Metode Cramer

Aljabar Linier & Matriks
1
Determinan mrpk suatu fungsi yg menghubungkan sebuah
bilangan real dgn matriks bujursangkar.
Dalam matriks ukuran 2x2:
maka determinan matriks A dinyatakan sbg:
det (A) = ad – bc
dan invers matriks A dinyatakan sbg:
Determinan jg dpt ditentukan menggunakan cara ekspansi kofaktor (telah
dipelajari pd pertemuan sblmnya)
2

Jika A adl matriks segitiga (baik segitiga atas maupun segitiga
bawah) atau matriks diagonal berukuran nxn, maka
determinan A dpt diperoleh dgn cara mengalikan semua
elemen pd diagonal utamanya.
Atau dinyatakan:
det(A) = a11 a22 a33 … ann
Misal pada matriks segitiga berikut:
3

Tentukan determinan matriks berikut.
1 0 0
A  0 1 0
0 0 1
2
0
B
0

0
3 1 0
5
1
8 1 1
C
0
0 2 1


0 0 3
3
0 0 0
4 0 0
1 3 0

8 9 2
det(A) = 1.1.1 = 1
det(B) = 2.8.2.3 = 96
det(C) = 5.4.3.2 = 120
4

Metode Cramer mrpk salah satu metode utk menyelesaikan
sistem persamaan linear yang terdiri atas n persamaan dan n
variabel yang tidak diketahui.

Teorema
Jika sistem persamaan linear yang terdiri atas n persamaan
dan n variabel yang tidak diketahui dapat dinyatakan
Ax = b sedemikian sehingga det(A) ≠ 0, maka sistem
persamaan linear tersebut mempunyai penyelesaian yang
unik.
5
Penyelesaian tersebut dapat diperoleh dengan formula:
x1 
det( A1 )
;
det( A)
x2 
det( A2 )
; ...
det( A)
xn 
det( An )
det( A)
Dengan Aj adalah matriks yg diperoleh dari mengganti kolom
ke-j matriks A dengan elemen b.
 b1 
b 
b   2
 ... 
 
bn 
6

Selesaikan sistem persamaan berikut ini menggunakan metode
Cramer.
x1  2 x3  6
 3 x1  4 x2  6 x3  30
 x1  2 x2  3 x3  8

Penyelesaian:
◦ Temukan matriks A dan cari determinannya
◦ Temukan matriks kolom b
◦ Temukan matriks A1, A2, dan A3 dan masing-masing temukan determinannya
◦ Temukan x1, x2, dan x3
7

Matriks A adl sbb:
det(A) = 44 (buktikan)

Matriks kolom b adl sbb:

Matriks A1 diperoleh dari matriks A namun kolom ke-1
6
b  30
 8 
diganti dengan matriks b.
det(A1) = -40 (buktikan)
8

Matriks A2 diperoleh dari matriks A namun kolom ke-2
diganti dengan matriks b.
det(A2) = 72 (buktikan)

Matriks A3 diperoleh dari matriks A namun kolom ke-3
diganti dengan matriks b.
det(A3) = 152 (buktikan)
9

Utk menemukan x1, x2, dan x3 maka:
det( A1 )
 40
 10
x1 


det( A)
44
11
det( A2 )
72
18
x2 


det( A)
44
11
det( A3 )
152
38
x3 


det( A)
44
11
10

det(A) = det(AT)

Jika A adl matriks nxn maka
◦ Jika B adl matriks baru yg dihasilkan saat satu baris atau satu kolom
matriks A dikalikan dgn skalar k, maka det(B) = k det(A)
◦ Jika B adl matriks baru yg dihasilkan saat dua baris atau 2 kolom matriks
A dipertukarkan, maka det(B) = -det(A)
◦ Jika B adl matriks baru yg dihasilkan saat matriks A dikenakan operasi
elementer antar baris atau antar kolom, maka det(B) = det(A)
Sifat-sifat determinan ini akan digunakan untuk mencari
determinan matriks menggunakan operasi elementer baris.
11
12
13

Temukan determinan matriks berikut menggunakan operasi elementer antar
baris

Penyelesaian
Dari kenyataan bhw determinan matriks segitiga dpt ditentukan dgn
mengalikan semua elemen diagonal utamanya, mk dlm hal ini matriks A akan
dibawa menjadi matriks segitiga (atas/bawah) menggunakan operasi
elementer antar baris.
14

Step 1: baris pertama dan kedua dipertukarkan (ingat bhw
determinan mjd negatif)

Step 2: untuk menyederhanakan operasi selanjutnya,
keluarkan faktor 3 dari baris pertama shg mjd:
15

Step 3: Kurangi baris ke-3 dengan 2 kali baris ke-1 atau
R3 = R3-2R1

Step 4: Kurangi baris ke-3 dengan 10 kali baris ke-2 atau
R3 = R3-10R2
16

Step 5: Keluarkan faktor -55 dari baris ke-3 shg mjd:

Step 6: Hitung determinannya
det(A) = (-3)(-55)(1)(1)(1) = 165
Cobalah cari determinan matriks yg sama, namun bawalah
matriks A menjadi matriks segitiga bawah.
17

det(kA) = kn det(A), A adl matriks orde nxn

det(A+B) ≠ det(A) + det(B)

jika A dan B adl matriks dgn ukuran yg sama, maka
det(AB) = det(A) det(B)

jika A invertible maka
det( A1 ) 
1
det( A)
18

Untuk matriks berikut ini, carilah determinannya
menggunakan operasi elementer antar baris seperti contoh di
atas.
0 2
1
A   3 4 6
  1  2 3
6
1
A2   3 30
  1 8
0 2
6
A1  30 4 6
 8  2 3
0
6
1
A3   3 4 30
  1  2 8 
2
6
3
19