VEKTOR

VEKTOR
Vektor adalah besaran yang mempunyai arah. Dilukiskan sebagai panah.
Vektor dengan titik pangkal A(ax,ay, az) dan titik ujung B(bx, by, bz)
bx  ax 



dinotasikan dengan

bby aay 
AB . AB =

z
z

B (ax, a y, az)
A(a x ,a y ,a z )
cara menuliskan vektor, yaitu …
 a
1

a
= a2
ˆ
a
 = (a1, a2, a3) = a1


3


Misalkan
a
+ a2
ˆ
j
+ a3 k
= (a1, a2, a3)

Notasi : |
ˆ
i

a |

(baca panjang vektor
a
2
2
2
)
a1  a 2  a 3
Definisi : | a | =
Ciri vektor adalah panjang dan arah vektor tersebut . Sebuah vektor tidak tergantung
pangkal dan ujungnya, boleh digeser selama tidak merubah arah dan panjangnya

a


=

b
a b




arah a dan
b
Vektor dengan titik pangkal O(0, 0, 0) disebut vektor posisi
Perhatikan gambar
A
z
B
y
O
x

a

=

b
OA
=
OB

Maka
adalah vektor posisi titik A

AB
=
adalah vektor posisi titik B


b
a
operasi pada vektor Secara analitik (aljabar)
Ayi Krisnha

Misalkan

Maka

= (a1, a2, a3),
a
b


= (b1, b2, b3)
a
+
a
= (k a1, k a2, k a3)

k
, k bilangan real
a
= (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)
b
Berikut ini adalah sifat-sifat penjumlahan vektor

1. Komutatif :
a


+

=
b

2. Assosiatif : ( a +
b

+
 
a


)+C =a +(b +C )
b
3. Ada unsur identitas yaitu
0





= (0, 0, 0) sehingga

a
+
0

=
0+ a

4. Ada vektor  a sehingga a +( a ) =
0
Operasi pada vektor Secara geometri
Aturan Jajaran Genjang



a
a + b

b
Titik pangkal

+
a

b
a


dan
b
harus sama. Lukiskan jajaran genjang.
adalah vektor diagonal.
Aturan segitiga

a
R


+b
b
Q

P
a

Ujung

a

menjadi pangkal



b

+
a
b
=
PQ
+
QR
= PR
dapat dilukiskan sebagai sebuah
titik.

Vektor
0

Vektor
gambaran lebih jauh vektor
Misalkan

a



 a adalah
Q

a

Ayi Krisnha
Q

a
= PQ = (a1, a2, a3)
Maka
 a = QP = (a1, a2, a3) 
tidak mempunyai arah.
0
P P


=
a


b  ka 



sejajar dengan




searah dengan

a
b

=k
berlawanan arah dengan

TP , b
a =

=

TQ ,
b


a = k
b
, k<0
m

= TR
C
,k>0
b



b
=k
a

ka ,k<0


b
a
ka ,k>0
b  k a , k suatu konstanta

a
a

a
b sejajar (segari s) dengan a

Q
P
n

PQ : QR = m : n
b

R

C
a
Maka
n

=
b
T
m

+
a
m  n

C
m  n
Perkalian titik

a
.
=
b

a

| b| cos


|a|


b

Misalkan

= (a1, a2, a3 ),
a
= (b1 , b2, b3)
b
Maka berlaku …

a

 b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3


 =  ( a , b )  cos =
a b
=
a b a
1
1

| a| |b|
Sifat-sifat

1. a  b =



a (b + C
2.

3. a  a
4.


) =

b

a b

b
3
3
| a| |b|
a

+

a


C

2

a
2

=a 
tegak lurus
b a
2



a b = 0
b
Proyeksi suatu vektor pada vektor yang lain
Vektor

adalah proyeksi vektor

a
C


pada vektor
a
a.b
c  b

C
a.b
c
b2
b
Ayi Krisnha

b
b
. Rumusan

C
dan | c |

sebagai berikut …