∫ ∫ ∫ ∫

TEKNIK PENGINTEGRALAN
• Berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus,
maka kita akan mendapatkan integral tak
tentu dari fungsi-fungsi yang sudah kita
ketahui
TEKNIK PENGINTEGRALAN
– Beberapa yang telah kita ketahui adalah:
RUMUS INTEGRAL
RUMUS INTEGRAL
x n +1
∫ x dx = n + 1 + C (n ≠ −1)
1
∫ x dx = ln | x | +C
x
x
∫ e dx = e + C
x
∫ a dx =
n
ax
+C
ln a
∫ sin x dx = − cos x + C
∫ cos x dx = sin x + C
∫ sec
∫ csc dx = − cot x + C
2
dx = tan x + C
∫ sec x tan x dx = sec x + C
2
∫ csc x cot x dx = − csc x + C
1
RUMUS INTEGRAL
∫ sinh xdx = cosh x + C
∫ cosh xdx = sinh x + C
∫ tan xdx = ln | sec x | +C
∫x
2
1
1
 x
dx = tan−1   + C
+ a2
a
a
∫ cot xdx = ln | sin x | +C
∫
1
a2 − x2
 x
dx = sin−1   + C
a
TEKNIK PENGINTEGRALAN
Integration by Parts
(Pengintegralan Perbagian)
TEKNIK PENGINTEGRALAN
• Aturan Integral Dasar
• Integration by parts (Pengintegralan
Perbagian)
• Integral Fungsi Trigonometri
• Substitusi Rasionalisasi
• Integral Fungsi Rasional menggunakan
Pecahan Parsial
• Strategi Integrasi
TEKNIK PENGINTEGRALAN
• Setiap aturan turunan pasti
mempunyai aturan integral yang
berhubungan
– Contoh: Aturan Substitusi berhubungan dengan
aturan rantai untuk turunan.
2
TEKNIK PENGINTEGRALAN
• Aturan integrasi yang berhubungan
dengan aturan kali para turunan
adalahaturan pengintegralan
perbagian.
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
• Penulisan integral tak tentu dari
persamaan tsb menjadi
∫ [ f ( x) g '( x) + g ( x) f '( x)] dx = f ( x) g ( x)
• atau
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
• Aturan Perkalian mengatakan, jika f dan
g adalah fungsi yang bisa diturunkan,
maka
d
[ f ( x) g ( x)] = f ( x) g '( x) + g ( x) f '( x)
dx
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
• Persamaan diatas bida kita atur kembali
spt:
Rumus 1
∫ f ( x) g '( x) dx = f ( x) g ( x) − ∫ g ( x) f '( x) dx
∫ f ( x) g '( x) dx + ∫ g ( x) f '( x) dx = f ( x) g ( x)
3
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
Rumus 2
• Jika u = f(x) dan v = g(x).
• Shg, dgn aturan substitusi, maka rumus
integral perbagian menjadi:
– Maka, turunannya adl:
∫ u dv = uv − ∫ v du
du = f’(x) dx and dv = g’(x) dx
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
Contoh 1
Contoh 1
• Dapatkan ∫ x sin x dx
– Misal f(x) = x dan g’(x) = sin x.
– Maka, f’(x) = 1 dan g(x) = –cos x.
• Menggunakan rumus 1:
∫ x sin x dx = f ( x) g ( x) − ∫ g ( x) f '( x) dx
= x (− cos x ) − ∫ (− cos x) dx
= − x cos x + ∫ cos x dx
= − x cos x + sin x + C
– Coba turunkan fungsinya.
4
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
PERHATIKAN
Contoh 1, rumus 2
dv = sin x dx
• Jika u = x
• Maka, du = dx
v = − cos x
• Menggunakan rumus
2: v
dv
v
du
47
4
8 }u 6
474
8
6
474
8}
}u 6
x
sin
x
dx
=
x
sin
x
dx
=
x
(
−
cos
x
)
−
(
−
cos
x
)
dx
∫
∫
∫
• Tujuan kita menggunakan pengintegralan
perbagian adl untuk mendapatkan bentuk
integral yg sederhana, jadi jika bentuknya
lebih rumit (sulit) untuk diselesaikan maka
pengintegralan kurang benar.
= − x cos x + ∫ cos x dx
= − x cos x + sin x + C
PERHATIKAN
• Dari contoh 1
• Jika kita pilih u = sin x dan
dv = x dx , maka du = cos x dx dan v = x2/2.
• Jadi, pengintegralan perbagian menjadi:
∫ x sin x dx = (sin x )
x2 1 2
−
x cos dx
2 2∫
– Walapun benar namun x2cos x dx lebih susah diintegalkan.
PERHATIKAN
• Jadi, dalam memilih u dan dv, sehrsnya u =
f(x) dipilih sdh sehingga menjadi fungsi yg
lebih sederhana ketika diturunkan.
– Namun, pastikan juga bahwa dv = g’(x) dx bisa
diintegralkan dengan mudah.
5
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
Contoh 2
Contoh 2
• Dapatkan ∫ ln x dx
u = ln x
du =
∫ ln x dx = x ln x − ∫ x
dv = dx
1
dx
x
= x ln x − ∫ dx
= x ln x − x + C
v=x
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
Contoh 3
dx
x
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
Contoh 3
• Kita pilih
• Dapatkan ∫ t2etdt
u = t 2 dv = et dt
• maka,
du = 2t dt
v = et
• sehingga:
– Dapatkan u
∫ t e dt = t e
2 t
– Dapatkan dv
2 t
− 2∫ tet dt
6
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
Contoh 3
Contoh 3
• Kembalikan lagi
• Kali ini, kita pilih
∫ t e dt = t e
2 t
2 t
− 2 ∫ tet dt
= t 2 et − 2(tet − et + C )
u = t and dv = etdt
= t 2 et − 2tet − 2et + C1
– Maka, du = dt, v = et.
• dimana C1 = – 2C
– Shg,
∫ te dt = te − ∫ e dt − te
t
t
t
t
− et + C
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
Contoh 4
• Dapatkan ∫ ex sinx dx
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
Contoh 4
• Kita coba
u = ex and dv = sin x
– ex tidak menjadi lebih sederhana ketika diturunkan.
– Maka, du = ex dx dan v = – cos x.
– sin x juga tidak lebih sederhana ketika diturunkan.
7
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
Contoh 4
• Shg, pengintegralan perbagiannya
menjadi:
∫e
x
sin x dx = −e x cos x + ∫ e x cos x dx
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
Contoh 4
• Integral mengandung, ∫ excos x dx,
Tidak lebih sederhana atau lengkap
diselesaikan.
– Paling tidak, tidak menjadi lebih rumit.
– Kita lakukan pengintegralan perbagian sekali lagi.
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
Contoh 4
• Kita pilih
u = ex and dv = cos x dx
• Maka, du = ex dx, v = sin x, dan
∫e
x
cos x dx = e x sin x − ∫ e x sin x dx
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
Contoh 4
• Kita kembalikan ke persamaan awal:
∫e
x
sin x dx = −e x cos x + e x sin x
− ∫ e x sin x dx
– Kumpulkan bentuk yg sama kedalam satu ruas.
8
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
Contoh 4
• Maka akan kita dapatkan:
2 ∫ e x sin x dx = −e x cos x + e x sin x
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
Bentuk Integral Trigonometri yang biasa kita temui
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
Contoh 4
• Bagi dengan 2, maka:
∫e
x
sin x dx = 12 e x (sin x − cos x) + C
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
Ingat identitas fungsi trigonometri!!!
sin 2 x = 2 sin x cos x
cos 2 x = 2 cos
cos
tan
2
x − 1 = 1 − 2 sin
2
x + sin
2
x + 1 = sec 2 x
2
2
x = cos
2
x − sin
2
x
x =1
x + 1 = csc 2 x
1
cos 2 x = (1 + cos 2 x )
2
1
2
sin x = (1 − cos 2 x )
2
cot
2
9
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
∫
∫ (cos x )cos xdx
∫ (1 − sin x )cos xdx
∫ sin
∫ (sin
u = sin x
du = cos xdx
1
4
1
4
3
cos
xdx
2
2
2
∫ 1 − u du
u3
sin 3 x
u −
= sin x −
+ C
3
3
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
∫ cos
2
∫
2
cos
x tan
2
 sin
x 
 cos
xdx
2
2
∫ sin xdx
∫ 1 − cos 2 xdx
x
x
2
x −
sin 2 x
+ C
2
=

 dx

∫
1
4
3
8
4
xdx
2
x
 1 − cos

2

∫ (1
)(sin
2
2 x 


− 2 cos
)
x dx
2
dx
=
2 x + cos
∫ (1
1
4
2
− cos
)2
dx
)
2 x dx
1
cos 4

+
 1 − 2 cos 2 x +
2
2

3
cos 4 x

∫  − 2 cos 2 x + 2 +
2
sin 2 x
sin 4 x
x −
+
+ C
4
32
∫
2 x
x 
 dx


 dx

CATATAN TTG INTEGRAL
FUNGSI TRIGONOMETRI
• Tidak ada aturan yang jelas tentang bentuk
integral ini, namun, ingat:
• 1) Jika ada campuran sinus dan cosinus,
pecahkan shg menjadi bentuk integral yg lebih
sederhana
• 2) Gunakan idntitas fungsi trigonometri yang
sesuai untuk membuat integrand lebih
sederhana.
• 3) Rubah semua dalam bentuk sinus dan
cosinus.
10