Pendugaan Parameter

Pendugaan Parameter
Ayundyah Kesumawati
Prodi Statistika FMIPA-UII
April 13, 2015
Ayundyah (UII)
Pendugaan Parameter
April 13, 2015
1 / 30
Pendugaan
1
Proses yang menggunakan sampel statistik untuk menduga /
menaksir hubungan parameter populasi yg tidak diketahui
2
Penduga : suatu statistik yg digunakan untuk menduga suatu
parameter
3
Estimasi: Pengukuran terhadap nilai parameternya (populasi) dari
data sampel yang diketahui
Ayundyah (UII)
Pendugaan Parameter
April 13, 2015
2 / 30
Sifat-sifat Penduga
1
θ merupakan penduga tak bias dari θ jika E(θ̂)=θ
2
θ̂ merupakan penduga konsisten bagi θ apabila nilai θ̂ cenderung
mendekati nilai parameter θ untuk n yang semakin besar mendekati
tak terhingga
3
θ̂ merupakan penduga yang efisien bagi θ jika penduga θ̂ memiliki
varians tau standar deviasi yang lebih kecil dibandingkan dengan
penduga lainnya.
4
θ̂ merupakan penduga yang cukup bagi θ apabila θ̂ mencakup
seluruh informasi tentang θ yang terkandung di dalam sampel.
Ayundyah (UII)
Pendugaan Parameter
April 13, 2015
3 / 30
Jenis-jenis pendugaan berdasarkan cara penyajiannya
1
Pendugaan Titik Pendugaan yg hanya mempunyai atau menyebutkan
satu nilai. Tidak memberikan selisih atau jarak antara nilai penduga
dengan nilai sebenarnya (parameter)
2
Pendugaan Interval Pendugaan yg memp dua nilai sbg pembatasan/
daerah pembatasan
Digunakan tingkat keyakinan thd daerah yg nilai
sebenarnya/parameternya akan berada.
Nilai (1-α) disebut koefisien kepercayaan
Selang kepercayaan : (1-α) x 100
Ayundyah (UII)
Pendugaan Parameter
April 13, 2015
4 / 30
Jenis-jenis pendugaan berdasarkan parameternya
1
Pendugaan rata-rata
2
Pendugaan proporsi
3
Pendugaan varians
Ayundyah (UII)
Pendugaan Parameter
April 13, 2015
5 / 30
Pendugaan interval untuk rata-rata
1
Untuk sampel besar (n > 30)
a. Utk populasi tdk terbatas/ populasi terbatas yg pengambilan
sampelnya dgn pengembalian dan σ diketahui
σ
σ
X − Z α2 . √ < µ < X + Z α2 . √
n
n
(1)
Penaksiran rata-rata sampel adalah menentukan interval nilai rata-rata
sampel yang dapat memuat parameter rata-rata populasi, jika dipakai
distribusi probabilitas normal, confedence interval untuk rata-rata
ditentukan.
Ayundyah (UII)
Pendugaan Parameter
April 13, 2015
6 / 30
Sehingga didapat dua batas kepercayaan
σ
σ
θ̂ = x − Z α2 . √ dan θ̂ = x + Z α2 . √
n
n
(2)
Contoh: Rata-rata IP sampel acak 36 mahasiswa tingkat S-1 adalah 2,6.
Hitung selang kepercayaan 95 % dan 99 % untuk rata-rata IP semua
mahasiswa S-1! Anggap bahwa standar deviasi populasinya 0,3.
Ayundyah (UII)
Pendugaan Parameter
April 13, 2015
7 / 30
b. Untuk populasi terbatas, pengambilan sampel tanpa pengembalian
dan σ diketahui
r
r
σ
σ
N −n
N −n
X − Zα/2 √ .
< µ < X + Zα/2 √ .
(3)
N −1
N −1
n
n
Ayundyah (UII)
Pendugaan Parameter
April 13, 2015
8 / 30
2. Untuk sampel kecil (n ≤ 30)
s
s
X − t α2 . √ < µ < X + t α2 . √
n
n
(4)
dengan
s
s=
Ayundyah (UII)
Σni=1 Xi
(Σn Xi )2
− i=1
n−1
n(n − 1)
Pendugaan Parameter
April 13, 2015
9 / 30
Latihan Soal
1
Sebuah perusahaan ingin mengestimasi rata-rata waktu yang
diperlukan oleh sebuah mesin yang digunakan untuk memproduksi
satu jenis kain. Diambil secara acak 36 pis kain, waktu rata-rata yang
diperlukan untuk memproduksi 1 pis kain adalah 15 menit. Jika
diasumsikan standar deviasi populasi 3 menit, tentukan estimasi
interval rata-rata dengan tingkat confidence (tingkat kepercayaan) 95
%?
2
Lima karyawan PT TELITI dipilih secara acak, kemudian diukur
beratnya. Datanya adalah 62, 67, 70, 65 dan 60 kg. Buatlah
pendugaan interval rata-ratanya dgn tingkat keyakinan 99% ?
Ayundyah (UII)
Pendugaan Parameter
April 13, 2015
10 / 30
Pendugaan Interval Untuk Proporsi
1. Untuk sampel besar (n > 30)
a. Untuk populasi tidak terbatas
r
r
p(1 − p)
p(1 − p)
< P < p + Zα/2
p − Zα/2
n
n
(5)
b. Untuk populasi terbatas dan pengambilan sampel tanpa pengembalian
r
r
r
r
p(1 − p) N − n
p(1 − p) N − n
p − Zα/2
< P < p + Zα/2
n
N −1
n
N −1
(6)
Ayundyah (UII)
Pendugaan Parameter
April 13, 2015
11 / 30
2. Untuk sampel kecil (n ≤ 30)
r
r
p(1 − p)
p(1 − p)
p − tα/2
< P < p + tα/2
n
n
Ayundyah (UII)
Pendugaan Parameter
April 13, 2015
(7)
12 / 30
Latihan Soal
1. Sebuah peti kemas diperiksa untuk menaksir persentase barang rusak.
Untuk keperluan tersebut, diambil 60 buah barang yang ada dalam
peti dan diperoleh 9 buah rusak. Dugalah persentase barang yang
rusak. Digunakan interval keyakinan 99 %.
2. Sebuah Sampel sebanyak 25 buah apel, 8 diantaranya apel kualitas
rusak. Dengan interval keyakinan 95%, tentukan proporsi apel yang
rusak ?
3. Sebuah perusahaan memproduksi baut, menggunakan mesin otomatis
dengan diameter menyebar mengikuti distribusi normal yang standar
deviasinya (populasi) 0,02 milimeter. Diambil sampel acak empat
buah baut untuk suatu pemeriksaan, ternyata rata-rata diameternya
sebesar 24,98mm. Buatlah selang kepercayaan dengan tingkat
kepercayaan 98 persen bagi rata-rata baut.
Ayundyah (UII)
Pendugaan Parameter
April 13, 2015
13 / 30
4. Lima karyawan PT TELITI dipilih secara acak, kemudian diukur
beratnya. Datanya adalah 62, 67, 70, 65 dan 60 kg. Buatlah
pendugaan interval rata-ratanya dgn tingkat keyakinan 99 %
5. Dari sampel random 400 orang yg makan siang di restoran NIKMAT
selama beberapa hari Sabtu, diperoleh data 125 org yg menyukai
makanan tradisional. Tentukan pendugaan interval bagi proporsi
sebenarnya, orang yg menyukai makanan tradisional utk makan
siangnya pd hari Sabtu di restoran tersebut dgn menggunakan interval
keyakinan 98 %
Ayundyah (UII)
Pendugaan Parameter
April 13, 2015
14 / 30
Pendugaan Parameter Dua Populasi
Dalam materi ini akan dibahas metode inferensi (pendugaan) statistik
untuk membandingkan dua perlakuan atau dua populasi berdasarkan
sampel-sampel yang independen.
Bila ada 2 populasi masing-masing dengan rata-rata µ1 dan µ2 , varians σ12
dan σ22 , maka estimasi dari selisih µ1 dan µ2 adalah x 1 dan x 2 , sehingga
Z=
Ayundyah (UII)
(x 1 − x 2 ) − (µ1 − µ2 )
s σ12
σ22
+
n1
n2
Pendugaan Parameter
April 13, 2015
15 / 30
Pendugaan Interval Beda Dua Rata-Rata
1. Untuk sampel besar dan σ12 dan σ22 diketahui
X 1 − X 2 − Z α2 .σX 1 −X 2 < (µ1 − µ2 ) < X 1 − X 2 + Z α2 .σX 1 −X 2
dengan
s
σX 1 −X 2 =
Ayundyah (UII)
σ12
n1
Pendugaan Parameter
+
σ22
n2
April 13, 2015
16 / 30
Contoh Soal
Diketahui nilai ujian kimia yang diberikan pada 50 siswa putri dan 75 siswa
putra mempunyai rata-rata secara berurutan adalah 76 dan 86. Cari selang
kepercayaan 96 % untuk selisih µ1 -µ2 . Anggap standar deviasi populasi
untuk masing-masing putri dan putra adalah 8 dan 6
Ayundyah (UII)
Pendugaan Parameter
April 13, 2015
17 / 30
Misal :
X 1 = 86 adalah nilai siswa putra, n1 =75 dan σ1 =6
X 1 = 76 adalah nilai siswa putri, n1 =50 dan σ1 =8
α = 0, 04 → z0,02 = 2, 05. Sehingga Selang kepercayaan 96 % bagi selisih
rata-rata nilai siswa putra dengan siswa putri adalah
X 1 − X 2 − Z α2 .σX 1 −X 2 < (µ1 − µ2 ) < X 1 − X 2 + Z α2 .σX 1 −X 2
r
r
82
62
82
62
(86 − 76) − (2, 05).
+
< (µ1 − µ2 ) < (86 − 76) + (2, 05)
+
50 75
75 50
sehingga diperoleh .... < (µ1 − µ2 ) < ....
Ayundyah (UII)
Pendugaan Parameter
April 13, 2015
18 / 30
Interpretasi
1. Dapat dipercaya 96 % bahwa selisih rata-rata nilai ujian kimia semua
siswa putra dengan siswa putri berkisar antara 3,43 hingga 8,57.
2. Dengan tingkat signifikansi 4 %, rata-rata nilai ujian kimia semua
siswa putra lebih tinggi antara 3.43 hingga 8.57 dari nilai ujian kimia
semua siswa putri.
Ayundyah (UII)
Pendugaan Parameter
April 13, 2015
19 / 30
2. Untuk sampel kecil, σ12 dan σ22 tidak diketahui, selang kepercayaan
(1-α) 100% untuk µ1 − µ2
X 1 − X 2 − t α2 .sX 1 −X 2 < (µ1 − µ2 ) < X 1 − X 2 + t α2 .sX 1 −X 2
dengan
s
sX 1 −X 2 =
s (n1 − 1)s12 + (n2 − 1)s22
1
1
.
+
n1 + n2 − 2
n1
n2
dan
Ayundyah (UII)
s12 =
ΣX12
(ΣX1 )2
−
n1 − 1 n1 (n1 − 1)
s22 =
ΣX22
(ΣX2 )2
−
n2 − 1 n2 (n2 − 1)
Pendugaan Parameter
April 13, 2015
20 / 30
Contoh
Suatu sampel random sebanyak 12 buah, dari jenis produk yang dihasilkan
oleh suatu perusahaan mempunyai berat rata-rata 3.11 gr dengan standar
deviasi 0.771 gr. Sedangkan sampel yang lain dari jenis produk yang
dihasilkan perusahaan lainnya berjumlah 15 buah dengan berat rata-rata
2.04 grdan standar deviasi 0.448. Distribusi berat produk diasumsikan
berdistribusi normal, estimasilah perbedaan rata-rata tersebut dengan
tingkat kepercayaan 90 persen.
Ayundyah (UII)
Pendugaan Parameter
April 13, 2015
21 / 30
2. Selang kepercayaan (1-α)100 % untuk µ1 − µ2 ; dimana σ12 6= σ22 , σ12
dan σ22 tidak diketahui.
s
s
2
2
s
s12
s
s2
1
X 1 − X 2 − t vα .
+ 2 < µ1 − µ2 < X 1 − X 2 + t vα .
+ 2
2
2
n1 n2
n1 n2
dengan
2
S12 S22
+
n1
n1
v = 2
2 2
2
S1
S2
n1
n2
+
(n1 − 1) (n2 − 1)
Ayundyah (UII)
Pendugaan Parameter
April 13, 2015
22 / 30
Soal Latihan
Dalam sebuah penelitian kadar kimia-Ortofosfor, a5 sampel dikumpulkan
dari stasion 1 dan 12 sampel diukur dari stasion 2. ke 15 sampel dari
stasion 1 mempunyai rata-rata kadar ortofosfor 3.84 mg/l dan standar
deviasi 3.07 mg/l, sedangkan 12 sampel dari stasion 2 mempunyai
rata-rata kadar 1.49 mg/l dengan standar deviasi 0.80 mg/l. Cari selang
kepercayaan 95% untuk selisih rata-rata kadar ortofosfor sesungguhnya
pada kedua stasion tersebut, anggap bahwa pengamatan berasal dari
populasi normal dengan varians yang berbeda
Ayundyah (UII)
Pendugaan Parameter
April 13, 2015
23 / 30
Pendugaan interval beda dua proporsi
(P1 − P2 ) − Zα/2 .s(p1 −p2 ) < p1 − p2 < (P1 − P2 ) + Zα/2 .s(p1 −p2 )
dengan
s
Sp1 −p2 =
Ayundyah (UII)
p1 (1 − p1 ) p2 (1 − p2 )
+
n1
n2
Pendugaan Parameter
April 13, 2015
24 / 30
Contoh
Suatu perubahan dalam cara pembuatan suku cadang sedang
direncanakan. Sampel diambil dari cara lama maupun yang baru untuk
melihat apakah cara baru tersebut memberikan perbaiikan. Bila 75 dari
1500 suku cadang yang berasal dari cara lama ternyata cacat. Dan 80 dari
2000 yang berasal dari cara baru ternyata cacat. Carilah selang
kepercayaan 90 % untuk selisih sesungguhnya proporsi yang baik dalam
kedua cara tersebut!
Ayundyah (UII)
Pendugaan Parameter
April 13, 2015
25 / 30
Estimasi Varians Populasi
Sangat diperlukan untuk mengetahui sejauh mana sebaran nilai
parameter sehingga dapat dijadikan untuk mengambil
langkah-langkah dalam mengendalikannya
Misalnya: yang berkaitan dg suatu tingkat kualitas produk, diinginkan
agar bukan hanya rata-rata nilai parameternya yg memenuhi suatu
persyaratan tetapi juga konsistensi dari nilai tersebut harus bisa
terjamin
Ayundyah (UII)
Pendugaan Parameter
April 13, 2015
26 / 30
Estimasi Varians Populasi
Estimasi interval varians populasi berbentuk:
(n − 1)s 2
(n − 1)s 2
2
<
σ
<
x
χ2α/2;v
χ21−α/2;v
keterangan:
χ2α/2;v = Nilai kritis yang tergantung tingkat kepercayaan dan derajat
kebebasan v
α = 1 - tingkat kepercayaan
v = derajat kebebasan = n - 1
Ayundyah (UII)
Pendugaan Parameter
April 13, 2015
27 / 30
Contoh
Suatu mesin pengisi gandum ke dalam kemasan dirancang untuk bekerja
mengisi gandum ke dalam kotak rata-rata sebanyak 25 kg. Suatu
pemeriksaan terhadap 15 kotak menunjukkan bahwa deviasi standard
pengisian gandum itu adalah 0,0894 kg. Estimasikan deviasi standard
populasi dg tingkat kepercayaan 95 %
Ayundyah (UII)
Pendugaan Parameter
April 13, 2015
28 / 30
Latihan Soal
1. Dua jenis tambang ingin dibandingkan kekuatannya. Untuk itu, 50
potong tambang dr setiap jenis diuji dlm kondisi yg sama. Jenis A
memiliki kekuatan rata-rata 87,2 kg dgn simpangan baku 6,3 kg,
sedangkan jenis B memiliki kekuatan rata-rata 78,3 kg dgn
simpangan baku 5,6 kg. Buatlah pendugaan interval beda dua
rata-rata dgn interval keyakinan 94 %
2. Suatu sampel random sebanyak 300 org dewasa dan 400 remaja yg
pernah menyaksikan sebuah acara di RCTI diketahui bahwa 125 org
dewasa dan 250 remaja menyatakan suka pd acara tsb. Berapa beda
proporsi dr seluruh org dewasa dan remaja yg menyukai acara tsb bl
digunakan tingkat keyakinan 90%
Ayundyah (UII)
Pendugaan Parameter
April 13, 2015
29 / 30
3. Data berikut berupa masa putar film yang diproduksi dua perusahaan
film.
Buatlah pendugaan interval bagi beda dua rata-rata masa putar
film-film yang diproduksi oleh dua perusahaan tersebut dengan
menggunakan interval keyakinan %
Ayundyah (UII)
Pendugaan Parameter
April 13, 2015
30 / 30