Matematika II – Diferensial, Integral, Persamaan Diferensial

Sudaryatno Sudirham
Matematika II
1
ISI
Turunan Fungsi-Fungsi:
• Fungsi Polinom
• Perkalian Fungsi, Pangkat dari Fungsi, Fungsi
Rasional, Fungsi Implisit
• Fungsi Trigonometri, Trigonometri Inversi,
Logaritmik, Eksponensial
Integral:
• Integral Tak-Tentu
• Integral Tentu
Persamaan Diferensial
• Persamaan Diferensial Orde-1
• Persamaan Diferensial Orde-2
2
Turunan Fungsi-Fungsi
3
Pengertian-Pengertian
y
Kita telah melihat bahwa
kemiringan garis lurus adalah
2
Δy
1
Δx
0
0
1
2
3
4
x
m
y ( y2  y1 )

x ( x2  x1 )
-1
Bagaimanakah dengan garis lengkung?
4
Garis Lengkung
y = f(x)
P2
y
Garis lurus dengan kemiringan y/x
memotong garis lengkung di dua titik
Δy
P1
Δx
Jarak kedua titik potong semakin kecil
jika Δx di perkecil menjadi x*
x
y = f(x)
y
P1
Pada kondisi Δx mendekati nol,
kita peroleh
P2
Δy*
y
f ( x  x)  f ( x)
 lim
 f ( x)
x  0 x x  0
x
lim
Δx*
x
Ini merupakan fungsi turunan dari
f (x) di titik P
Ekivalen dengan kemiringan garis singgung di titik P
5
y
(x2,y2)
(x1,y1)
x
Pada suatu garis lengkung y  f (x),
kita dapat memperoleh turunannya di berbagai
titik pada garis lengkung tersebut
f ′(x) di titik (x1,y1) adalah turunan y di titik (x1,y1),
f ′(x) di titik (x2,y2) adalah turunan y di titik (x2,y2)
6
y
x  0 x
Jika pada suatu titik x1 di mana lim
benar ada
maka dikatakan bahwa fungsi f(x)
“dapat didiferensiasi di titik tersebut”
Jika dalam suatu domain suatu fungsi f(x) dapat di-diferensiasi
di semua x dalam dalam domain tersebut
kita katakan bahwa fungsi f(x) dapat di-diferensiasi dalam domain.
dy d
y

( y )  lim
dx dx
x 0 x
kita baca “turunan fungsi y terhadap x”
Penurunan ini dapat dilakukan jika y memang merupakan fungsi x.
Jika tidak, tentulah penurunan itu tidak dapat dilakukan.
7
Mononom
Contoh:
y0  f ( x)  k
y0  lim
x  0
Contoh:
f ( x  x)  f ( x) 0

0
x
x
y1  f1( x)  2 x
2( x  x)  2 x 2x

2
x
x
x 0
f1( x)  lim
y 10
8
Fungsi ramp
y1  2 x
6
f1( x)  2
4
2
Fungsi tetapan
0
0
1
2
3
x4
5
8
Contoh:
y2  f 2 ( x )  2 x 2
2( x  x) 2  2 x 2
2( x 2  2 xx  x 2 )  2 x 2
f 2 ( x)  lim
 lim
x
x
x 0
x 0
 lim (2  2 x  2x)  4 x
x 0
Turunan fungsi mononom pangkat 2 berbentuk mononom
pangkat 1 (kurva garis lurus)
Contoh:
y3  f3 ( x)  2 x3
2( x  x)3  2 x 3
f 3 ( x)  lim
x  0
x
2( x 3  3x 2 x  3xx 3  x 3 )  2 x 3
 lim
x  0
x
 lim 2  3x 2  2  3xx 2  2x 2  6 x 2
x  0
Turunan fungsi mononom pangkat 3 berbentuk mononom
pangkat 2 (kurva parabola)
9
Secara umum, turunan fungsi mononom
y  f ( x)  mx n
adalah
y  (m  n) x (n 1)
n
Jika n = 1 maka kurva fungsi y  mx berbentuk garis lurus *)
dan turunannya berupa nilai konstan, y  f ( x)  k
Jika n > 1, maka turunan fungsi y  mx n akan merupakan
fungsi x, y  f (x)
Fungsi turunan ini dapat diturunkan lagi dan kita mendapatkan fungsi
turunan berikutnya, yang mungkin masih dapat diturunkan lagi
y  f (x) turunan dari
y   f (x)
y  f (x) turunan dari
y  f (x)
*) Untuk n berupa
bilangan tak bulat akan
dibahas kemudian
10
y   f ( x) 
y  f ( x) 
y  f ( x) 
dy
dx
disebut turunan pertama,
d2y
dx2
d3y
dx
3
turunan kedua,
turunan ke-tiga, dst.
3
Contoh: y4  f 4 ( x)  2 x
y4  2(3) x (31)  6 x 2 ;
y4  6(2) x ( 21)  12 x;
y4  12
11
Kurva fungsi mononom y  f ( x)  mx n yang memiliki beberapa turunan
akan berpotongan dengan kurva fungsi-fungsi turunannya.
Contoh:
Fungsi y  x 4 dan turunan-turunannya
y  4x3 y  12 x 2 y  24 x
200
y   12 x 2
y  4x 3
y  x4
100
y  24 x
y   12x 2
y  24
0
-3
y  4x 3
-2
-1
y  24
0
1
2
3
4
-100
12
Polinom
y1  f1( x)  4 x  2
Contoh:
f1( x)  lim
x  x
4( x  x)  2  4 x  2  4
10
y
x
f1(x) = 4x + 2
8
f1' ( x)  4
6
4
2
0
-1
-0,5
-2
-4
0
0,5
1
1,5 x
2
Turunan fungsi ini
sama dengan
turunan f(x)=4x
karena turunan dari
tetapan 2 adalah 0.
Secara Umum: Jika F(x) = f(x) + K maka Fʹ(x) = f (x)
13
f 2 ( x)  4 x  8
y2  f 2 ( x)  4( x  2)
f 2 ( x)  4
f 2 ( x)  4( x  2)
10
y
Contoh:
f 2 ( x)  4
5
0
-1
0
-5
1
2
3
x
4
-10
-15
14
Contoh:
y3  f3 ( x)  4 x 2  2 x  5
4( x  x)


 2( x  x)  5  4 x 2  2 x  5
y3  lim
x
x  0
 4  2x  2  8x  2
Contoh:
2
y4  f 4 ( x )  5 x 3  4 x 2  2 x  5
y 4  lim
x 0
5( x  x)
3


 4( x  x) 2  2( x  x)  5  5 x 3  4 x 2  2 x  5
x
 5  3x 2  4  2 x  2  15 x 2  8 x  2
Secara Umum:
Turunan fungsi polinom, yang merupakan jumlah beberapa
mononom, adalah jumlah turunan masing-masing mononom
dengan syarat setiap mononom yang membentuk polinom itu
memang memiliki turunan.
15
Fungsi Yang Merupakan
Perkalian Dua Fungsi
Jika
y  vw
maka ( y  y)  (v  v)( w  w)
 (vw  vw  wv  wv)
y ( y  y )  y ( wv  vw  wv  wv)  vw


x
x
x
w
v vw
v
w

x
x
x
dy d (vw)
dw
dv

v
w
dx
dx
dx
dx
16
Contoh:
4
Turunan y  6x 5 adalah y   30x
Jika dipandang sebagai perkalian dua fungsi
d (2 x 3  3x 2 )
y 
 2 x 3  6 x  3x 2  6 x 2  12 x 4  18 x 4  30 x 4
dx
Jika
y  uvw
d (uvw) d (uv)( w)
dw
d (uv)
dw
du 
 dv

 (uv)
w
 (uv)
 wu  v 
dx
dx
dx
dx
dx
dx 
 dx
dw
dv
du
 (uv)
 (uw)  (vw)
dx
dx
dx
Contoh:
y  6x 5
Jika dipandang sebagai perkalian tiga fungsi
dy d (uvw)

 (2 x 2  3x 2 )(1)  (2 x 2  x)( 6 x)
dx
dx
 (3x 2  x)( 4 x)  6 x 4  12 x 4  12 x 4  30 x 4
17
Fungsi Yang Merupakan Pangkat
dari suatu Fungsi
Contoh:
y1  v 6  v 3  v 2  v
2
3
dy1
3 2 dv
3 dv
2 dv
 (v v )
 (v v )
 (v v )
dx
dx
dx
dx

dv 
dv 2
5 dv
4  dv
3  2 dv
v
 v v
v v v
v

dx
dx
dx
dx
dx



dv
dv
dv
dv 
 dv
 v5
 2v 5
 v5
 v4 v
v 
dx
dx
dx
dx 
 dx
dv
 6v 5
dx
dv6 dv6 dv
dv
Contoh ini menunjukkan bahwa

 6v5
dx
dv dx
dx




dv n
dv
Secara Umum:
 nv n 1
dx
dx
18
Contoh:
y  ( x 2  1) 3 ( x 3  1) 2
Kita gabungkan relasi turunan untuk perkalian
dua fungsi dan pangkat suatu fungsi
3
2
2
3
dy
2
3 d ( x  1)
3
2 d ( x  1)
 ( x  1)
 ( x  1)
dx
dx
dx
 ( x 2  1) 3 2( x 3  1)(3 x 2 )  ( x 3  1) 2 3( x 2  1) 2 2 x
 6 x 2 ( x 2  1) 3 ( x 3  1)  6 x( x 3  1) 2 ( x 2  1) 2
 6 x( x 3  1)( x 2  1) 2 (2 x 3  x  1)
19
Fungsi Rasional
Fungsi rasional merupakan rasio dari dua fungsi
y
v
w
atau
y  vw 1
dy d  v  d (vw 1 )
dw 1
dv

v
 w 1
 
dx dx  w 
dx
dx
dx
dv
dv  v dv 1 dv
 vw  2
 w 1


2
dx
dx w dx w dx

1  dv
dw 
w v


2
dx
dx

w 
Jadi:
dw 
 dv
w

v


dx 
d  v   dx
 
dx  w 
w2
20
Contoh:
y
x2  3
dy

dx

x3
x 3 (2 x)  ( x 2  3)(3x 2 )
x6
2 x 4  (3x 4  9 x 2 )
x
Contoh:
Contoh:
6

 x2  9
x4
1
y  x2 
x2
dy
x 2  0  1 2x
2
 2x 
 2x 
dx
4
x3
y
x2 1
; dengan x 2  1 (agar penyebut tidak nol)
x2 1
dy ( x 2  1)2 x  ( x 2  1)2 x

dx
( x 2  1) 2

2x3  2x  2x3  2x
( x 2  1) 2

 4x
( x 2  1) 2
21
Fungsi Berpangkat Tidak Bulat
Bilangan tidak bulat n 
p
dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q ≠ 0
q
yq  v p
y  vn  v p / q
qy q 1
Jika y ≠ 0, kita dapatkan

y q 1  v p / q

q 1
dy
dv
 pv p 1
dx
dx
dy d (v p / q ) pv p 1 dv


dx
dx
qy q 1 dx
(v adalah fungsi yang
bisa diturunkan)
 v p ( p / q) sehingga
dy d (v p / q )
pv p 1 dv p ( p 1) p  ( p / q ) dv


 v
p ( p / q ) dx
dx
dx
q
dx
qv
p
dv
 v ( p / q ) 1
q
dx
Formulasi ini mirip dengan keadaan jika n bulat,
hanya perlu persyaratan bahwa v ≠ 0 untuk p/q < 1.
22
Fungsi Parametrik dan
Kaidah Rantai
Apabila kita mempunyai persamaan
x  f (t )
dan
y  f (t )
maka relasi antara x dan y dapat dinyatakan dalam t. Persamaan
demikian disebut persamaan parametrik, dan t disebut parameter.
Jika kita eliminasi t dari kedua persamaan di atas, kita dapatkan
persamaan yang berbentuk y  F (x)
Kaidah rantai
Jika y  F (x) dapat diturunkan terhadap x dan
x  f (t ) dapat diturunkan terhadap t,
maka y  F  f (t )  g (t ) dapat diturunkan terhadap t menjadi
dy dy dx

dt dx dt
23
Fungsi Implisit
Sebagian fungsi implisit dapat diubah ke dalam bentuk explisit
namun sebagian yang lain tidak.
Untuk fungsi yang dapat diubah dalam bentuk eksplisit, turunan
fungsi dapat dicari dengan cara seperti yang sudah kita pelajari di
atas.
Untuk mencari turunan fungsi yang tak dapat diubah ke dalam
bentuk eksplisit perlu cara khusus, yang disebut diferensiasi
implisit. Dalam cara ini kita menganggap bahwa fungsi y dapat
didiferensiasi terhadap x.
24
Contoh:
x 2  xy  y 2  8
Fungsi implisit ini merupakan sebuah persamaan.
Jika kita melakukan operasi matematis di ruas kiri,
maka operasi yang sama harus dilakukan pula di
ruas kanan agar kesamaan tetap terjaga. Kita lakukan
diferensiasi (cari turunan) di kedua ruas, dan kita
akan peroleh
dy
dy
dx
y
 2y
0
dx
dx
dx
dy
( x  2 y)
 2 x  y
dx
2x  x
Jika ( x  2 y)  0 kita peroleh turunan
dy
2x  y

dx
x  2y
25
Contoh:
x 4  4 xy 3  3 y 4  4
Fungsi implisit ini juga merupakan sebuah
persamaan. Kita lakukan diferensiasi pada kedua
ruas, dan kita akan memperoleh
4
dy 3
3 d (4 x) d (3 y )
4x  4x
y

0
dx
dx
dx
dy
dy
4 x 3  4 x(3 y 2 )
 4 y 3  12 y 3
0
dx
dx
3
Untuk ( xy 2  y 3 )  0 kita dapat memperoleh turunan
dy  ( x3  y 3 )

dx 3( xy 2  y 3 )
26
Turunan Fungsi Trigonometri
Jika
y  sin x maka
dy d sin x sin( x  x)  sin x


dx
dx
x
sin x cos x  cos x sin x  sin x

x
Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cosx = 1 dan sinx = x.
Oleh karena itu
d sin x
 cos x
dx
27
Jika
y  cos x maka
dy d cos x cos(x  x)  cos x


dx
dx
x
cos x cos x  sin x sin x  cos x

x
Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cosx = 1 dan sinx = x.
Oleh karena itu
d cos x
  sin x
dx
28
Turunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk dicari.
d tan x d  sin x  cos2 x  sin x( sin x)
1
 

 sec2 x

dx
dx  cos x 
cos2 x
cos2 x
d cot x d  cos x   sin 2 x  cos x(cos x)
1
 

  csc2 x

dx
dx  sin x 
sin 2 x
sin 2 x
d sec x d  1  0  ( sin x)
sin x
 


 sec x tan x

2
2
dx
dx  cos x 
cos x
cos x
d csc x d  1  0  (cos x)  cos x


  csc x cot x


2
2
dx
dx  sin x 
sin x
sin x
29
Contoh:
Hubungan antara tegangan kapasitor vC dan arus kapasitor iC adalah
iC  C
dvC
dt
Tegangan pada suatu kapasitor dengan kapasitansi C = 210-6 farad
merupakan fungsi sinus vC = 200sin400t volt. Arus yang mengalir pada
kapasitor ini adalah
iC  C
dvC
d
 2  10 6  200 sin 400 t   0,160 cos 400 t ampere
dt
dt
vC
vC
iC
iC
200
100
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05 t [detik]
-100
-200
30
Contoh:
Arus pada suatu inductor L = 2,5 henry merupakan fungsi
sinus iL = 0,2cos400t ampere.
Hubungan antara tegangan induktor vL dan arus induktor iL adalah
di
vL  L L
dt
di
d
v L  L L  2,5   0,2 cos 400 t   2,5  0,2  sin 400 t  400  200 sin 400 t
dt
dt
vL iL
vL
iL
200
100
0
-100
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
t[detik]
-200
31
Turunan Fungsi Trigonometri Inversi
y  sin 1 x
x  sin y
dx  cos ydy
1
x
y
dy
1

dx cos y
dy
1

dx
1  x2
1  x2
y  cos1 x
x  cos y
1
y
1  x2
dx   sin ydy
dy
1

dx sin y
dy
1

dx
1  x2
x
32
y  tan 1 x
x  tan y
1
dx 
dy
2
cos y
1 x2
y
x
dy
 cos2 y
dx
dy
1

dx 1  x 2
1
y  cot 1 x
x  cot y
dx 
1
2
dy
sin y
1 x2
y
1
dy
  sin 2 y
dx
dy
1

dx 1  x 2
x
33
y  sec1 x
x  sec y 
x
1
cos y
x2  1
y
1
1
y  csc
x  csc y 
x
x
y
x 1
2
1
dx 
0  ( sin x)
2
dy
cos y

dy cos2 y
1 
x




dx
sin y
x 2  x 2  1 
1

x x2  1
1
sin y
dx 
0  (cos x)
2
dy
sin y
dy sin 2 y
1



2
dx  cos y
x

x
x2  1
1
x x2  1
34
Fungsi Trigonometri dari Suatu Fungsi
Jika v = f(x), maka
d (sin v) d (sin v) dv
dv

 cos v
dx
dv dx
dx
d (cos v) d (cos v) dv
dv

  sin v
dx
dv dx
dx
d (tan v) d  sin v  cos2 x  sin 2 x dv
dv
 
 sec2 v

dx
dx  cos v 
dx
dx
cos2 x
d (cot v) d  cos v 
dv
 
   csc2 v
dx
dx  sin v 
dx
d (sec v) d  1  0  sin v dv
dv
 
 sec v tan v

dx
dx  cos v 
dx
cos2 v dx
d (csc v) d  1 
dv
 
   csc v cot v
dx
dx  sin v 
dx
35
Jika w = f(x), maka
d (sin 1 w)
1
dw

dx
1  w2 dx
d (cos 1 w)
1
dw

dx
1  w2 dx
d (tan 1 w)
1 dw

dx
1  w2 dx
d (cot 1 w)
1 dw

dx
1  w2 dx
d (sec1 w)
1
dw

dx
w w2  1 dx
d (csc1 w)
1
dw

dx
w w2  1 dx
36
Turunan Fungsi Logaritmik
Fungsi logaritmik f ( x)  ln x didefinisikan melalui suatu integral
y
f ( x)  ln x 
6
5
1/t
4
ln x 
3
x1
1 t
dt
x1
1 t dt
1
0
1
2
1/x
x
3
Tentang integral akan
dipelajari lebih lanjut
luas bidang yang dibatasi
oleh kurva (1/t) dan
sumbu-t, dalam selang
antara t = 1 dan t = x
2
0
( x  0)
4
x +Δx
ln(x+x)lnx
d ln x 1

dx
x
t
1/(x+Δx)
d ln x ln( x  x)  ln( x)
1 



dx
x
x 
x  x 1
x

dt 
t 
Luas bidang ini lebih kecil dari luas
persegi panjang (Δx  1/x). Namun jika Δx
makin kecil, luas bidang tersebut akan
makin mendekati (Δx  1/x); dan jika Δx
mendekati nol luas tersebut sama dengan
(Δx  1/x).
37
Turunan Fungsi Eksponensial
ln y  x ln e  x
y  ex
penurunan secara implisit di kedua sisi
d ln y 1 dy

1
dx
y dx
dy
 y  ex
dx
Jadi turunan dari ex adalah ex itu sendiri
atau
.
y  e x
Jika v  v(x)
ye
tan1 x
y  e x
y  e x
dst.
dev dev dv
dv

 ev
dx
dv dx
dx
1
1
dy
e tan x
tan1 x d tan x
e

dx
dx
1  x2
38
Diferensial dx dan dy
Turunan fungsi y(x) terhadap x dinyatakan dengan formulasi
dy
y
 lim
 f ( x)
dx x0 x
Sekarang kita akan melihat dx dan dy yang didefinisikan sedemikian
rupa sehingga rasio dy/dx , jika dx 0, sama dengan turunan fungsi y
terhadap x. Hal ini mudah dilakukan jika x adalah peubah bebas dan
y merupakan fungsi dari x: y  F (x)
dx dan dy didefinisikan sebagai berikut:
1). dx, yang disebut sebagai diferensial x, adalah bilangan nyata dan
merupakan peubah bebas lain selain x;
2). dy, yang disebut sebagai diferensial y, adalah fungsi dari x dan dx
yang dinyatakan dengan dy  F ' ( x)dx
39
Penjelasan secara grafis
y
dy
P
Ini adalah fungsi
(peubah tak bebas)
dy  F ' ( x)dx
dx

x
dy
 tan 
dx
Jika dx berubah, maka dy
dy berubah sedemikian rupa
sehingga dy/dx sama
dengan kemiringan garis
singgung pada kurva
y
P
Ini adalah
peubah bebas
dx

x
dy  (tan )dx
adalah laju perubahan y
terhadap perubahan x.
adalah besar perubahan nilai y
sepanjang garis singgung di
titik P pada kurva, jika nilai x
berubah sebesar dx
Diferensial dx dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke kanan” dan
negatif jika “mengarah ke kiri”.
Diferensial dy dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke atas” dan negatif
jika “mengarah ke bawah”.
y
y
y
dx
P
P
dy
dy
dx
dx
dy


x
x
P

x
40
Dengan pengertian diferensial seperti di atas, kita kumpulkan formula
turunan fungsi dan formula diferensial fungsi dalam tabel berikut.
Dalam tabel ini v adalah fungsi x.
Turunan Fungsi
Diferensial
dc
 0; c  konstan
dx
dc  0; c  konstan
dcv
dv
c
dx
dx
dcv  cdv
d (v  w) dv dw


dx
dx dx
d (v  w)  dv  dw
dvw
dw
dv
v
w
dx
dx
dx
v
d   w dv  v dw
 w
dx
 dx
dx
w2
dv n
dv
 nv n1
dx
dx
dcx n
 cnx n1
dx
d (vw)  vdw  wdv
 v  wdv  vdw
d  
 w
w2
dv n  nv n 1dv
d (cx n )  cnx n1dx
41
Ada dua cara untuk mencari diferensial suatu fungsi.
1).Mencari turunannya lebih dulu (kolom kiri tabel), kemudian
dikalikan dengan dx.
2). Menggunakan langsung formula diferensial (kolom kanan
tabel)
Contoh:
y  x 3  3x 2  5 x  6
y   3x 2  6 x  5
sehingga dy  (3x 2  6 x  5)dx
Kita dapat pula mencari langsung dengan menggunakan
formula dalam tabel di atas
dy  d ( x 3 )  d (3x 2 )  d (5x)  d (6)  3x 2 dx  6 xdx  5dx
 (3x 2  6 x  5)dx
42
Integral
43
1. Integral Tak Tentu
Pengertian-Pengertian
Misalkan dari suatu fungsi f(x) yang diketahui, kita diminta untuk
mencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai x
tertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaan
dy
 f (x)
dx
Persamaan yang menyatakan turunan fungsi sebagai fungsi x seperti ini
disebut persamaan diferensial.
Contoh persamaan diferensial
dy
 2 x 2  5x  6
dx
d2y
dx2
 6 xy
dy
 3x 2 y 2  0
dx
44
Tinjau persamaan diferensial
dy
 f (x)
dx
Suatu fungsi y  F (x) dikatakan merupakan solusi dari persamaan
diferensial jika dalam rentang tertentu ia dapat diturunkan dan dapat
memenuhi
dF ( x)
 f ( x)
dx
Karena d F ( x)  K   dF ( x)  dK  dF ( x)  0 maka
dx
dx
dx
dx
fungsi y  F ( x)  K juga merupakan solusi
45
dF ( x)
 f ( x)
dx
dapat dituliskan
dF ( x)  f ( x)dx
Integrasi ruas kiri dan ruas kanan memberikan secara umum
 f ( x)dx  F ( x)  K
Jadi integral dari diferensial suatu fungsi adalah fungsi itu sendiri
ditambah suatu nilai tetapan. Integral semacam ini disebut integral tak
tentu di mana masih ada nilai tetapan K yang harus dicari
46
Contoh:
Cari solusi persamaan diferensial
dy
 5x 4
dx
ubah ke dalam bentuk diferensial
dy  5 x 4dx
Kita tahu bahwa d ( x5 )  5x 4dx
oleh karena itu


y  5x 4dx  d ( x5 )  x5  K
47
Contoh:
Carilah solusi persamaan
dy
 x2 y
dx
dy  x 2 y dx
y 1 / 2 dy  x 2 dx

1/ 2
d 2y
 y
1 / 2
1 
d  x 3   x 2 dx
3 
dy

kelompokkan peubah sehingga
ruas kiri dan kanan mengandung
peubah berbeda

1 
d 2 y1 / 2  d  x 3 
3 
Jika kedua ruas diintegrasi
2 y1 / 2  K1 
2 y1 / 2 
1 3
x  K2
3
1 3
1
x  K 2  K1  x 3  K
3
3
48
Dalam proses integrasi seperti di atas terasa adanya keharusan untuk
memiliki kemampuan menduga jawaban. Beberapa hal tersebut di bawah ini
dapat memperingan upaya pendugaan tersebut.
1. Integral dari suatu diferensial dy adalah y ditambah konstanta K.
 dy  y  K
2. Suatu konstanta yang berada di dalam tanda integral dapat dikeluarkan
 ady  a dy
3. Jika bilangan n  1, maka integral dari yndy diperoleh dengan
menambah pangkat n dengan 1 menjadi (n + 1) dan membaginya dengan
(n + 1).

y n 1
y dy 
 K,
n 1
n
jika n  1
49
Penggunaan Integral Tak Tentu
Dalam integral tak tentu, terdapat suatu nilai K yang merupakan
bilangan nyata sembarang.
Ini berarti bahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidak
tunggal melainkan banyak hasil yang tergantung dari berapa nilai yang
dimiliki oleh K.
yi = 10x2 +Ki
y = 10x2 100
100
y
-3
-1
K3
K2
K1
50
50
-5
y
1
3
x
5
kurva y  10 x 2
adalah kurva bernilai tunggal
-5
-3
kurva
-1

1
3
x
5
10 x 3
dx  10 x 2  K
3
adalah kurva bernilai banyak
50
Dalam pemanfaatan integral tak tentu, nilai K diperoleh dengan
menerapkan apa yang disebut sebagai syarat awal atau kondisi awal.
Contoh:
Kecepatan sebuah benda bergerak dinyatakan sebagai
v  at  3t
kecepatan percepatan waktu
s;0tentukanlah
3
posisi
Posisi benda pada waktu t = 0 adalah
benda pada t = 4.
Kecepatan adalah laju perubahan jarak,
v
Percepatan adalah laju perubahan kecepatan,
ds  vdt
ds
dt
a
dv
dt
t2
s  atdt  3  K  1,5t 2  K
2
.

Kondisi awal: pada t = 0, s0 = 3
30 K
sehingga pada t = 4 posisi benda adalah
K 3
s  1,5t 2  3
s4  27
51
Luas Sebagai Suatu Integral
Kita akan mencari luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurva y  f (x)
sumbu-x, garis vertikal x = p, dan x = q.
Contoh:
Apx
y
Apx
y = f(x) =2
2
0 p
x
x+x
Apx  2x atau
lim
x 0
Apx
x

dApx
dx
 f ( x)  2
x
q

Apx
 2  f ( x)
x

Apx  dApx  2dx  2 x  K
Kondisi awal (kondisi batas) adalah Apx = 0 untuk x = p
0  2 p  K atau K  2 p
A px  2 x  2 p
A pq  2q  2 p  2(q  p)
52
Kasus fungsi sembarang dengan syarat kontinyu dalam rentang p  x  q
y
f(x+x )
f(x)
0 p
x
y = f(x)
x+x
q
x
Apx Apx
Apx bisa memiliki dua nilai tergantung dari pilihan
Apx = f(x)x
atau
Apx = f(x+x)x
Apx  f ( x)x  f ( x0 )x  f ( x  x)x
x0 adalah suatu nilai x yang
terletak antara x dan x+x
Jika x  0:
lim
x0
A px
x

dA px
dx
 f ( x)

A px  dApx 
 f (x)dx  F ( x)  K
A pq  F (q)  F ( p)  F ( x) qp
53
2. Integral Tentu
Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas. Konsep
dasar integral tentu adalah luas bidang yang dipandang sebagai suatu limit.
y
y = f(x)
Bidang dibagi dalam segmen-segmen
Luas bidang dihitung sebagai jumlah luas
segmen
0 p x2
xk
xk+1
xn q
x
Ada dua pendekatan dalam menghitung luas segmen
y
y
y = f(x)
0 p x2
xk xk+1
xn q
Luas tiap segmen dihitung
sebagai f(xk)xk
x
y = f(x)
0 p x2
xk xk+1
xn q x
Luas tiap segmen dihitung
sebagai f(xk+x)xk
54
y
y
y = f(x)
0 p x2
xk xk+1
xn q
Luas tiap segmen dihitung
sebagai f(xk)xk
x
y = f(x)
0 p x2
xk xk+1
xn q x
Luas tiap segmen dihitung
sebagai f(xk+x)xk
Jika x0k adalah nilai x di antara xk dan xk+1 maka
f ( xk )xk  f ( x0k )xk  f ( xk  x)xk
n
n
n
k 1
k 1
k 1
 f ( xk )xk   f ( x0k )xk   f ( xk  x)xk
Jika xk  0 ketiga jumlah ini mendekati
suatu nilai limit yang sama
Nilai limit itu merupakan integral tentu
55
y
y = f(x)
0 p x2
xk
xk+1
xn q
x
Luas bidang menjadi
Apq 
Apq 
q
p
q
p f ( x)dx
f ( x)dx  F ( x)qp  F (q)  F ( p)
56
Luas Bidang
Definisi
Apx adalah luas bidang yang dibatasi oleh y=f(x) dan sumbu-x dari p sampai
x, yang merupakan jumlah luas bagian yang berada di atas sumbu-x dikurangi
dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x.
Luas antaray  x3  12 x dan sumbu-x
dari x = 3 sampai x = +3.
Contoh:
y  x 3  12 x

x4
3
2
Aa 
( x  12 x)dx 
 6x 
3
4


20
10
-4
-3 -2
0
-1 0
-10
-20
0
0
3
 0  (20 ,25  54 )  33,75
x
1
2
3
4

x4
3
2
Ab  ( x  12 x)dx 
 6x 
0
4


3
3
0
 20 ,25  54  (0)  33,75
Apq  Aa  Ab  33,75  (33,755)  67,5
57
Contoh di atas menunjukkan bahwa dengan definisi
mengenai Apx, formulasi
A
q
p f ( x)dx  F (q)  F  p)
tetap berlaku untuk kurva yang memiliki bagian
baik di atas maupun di bawah sumbu-x
y
y = f(x)
A2
p
A3
A1
Apq 
A4
q
x
q
p f ( x)dx  F (q)  F  p)
Apq   A1  A2  A3  A4
58
Luas Bidang Di Antara Dua Kurva
y1  f1( x) berada di atas y2  f 2 ( x)
y
p
y1
x
0
y2
x+x
Rentang p  x  q
dibagi dalam n segmen
q
x
Asegmen  Apx  f1( x)  f 2 ( x)x
Apx
jumlah semua segmen:
n
x  q  x
1
x p
 Asegmen  f1( x)  f2 ( x)x
n
Dengan membuat n menuju tak
Asegm en 
hingga sehingga x menuju nol kita A pq  lim
1
sampai pada suatu limit

q
p  f1( x)  f 2 ( x)dx
59
Jika y1  4 dan y 2  2
Contoh:
berapakah luas bidang antara y1 dan y2
dari x1 = p = 2 sampai x2 = q = +3.
A pq 
3
2
(4  (2)dx  6 x32  18  (12 )  30
2
Jika y1  x dan y2  4
Contoh:
berapakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2.
Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x pada
perpotongan antara y1 dan y2.
y2
y1  y2  x 2  4  x1  p  2, x2  q  2
4
y
y2
di atas
x
y1
y1
2
-2
-1
0
0
1
2
2
3 

2
x
2

A pq 
(4  x )dx   4 x 

2
3 

 -2
8 
 8  16  16 32



8      8 

3
3
3
3
3

 


60
2
Jika y1   x  2 dan y2   x
Contoh:
berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2.
y
Batas integrasi adalah nilai x pada
perpotongan kedua kurva
4
2
-2
-1
0
-2
y1
0
y2
-4
y1 di atas y2
1
y1  y2   x 2  2   x atau  x 2  x  2  0
2
x
 1  12  8
 1  12  8
x1  p 
 1; x2  q 
2
2
2
2
 x3 x 2

2

Apq  ( x  2  x)dx  

 2 x 
 3

1
2

 1

2
 8
  1 1

    2  4   
  2   4,5
 3
  3 2

61
Penerapan Integral
Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan
konstan 200V. Berapakah energi yang diserap oleh
piranti ini selama 8 jam ?
Contoh:
Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p dan
energi diberi simbol w, maka
p
dw
dt
yang memberikan w 
 pdt
Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau batas
bawah dari waktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8, dengan
satuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap selama 8 jam
adalah
w
8
0
8
0
8
pdt  100 dt  100 t 0  800 Watt.hour [Wh]
 0,8 kilo Watt hour [kWh]
62
Contoh:
Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap
waktu sebagai i(t) = 0,05 t ampere. Berapakah jumlah
muatan yang dipindahkan melalui piranti ini antara t =
0 sampai t = 5 detik ?
Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q.
i

dq sehingga q  idt
dt
Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah
5
5
0,05 2
q  idt  0,05tdt 
t
0
0
2


5

0
1,25
 0,625 coulomb
2
63
Volume Sebagai Suatu Integral
Berikut ini kita akan melihat penggunaan
integral untuk menghitung volume.
Balok
Jika A(x) adalah luas irisan di sebelah kiri dan
A(x+x) adalah luas irisan di sebelah kanan
maka volume irisan V adalah
A( x)x  V  A( x  x)x
q
x
Volume balok V adalah
V
 A( x )x
p
luas rata-rata irisan antara
A(x) dan A(x+x).
Apabila x cukup tipis dan kita mengambil
A(x) sebagai pengganti maka kita
q
memperoleh pendekatan dari nilai V, yaitu: V 
A( x)x

p
Jika x menuju nol dan A(x)
kontinyu antara p dan q maka :
q
A( x)x   A( x)dx

p
x o
V  lim
q
p
64
Rotasi Bidang Segitiga Pada Sumbu-x
P
y
Q
O
x
A(x) adalah luas lingkaran dengan
jari-jari r(x); sedangkan r(x)
memiliki persamaan garis OP.
x
m : kemiringan garis OP
h : jarak O-Q.
V
h
0
A( x)dx 
h
0
r ( x) dx 
2
h
0
m2 x 2 dx
m 2 h3 (PQ/OQ) 2 h3
h
Vkerucut 

 r 2
3
3
3
Jika garis OP memotong sumbu-y maka
diperoleh kerucut terpotong
65
Rotasi Bidang Sembarang
f(x)
y
0 a
A( x)  r ( x) 2   f ( x) 2
b
x
x
V
b
a
 f ( x) 2 dx
Rotasi Gabungan Fungsi Linier
f3(x)
f2(x)
y
f1(x)
0 a
b
x
x
Fungsi f(x) kontinyu bagian demi
bagian. Pada gambar di samping ini
terdapat tiga rentang x dimana
fungsi linier kontinyu. Kita dapat
menghitung volume total sebagai
jumlah volume dari tiga bagian.
66
Persamaan Diferensial
67
1. Persamaan Diferensial Orde-1
Pengertian
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat
satu atau lebih turunan fungsi.
Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai berikut:
1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan
persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak
termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau
fungsi dengan satu peubah bebas.
2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi
turunan fungsi yang ada dalam persamaan.
3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah
pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.
2
Contoh:
5
 d3y 
 d2y 

 
  y  ex
 dx3 
 dx 2 
x2  1




adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.
68
Solusi
Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi dari suatu persamaan
diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya
y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.
Contoh:
y  ke x adalah solusi dari persamaan
karena turunan y  ke x
adalah
dy
 y0
dt
dy
  ke x
dt
dan jika ini kita masukkan dalam persamaan
akan kita peroleh
 ke x  ke x  0
Persamaan terpenuhi.
Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang
mengandung n tetapan sembarang.
69
Persamaan Diferensial Orde-1 Dengan Peubah Yang
Dapat Dipisahkan
Pemisahan Peubah
Jika pemisahan peubah ini bisa dilakukan maka persamaan
diferensial dapat kita tuliskan dalam bentuk
f ( y)dy  g ( x)dx  0
Suku-suku terbentuk dari peubah yang berbeda
Apabila kita lakukan integrasi, kita akan mendapatkan solusi
umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu
 f ( y)dy   g ( x)dx)  K
70
Contoh:
dy
 ex y
dx
dy e x
Persamaan ini dapat kita tuliskan

dx e y
yang kemudian dapat kita tuliskan sebagai
persamaan dengan peubah terpisah
e y dy  e x dx  0
Integrasi kedua ruas memberikan:


e y dy  e x dx  K
y
x
sehingga e  e  K atau
Contoh:
dy 1

dx xy
e y  ex  K
Pemisahan peubah akan memberikan bentuk
dx
dx
ydy

0
ydy 
atau
x
x
Integrasi kedua ruas:
y2
 ln x  K
2

ydy 
atau

dx
K
x
y  ln x 2  K 
71
Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu
Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan
dalam bentuk
dy
 y
 F 
dx
x
Ini dapat dijadikan sebagai peubah
bebas baru
y yang akan memberikan
v
x
y  vx dan
dv
dy
dv
vx
 F (v )

v

x
dx
dx
dx
dv
x
 F (v )  v
Pemisahan peubah:
dx
dv
dx

F (v )  v
x
dx
dv

0
atau:
x v  F (v )
72
Contoh:
( x 2  y 2 )dx  2 xydy  0
Usahakan menjadi homogen x (1 
2
y2
x
(1 
Peubah baru v = y/x
y  vx
dy
dv
vx
dx
dx
Peubah terpisah
dy
dx
dy
dx
y2
2
)dx  2 xydy  0
y
dy
2
x
x
1  ( y / x) 2

 F ( y / x)
2( y / x)
1 v2

 F (v )
2v
)dx  2
dv
1  v2
vx

dx
2v
dv
1  v2
1  3v 2
x
 v 

dx
2v
2v
dx
2vdv
dx

0
atau

2
2
x 1  3v
x
1  3v
2vdv
73
Kita harus mencari solusi persamaan
ini untuk mendapatkan
v sebagai fungsi x.
dx
2vdv

0
x 1  3v 2
Suku ke-dua ini berbentuk 1/x
dan kita tahu bahwa
1 d (ln x)

x
dx
Kita coba hitung
d ln(1  3v 2 ) d ln(1  3v 2 ) d (1  3v 2 )
1


(6v)
2
2
dv
dv
d (1  3v )
1  3v
Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah
bentuk persamaan menjadi
dx 1 d ln(1  3v 2 )

dv  0
x 3
dv
1
1
Integrasi ke-dua ruas:
ln x  ln(1  3v 2 )  K  ln K 
3
3
2
3 ln x  ln(1  3v )  K  ln K 
x 3 (1  3v 2 )  K 


x3 1  3( y / x) 2  K 


x x2  3 y 2  K 
74
Persamaan Diferensial Linier Orde Satu
Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol
Oleh karena itu persamaan diferensial orde satu yang
juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk:
dy
 Py  Q
dx
P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan
Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal
ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan
pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.
Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum
sebagai
dy
a
 by  f (t )
dt
Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu bervariasi.
Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk sinyal utama yang hanya ada tiga,
yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia
merupakan bentuk komposit yang merupakan gabungan dari bentuk utama.
75
Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada
peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik.
Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara
pendugaan
Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan
rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai
a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk
rangkaian.
Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa
tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi
penggerak.
Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan
jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah
fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan
solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan
homogen
a
dy
 by  0
dt
76
Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi persamaan
yang diberikan dan fungsi f2(t) memenuhi persamaan homogen,
maka y = (f1+f2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan,
sebab
a
d  f1  f 2 
dy
 by  a
 b( f1  f 2 )
dt
dt
df
df
df
 a 1  bf1  a 2  bf 2  a 1  bf1  0
dt
dt
dt
Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan
kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah
dari solusi khusus dan solusi homogen.
77
Solusi Homogen
Persamaan homogen
a
dy
 by  0
dt
Jika ya adalah solusinya maka
dya b
 dt  0
ya a
Integrasi kedua ruas memberikan
b
ln y a  t  K
a
sehingga
ya
b
 tK
e a
b
ln y a   t  K
a
 K a e  (b / a ) t
Inilah solusi homogen
78
Jika solusi khusus adalah yp , maka
a
dy p
dt
 by p  f (t )
Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk yp.
Jika f (t )  0  y p  0
Jika f (t )  A  konstan,  y p  konstan  K
Jika f (t )  Ae t  eksponensial,  y p  eksponensial  Ke t
Jika f (t )  A sin t , atau f (t )  A cos t  y p  K c cos t  K s sin t
Dugaan bentuk-bentuk solusi yp yang tergantung dari f(t) ini
dapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk seperti
itulah persamaan diferensial dapat dipenuhi
Jika dugaan solusi total adalah
Masih harus ditentukan melalui kondisi awal.
79
Contoh:
Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan
dv
 1000 v  0
dt
Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.
Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0. Solusi
khusus bernilai nol.
dv
 1000 dt  0
v
ln v  1000 t  K
v  e 1000t  K  K a e 1000t
Penerapan kondisi awal:
Solusi total:
12  K a
v  12 e 1000t V
80
Contoh:
Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan
10 3
dv
 v  12
dt
Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah tanggapan lengkap.
Solusi homogen:
10 3
dva
 va  0
dt
dva
 10 3 dt  0
va
va  K a e 1000t
Solusi khusus:
v p  12
Solusi total (dugaan):
karena f(t) = 12
vtotal  12  K a e 1000t
Penerapan kondisi awal:
Solusi total:
0  12  K a
K a  12
vtotal  12  12 e 1000t V
81
Contoh:
Pada kondisi awal v = 0 V, suatu analisis transien
dv
menghasilkan persamaan
 5v  100 cos10 t
dt
Carilah solusi total.
Solusi homogen:
dva
 5va  0
dt
dva
 5dt  0
va
ln va  5t  K
va  K a e 5t
Solusi khusus: v p  Ac cos10t  As sin10t
10 Ac sin 10t  10 As cos10t  5 Ac cos10t  5 As sin 10t  100 cos10t
10 As cos10t  5 Ac cos10t  100 cos10t
10 Ac sin 10t  5 As sin 10t  0
10 As  5 Ac  100
10 Ac  5 As  0
As  8 Ac  4
Solusi total (dugaan): v  4 cos10t  8 sin 10t  K a e 5t
Penerapan kondisi awal: 0  4  K a
Solusi total :
K a  4
v  4 cos10 t  8 sin 10 t  4e 5t
82
Persamaan Diferensial Orde-2
Untuk sementara ini mengenai persamaan
diferensial orde-2 silahkan dilihat Buku
Analisis Rangkaian Listrik Jilid-2
83
Matematika II
Sudaryatno Sudirham
84