 1 mengindikasikan bahwa tekanan pada materi
quark adalah sama dengan tekanan pada tiga quark yang saling bebas.
Hal ini disebabkan pada keadaan nilai nB yang besar, masing-masing quark
yang terkurung dalam suatu bag dengan suatu tekanan tertentu (konstan) bisa
menembus dinding bag yang menyebabkan quark menjadi bebas. Dalam hal
ini diambil analogi model bag MIT karena hasil yang sama juga terjadi pada
model ini. Dan kalau kita telusuri lebih lanjut, memang model CIDDM adalah
suatu model yang dikembangkan berdasarkan model bag MIT.
Universitas Indonesia
19
DI-2500
1
P/PSB
0.8
0.6
0.4
=0.8;
=1.5;
=2.0;
=1.0;
0.2
0
500
=0.1; D=0.53
=0.1; D=0.53
=0.1; D=0.53
=2.5; D=0.53
1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
µB(MeV)
Gambar 4.8: Prediksi tekanan pada materi quark dengan model CIDDM dengan variasi
parameter pada DI-2500.
Jika dibandingkan dengan hasil pQCD, menunjukkan pada kondisi nilai nB
yang besar pun quark tetap berinteraksi dalam bag, tetapi kali ini nilai bag
tidak konstan namun berubah (membesar) seiring membesarnya nilai nB .
Pada tekanan materi quark yang bernilai nol yang berarti tekanan materi
quark sama besar dengan konstanta bag B. Konstanta bag diibaratkan sebagai
tekanan yang digunakan untuk membuat vakum bag.
Ketika melakukan variasi dengan menaikkan nilai D, terlihat pada plot
prediksi Gambar 4.8 bahwa tekanan pada nilai nol bergeser ke nilai nB yang
lebih besar. Hal ini disebabkan interaksi antar quark semakin kuat dengan
memperbesar nilai parameter D, interaksi yang terjadi adalah interaksi tarikmenarik. Pada nilai nB tertentu, tekanan akibat interaksi tarik-menarik pada
materi quark bisa diimbangi dengan energi kinetiknya. Sehingga untuk nilai D
yang semakin besar, dibutuhkan energi kinetik yang lebih besar (dalam hal ini
energi kinetik berkaitan dengan nilai dari nB ). Sedangkan dengan menaikkan
nilai parameter isospin, ternyata tidak terjadi pergeseran grafik yang mengindikasikan bahwa interaksi isospin tidak memegang peranan penting dalam
menentukan keadaan materi quark terutama pada nilai nB yang besar.
Melihat dari persamaan (4.6) dan dari Gambar 4.6 dan juga Gambar 4.8
dapat diperkirakan bahwa dibutuhkan suatu perumusan tekanan materi quark
yang tidak bernilai asimtotik 1 pada nilai nB yang besar. Penulis memperkirakan bahwa hal tersebut bisa saja diperoleh dengan menggunakan penambahan
Universitas Indonesia
20
suatu nilai bag tertentu yang nilainya bergantung pada nilai nB , semakin besar
nilai nB maka semakin besar nilai bag.
Melihat dari hasil perumusan (4.6), nilai bag yang dibutuhkan pada perumusan pressure agar konsisten dengan hasil pQCD perlu ditulis dalam bentuk
B = B0 PSB
(4.7)
dengan B0 adalah suatu parameter yang menunjukkan seberapa besar interaksi
rata-rata antar quark.
Universitas Indonesia
BAB 5
KESIMPULAN
5.1
Kesimpulan
Dari basil perhitungan untuk model CIDDM dan perbandingan dengan
perhitungan perturbative QCD, bisa disimpulkan bahwa
1. Sebagai pengembangan dari model bag MIT, model CIDDM sesuai dengan kriteria model bag MIT para nilai densitas baryon rendah.
2. Model CIDDM cukup akurat dalam menentukan relasi mass-radisu bintang. Gambar 4.5 menunjukkan bahwa kebergantungan isospin berperan dalam menentukan harga massa maksimum pada relasi massa-radius
bintang.
3. Persamaan keadaan bintang pada densitas baryon yang rendah bisa diprediksi dengan menggunakan CIDDM.
4. Pada daerah nilai densitas baryon yang besar, berdasarkan model CIDDM, quark cenderung bersifat bebas (free) terlihat dari Gambar 4.6.
Berbeda dengan prediksi perturbative QCD yang memprediksi bahwa quark pada daerah nilai densitas baryon besar quark cenderung memiliki
interaksi rata-rata yang bergantung densitas baryon. Hal ini terlihat dari
Gambar 2.1.
5. Untuk menghasilkan prediksi yang sesuai dengan perhitungan perturbative QCD, dibutuhkan nilai tekanan yang sebanding dengan tekanan
materi quark bebas (free) pada nilai densitas baryon yang besar.
5.2
Saran
Dari hasil yang disajikan dalam skripsi ini, beberapa kesimpulan didapat
seperti dengan model CIDDM ternyata pada nilai densitas baryon besar quark
cenderung bersifat bebas dan bertentangan dengan prediksi perturbative QCD
yang mana quark cenderung berikatan. Dengan demikian, penelitian lebih
lanjut diperlukan untuk mendapatkan perumusan persamaan keadaan bintang
21
Universitas Indonesia
22
yang lebih baik berdasarkan model CIDDM. Persamaan keadaan tersebut harus sesuai dengan kriteria model bag MIT pada nilai densitas baryon rendah
dan sesuai dengan perhitungan perturbative QCD pada nilai densitas baryon
tinggi.
Universitas Indonesia
DAFTAR ACUAN
[1] Lattimer. J. M. (2005). Neutron Stars. SLAC Summer Institute on Particle Physics.
[2] Weber, F. (2004). Strange Quark Matter and Compact Stars. arXiv: astroph/0407155v2.
[3] Farhi, E., Jaffe, R. L. (1984). Strange Matter. Phys. Rev. D, 30, 2379.
[4] Chodos, A., Jaffe, R. L., Johnson, K., Thorn, C. B.,
Weisskopf, V.
F.(1974). New Extended Model of Hadrons. Phys. Rev. D, 9, 3471.
[5] A. Chodos, R. L. Jaffe, K. Johnson, C. B. Thorn.(1974). Baryon Structure
in The Bag Theory. Phys. Rev. D 10, 2599.
[6] Fowler, G. N., Raha, S., Weiner, R. M.(1981). Z. Phys. C, 9, 271.
[7] Peng, G. X., Chiang, H. C., Yang, J. J., Li, L., Liu, B.(1999). Mass Formulas and Thermodynamic Treatment in The Mass-Density-Dependent
Model of Strange Quark Matter. Phys. Rev. C, 61, 015201.
[8] Fraga, E. S., Kurkela, A., Vourinen, A.(2013). Interacting Quark Matter
Equation of State for Compact Stars. arXiv:1311.5154v1 [nucl-th].
[9] Ryder, Lewis.(2009). Introduction to General Relativity, P.146-150, 243250, University of Kent, UK: Cambridge University Press.
[10] Richard, L. B., J. Douglas F(2010). Numerical Analysis (9th ed). Cengage
Learning
[11] Chu, P. C., Chen, L. W. (2012). Quark Matter Symmetry Energy and
Quark Stars. arXiv:1212.1388v1 [astro-ph.SR].
[12] Glendenning, N. K(2000). Compact Stars: Nuclear Physics, Particle
Physics, and General Relativity (2nd ed). Springer.
23
Universitas Indonesia
LAMPIRAN A
Persamaan TOV
Dari referensi [9], persamaan TOV mulai dari perumusan tensor energimomentum untuk fluida yang diam

T̃
µν

ρ
0
0
0

 0
= 
 0

0
p
c2
0
0
p
c2

0 
,
0 

0
0
(A.1)
p
c2
atau bisa ditulis dalam bentuk
T̃ 00 = ρ,
p
T̃ ij = 2 δij ,
c
(A.2)
T̃ µν = 0,
(A.4)
(A.3)
dan
untuk nilai µ 6= ν.
Selanjutnya, bentuk kontravarian (agar tensor energi-momentum invariant
terhadap transformasi Lorentz) dari T̃ µν adalah
T ij = Λiµ Λjν T̃ µν ,
(A.5)
dengan
Λik = δki +
γ−1 i
v vk ,
v2
(A.6)
vi
,
c
= γ,
Λi0 = γ
(A.7)
Λ00
(A.8)
adalah elemen-elemen matriks Lorentz.
Sehingga, perumusan tensor energi-momentum menjadi
T ij = Λik Λjm T̃ km + Λi0 Λj0 T̃ 00
i j
γ−1 i
γ−1 j
p km
i
j
2v v
=
δk +
v
v
δ
+
v
v
δ
+
γ
ρ, (A.9)
k
m
m
v2
v2
c2
c2
2
T 00 = Λ0i Λ0j T̃ ij + Λ00 T̃ 00
p
= γ 2 − 1 2 + γ 2 ρ,
(A.10)
c
24
Universitas Indonesia
25
atau bisa ditulis dalam bentuk yang lebih kompak
p µν p µ ν
µν
T = 2g + ρ + 2 u u ,
c
c
(A.11)
dengan
g µν uµ uν = −1 = gµν uµ uν .
(A.12)
Untuk mendapatkan tensor metrik g µν , berawal dari ansatz yang sudah
umum digunakan [9]

g µν


= 



gµν


= 


0
0
0

0
e−2m
0
0
0
0
1
r2
0
0
0
0
1
r2 sin2 θ


,


−e−2k
0
0
0

0
e2m
0
0
0
0
r2
0
0
0
0
r2 sin2 θ


.


−e2k
(A.13)
(A.14)
Kemudian persamaan-persamaan di atas digunakan untuk menyelesaikan persamaan medan Einstein sebagai
1
8πG
Rνµ − δνµ R = 2 Tνµ ,
2
c
(A.15)
untuk mendapatkan perumusan metrik untuk interior bintang dengan suatu
jari-jari Rstar tertentu.
Dengan beberapa relasi berikut
Tνµ = T µα gαν ,
(A.16)
Rνµ = g µα Rαν ,
(A.17)
R = g µν Rµν
= R00 + R11 + R22 + R33 ,
(A.18)
dengan definisi Christoffel symbol
1
Γνµκ = g νρ (gµρ,κ + gκρ,µ − gµκ,ρ ) ,
2
(A.19)
Rµν = Γκµν,κ − Γκµκ,ν + Γκρκ Γρµν − Γκρν Γρµκ ,
(A.20)
dan tensor Ricci
Universitas Indonesia
26
akan diperoleh
R00
= e
−2m
2k 0
−k − (k ) + k m −
r
0 2
00
0
0
,
(A.21)
2m0
−k − (k ) + k m −
= e
,
(A.22)
r
1
1
k 0 m0
2
3
−2m
+ 2,
R2 = R3 = e
− 2− +
(A.23)
r
r
r
r
2
4 0
0
00
0 2
0 0
−2m
−2k − 2 (k ) + 2k m − (k − m ) − 2
R = e
r
r
2
+ 2,
(A.24)
r
R11
−2m
0 2
00
0
0
dengan
a0 =
da
,
dr
(A.25)
dan

Tνµ
−ρ

 0
= 
 0

0

0
0
0
p
c2
0
0
p
c2

0 
.
0 

0
0
(A.26)
p
c2
Subtitusi relasi (A.21), (A.22), (A.23), (A.24), dan (A.26) ke dalam persamaan medan Einstein (A.15), maka kita mendapatkan hasil sebagai berikut
2
e
− m0 +
r
2 0
k +
e−2m
r
−2m
1
r2
1
r2
−
1
8πGρ
= − 2
2
r
c
1
8πG p
= − 2 2,
2
r
c c
0
0
8πG p
k
m
2
e−2m k 00 + (k 0 ) − k 0 m0 + −
=
.
r
r
c2 c2
−
(A.27)
(A.28)
(A.29)
Dari persamaan (A.27) akan didapat bahwa
e−2m = 1 −
8πGρ 2
r ,
3c2
(A.30)
juga dari persamaan (A.28) setelah didifferensialkan terhadap r lalu disubtitusikan ke persamaan (A.29) untuk mendapatkan
8πG 0
2k 0 0
p
=
−
(k + m0 ) e−2m .
c4
r
(A.31)
Universitas Indonesia
27
Jumlahkan persamaan (A.27) dan (A.28) untuk mendapatkan
e−2m (k 0 + m0 )
8πG p
2
= 2 ρ+ 2 .
r
c
c
(A.32)
Kemudian bandingkan persamaan (A.31) dan (A.32) untuk mendapatkan
p0
p
0
= −k ρ + 2 .
c2
c
(A.33)
Dari persamaan (A.33) ini bisa didapatkan persamaan TOV, dengan mensubtitusi k 0 ke persamaan (A.28) untuk mendapatkan
dp
4πG p
ρ p
= −
+
+
ρ
r2 .
G
2
2
dr
c
3
c
r − 2M
c2
(A.34)
Sejauh ini, dalam mendapatkan persamaan (A.34), masih digunakan asumsi bahwa nilai ρ adalah konstan atau dengan kata lain massa bintang terdistribusi secara merata (uniform). Namun pada kenyataanya, persamaan tersebut
bisa digunakan untuk bintang dengan densitas massa yang tidak uniform [9],
dengan beberapa modifikasi menjadi
G ρ + cp2 M + 4πr3 cp2
dp
= −
,
dr
r r − 2 Mc2G
(A.35)
dengan
dM
= 4πρr2 dr.
dr
(A.36)
Universitas Indonesia
LAMPIRAN B
Materi Quark dengan CIDDM
Materi quark pada CDDM dan CIDDM bermula dari perumusan yang
sama, dimulai dari perumusan massa, untuk CIDDM massa quark dirumsukan
sebagai
mq = mq0 + mI + miso
= mq0 +
D
nB 1/3
− τq δDI nB α e−βnB ,
(B.1)
dengan beberapa variabel didefinisikan sebagai
nd − nu
,
nd + nu
nu + nd + ns
,
=
3
δ = 3
nB
(B.2)
(B.3)
yang mana nilai dari τq bisa bernilai 0 untuk quark strange, 1 untuk quark
up, dan -1 untuk quark down. Kemudian rapat bilangan untuk masing-masing
quark adalah
n=
νi3
,
π2
(B.4)
dengan i adalah quark up, down dan strange. Kemudian momentum Fermi
untuk quark up dan down bisa diekspresikan dengan
νu = (1 − δ/3)1/3 ν,
νd = (1 + δ/3)1/3 ν.
(B.5)
(B.6)
Kemudian, untuk persamaan keadaan materi quark, disini didefinisikan
densitas energi pada materi quark
X gi Z p
=
k 2 + mi 2 k 2 dk
2
2π
ν
i
i
" q
#
p
2
2
X gi 1
ν
+
ν
+
m
i
i
i
=
νi νi2 + m2i 2νi2 + m2i − m4i ln
,(B.7)
2
2π 8
mi
i
dan tekanan didapat dari relasi termodinamika dimana sistem bintang quark
diasumsikan sebagai sistem yang terisolir dan energi dari bintang ini adalah
kekal. Dari hukum pertama termodinamika
d0 Q = dE + pdV,
28
(B.8)
Universitas Indonesia
29
yang mana d0 Q = 0 sehingga
p=−
∂E
.
∂V
(B.9)
Jika persamaan (B.9) dimodifikasi dengan memperkenalkan suatu nilai N (dari
[12]) yakni jumlah partikel yang nilainya tetap sehingga didapat beberapa
besaran sebagai berikut
E
,
V
N
n =
,
V
(B.10)
=
(B.11)
sehingga tekanannya menjadi
∂ n N
p = −
∂ Nn
∂ (/n)
∂n
∂
− .
= n
∂n
= n2
(B.12)
atau lebih lengkapnya menjadi
p = − +
X
i
ni
∂
,
∂ni
(B.13)
yang mana faktor ∂/∂ni disebut potensial kimia.
Dari densitas energi pada persamaan (B.7) didapatkan perumusan potensial kimia quark
q


2
2
q
q
ν
+
ν
+
m
X
j
j
j
νj2 νj2 + m2j ∂νj + 1 ∂mj mj νj νj2 + m2j − m3j ln
.
µi =
∂n
2
∂n
m
i
i
j
j

Potensial kimia quark up:
"
#
∂mu
1
D
α−1 −βnB
− 4/3 + δDI nB e
(βnB − α)
=
∂nu
3
3nB
6nd
α −βnB
,
2 DI nB e
(nd + nu )
"
#
1
D
−βnB
=
− 4/3 − δDI nα−1
(βnB − α)
B e
3
3nB
+
∂md
∂nu
−
6nd
α −βnB
,
2 D I nB e
(nd + nu )
(B.14)
(B.15)
Universitas Indonesia
30
∂νu
π2
=
,
∂nu
3νu2
(B.16)
∂νd
= 0,
∂nu
(B.17)
didapatkan
µu
"
#
p
2 + m2
p
p
ν
+
ν
3
u
u
u
=
νu2 + m2u + 2 mu νu νu2 + m2u − m3u ln
2π
mu
#
)
( "
6nd
1
D
−βnB
α −βnB
(βnB − α) +
×
− 4/3 + δDI nα−1
B e
2 DI nB e
3
(nd + nu )
3nB
"
#
p
q
νd + νd2 + m2d
3
3
2
2
+ 2 md νd νd + md − md ln
2π
md
#
)
( "
6n
1
D
d
α −βnB
−βnB
.
(βnB − α) −
×
− 4/3 − δDI nα−1
B e
2 DI nB e
3
(n
+
n
)
3nB
d
u
Kemudian untuk quark down
"
#
∂mu
1
D
−βnB
=
− 4/3 + δDI nα−1
(βnB − α)
B e
∂nd
3
3nB
6nu
DI nαB e−βnB ,
(nd + nu )2
#
"
1
D
−βnB
(βnB − α)
=
− 4/3 + δDI nα−1
B e
3
3nB
−
∂md
∂nd
+
6nu
α −βnB
,
2 D I nB e
(nd + nu )
(B.18)
(B.19)
∂νu
= 0,
∂nd
(B.20)
∂νd
π2
=
,
∂nu
3νd2
(B.21)
Universitas Indonesia
31
didapatkan
µd
"
#
p
q
2 + m2
p
ν
+
ν
3
u
u
u
νd2 + m2d + 2 mu νu νu2 + m2u − m3u ln
=
2π
mu
)
#
( "
D
6n
1
u
α −βnB
−βnB
− 4/3 + δDI nα−1
(βnB − α) −
×
B e
2 DI nB e
3
(n
+
n
)
3nB
d
u
"
#
p
q
νd + νd2 + m2d
3
3
2
2
+ 2 md νd νd + md − md ln
2π
md
( "
#
)
1
D
6n
u
−βnB
α −βnB
×
− 4/3 − δDI nα−1
(βnB − α) +
,
B e
2 DI nB e
3
(nd + nu )
3nB
dan untuk quark strange adalah
µs
"
#
p
2 + m2
p
p
ν
+
ν
3
u
u
u
=
νs2 + m2s + 2 mu νu νu2 + m2u − m3u ln
2π
mu
"
#
1
D
−βnB
× − 4/3 + δDI nα−1
(βnB − α)
B e
3
3nB
#
"
p
q
2
2
ν
+
m
ν
+
3
d
d
d
+ 2 md νd νd2 + m2d − m3d ln
2π
md
"
#
D
1
−βnB
(βnB − α)
× − 4/3 − δDI nα−1
B e
3
3nB
"
#
p
2 + m2
p
ν
+
ν
3
D
1
s
s
s
3
2
2
.
+ 2 ms νs νs + ms − ms ln
−
4/3
2π
ms
3nB
3
Universitas Indonesia