1. Fungsi Gamma, Beta dan Error

1. Fungsi Gamma, Beta dan Error
Content:
Fundamental properties of Gamma functions, the
value of (1/2) and graph of the Gamma function,
Transformation of Gamma function, Different forms
of Beta function, Reduction of definite integrals to
Gamma functions, Error function or probability
integral
Penggunaan Fungsi Gamma/Γ(z)
Normalisasi fungsi gelombang dari potensial
Coulomb
Perhitungan probabilitas pada problem di
Mekanika Statistik
Secara umum fungsi Gamma lebih jarang
digunakan dibandingkan dengan fungsi
khusus seperti Legendre atau Bessel.
Definisi fungsi Gamma
Cukup banyak definisi fungsi Gamma, dua
diantaranya:
(1)
(1.1)
(2)
(1.2)
Dapat dibuktikan bahwa definisi 1 = definisi 2
(Bukti lengkap ada pada Arfken page 592-593)
Dapat dibuktikan
untuk kedua definisi.
Bukti untuk
∞ definisi 1:
Γ( z ) = ∫ e t dt
−t z −1
Maka:
0
∞
∞
Γ( z + 1) = ∫ e t dt = − ∫ t de
0
−t z
z
z −t ∞
= −t e
0
∞ 0
−t
−t
+ ∫ e zt dt = zΓ( z )
0
z −1
Bukti untuk definisi 2:
(selanjutnya latihan ☺)
Evaluasi beberapa nilai fungsi Gamma
<<definisi 1>>
∞
∞
Γ(1) = ∫ t e dt = ∫ e dt = − e
0
∞
1−1 −t
−t
0
∞
−t ∞
0
∞
=1
Γ(2) = ∫ t 2−1e −t dt = ∫ te −t dt = ∫ − tde −t = − te
0
∞
0
0
Γ(3) = ∫ t 3−1e −t dt =......... = 2
0
∞
Γ(4) = ∫ t 4−1e −t dt =......... = 3.2 = 6
0
∞
Γ(5) = ∫ t 5−1e −t dt =......... = 4.3.2 = 24
0
−t ∞
0
∞
+ ∫ e −t dt =1
0
Kalau n bilangan bulat positif, dapat dilihat:
Γ(n) = (n-1)!
Oleh karena itu fungsi Gamma sering disebut
sebagai fungsi faktorial.
Dapat dibuktikan hal yang sama pada definisi 2:
Γ(1) = …
Γ(2) = ….
Γ(3) = ….
Sudah tentu hasilnya sama dengan definisi 1
Bagaimana kalau pecahan?
Γ(1/2) =?
Γ(1/2) sering dijumpai dalam problem Mekanika
statistik.
∞
∞
0
0
Γ( 12 ) = ∫ t 1/ 2−1e −t dt = ∫ t −1/ 2 e −t dt
Integral ini dapat diselesaikan dengan contour
integral (variabel kompleks) dan berharga √π
Γ( 12 ) = π
Latihan:
Gunakan Γ( 12 ) = π dan sifat Γ(z+1) = z Γ(z) untuk
evaluasi fungsi Gamma 3/2, 5/2, 7/2,-1/2,-3/2 dsb
Beberapa nilai fungsi gamma
Grafik fungsi gamma
z
Sifat-sifat fungsi gamma
Γ(z+1) = z Γ(z)
π
Γ( z )Γ(1 − z ) =
sin πz
Bentuk lain ekspresi fungsi Gamma
(Buktikan!)
∞
Γ( z ) = 2 ∫ e t
−t 2 2 z −1
dt
0
⎡ 1⎤
Γ( z ) = ∫ ⎢ln( )⎥
t ⎦
0 ⎣
1
z −1
dt
Soal-soal Latihan
1. Hitung kecepatan rms partikel gas yang memenuhi
distribusi Maxwell:
dN
⎛ m ⎞
= 4π ⎜
⎟
N
⎝ 2πkT ⎠
Catatan:
v rms =
3/ 2
e
− mv 2 / 2 kT
v 2 dv
1 2
v dN
∫
N
2. Perluasan soal no. 1, buktikan:
(faizal)
vn
⎛ 2kT ⎞
=⎜
⎟
⎝ m ⎠
n/2
Γ( n +2 3 )
Γ( 32 )
π
3. Dari relasi Γ( z )Γ(1 − z ) =
sin πz
Tunjukkan bahwa Γ( 12 ) = π
∞
4. Buktikan:
∫e
− x4
dx = ( 14 ) !
0
5. Dengan transformasi ke fungsi gamma,
buktikan:
1
1
− ∫ x ln xdx =
2
(
k
+
1
)
0
k
Law
k > −1
Fungsi Beta
Sifat-sifat fungsi Beta:
Fungsi Error
Fungsi Gamma Tak Lengkap
∞
Γ ( a, x ) = ∫ e t
−t a −1
dt
x
Sering juga dibedakan:
Fungsi Gamma Tak Lengkap Batas Atas:
∞
Γ ( a, x ) = ∫ e t
−t a −1
dt
x
Fungsi Gamma Tak Lengkap Batas Bawah:
x
γ (a, x) = ∫ e t dt
0
−t a −1
Sifat-sifat
Dengan integrasi per-bagian, didapat:
Dari definisi Fungsi Gamma biasa, didapat:
ke Bab 2