V. DISTRIBUSI NORMAL

V. DISTRIBUSI NORMAL
Dipelajari pertama kali pd abad ke -18
Pencetus :
De Moivre (1733)
Laplace (1775)
Gauss (1809)  Dist. Gauss.
Suatu variabel random kontinu x dikatakan
berdistribusi normal dgn mean µ dan variansi σ2
adalah jika mempunyai fungsi probabilitas yang
berbentuk :
1
−
( X −µ) 2
1
2
f (X ) =
e 2σ
2π
σ2
Untuk
- ∼< x < ∼
- ∼< µ < ∼
σ2 > 0 dan π = 3,14 dan e = 2,718
Sifat-sifat distribusi normal :
1. Harga modus, yaitu harga pada sumbu x dengan
kurva maksimum terletak pada x = µ
2. Kurva normal simetris terhadap sumbu vertikal
melalui µ
3. Kurva normal mempunyai titik belok pada x = µ±σ
4. Kurva normal memotong sumbu mendatar secara
asimtotis
5. Luas daerah dibawah kurva normal dan diatas
sumbu mendatar sama dengan 1.
Kurva normal :
Luas bagian kurva normal antara
x=a dan x=b dapat ditulis
menjadi P(a≤x≤b)
b
P ( a ≤ x ≤ b) = ∫ f ( x ) dx
a
µ
X
Nilai ini untuk distribusi normal
standar telah ditabelkan 
Tabel III
Distribusi normal standar adalah distribusi normal yang
mempunyai mean µ=0 dan standar deviasi σ=1
Untuk distribusi normal yang bukan distribusi normal
standar maka diubah dengan rumus transformasi x
Z :−
µ
z=
σ
Tabel III. Distribusi Normal
Nilai pada tabel III adalah luas dibawah kurva normal
dari 0 sampai bilangan positif b atau P(0≤Z≤b).
Contoh :
1. Luas kurva normal dari 0 hingga 1,9
P(0 ≤ Z ≤ 1,9)=0,3621
Karena Kurva normal simetris di µ=0 maka
P(-1,9 ≤ Z ≤0)= 0,321
Karena kurva normal simetris di µ=0 dan luas
dibawah kurva normal = 1 maka :
P(0 ≤ Z ≤ +∼) = 0,5 dan P(-∼≤Z≤0)= 0,5
P(2,5 ≤ Z ≤ +∼) = 0,5 – P(0≤Z≤2,5)= 0,5 –
0,4798=0,0202
P(0,5 ≤ Z ≤ 2,5) = P(0 ≤ Z ≤ 2,5)- P(0 ≤ Z ≤ 0,5)
= 0,4798 – 0,1915 =0,2883
2.
Suatu distribusi normal mempunyai mean 60 dan
standar deviasi 12. Hitunglah :
a. Luas kurva normal antara µ=60 dan x= 76 adalah :
P(60 ≤ x ≤ 76) = …….. Dicari dulu nilai Z-nya
x −µ 76 −60
z =
=
=1,33
σ
12
Jadi P(60 ≤ x ≤ 76)= P(0 ≤ Z ≤ 1,33) = 0,4082
a. Luas kurva normal antara x1=68 dan x2=84.
x −µ 68 −60
z1 =
=
=0,67
σ
12
x −µ 84 −60
z2 =
=
=2,0
σ
12
P(68 ≤ x ≤ 84)= P(0,67 ≤ Z ≤ 2,00)= 0,4772-0,2486 =
0,2284
c. Luas kurva normal antara x3=37 dan x4=72.
z3 =
x −µ
σ
z4 =
37 −60
=
=−1,92
12
x −µ
σ
72 −60
=
=1,00
12
P(37 ≤ x ≤ 72)= P(-1,92 ≤ Z ≤ 1,00)
= P(-1,92 ≤ Z ≤ 0,00) + P(0,00 ≤ Z ≤ 1,00)
= 0,4726 + 0,3412 = 0,8136
d. Luas kurva normal antara x4=72 sampai positif takterhingga
P(72≤ x ≤ +∼)= 0,5 – P(0 ≤ Z ≤ 1,00)
= 0,5 – 0,3412 = 0,1588
Contoh aplikasi dalam bidang TP
3. Sebuah perusahaan memproduksi susu bubuk rendah
lemak. Diasumsikan kadar lemak susu bubuk merk A
berdistribusi normal dengan mean 3,5 % dan standar
deviasi 0,3 %.
a. Berapakah probabilitas kadar lemak susu bubuk
yang diambil secara acak berkisar antara 2,9
hingga 3,8 %?
a. Jika standar pabrik menentukan bahwa
maksimal kadar lemak susu bubuknya adalah
4,0 %, hitunglah berapa persentase produk yang
tidak memenuhi syarat tersebut?
Jawaban soal nomor 3.
Diketahui : µ = 3,5 dan σ= 0,3
a. P( 2,9 ≤ x ≤ 3,8) =
x −µ 2,9 −3,5
z1 =
=
=−2,0
σ
0,3
x −µ 3,8 −3,5
z2 =
=
=1
σ
0,3
Sehingga :
P( 2,9 ≤ x ≤ 3,8) = P( -2,0 ≤ x ≤ 1)
= P( -2,0 ≤ x ≤ 0) +P( 0 ≤ x ≤ 1,0)
= 0,4772 + 0,3412 = 0,8184
b. P(X≥ 4,0) = 0,5 – P(0≤ x ≤ 4,0) = 0,5 – P(0≤ Z ≤ 1,67)
= 0,5 – 0,4525 = 0,0475
Pendekatan normal untuk binomial
Distribusi normal akan memberikan pendekatan yang
sangat baik jika n besar dan p mendekati 0,5.
dalam hal ini :
x −np
µ = np dan σ2=np(1-p) sehingga Z
: =
np (1 −p )
Contoh 4.
Suatu proses produksi mempunyai kemungkinan 10%
cacat, jika sampel sebanyak 100 buah diambil secara acak
dari proses tersebut maka berapakah probabilitas :
a. Delapan produk cacat
b. Paling banyak lima produk cacat
c. Paling sedikit lima belas produk cacat
INGAT :
Distribusi Normal : Kontinu VS Distribusi Binoamial : Diskrit
Jawab :
Kejadian binomial tetapi n besar shg didekati dengan
distribusi normal, sehingga :
µ = np = 100 X 10% = 10
σ2 = np(1-p) = 100. 10% X 0,9 = 9  σ = 3
Maka :
a. P(x = 8) = P (7,5≤ x ≤ 8,5) = P(-0,83 ≤ Z ≤ -0,5)
= P (-0,83 ≤ Z ≤ 0) - (-0,5 ≤ Z ≤
0)
= 0,2967 – 0,1915 =
0,1052
b. P(x ≤ 5) = P(x ≤ 5,5)
= P(Z ≤ -1,5) = 0,5 – P(-1,5 ≤ Z ≤ 0)
= 0,5 – 0,4332 = 0,0668
c. P(x ≥ 15) = P(x ≥ 14,5) = 0,5 – P(0 ≤ x ≤ 14,5)