MOMENTU LINEAR dan TUMBUKAN

MOMENTUM
LINEAR
dan
TUMBUKAN
Momentum Linear :
(9-1)
p ≡ mv
p x = mv x
p y = mv y
(9-2)
p z = mv z
Laju perubahan momentum
Hukum Newton II :
F=
dp
dt
(9-3)
Bagaimanakah momentum benda yang terisolasi, yaitu tidak ada
gaya yang bekerja pada benda tersebut ?
(9-4)
dp = Fdt
(9-5)
Δp = p f − p i =
Impuls
tf
∫t
i
Fdt
Impuls :
I≡
(9-6)
tf
∫t
Fdt = Δp
Impuls suatu gaya F sama dengan
perubahan momentum benda.
i
Teorema Impuls-Momentum
F
Gaya rata-rata :
1 t
F ≡ ∫ Fdt
Δt t
(9-7)
I = Δp = FΔt
(9-8)
f
ti
tf
t
i
Untuk F konstan :
I = Δp = F Δ t
(9-9)
KEKEKALAN MOMENTUM LINIER
UNTUK SISTEM DUA PARTIKEL
p1 = m1v1
m1
p1
p2
dp
F21 = 2
dt
dp1 dp 2
+
=0
dt
dt
F12
F21
m2
dp
F12 = 1
dt
F12 + F21 = 0
Hukum Newton III
F12 = − F21
d
( p1 + p 2 ) = 0
dt
P = p1 + p 2 = konstan
p2 = m2v2
P = p1 + p 2
Pix = Pfx
Piy = Pfy
(9-10)
Piz = Pfz
Momentum partikel di dalam
suatu sistem tertutup selalu tetap
Hukum kekekalan momentum
m1v1i + m2 v 2 i = m1v1 f + m2 v 2 f
p1i + p 2 i = p1 f + p 2 f
(9-11)
(9-12)
TUMBUKAN
Interaksi antar partikel yang berlangsung
dalam selang waktu yang sangat singkat
Gaya impulsiv
Diasumsikan jauh lebih besar
Kontak langsung
F12
F21
m1
dari gaya luar yang ada
m2
F=
Hukum Newton III
F12 = −F21
F12
dp
dt
(9-3)
p
Proses hamburan
+
Δp1 = − Δp 2
++
He4
F21
F
F12
t
Δp1 + Δp 2 = 0
Δ ( p1 + p 2 ) = 0
Δp1 = ∫tt12F12 dt
Δp 2 = ∫tt12F21dt
P = p1 + p 2 = konstan
Pada setiap tumbukan jumlah momentum sistem
sesaat sebelum tumbukan adalah sama dengan
jumlah momentumnya sesaat setelah tumbukan
F21
Hukum kekekalan momentum berlaku pada setiap tumbukan
Klasifikasi Tumbukan
Tumbukan Lenting Sempurna
Berlaku hukum kekekalan momentum
dan kekekalan energi
Tumbukan Lenting Sebagian
Energi mekanik berkurang
(tak berlaku hukum kekekalan energi mekanik)
Tumbukan Tak Lenting sama sekali
Setelah tumbukan kedua partikel menyatu
Untuk tumbukan tak lenting sama sekali dalam satu dimensi
Setelah tumbukan
Sebelum tumbukan
v2i v1i
m2
vf
m1
m1 + m2
Hukum kekekalan momentum : m1v1i + m2 v2i = ( m1 + m2 )v f
vf =
m1v1i + m2 v2i
m1 + m2
(9-13)
(9-14)
Untuk tumbukan lenting sempurna dalam satu dimensi
Sebelum tumbukan
Setelah tumbukan
v2i v1i
m2
v2f
m1
m2
Hukum kekekalan momentum :
m1v1i + m2 v2i = m1v1 f + m2 v2 f
1 m v2
2 1 1i
v1f
(9-15)
+ 12 m2 v22i = 12 m1v12f + 12 m2 v22 f
m1
⎛ m − m2 ⎞
⎛ 2m2 ⎞
v1 f = ⎜⎜ 1
⎟⎟v1i + ⎜⎜
⎟⎟
+
+
m
m
m
m
⎝ 1
⎝ 1
2⎠
2⎠
(9-20)
m1 ( v12i − v12f ) = m2 ( v22 f − v22i )
⎛ 2m1 ⎞
⎛ m − m1 ⎞ (9-21)
v2 f = ⎜⎜
⎟⎟v1i + ⎜⎜ 2
⎟⎟
+
+
m
m
m
m
⎝ 1
⎝ 1
2⎠
2⎠
m1 ( v1i − v1 f )( v1i + v1 f ) = m2 ( v2 f − v2i )( v2 f + v2i )
(9-17)
m1 ( v1i − v1 f ) = m2 ( v2 f − v2i )
(9-18)
v1i + v1 f = v2 f + v2i
v1i − v2i = −( v1 f − v2 f )
(9-16)
(9-19)
TUMBUKAN DALAM DUA DIMENSI
v1f sin θ
Sebelum tumbukan
v1f cos θ
Setelah tumbukan
m1
θ
φ
v1i
m1
m2
v2f cos φ
m2
-v2f sin φ
Komponen ke arah x :
v1f
v2f
m1v1i = m1v1 f cosθ + m2 v2 f cos φ
0 = m1v1 f sin θ − m2 v2 f sin φ
Jika tumbukan lenting sempurna :
1 m v2
2 1 1i
= 12 m1v12f + 12 m2 v22 f
(9-24a)
(9-24b)
(9-24a)
Pusat Massa Sistem Partikel
PM x
Y
m2
yc ≡
⊗
y2
m1
y1
m1 y1 + m2 y2
m1 + m2
yc
X
Bagaimana jika massanya lebih dari dua ?
n
n
∑ mi yi
∑ mi yi
m1 y1 + m2 y2 + ⋅ ⋅ ⋅ + mn yn
yc ≡
= i =1n
= i =1
m1 + m2 + ⋅ ⋅ ⋅ + mn
M
∑ mi
i =1
Bagaimana jika massanya tersebar di dalam ruang ?
n
∑ mi yi
yc = i =1
M
n
∑ mi xi
xc = i =1
M
n
∑ mi zi
zc = i =1
M
rc = xc ˆi + yc ˆj + zc kˆ
∑ mi xi ˆi + ∑ mi yi ˆj + ∑ mi zi kˆ
rc =
M
∑ mi ( xi ˆi + yi ˆj + zi kˆ )
rc =
M
∑ mi ri
ri = xi ˆi + yi ˆj + zi kˆ
rc =
M
Bagaimana untuk benda pejal (sistem partikel kontinyu) ?
Z
rc ≈
Δmi
⊗
M
rc = lim
PM
Δmi →0
ri
rc
rc =
X
Y
∑ ri Δmi
∑ ri Δmi
M
1
∫ rdm
M
1
∫ xdm
M
1
yc = ∫ ydm
M
1
zc = ∫ zdm
M
xc =
Gerak Sistem Partikel
Kecepatan : v c =
drc
1
dr
mv
= ∑ mi i = ∑ i i
dt
dt
M
M
Momentum : Mv c = ∑ mi vi = ∑ p = P
dv c 1
dv
1
= ∑ mi i = ∑ miai
dt
dt
M
M
dP
Mac = ∑ miai = ∑ Fi =
dt
dP
P = Mv c = konstan
F
=
0
=0
∑ i
dt
Percepatan : ac =
v
v+Δv
( M + Δm) v = M ( v + Δv ) + Δm( v − v e )
M Δ v = v e Δm
Untuk interval waktu yang sangat pendek :
M+Δm
M
dm = − dM
ve
p i = ( M + Δm ) v
Kecepatan bahan bakar
relatip terhadap roket
Mdv = ve dm
Δm
Massa bahan bakar
yang terbakar
Pengurangan
massa roket
Mdv = − v e dM
v - ve
vf
∫v
i
dv = − v e
Mf
∫M
i
dM
M
⎛ Mi
v f − vi = v e ln⎜
⎜M f
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠